經(jīng)典小學(xué)奧數(shù)題及解析

1、經(jīng)典小學(xué)奧數(shù)題80道及解析19六年綜合奧數(shù)題 工程問題 1甲乙兩個水管單獨(dú)開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨(dú)開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？ 解： 1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率 9/80545/80表示5小時后進(jìn)水量 1-45/8035/80表示還要的進(jìn)水量 35/80（9/80-1/10）35表示還要35小時注滿 答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。 2修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工

2、作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊要合作幾天？ 解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。 又因?yàn)?，要求“兩隊合作的天?shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實(shí)在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。 設(shè)合作時間為x天，則甲獨(dú)做時間為（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x1 x10 答：甲乙最短合作10天 3一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙

3、、丙合做需5小時完成。現(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時？ 解： 由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量 （1/4+1/5）29/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。 根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。 所以19/101/10表示乙做6-42小時的工作量。 1/1021/20表示乙的工作效率。 11/2020小時表示乙單獨(dú)完成需要20小時。 答：乙單獨(dú)完成需要20小時。 4一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲

4、做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨(dú)做這項工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項工程要多少天完成？ 解：由題意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲0.51 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天） 1/甲1/乙+1/甲0.5（因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁慷枷嗟龋?得到1/甲1/乙2 又因?yàn)?/乙1/17 所以1/甲2/17，甲等于1728.5天 5師徒倆人加工同樣

5、多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？ 答案為300個 120（4/52）300個 可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。 6一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？ 答案是15棵 算式：1（1/6-1/10）15棵 7一個池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。

6、現(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？ 答案45分鐘。 1（1/20+1/30）12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。 1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的水。 1/2181/36 表示甲每分鐘進(jìn)水 最后就是1（1/20-1/36）45分鐘。 8某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨(dú)做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？ 答案為6天 解：

7、由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨(dú)做，恰好如期完成，”可知： 乙做3天的工作量甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2 甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3 時間比的差是1份 實(shí)際時間的差是3天 所以3（3-2）26天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期 方程方法： 1/x+1/（x+2）2+1/（x+2）（x-2）1 解得x6 9兩根同樣長的蠟燭，點(diǎn)完一根粗蠟燭要2小時，而點(diǎn)完一根細(xì)蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點(diǎn)燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點(diǎn)了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細(xì)蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？ 答案為40分鐘。 解：設(shè)

8、停電了x分鐘 根據(jù)題意列方程 1-1/120*x（1-1/60*x）*2 解得x40 二雞兔同籠問題 1雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條,問雞與兔各有幾只? 解： 4*100400，400-0400 假設(shè)都是兔子，一共有400只兔子的腳，那么雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。 400-28372 實(shí)際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？ 4+26 這是因?yàn)橹灰獙⒁恢煌米訐Q成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會減少4只（從400只變?yōu)?96只），雞的總腳數(shù)就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數(shù)就會少4+26只（也就是原來的相差數(shù)是400-0400，現(xiàn)在的相差數(shù)為

9、396-2394，相差數(shù)少了400-3946） 372662 表示雞的只數(shù)，也就是說因?yàn)榧僭O(shè)中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數(shù)從400改為28，一共改了372只 100-6238表示兔的只數(shù) 三數(shù)字?jǐn)?shù)位問題 1把1至2005這2005個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù)123456789.2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少? 解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)也能被9整除；如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。 解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除 依次類推：11999這些數(shù)的

10、個位上的數(shù)字之和可以被9整除 1019，20299099這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+90=450 它有能被9整除 同樣的道理，100900 百位上的數(shù)字之和為4500 同樣被9整除 也就是說1999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除； 同樣的道理：10001999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位 上的數(shù)字之和可以被9整除（這里千位上的“1”還沒考慮，同時這里我們少200020012002200320042005 從10001999千位上一共999個“1”的和是999，也能整除； 200020012002200320042005的

11、各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。 最后答案為余數(shù)為0。 2A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值. 解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不會變了，只需求后面的最小值，此時 (A-B)/(A+B) 最大。 對于 B / (A+B) 取最小時，(A+B)/B 取最大， 問題轉(zhuǎn)化為求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100 3已知A.B.C都是非

12、0自然數(shù),A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的準(zhǔn)確值是多少? 答案為6.375或6.4375 因?yàn)锳/2 + B/4 + C/168A+4B+C/166.4， 所以8A+4B+C102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102，也有可能是103。 當(dāng)是102時，102/166.375 當(dāng)是103時，103/166.4375 4一個三位數(shù)的各位數(shù)字 之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào),得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù). 答案為476 解：設(shè)原數(shù)個位為a，則十位為a+1，

13、百位為16-2a 根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a100（16-2a）-10a-a198 解得a6，則a+17 16-2a4 答：原數(shù)為476。 5一個兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù). 答案為24 解：設(shè)該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a 7a+24300+a a24 答：該兩位數(shù)為24。 6把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個和是多少? 答案為121 解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a 它們的和就是10a+b+10b+a11（a+b） 因?yàn)檫@個和是一個平方數(shù)，

14、可以確定a+b11 因此這個和就是1111121 答：它們的和為121。 7一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù). 答案為85714 解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù)） 再設(shè)abcde（五位數(shù)）為x，則原六位數(shù)就是10x+2，新六位數(shù)就是200000+x 根據(jù)題意得，（200000+x）310x+2 解得x85714 所以原數(shù)就是857142 答：原數(shù)為857142 8有一個四位數(shù),個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就

15、比原數(shù)增加2376,求原數(shù). 答案為3963 解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b12，a+c9 根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察 abcd 2376 cdab 根據(jù)d+b12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。 再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當(dāng)d3，b9；或d8，b4時成立。 先取d3，b9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。 根據(jù)a+c9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。 再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c6，a3時成立。 再代入豎式的千位，成立。 得到：abcd3963 再取d8，b4代入

16、豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。 9有一個兩位數(shù),如果用它去除以個位數(shù)字,商為9余數(shù)為6,如果用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個兩位數(shù). 解：設(shè)這個兩位數(shù)為ab 10a+b9b+6 10a+b5（a+b）+3 化簡得到一樣：5a+4b3 由于a、b均為一位整數(shù) 得到a3或7，b3或8 原數(shù)為33或78均可以 10如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,那么在經(jīng)過28799.99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點(diǎn)幾分? 答案是10：20 解： （287999（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21，因?yàn)槭孪扔嬎銜r

17、加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20 四排列組合問題 1有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（ ） A 768種 B 32種 C 24種 D 2的10次方中 解： 根據(jù)乘法原理，分兩步： 第一步是把5對夫妻看作5個整體，進(jìn)行排列有54321120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€首尾相接的圈，就會產(chǎn)生5個5個重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120524種。 第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2222232種 綜合兩步，就有2432768種。 2 若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現(xiàn)的錯誤共有 ( ) A 119種 B 36種 C 59

18、種 D 48種 解： 5全排列5*4*3*2*1=120 有兩個l所以120/2=60 原來有一種正確的所以60-1=59 五容斥原理問題 1 有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根據(jù)容斥原理最小值68+43-10011 最大值就是含鐵的有43種 2在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學(xué)生參加競賽,每個學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中

19、解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根據(jù)“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。 分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a12325 由（2）知：a2+a23（a3+ a23）2 由（3）知：a12+a13+a123a11 由（4）知：a1a2+a3 再由得a23a2a32 再由得a12+a

20、13+a123a2+a31 然后將代入中，整理得到 a24+a326 由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解： 當(dāng)a26、5、4、3、2、1時，a32、6、10、14、18、22 又根據(jù)a23a2a32可知：a2a3 因此，符合條件的只有a26，a32。 然后可以推出a18，a12+a13+a1237，a232，總?cè)藬?shù)8+6+2+7+225，檢驗(yàn)所有條件均符。 故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a26人。 3一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少

21、為71。 假設(shè)一共有100人考試 100-955 100-8020 100-7921 100-7426 100-8515 5+20+21+26+1587（表示5題中有1題做錯的最多人數(shù)） 87329（表示5題中有3題做錯的最多人數(shù)，即不及格的人數(shù)最多為29人） 100-2971（及格的最少人數(shù)，其實(shí)都是全對的） 及格率至少為71 六抽屜原理、奇偶性問題 1一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？ 解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出

22、5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。 把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只） 答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。 2有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣？ 答案為21 解： 每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取

23、法. 當(dāng)有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣: 當(dāng)有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣. 3某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍(lán)色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？ 解：需要分情況討論，因?yàn)闊o法確定其中黑球與白球的個數(shù)。 當(dāng)黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，那么就是： 6*4+10+1=35(個) 如果黑球或白球其中有等于7個的，那么就是： 6*5+3+134（個） 如果黑球或白球其中有等于8個的，那么就是： 6*5+2+133 如果黑球或白球其中有等于9個的，那么就是： 6*5+1

24、+132 4地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經(jīng)過若干次操作，使得這四堆石子的個數(shù)都相同?（如果能請說明具體操作，不能則要說明理由） 不可能。 因?yàn)榭倲?shù)為1+9+15+3156 56/414 14是一個偶數(shù) 而原來1、9、15、31都是奇數(shù)，取出1個和放入3個也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇數(shù)，不可能得到偶數(shù)（14個）。 七路程問題 1狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追上它？ 解： 根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長為7

25、x米，則狗每步長為4x米。 根據(jù)“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米21x米，則狗跑5*4x20米。 可以得出馬與狗的速度比是21x：20x21：20 根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-201，現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是 30（21-20）21630米 2甲乙輛車同時從a b兩地相對開出，幾小時后再距中點(diǎn)40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求a b 兩地相距多少千米？ 答案720千米。 由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份）

26、，兩車相差2份。又因?yàn)閮绍囋谥悬c(diǎn)40千米處相遇，說明兩車的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）（10-8）（10+8）720千米。 3在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點(diǎn)按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點(diǎn)同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？ 答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。 解：60012=50，表示哥哥、弟弟的速度差 6004=150，表示哥哥、弟弟的速度和 （50+150）2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù) （150-50）/2=50，表示較慢

27、的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù) 600100=6分鐘，表示跑的快者用的時間 600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間 4慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？ 答案為53秒 算式是（140+125)(22-17)=53秒 可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點(diǎn)追及慢車車頭的點(diǎn)，因此追及的路程應(yīng)該為兩個車長的和。 5在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相

28、遇在起跑線前幾米？ 答案為100米 300（5-4.4）500秒，表示追及時間 55002500米，表示甲追到乙時所行的路程 25003008圈100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。 6一個人在鐵道邊，聽見遠(yuǎn)處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數(shù)） 答案為22米/秒 算式：1360(1360340+57）22米/秒 關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出13603404秒的路程。也就是1360米一共用了4+

29、5761秒。 7獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。 正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。 解： 由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*35/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a6：5，也就是說當(dāng)獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完 8 AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4

30、:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘? 答案：18分鐘 解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y 列式40x+40y=1 x:y=5:4 得x=1/72 y=1/90 走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘 故得解 9甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？ 答案是300千米。 解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇

31、，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。 因此360（1+1/5）300千米 從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現(xiàn)在甲乙分別AB兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時距AB兩地中點(diǎn)2千米。如果二人分別至B地，A地后都立即折回。第二次相遇點(diǎn)第一次相遇點(diǎn)之間有（）千米 10一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？ 解：（1/6-1/8）21/48表示水速的分率 21/4896千

32、米表示總路程 11快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。 解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 時間比為3：4 所以快車行全程的時間為8/4*36小時 6*33198千米 12小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米? 解： 把路程看成1，得到時間系數(shù) 去時時間系數(shù)：1/312+2/330 返回時間系數(shù)：3/512+2/530 兩者之差：（3/512

33、+2/530）-（1/312+2/330）=1/75相當(dāng)于1/2小時 去時時間：1/2（1/312）1/75和1/2（2/330）1/75 路程：121/2（1/312）1/75+301/2（2/330）1/75=37.5（千米） 八比例問題 1甲乙兩人在河邊釣魚,甲釣了三條,乙釣了兩條,正準(zhǔn)備吃,有一個人請求跟他們一起吃,于是三人將五條魚平分了,為了表示感謝,過路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快 答案：甲收8元，乙收2元。 解： “三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚總價值為30元，那么每條魚價值6元。 又因?yàn)椤凹揍灹巳龡l”，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*618元，“乙釣了兩條

34、”，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*612元。 而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以 甲還可以收回18-108元 乙還可以收回12-102元 剛好就是客人出的錢。 2一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售價，因此，每份利潤下降了5分之2，那么，今年這種商品的成本占售價的幾分之幾？ 答案22/25 最好畫線段圖思考： 把去年原來成本看成20份，利潤看成5份，則今年的成本提高1/10，就是22份，利潤下降了2/5，今年的利潤只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤的2份。售價都是25份。 所以，今年的成本占售價的22/25。 3甲乙兩車分別從A.B兩地出發(fā),相向而行,出發(fā)時,甲.乙的速度

35、比是5:4,相遇后,甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣,當(dāng)甲到達(dá)B地時,乙離A地還有10千米,那么A.B兩地相距多少千米? 解： 原來甲.乙的速度比是5:4 現(xiàn)在的甲：5（1-20）4 現(xiàn)在的乙：4（1+20）4.8 甲到B后，乙離A還有：5-4.80.2 總路程：100.2（4+5）450千米 4一個圓柱的底面周長減少25%，要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來的高度比是多少？ 答案為64：27 解：根據(jù)“周長減少25”，可知周長是原來的3/4，那么半徑也是原來的3/4，則面積是原來的9/16。 根據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來的4/3。 體積底面積高 現(xiàn)在的高是4/39/16

36、64/27，也就是說現(xiàn)在的高是原來的高的64/27 或者現(xiàn)在的高：原來的高64/27：164：27 5某市場運(yùn)來香蕉、蘋果、橘子和梨四種水果其中橘子、蘋果共30噸香蕉、橘子和梨共45噸。橘子正好占總數(shù)的13分之2。一共運(yùn)來水果多少噸？ 第二題：答案為65噸 橘子+蘋果30噸 香蕉+橘子+梨45噸 所以橘子+蘋果+香蕉+橘子+梨75噸 橘子（香蕉+蘋果+橘子+梨）2/13 說明：橘子是2份，香蕉+蘋果+橘子+梨是13份 橘子+香蕉+蘋果+橘子+梨一共是2+1315份 過橋問題（1） 1. 一列火車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長140米，火車每分鐘行400米，這列火車通過長江大橋需

37、要多少分鐘？ 分析：這道題求的是通過時間。根據(jù)數(shù)量關(guān)系式，我們知道要想求通過時間，就要知道路程和速度。路程是用橋長加上車長?；疖嚨乃俣仁且阎獥l件。 總路程： （米） 通過時間： （分鐘） 答：這列火車通過長江大橋需要17.1分鐘。 2. 一列火車長200米，全車通過長700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？ 分析與解答：這是一道求車速的過橋問題。我們知道，要想求車速，我們就要知道路程和通過時間這兩個條件。可以用已知條件橋長和車長求出路程，通過時間也是已知條件，所以車速可以很方便求出。 總路程： （米） 火車速度： （米） 答：這列火車每秒行30米。 3. 一列火車長240米，這列火車每

38、秒行15米，從車頭進(jìn)山洞到全車出山洞共用20秒，山洞長多少米？ 分析與解答：火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的?；疖囶^進(jìn)山洞就相當(dāng)于火車頭上橋；全車出洞就相當(dāng)于車尾下橋。這道題求山洞的長度也就相當(dāng)于求橋長，我們就必須知道總路程和車長，車長是已知條件，那么我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出總路程。 總路程： 山洞長： （米） 答：這個山洞長60米。 和倍問題 1. 秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各是多少歲？ 我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當(dāng)于秦奮年齡的5倍是40歲，也就是（41）倍，也可以理解為5

39、份是40歲，那么求1倍是多少，接著再求4倍是多少？ （1）秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是：415（倍） （2）秦奮的年齡：4058歲 （3）媽媽的年齡：8432歲 綜合：40（41）8歲 8432歲 為了保證此題的正確，驗(yàn)證 （1）83240歲 （2）3284（倍） 計算結(jié)果符合條件，所以解題正確。 2. 甲乙兩架飛機(jī)同時從機(jī)場向相反方向飛行，3小時共飛行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它們的速度各是多少？ 已知兩架飛機(jī)3小時共飛行3600千米，就可以求出兩架飛機(jī)每小時飛行的航程，也就是兩架飛機(jī)的速度和。看圖可知，這個速度和相當(dāng)于乙飛機(jī)速度的3倍，這樣就可以求出乙飛機(jī)的速度，再根據(jù)乙飛機(jī)的速度求出

40、甲飛機(jī)的速度。 甲乙飛機(jī)的速度分別每小時行800千米、400千米。 3. 弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？ 思考：（1）哥哥在給弟弟課外書前后，題目中不變的數(shù)量是什么？ （2）要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？ （3）如果把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時（哥哥給弟弟課外書后）弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的幾倍？ 思考以上幾個問題的基礎(chǔ)上，再求哥哥應(yīng)該給弟弟多少本課外書。根據(jù)條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書。如果我們把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的2倍，也就是兄弟倆共有的倍

41、數(shù)相當(dāng)于哥哥剩下的課外書的3倍，而兄弟倆人課外書的總數(shù)始終是不變的數(shù)量。 （1）兄弟倆共有課外書的數(shù)量是202545。 （2）哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數(shù)是213。 （3）哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45315。 （4）哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是251510。 試著列出綜合算式： 4. 甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運(yùn)出30噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？ 根據(jù)甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運(yùn)出30噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，可求出這時甲、乙兩庫共存糧多少噸。根據(jù)“這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍”，如果這時把乙?guī)齑婕Z作為1倍

42、，那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當(dāng)于乙存糧的3倍。于是求出這時乙?guī)齑婕Z多少噸，進(jìn)而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸。最后就可求出甲庫原來存糧多少噸。 甲庫原存糧130噸，乙?guī)煸婕Z40噸。 列方程組解應(yīng)用題（一） 1. 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個，一個盒身和兩個盒底配成一個罐頭盒，現(xiàn)有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才能使盒身與盒底正好配套？ 依據(jù)題意可知這個題有兩個未知量，一個是制盒身的鐵皮張數(shù)，一個是制盒底的鐵皮張數(shù)，這樣就可以用兩個未知數(shù)表示，要求出這兩個未知數(shù)，就要從題目中找出兩個等量關(guān)系，列出兩個方程，組在一起，就是方程組。 兩個等量關(guān)系是：A做盒身張數(shù)+做

43、盒底的張數(shù)=鐵皮總張數(shù) B制出的盒身數(shù)2=制出的盒底數(shù) 用86張白鐵皮做盒身，64張白鐵皮做盒底。 奇數(shù)與偶數(shù)（一） 其實(shí)，在日常生活中同學(xué)們就已經(jīng)接觸了很多的奇數(shù)、偶數(shù)。 凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)；凡是不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)，大于零的奇數(shù)又叫單數(shù)。 因?yàn)榕紨?shù)是2的倍數(shù)，所以通常用 這個式子來表示偶數(shù)（這里 是整數(shù)）。因?yàn)槿魏纹鏀?shù)除以2其余數(shù)都是1，所以通常用式子 來表示奇數(shù)（這里 是整數(shù)）。 奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質(zhì)，常用的有： 性質(zhì)1 兩個偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù)。 例如：8+4=12，8-4=4等。 兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。 例如：9+3=12，9-3=6等。 奇數(shù)與

44、偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。 例如：9+4=13，9-4=5等。 單數(shù)個奇數(shù)的和是奇，雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)，幾個偶數(shù)的和仍是偶數(shù)。 性質(zhì)2 奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。 偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù)。 性質(zhì)3 任何一個奇數(shù)一定不等于任何一個偶數(shù)。 1. 有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉(zhuǎn)其中的4張，那么，他能在翻動若干次后，使5張牌的畫面都向下嗎？ 同學(xué)們可以試驗(yàn)一下，只有將一張牌翻動奇數(shù)次，才能使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳?。要想?張牌的畫面都向下，那么每張牌都要翻動奇數(shù)次。 5個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以翻動的總張數(shù)為奇數(shù)時才能使5張牌的牌面都向下。而小明每次翻動4張，不管翻多少次，翻動的總張數(shù)都是偶數(shù)。 所以無論他翻

45、動多少次，都不能使5張牌畫面都向下。 2. 甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子，李平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒；如果兩個棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個棋子，這個棋子是什么顏色的？ 不論李平從甲盒中拿出兩個什么樣的棋子，他總會把一個棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子數(shù)就減少一個，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一個棋子。 如果他拿出的是兩個黑子，那么甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個。否則甲盒子中的黑子數(shù)不變。也就是說，李平每次從甲盒子拿出的黑子

46、數(shù)都是偶數(shù)。由于181是奇數(shù)，奇數(shù)減偶數(shù)等于奇數(shù)。所以，甲盒中剩下的黑子數(shù)應(yīng)是奇數(shù)，而不大于1的奇數(shù)只有1，所以甲盒里剩下的一個棋子應(yīng)該是黑子。 奧賽專題 - 稱球問題 例1 有4堆外表上一樣的球，每堆4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。 解 ：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。 2 有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次（不用砝碼），把次品球找出來。 解 ：第一次：把27個球分為三

47、堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。 第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中較輕的那一堆。 第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。 例3 把10個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來。 解：把10個球分成3個、3個、3個、1個四組，將四組球及其重量分別用A、B、C、D表示。把A、B兩組分別放在天平的兩個盤上去稱，則 （1

48、）若A=B，則A、B中都是正品，再稱B、C。如B=C，顯然D中的那個球是次品；如BC，則次品在C中且次品比正品輕，再在C中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論。如BC，仿照BC的情況也可得出結(jié)論。 （2）若AB，則C、D中都是正品，再稱B、C，則有B=C，或BC（BC不可能，為什么？）如B=C，則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論；如BC，仿前也可得出結(jié)論。 （3）若AB，類似于AB的情況，可分析得出結(jié)論。 奧賽專題 - 抽屜原理 【例1】一個小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個月過生日。為什么？ 【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。

49、如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進(jìn)12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個月過生日。 【例 2】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？ 【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有

50、兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。 【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？ 【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。 按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn)2只，又可取得第3雙。所以，至少要取622=10只襪子，就一定會配成3

51、雙。 思考：1.能用抽屜原理2，直接得到結(jié)果嗎？ 2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應(yīng)取出多少只？ 3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？ 【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍(lán)色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？ 【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。 最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍(lán)色球、2個綠色球。 接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）3=9個，即至少應(yīng)取出10個球，就可以保證

52、取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。 故總共至少應(yīng)取出105=15個球，才能符合要求。 思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？ 當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。 奧賽專題 - 還原問題 【例1】某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。這時他的存折上還剩1250元。他原有存款多少元？ 【分析】從上面那個“重新包裝”的事例中，我們應(yīng)受到啟發(fā)：要想還原，就得反過來做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，

53、從而“余下的一半”是 1250+100=1350（元） 余下的錢（余下一半錢的2倍）是： 13502=2700（元） 用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。綜合算式是： （1250+100）2+502=5500（元） 還原問題的一般特點(diǎn)是：已知對某個數(shù)按照一定的順序施行四則運(yùn)算的結(jié)果，或把一定數(shù)量的物品增加或減少的結(jié)果，要求最初（運(yùn)算前或增減變化前）的數(shù)量。解還原問題，通常應(yīng)當(dāng)按照與運(yùn)算或增減變化相反的順序，進(jìn)行相應(yīng)的逆運(yùn)算。 【例2】有26塊磚，兄弟2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又 從哥哥那里拿來一半。哥哥不

54、讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？ 【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊。只要解一個“和差問題”就知道：哥哥挑“（26+2）2=14”塊，弟弟挑“26-14=12”塊。 提示：解還原問題所作的相應(yīng)的“逆運(yùn)算”是指：加法用減法還原，減法用加法還原，乘法用除法還原，除法用乘法還原，并且原來是加（減）幾，還原時應(yīng)為減（加）幾，原來是乘（除）以幾，還原時應(yīng)為除（乘）以幾。 對于一些比較復(fù)雜的還原問題，要學(xué)會列表，借助表格倒推，既能理清數(shù)量關(guān)系，又便于驗(yàn)算。 奧賽專題 - 雞兔同籠問題 例1 雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？ 分析 ：如果 46只都是兔，一共應(yīng)有 446=18