專(zhuān)題七 萬(wàn)有引力定律

1、 專(zhuān)題七專(zhuān)題七萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、開(kāi)普勒三大定一、開(kāi)普勒三大定律：律：1、軌道定律。、軌道定律。2、面積速率定律。、面積速率定律。3、周期定律。、周期定律。二、萬(wàn)有引力定律二、萬(wàn)有引力定律1、發(fā)現(xiàn)過(guò)程、發(fā)現(xiàn)過(guò)程2、文字表述：、文字表述：3、計(jì)算公式：、計(jì)算公式：4、的測(cè)定：的測(cè)定：卡文迪許卡文迪許扭稱實(shí)驗(yàn)扭稱實(shí)驗(yàn)三、三、應(yīng)用：應(yīng)用：1、重力加速度、重力加速度g。2、物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度、物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度3、衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。、衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。4、測(cè)天體的、測(cè)天體的質(zhì)量和密度質(zhì)量和密度5、人造地球衛(wèi)星、宇宙速度。、人造地球衛(wèi)星、宇宙速度。

2、第一定律（第一定律（1609年）：所有行星分別在大小不年）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)在這些同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 第二定律（第二定律（1609年）年） ：太陽(yáng)和行星的連線在相：太陽(yáng)和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。第三定律（第三定律（1619年）：所有行星橢圓軌道的半年）：所有行星橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。即：等。即：K是與太陽(yáng)質(zhì)量有關(guān)的恒量，與行星的質(zhì)量是與太陽(yáng)質(zhì)量有關(guān)的恒量，與行星的質(zhì)量無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。32RkT第一

3、定律（第一定律（1609年）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太年）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。陽(yáng)在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 第二定律（第二定律（1609年）年） ：太陽(yáng)和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。：太陽(yáng)和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。第三定律（第三定律（1619年）：所有行星橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方的年）：所有行星橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。即：比值都相等。即：K是與太陽(yáng)質(zhì)量有關(guān)的恒量，與行星的質(zhì)量無(wú)關(guān)。是與太陽(yáng)質(zhì)量有關(guān)的恒量，與行星的質(zhì)量無(wú)關(guān)。32RkT注意：注

4、意： 行星的橢圓軌道都很接近圓，所以行星的橢圓軌道都很接近圓，所以在中學(xué)階段分析和處理天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，常把在中學(xué)階段分析和處理天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，常把橢圓軌道作為圓軌道來(lái)處理。橢圓軌道作為圓軌道來(lái)處理。 開(kāi)普勒定律不僅適用于行星，也適開(kāi)普勒定律不僅適用于行星，也適用于衛(wèi)星，但這時(shí)用于衛(wèi)星，但這時(shí)k k應(yīng)與行星的質(zhì)量有關(guān)。應(yīng)與行星的質(zhì)量有關(guān)。例例1.1.有兩個(gè)人造地球衛(wèi)星，有兩個(gè)人造地球衛(wèi)星，它們繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半它們繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑之比是徑之比是1 1：2 2，則它們繞，則它們繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期之比為地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期之比為 。22:1牛頓的推導(dǎo)和設(shè)想牛頓的推導(dǎo)和設(shè)想太陽(yáng)提供行星運(yùn)動(dòng)需要的向心力：太陽(yáng)提供行

5、星運(yùn)動(dòng)需要的向心力：rvmF2Trv22232)(4rmTrF推測(cè)：推測(cè)：引力引力F與行星的質(zhì)量成正比，與行星的質(zhì)量成正比，與行星到太陽(yáng)的距離成反比。根與行星到太陽(yáng)的距離成反比。根據(jù)牛頓第三定律，行星吸引太陽(yáng)據(jù)牛頓第三定律，行星吸引太陽(yáng)的引力與太陽(yáng)吸引行星的力大小的引力與太陽(yáng)吸引行星的力大小相等，那么這個(gè)引力也應(yīng)與太陽(yáng)相等，那么這個(gè)引力也應(yīng)與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比。的質(zhì)量成正比。兩次簡(jiǎn)化：兩次簡(jiǎn)化： 行星運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道簡(jiǎn)化成圓形軌道。行星運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道簡(jiǎn)化成圓形軌道。 把天體看成質(zhì)點(diǎn)。把天體看成質(zhì)點(diǎn)。2,rmmF 2,rmmGF 自然界中任何兩個(gè)物體都是相同吸引的，自然界中任何兩個(gè)物體都是相同吸引的

6、，引力大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量成正比，跟引力大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量成正比，跟它們的距離平方成反比。它們的距離平方成反比。 萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律122m mFGr2211/1067. 6kgmNG引力常量引力常量適用條件：適用條件： 萬(wàn)有引力只適用于萬(wàn)有引力只適用于質(zhì)點(diǎn)間引力大小的計(jì)算，當(dāng)兩物引力大小的計(jì)算，當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于每個(gè)物體的尺寸時(shí)，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于每個(gè)物體的尺寸時(shí)，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，直接使用萬(wàn)有引力計(jì)算。直接使用萬(wàn)有引力計(jì)算。 當(dāng)兩物體是當(dāng)兩物體是質(zhì)量分布均勻的球體時(shí)，它們間的引力的球體時(shí)，它們間的引力也可由公式直接計(jì)算，但式中的也可由公式直接計(jì)算，但式中的r

7、是是兩球心間的距離。 當(dāng)研究物體不能看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可假想把物體當(dāng)研究物體不能看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可假想把物體分割成無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求出一個(gè)物體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)與另一物體上每一，求出一個(gè)物體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)與另一物體上每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力然后求合力。個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力然后求合力。122m mFGr例例2 2. .設(shè)地球的質(zhì)量為設(shè)地球的質(zhì)量為M M，赤道半，赤道半徑徑R R，自轉(zhuǎn)周期，自轉(zhuǎn)周期T T，則地球赤道上，則地球赤道上質(zhì)量為質(zhì)量為m m的物體所受重力的大小的物體所受重力的大小為？（式中為？（式中G G為萬(wàn)有引力恒量）為萬(wàn)有引力恒量）GMm/RGMm/R2 2-4-4 2 2mR/TmR/T2 2三、應(yīng)用：三、應(yīng)用：1

8、、重力加速度、重力加速度g。2、物體、物體隨地球自轉(zhuǎn)隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度。的向心加速度。3、衛(wèi)星、衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。的向心加速度。4、測(cè)天體的質(zhì)量和密度、測(cè)天體的質(zhì)量和密度5、人造地球衛(wèi)星、宇宙速度。、人造地球衛(wèi)星、宇宙速度。天體的重力加速度天體的重力加速度gmhRGMmg2)/( MRhF引引m物體在天體表面上方只受天物體在天體表面上方只受天體的引力作用，自由下落時(shí)體的引力作用，自由下落時(shí)的加速度就是天體的重力加的加速度就是天體的重力加速度速度g 。2hRGM)( 討論：討論：1、天體的重力加速度并非恒量。隨著距地表高度的、天體的重力加速度并非恒量。隨著距地

9、表高度的增大，重力加速度值會(huì)減小增大，重力加速度值會(huì)減小 2、如果、如果hR , 或或h=0， 則則 ： 即為天體表面（即為天體表面（h=0）的重力加速度）的重力加速度.22RGMhRGMg )(重力重力mg萬(wàn)有引力：萬(wàn)有引力：R2RmMGF物地r=Rcos緯度越高，緯度越高，f向向越小，越小，因此重力越大。因此重力越大。同一緯度處，離地面同一緯度處，離地面越高，越高，a自自越大。越大。a自自= r2 f向向 = m物物r2ra自自= r 2a向向F引引MmF引引=m a向向r2rGMa 向天體的重力加速度天體的重力加速度gmhRGMmg2)/( MRhF引引m2hRGM)( 衛(wèi)星繞地球作圓周

10、運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的向心加速度2GMgR黃代換：金2Mma=mmFGr222v2=mr=mrrT一條龍：(2)“(2)“天上天上”：萬(wàn)有引力提供向心：萬(wàn)有引力提供向心力力（1 1）“人間人間”：萬(wàn)有引力近似等于重：萬(wàn)有引力近似等于重力力1、利用圓周運(yùn)動(dòng)求中心天體的質(zhì)量、利用圓周運(yùn)動(dòng)求中心天體的質(zhì)量F引引Mmr2T2mr)( 232GTr4M 22mrrMmG 2、利用星球表面的重力加速度求其質(zhì)量、利用星球表面的重力加速度求其質(zhì)量22RGMhRGMg )(GgRM2 在星球表面：在星球表面：人造地球衛(wèi)星、宇宙速度。人造地球衛(wèi)星、宇宙速度。1、運(yùn)行軌道運(yùn)行軌道的中心必須是地球的球

11、心的中心必須是地球的球心，才能保證提供的萬(wàn)有引力和衛(wèi)星作才能保證提供的萬(wàn)有引力和衛(wèi)星作圓周圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力相等。運(yùn)動(dòng)需要的向心力相等。2、運(yùn)行速度、加速度、周期、角速度。、運(yùn)行速度、加速度、周期、角速度。3、同步衛(wèi)星。、同步衛(wèi)星。4、 三個(gè)宇宙速度三個(gè)宇宙速度5、衛(wèi)星中的失重。、衛(wèi)星中的失重。繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星中的物體處于完全中的物體處于完全失重狀態(tài)失重狀態(tài)赤道軌道赤道軌道極地軌道極地軌道傾斜傾斜軌道軌道同步同步軌道軌道自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)軸a向向F引引Mmr思路：萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星思路：萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力rvmrMmG 22 22T2mrmr)

12、( rGMv GMr232T 3rGMrv 22rGMrva 能不能發(fā)射一顆周期為能不能發(fā)射一顆周期為83分鐘的地球衛(wèi)星？分鐘的地球衛(wèi)星？22T2mRRMmG)min( 地球衛(wèi)星的最小周期為地球衛(wèi)星的最小周期為T(mén)min ，則：，則：分）(.)(.)(.min984s5094108951067610637014322T241133GMR3 1、“同步同步”的含義的含義在地球的上空相對(duì)地球靜止，與地球自轉(zhuǎn)在地球的上空相對(duì)地球靜止，與地球自轉(zhuǎn)同步同步2、同步衛(wèi)星的用途：、同步衛(wèi)星的用途：主要用于通信，轉(zhuǎn)播電視、電話等信號(hào)主要用于通信，轉(zhuǎn)播電視、電話等信號(hào)3、同步衛(wèi)星的特點(diǎn)、同步衛(wèi)星的特點(diǎn)（1）同步衛(wèi)

13、星與地面相對(duì)靜止，與地球自轉(zhuǎn)）同步衛(wèi)星與地面相對(duì)靜止，與地球自轉(zhuǎn)同步，周期為同步，周期為24h。（2）同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相）同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。同。（3）同步衛(wèi)星定點(diǎn)在赤道正上方，即軌道平）同步衛(wèi)星定點(diǎn)在赤道正上方，即軌道平面和赤道共面，離地高度、運(yùn)行速率是唯面和赤道共面，離地高度、運(yùn)行速率是唯一確定的。一確定的。（4）定線速度大小（即）定線速度大小（即V=3.1 103m/s）同步衛(wèi)星同步衛(wèi)星的高度的高度22T2hRmhRMmG)()( R4GMTh322 ：則如利用地面重力加速度2RGMg h h引力引力mR4gTRh3222 可見(jiàn)：同步衛(wèi)星的離地高度可見(jiàn)：

14、同步衛(wèi)星的離地高度是唯一確定的，線速度大小是唯一確定的，線速度大小也唯一確定了。代入具體數(shù)也唯一確定了。代入具體數(shù)據(jù)可得：據(jù)可得：h=35800km宇宙速度宇宙速度1、第一宇宙速度（環(huán)繞速度）人造地球衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速度，叫做第一宇宙速度第一宇宙速度。 也就是在地面上發(fā)射衛(wèi)星，使衛(wèi)星進(jìn)入地也就是在地面上發(fā)射衛(wèi)星，使衛(wèi)星進(jìn)入地面附近軌道需要的最小速度（相對(duì)于地心）。面附近軌道需要的最小速度（相對(duì)于地心）。sm1097v 3103761089510676RGM62411/. 地地練習(xí)：推導(dǎo)第一宇宙速度的練習(xí)：推導(dǎo)第一宇宙速度的另一表達(dá)式：另一表達(dá)式：地gRv 所以第一

15、宇宙速度又叫最小發(fā)射速度，最大環(huán)繞速所以第一宇宙速度又叫最小發(fā)射速度，最大環(huán)繞速度。度。如果在地球上發(fā)射衛(wèi)星，使得星進(jìn)入地面附近如果在地球上發(fā)射衛(wèi)星，使得星進(jìn)入地面附近軌道的速度軌道的速度等于或大于11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星就會(huì)脫離時(shí)，衛(wèi)星就會(huì)脫離地球的吸引，不再繞地球運(yùn)行，而繞太陽(yáng)運(yùn)行，成地球的吸引，不再繞地球運(yùn)行，而繞太陽(yáng)運(yùn)行，成為為 “ “人造行星人造行星”，這個(gè)速度叫第二宇宙速度。，這個(gè)速度叫第二宇宙速度。2、第二宇宙速度、第二宇宙速度（脫離速度）（脫離速度）如果在地球上發(fā)射人造天體，使其進(jìn)入地如果在地球上發(fā)射人造天體，使其進(jìn)入地面附近軌道的速度面附近軌道的速度等于或大于16.7km/s

16、16.7km/s，物體，物體就能擺脫了太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外就能擺脫了太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙空間去，將成為的宇宙空間去，將成為“人造恒星人造恒星”，我們把，我們把這個(gè)速度叫第三宇宙速度。這個(gè)速度叫第三宇宙速度。3 3、第三宇宙速度、第三宇宙速度（逃逸速度）（逃逸速度）如果人造地球衛(wèi)星進(jìn)入地面附近軌道如果人造地球衛(wèi)星進(jìn)入地面附近軌道的速度為：的速度為：7.9km/sv11.2km/s，它繞，它繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓。地球運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓。V1=7.9km/s地球地球V2=11.2km/sV3=16.7km/s7.9km/sv11.2km/sF引引Mmr衛(wèi)星中的失重衛(wèi)星中的失

17、重22rGMaamrMmG 向向衛(wèi)星衛(wèi)星支持力支持力F衛(wèi)星衛(wèi)星對(duì)整個(gè)衛(wèi)星，有：對(duì)整個(gè)衛(wèi)星，有：對(duì)衛(wèi)星中的物體對(duì)衛(wèi)星中的物體m，有：，有：0FrGMmmaFrMmG22 向在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星。它們圍繞兩球連線上的某一恒星稱為雙星。它們圍繞兩球連線上的某一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。由于兩星間的引力而使它們點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。由于兩星間的引力而使它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中的距離保持不變。已知兩星球心間在運(yùn)動(dòng)中的距離保持不變。已知兩星球心間相距相距L，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為M1和和M2，求它們的角速，求它們的角速度。度。 例：雙星運(yùn)動(dòng)例：雙星運(yùn)動(dòng)解答解：解：如圖，設(shè)如圖，

18、設(shè)M1的軌道半徑為的軌道半徑為r1，M2的軌道半徑為的軌道半徑為r2，由于兩星繞，由于兩星繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)為設(shè)為，根據(jù)牛頓第二定律有：，根據(jù)牛頓第二定律有： 而而 以上三式聯(lián)立解得：以上三式聯(lián)立解得：12rrL121()G MMLL211221rMLMMG 222221rMLMMG 例題例題1、質(zhì)量為、質(zhì)量為100kg的物體在地球的赤道上，隨地球一的物體在地球的赤道上，隨地球一起自轉(zhuǎn)。求：起自轉(zhuǎn)。求：(1)、地球自轉(zhuǎn)的角速度、地球自轉(zhuǎn)的角速度。(2)、物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度、物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度a、線速度、線速度v、物體隨、物體隨地球自轉(zhuǎn)所需

19、的向力地球自轉(zhuǎn)所需的向力(3)、地球?qū)ξ矬w的引力、地球?qū)ξ矬w的引力F引引。(4)、地面對(duì)物體的支持力、地面對(duì)物體的支持力FN。(5)、如要使赤道上的物體完全失重，地球自轉(zhuǎn)的角速、如要使赤道上的物體完全失重，地球自轉(zhuǎn)的角速度度需為多大？這時(shí)一晝夜將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)？需為多大？這時(shí)一晝夜將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)？M 地地=5.8910-24kg R地地=6370km)/(.srad10277360024215 、)(.).()/(.)/(.).(N37310277106370100mRfsm46310277106370RVsm1037310277106370Ra2253253222532 向、F引FNR)()(.N9681063701001089510676RMmGF32324112 引、)(.N695443968maFFmaFF4NN 引引示，由牛頓定律得：、物體的受力分析如圖202NmRRMmG0F5 ：即要求自轉(zhuǎn)角速度滿足、物體完全失重時(shí)，,)/(.srad10231RGM230 T0=510.6s=0.142