第2章 被控對象的特性

1、 第二章第二章 被控對象的特性被控對象的特性2-1 2-1 概述概述一、基本概念一、基本概念過程控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)，是由組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的特性所決定的，特別是被控對象的特性對整個(gè)控制系統(tǒng)的運(yùn)行的好壞有著重大影響。 常見的被控對象有各種類型的換熱器、反應(yīng)器、精餾塔、加熱爐、貯罐及流體輸送設(shè)備等等。盡管這些對象的幾何形狀和尺寸各異，內(nèi)部所進(jìn)行的物理、化學(xué)過程也各不相同，但是從控制的觀點(diǎn)來看，它們在本質(zhì)上卻有許多共性，這便是研究對象特性的基礎(chǔ)。被控對象的特性：被控對象的特性：對象的輸人變量與輸出變量之間的相互關(guān)系。靜態(tài)特性：靜態(tài)特性：對象的輸人變量與輸出變量達(dá)到平衡時(shí)的相互關(guān)系。動(dòng)態(tài)特性：動(dòng)態(tài)特性：

2、對象的輸出變量在輸人變量影響下的變化過程。對象特性的數(shù)學(xué)描述則稱為對象的數(shù)學(xué)模型。過程控制中被控對象的輸出變量通常就是控制系統(tǒng)的被控變量。所有對被控變量有影響的變量都可看成是被控對象的輸入變量。多輸入單輸出對象：多輸入單輸出對象：具有多個(gè)輸入變量，一般只選一個(gè)變量做為操縱變量（u）對被控變量起控制作用，而其余輸入變量都作為擾動(dòng)變量（fi）。 如圖2-1 所示。多輸入多輸出對象:在這樣的被控過程（對象）中，執(zhí)行器和被控變量的數(shù)量（m）是相等的，且大于1 。 如圖2-2所示。通道通道：對象的輸入變量至輸出變量的信號關(guān)系稱之為通道。調(diào)節(jié)通道調(diào)節(jié)通道：控制作用（操縱變量）至被控變量的通道稱之為調(diào)節(jié)通道

3、。干擾通道干擾通道：干擾作用（干擾變量）至被控變量的通道稱之為干擾通道。二、階躍響應(yīng)特性二、階躍響應(yīng)特性 在研究被控對象的特性時(shí)，用被控變量對階躍輸人信號的響應(yīng)曲線來描述對象的動(dòng)態(tài)特性是最簡捷而且最常用的一種方法。1有自衡能力對象的動(dòng)態(tài)特性有自衡能力對象的動(dòng)態(tài)特性有自衡能力的對象具有這樣的性質(zhì)：當(dāng)受到階躍干擾作用使平衡狀態(tài)遭到破壞后，在不需要任何外力作用（即不進(jìn)行控制）下，依靠對象自身的能力，對象的輸出（被控變量）便可自發(fā)地恢復(fù)到新的平衡狀態(tài)。兩個(gè)有自衡能力的對象在階躍輸人下的響應(yīng)曲線分別如圖2-5(a）和圖2-5(b) 所示。2無自衡能力對象的動(dòng)態(tài)特性無自衡能力對象的動(dòng)態(tài)特性如果一個(gè)被控對象

4、（或過程）在受到階躍輸入干擾作用使平衡狀態(tài)遭到破壞后，在沒有其它外力的作用下，依靠自身的能力無法再達(dá)到新的平衡狀態(tài)，則該對象就是無自衡能力的對象。 它的階躍響應(yīng)曲線如圖2-7(a）所示。有些無自衡能力對象的階躍響應(yīng)特性呈非線性變化，如圖2-7 (b）所示。 2-2 2-2 數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述有多種表達(dá)形式，常見的有微分方程、傳遞函數(shù)、差分方程以及狀態(tài)方程等等，而且各種表達(dá)形式之間，在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化。一、一階對象的機(jī)理建模及特性分析一、一階對象的機(jī)理建模及特性分析1 1 一階對象的數(shù)學(xué)模型一階對象的數(shù)學(xué)模型 當(dāng)對象的動(dòng)態(tài)特性可以用一階線性微分方程式來描述時(shí)，該對象一般稱為一階對象

5、或單容對象。以單容水槽為例，推導(dǎo)一階對象的數(shù)學(xué)模型。 圖2-8是一個(gè)單容水槽的示意圖。液位h 是對象的輸出變量流人量Qi是對象的輸入變量。 根據(jù)動(dòng)態(tài)物料平衡關(guān)系有：iodMdtQQ（2-1）式中，M 為槽中的儲液量。該式的物理意義是槽中儲液量的變化率，為單位時(shí)間內(nèi)液體的流入量與流出量之差。 若貯槽的橫截面A 不變，則有M=Ah。假設(shè)在輸入量Qi階躍變化之前的平衡狀態(tài)下，液位為h，流人量和流出量均為QS ，則階躍變化后這些變量分別為 , , 0hhhisiQQQ00sQQQ將這些變量代入式（2-1）中，就可得到（2-2）iodhAd tQQ在上式中，還不能清楚地看出h與Qi的關(guān)系。因?yàn)槭街杏蠶O

6、的存在，為此，必須將QO從式中消除。由工藝設(shè)備的特性可知，QO與h 的關(guān)系是非線性的。考慮到h和QO的變化量相對較小，可以近似認(rèn)為QO與h 成正比，與出水閥的阻力系數(shù)R 成反比，其具體關(guān)系式如下 （2-3） 0hRQ此關(guān)系式代入式（2-2）中，經(jīng)過整理可得到 （2-4） id hARhRdtQ令T=AR，K=R，則可得到 （2-5） idhThKdtQ如果上式各變量都以自己的穩(wěn)態(tài)值為起算點(diǎn)，即ho=Qs=0 ，則可去掉式中的增量符號，直接寫成 (2-6)idhThKdtQ式（2-5）或（2-6）就是描述簡單水槽對象特性的數(shù)學(xué)模型。它是一個(gè)一階常系數(shù)微分方程式。T為時(shí)間常數(shù)。K 為放大系數(shù)。2

7、2 一階對象的特性分析一階對象的特性分析求單容水槽對象輸出h在輸入Qi作用下的變化規(guī)律，可以對式（2-5）的一階微分方程式進(jìn)行求解。假定輸人變量Qi為階躍作用，即 則式（2-5）的通解為 h（t）=KQ + Ce-t/T （2-8） 將初始條件h(t）=0 代入上式，得到 h（t）=KQ（1-Ce-t/T ） （2-9）上式就是單容對象在階躍輸入作用后，其輸出隨時(shí)間的變化規(guī)律。所有的一階對象都具有這種動(dòng)態(tài)特性，其階躍響應(yīng)曲線如圖2-9 所示。 為了進(jìn)一步認(rèn)識一階對象的特性，可以對式（2-9作以下分析。 (1(1）對象輸出的變化特點(diǎn)）對象輸出的變化特點(diǎn)對式（2-9）求導(dǎo)，可得h在t時(shí)刻變化速度，

8、即（2-10）/t TdhKQdtTe當(dāng)t=0時(shí)，得h的初始變化速度（2-11） 0( )|td hKQhdtTT當(dāng)t=時(shí)，得h的最終變化速度 00|tdhd t一階對象在階躍輸入作用下，輸出變量在輸入變量變化瞬間變化速度最大，隨著時(shí)間增加，變化速度逐漸變緩，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，變化速度趨近于零，這時(shí)輸出參數(shù)達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。(2(2）放大系數(shù)）放大系數(shù)K K由式（2-9）可以看出，在階躍輸入Qi的作用下，隨著時(shí)間t，液位將達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值，其最終的變化量為h（）= KQ，這就是說，一階水槽的輸出變化量與輸人變化量之比是一個(gè)常數(shù)。即 （2-12） ()hKQ放大系數(shù)放大系數(shù)K K 的物理意義的物理

9、意義可以理解為：如果有一定的輸入變化量如果有一定的輸入變化量Q Q ，通過對象就被放，通過對象就被放大了大了K K 倍，倍，最終變?yōu)樽罱K變?yōu)檩敵鲎兓枯敵鲎兓縣()h()。只與對象從一個(gè)平衡狀態(tài)到另一個(gè)平衡狀態(tài)時(shí)的穩(wěn)態(tài)值有關(guān)，而與中間的變化過程無關(guān)，所以K K是反是反映對象靜態(tài)特性的參數(shù)。映對象靜態(tài)特性的參數(shù)。(3(3）時(shí)間常數(shù)）時(shí)間常數(shù)T T在建立單容水槽的數(shù)學(xué)模型時(shí)，定義一階水槽對象的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T=ART=AR，即T與水槽的橫截面A以及出口閥門的阻力系數(shù)R 有關(guān)。從工藝常識定性知道，在進(jìn)口流量發(fā)生同樣變化的情況下，閥門開度一定，水槽的橫截面積越大，儲水能力就越強(qiáng)，慣性也就越大，液位

10、需經(jīng)較長時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。反之，水槽的橫截面積越小，儲水能力就越差，只需較短的時(shí)間就趨向于穩(wěn)態(tài)值。由此可見，時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T T是反映對象響應(yīng)速度快慢的是反映對象響應(yīng)速度快慢的一個(gè)重要的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)一個(gè)重要的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。T越小，對象輸出變量的變化就越快，T越大，對象輸出變量的變化就越慢。時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T T的物理意義的物理意義：從圖 2-9 的階躍響應(yīng)曲線可以看出，該曲線在起始點(diǎn)處切線的斜率，就是由式（2-1）計(jì)算出的液位初始變化速度初始變化速度h()/Th()/T，這條切線與新的穩(wěn)態(tài)值的交，這條切線與新的穩(wěn)態(tài)值的交點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)間正好等于點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)間正好等于T T。時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T

11、 T理解為：當(dāng)對象受到階躍輸人作用后，理解為：當(dāng)對象受到階躍輸人作用后，對象的輸出變量始終保持初始速度變化而達(dá)到新的穩(wěn)對象的輸出變量始終保持初始速度變化而達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。態(tài)值所需要的時(shí)間。理論上說，需要無限長的時(shí)間，即只有當(dāng)t 時(shí)，才有h(）=KQ 。分別把時(shí)間 T,2T,3T和4T代入式（2-9），發(fā)現(xiàn)： h(T) = KQ(1-e-1）0.632KQ = 0.632h（） h(2T) = KQ(1- e-2）0.865KQ = 0.865h() h (3T）= KQ(1- e-3）0.95KQ = 0.95h() h(4T)= KQ (1-e-4）0.982KQ =0.982h

12、() 也就是說，在加入階躍輸入后，只需經(jīng)過3T時(shí)間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的95。這時(shí)，可以近似認(rèn)為動(dòng)態(tài)過程基本結(jié)束，即便是按照嚴(yán)格的2的指標(biāo)來計(jì)算過渡時(shí)間，也只需要4T的時(shí)間。 舉例，加深對一階對象動(dòng)態(tài)特性的理解： 【例題】某一直接蒸汽加熱器具有一階對象特性，當(dāng)熱物料的出口溫度從 70提高到80 時(shí)，需要將注入的蒸汽量在原有的基礎(chǔ)上增加10。在蒸汽量階躍變化10 后，經(jīng)過1分鐘，出口溫度已經(jīng)達(dá)到78.65。試寫出相應(yīng)的微分方程式，并畫出該對象的輸出階躍響應(yīng)曲線。 解：設(shè)該對象的輸出為出口溫度y（），輸入為蒸汽量x (%）。已知輸人的階躍幅值x=10%，輸出的最終變化量y = 80-70

13、=10，則有 =10/10=1 (/%) yKx當(dāng)t=60s時(shí)，輸出變化量y=78.65-70=8.65則有8.65=10(1- e-60/T）由上式可以解得：T30(s) 由此可寫出描述該對象的微分方程式為30dyyxdt該對象的輸出階躍響應(yīng)曲線如右圖所示 二、二階對象的機(jī)理建模及特性分析二、二階對象的機(jī)理建模及特性分析 1. 1. 二階對象的數(shù)學(xué)模型二階對象的數(shù)學(xué)模型在過程工業(yè)中，有一些對象或元件的特性需用二階微分方程式來近似地描述，這類對象稱為二階對象或雙容對象。以串聯(lián)水槽為例，說明對象數(shù)學(xué)模型的建立。 圖2-10所示的兩水槽串聯(lián)對象，其數(shù)學(xué)模型的建立，和單容水槽對象的情況類似。假定對象

14、的輸入變量為輸入變量為Q Qi i輸出變量為輸出變量為h2h2，且各變量都以自己的穩(wěn)態(tài)值為起算點(diǎn)，現(xiàn)在來研究當(dāng)輸入流量Qi發(fā)生階躍變化時(shí)，第二節(jié)水槽的液位h2 隨時(shí)間的變化情況。如果對象的輸入和輸出的變化量相對平衡狀態(tài)時(shí)都不大，則可以近似地認(rèn)為，水槽的液位與輸出流量之間具有線性關(guān)系，即 Q1=h1/R1 (2-13) Q2=h2/R2 (2-14)式中 R1,R2分別表示第一和第二個(gè)水槽出水閥的阻力系數(shù)（簡稱液阻）。假定兩個(gè)水槽的橫截面積均為常數(shù)，分別用A1和A2來表示，則對于每個(gè)水槽，都具有與式（2-2）相同的物料平衡關(guān)系，即A1dh1/dt=Qi-Q1 (2-15) A2dh2/dt=Q1

15、-Q2 (2-16) 將式（2-13）和式（2-14）代入式（2-15）式（2-16）中得 A1dh1/dt=Qi-h1/R1(2-17) A2dh2/dt=h1/R1- h2/R2 (2-18) 將式（2-17）與式（2-18）相加，并整理后得 （2-19） 1222121()idddtdthhhQAAR將式（2-19）代人式（2-20)，并整理后得 （2-21） 22221122112222()idtdd hdhQhA R A RA RA RRt代入式（2-21）得 （2-22） 222212122()idtd hdhKQhT TTTdt上式為一個(gè)二階常系數(shù)微分方程式。式中 T1,T2分別

16、為兩個(gè)水槽的時(shí)間常數(shù)， K為整個(gè)對象的放大系數(shù)。將式（2-18）求導(dǎo)，得2212221211dddtdtdd hhhARRt （2-20） 1122221,KTAR TA RR令三、純滯后對象的數(shù)學(xué)模型及特性三、純滯后對象的數(shù)學(xué)模型及特性 在連續(xù)化生產(chǎn)中，有的被控對象或過程，在輸入變量發(fā)生變化后，輸出變量并不立刻隨之變化，而是要隔上一段時(shí)間后才產(chǎn)生響應(yīng)。我們把具有這種特性的對象稱為純滯后對象。輸出變量落后于輸入變量變化的那段時(shí)間則稱為純滯后的時(shí)間，常用表示。圖2-12所示的溶解槽對象為純滯后對象的典型特例。若料斗處加大送料量，溶解槽中的溶液濃度并不會馬上改變，只有當(dāng)增加的固體溶質(zhì)被輸送到加料口，并落入槽中后，溶液濃度才開始變化，也就是說溶液濃度變化落后溶質(zhì)變化一個(gè)輸送時(shí)間。假設(shè)皮帶輸送機(jī)的傳送速度是v，傳送距離為l ，則輸送時(shí)間為l/v，該時(shí)間就是純滯后時(shí)間。 純滯后對象的動(dòng)態(tài)特性與一階對象或二階對象的特性是類似的，數(shù)學(xué)模型的形式也基本相同，只不過輸出的響應(yīng)相對輸入來說向后平移了的時(shí)間。如果一階無純滯后對象的數(shù)學(xué)模型為 ( )( )( )dy tTy tKx tdt則一階純滯后對象的數(shù)學(xué)模型為 ） （2-30） ()()(dytTytK xtdt如果二階無純滯后對象的數(shù)學(xué)模型為 221212( )(