第12講 定積分

1、定積分的概念及幾何意義1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A)(xfy ( )dbaf xx積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和A定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在

2、baxf定理定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) (證明略).,)(可積在baxf(設(shè)所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5則.0d)(xxfba,0)(xfxxfbad)(xxfbad)()(ba 推論推論1. 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(推論推論3. 若在 a , b 上( ),mf xM則()( )(d

3、)bamabaf xxM b.2dsin120 xxx證證: 設(shè))(xf,sinxx則在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx, ,)(baCxf若則至少存在一點(diǎn), ,ba使)(d)(abfxxfbaoxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf 積分中值定理對(duì)21:( )1,2( )f xf x dx 例在區(qū)間上的平均值是2,則積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), ,)(baCxf則變上

4、限函數(shù)xattfxd)()(定理定理1. 若.,)(上的一個(gè)原函數(shù)在是baxf( )( ),xf x即( )0a且1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導(dǎo):bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 .)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解

5、:,0sin0 xxax時(shí),0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x上的一個(gè)原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d)(

6、aFbFxxfba( 牛頓 - 萊布尼茲公式) 定理定理2.函數(shù) , 則 牛萊公式的意義：使定積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為不定積分，只需求出原函數(shù)即可。 因此，求解不定積分的方法均可用來解決定積分.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例5. 計(jì)算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin的面積 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysin二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法定理定理1. 設(shè)函數(shù), ,)(baCxf單值函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t則1) 當(dāng) 1 時(shí)收斂 ; p