分層法-唐云澤教材

1、1結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 超靜定結(jié)構(gòu)的實(shí)用計(jì)算方法超靜定結(jié)構(gòu)的實(shí)用計(jì)算方法彎矩分配法彎矩分配法2彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍 彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。 彎矩分配法的適用范圍：彎矩分配法的適用范圍： 單獨(dú)使用時(shí)，只能用于只有結(jié)點(diǎn)角位移而無結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)。單獨(dú)使用時(shí)，只能用于只有結(jié)點(diǎn)角位移而無結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法的基本概念彎矩分配法的基本概念 以圖示結(jié)構(gòu)為例說明，所有桿件的線剛度均為以圖示結(jié)構(gòu)為例說明，所有桿件的線剛度均為 ，桿長均為，桿長均為

2、，不計(jì)桿件軸向變形。，不計(jì)桿件軸向變形。il 根據(jù)位移法原理，原結(jié)構(gòu)分解為根據(jù)位移法原理，原結(jié)構(gòu)分解為(a)(b)兩種受力狀態(tài)。兩種受力狀態(tài)。 只有一個(gè)位移法未知量只有一個(gè)位移法未知量A結(jié)點(diǎn)的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結(jié)點(diǎn)稱為分配單元。結(jié)點(diǎn)的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結(jié)點(diǎn)稱為分配單元。qABCD原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)qABCD(a)狀態(tài)狀態(tài)uAMABCD(b)狀態(tài)狀態(tài)uAM (a)狀態(tài)：只承受外荷載，不發(fā)生節(jié)結(jié)點(diǎn)位移 固定狀態(tài) (b)狀態(tài)：只發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，無外荷載 放松狀態(tài)相當(dāng)于原結(jié)構(gòu)“先固定、后放松”32022-5-13彎矩分配法 固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎

3、矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：繞桿端順時(shí)針為正。固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：繞桿端順時(shí)針為正。qABCD原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)qABCD(a)固定狀態(tài)固定狀態(tài)uAMABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)uAM 固定狀態(tài)內(nèi)力分析固定狀態(tài)內(nèi)力分析彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負(fù)號(hào)規(guī)定非常重要！彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負(fù)號(hào)規(guī)定非常重要！ 固端彎矩根據(jù)第7章位移法表7-1計(jì)算，其本質(zhì)就是位移法Mp圖的計(jì)算。 21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM 結(jié)點(diǎn)附加剛臂上的約束力矩稱為結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：順時(shí)針為正。結(jié)點(diǎn)附加剛臂上的約束力矩稱為結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。正

4、負(fù)號(hào)規(guī)定：順時(shí)針為正。 結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的計(jì)算：根據(jù)固端彎矩，利用結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件計(jì)算。 在上述正負(fù)號(hào)規(guī)定條件下，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩就是與該結(jié)點(diǎn)相連的所有桿件該端固端彎矩的代數(shù)和。 218ugggAABACADMMMMql42022-5-13彎矩分配法 放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的反向力矩（相當(dāng)于解除約束）。放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的反向力矩（相當(dāng)于解除約束）。qABCD原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)qABCD(a)固定狀態(tài)固定狀態(tài)uAMABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)uAM 放松狀態(tài)內(nèi)力分析放松狀態(tài)內(nèi)力分析 放松狀態(tài)的內(nèi)力可借助轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計(jì)算。放松狀態(tài)的內(nèi)力可借助轉(zhuǎn)動(dòng)剛度

5、、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計(jì)算。 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：AB桿件桿件A端（又稱近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，端（又稱近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，A端產(chǎn)生的彎矩值，稱為端產(chǎn)生的彎矩值，稱為AB桿桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度， 記為記為 。ABS 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度不僅與桿件的彎曲線剛度 有關(guān)，而且與桿件另一端（又稱遠(yuǎn)端）的支承條件有關(guān)。iEI li4ABSi2BAMiAB1A 遠(yuǎn)端為固定支座：4ABSii3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 遠(yuǎn)端為鉸支座：3ABSi 遠(yuǎn)端為定向滑動(dòng)支座：ABSi5 彎矩分配法中，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在遠(yuǎn)端產(chǎn)生的彎矩可通過近端彎矩乘以傳遞系數(shù)得到。2022-5-13彎矩分配法ABC

6、D(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)uAM 放松狀態(tài)內(nèi)力分析放松狀態(tài)內(nèi)力分析 傳遞系數(shù)：傳遞系數(shù)：AB桿件僅桿件僅A端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，B端彎矩與端彎矩與A端彎矩之比，稱為從端彎矩之比，稱為從A到到B的彎矩傳遞系數(shù)，記的彎矩傳遞系數(shù)，記為為 。A BCi4ABSi2BAMiAB1A 遠(yuǎn)端為固定支座：1 2ABCi3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 遠(yuǎn)端為鉸支座：0ABC 遠(yuǎn)端為定向滑動(dòng)支座：1ABC 放松狀態(tài)內(nèi)力（分配系數(shù)）放松狀態(tài)內(nèi)力（分配系數(shù)）AA結(jié)點(diǎn)力矩結(jié)點(diǎn)力矩uAMfABMfADMfACMA結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程：fffuABACADAMMMM 而，;fABABAMS;fAC

7、ACAMSfADADAMS所以，uABACADAASSSM 得，uAAABACADMSSS 從而，fuuABABAABAAjSMMMSfuuACACAACAAjSMMMSfuuADADAADAAjSMMMS稱為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結(jié)點(diǎn)剛度中占的比例。稱為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結(jié)點(diǎn)剛度中占的比例。每個(gè)分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于每個(gè)分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于1，即，即 。1Why?物理含義：結(jié)點(diǎn)力矩平衡62022-5-13彎矩分配法qABCD原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)qABCD(a)固定狀態(tài)固定狀態(tài)uAMABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)uAM 計(jì)算過程小結(jié)計(jì)算過程小結(jié) 固定狀態(tài)，計(jì)算

8、固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。 固端彎矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩 放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。 桿件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度： 分配系數(shù)： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACADCCC222311;646416fffABACADMqlMqlMql 遠(yuǎn)端傳遞力矩： 22110;6432cccBACADAMMqlMql 桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩傳遞力矩桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩

9、傳遞力矩72022-5-13彎矩分配法qABCD原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu) 計(jì)算過程小結(jié)計(jì)算過程小結(jié) 固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。 固端彎矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩 放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。 桿件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度： 分配系數(shù)： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACAD222311;646416fffABACADMqlMqlMql 遠(yuǎn)端傳遞力矩： 22110;6432c

10、ccBACADAMMqlMql 桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩傳遞力矩桿端最終彎矩固端彎矩分配力矩傳遞力矩彎矩分配法通常列表計(jì)算結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)桿端桿端BACDBAABADACCADAgM分配分配傳遞傳遞M終備注備注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區(qū)分82022-5-13彎矩分配法qABCD原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu) 彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法的物理含義： 彎矩分配法實(shí)質(zhì)，是在原結(jié)構(gòu)上施加約束、再解除約束的過程。彎矩分配法實(shí)質(zhì)，是在原結(jié)構(gòu)上施加約束、再解除約束的過程。結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)桿端桿端BACDBAABA

11、DACCADAgM分配分配傳遞傳遞M終備注備注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32ABCDM圖圖(ql2)56418164116132施加約束(固定)解除約束(放松) 注意問題：注意問題： 彎矩分配法是數(shù)值計(jì)算方法，彎矩的方向用正負(fù)號(hào)表示，故，必須牢記正負(fù)號(hào)規(guī)定，計(jì)算過程中切勿混彎矩分配法是數(shù)值計(jì)算方法，彎矩的方向用正負(fù)號(hào)表示，故，必須牢記正負(fù)號(hào)規(guī)定，計(jì)算過程中切勿混淆和遺漏正負(fù)號(hào)。淆和遺漏正負(fù)號(hào)。 結(jié)點(diǎn)不平衡力矩必須反號(hào)后才能進(jìn)行分配和傳遞。結(jié)點(diǎn)不平衡力矩必須反號(hào)后才能進(jìn)行分配和傳遞。 彎矩分配法計(jì)算步驟：彎矩分配

12、法計(jì)算步驟： 計(jì)算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。計(jì)算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。 計(jì)算荷載作用下的固端彎矩。計(jì)算荷載作用下的固端彎矩。 將結(jié)點(diǎn)不平衡力矩反號(hào)后，進(jìn)行力矩分配和傳遞。將結(jié)點(diǎn)不平衡力矩反號(hào)后，進(jìn)行力矩分配和傳遞。 按疊加原理計(jì)算最終桿端彎矩。按疊加原理計(jì)算最終桿端彎矩。92022-5-13彎矩分配法 多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法 【例【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖?！吭囉脧澗胤峙浞ㄗ鲌D示連續(xù)梁的彎矩圖。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 固定狀態(tài)固定狀態(tài) 固端彎矩213 44,412ggBCCBMkNmMkNm 4,4uuBCMkNmMkNm 結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩3

13、/kN mACDEIEIBEIuBMuCM 放松狀態(tài)放松狀態(tài) 兩個(gè)分配單元B和C結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角是耦合的，如同時(shí)放松，需建立并求解聯(lián)立方程組。 為了避免求解聯(lián)立方程，將各分配單元依次逐個(gè)放松。放松C(B保持鎖定狀態(tài)),;CBCDSEISEI0.5CBCD440.50.52211此時(shí)，C結(jié)點(diǎn)力矩平衡，B結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為-5kNm鎖住C，放松B,;BABCSEISEI0.5BABC此時(shí)，B結(jié)點(diǎn)力矩平衡，C結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為1.25kNm50.50.52.52.51.251.251.25完成一輪分配 由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)不大于1且不可能全為1，故，經(jīng)過彎矩分配和傳遞后，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩逐漸減小。依次經(jīng)過多輪分

14、配，可使結(jié)構(gòu)受力和變形逐步接近實(shí)際狀態(tài)。100.0844gM0.320.16 0.162022-5-13彎矩分配法 多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法 【例【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 上述計(jì)算過程一般通過列表進(jìn)行上述計(jì)算過程一般通過列表進(jìn)行2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定狀態(tài)）（固定狀態(tài)）分分配配與與傳傳遞遞221（鎖（鎖B放放C）（鎖（鎖C放放B）第第1輪分配輪分配0.630.63（鎖（鎖B放放C）0.08（鎖（鎖C放放B）第第2輪分配輪分配00.020.01 0.01

15、0.040.04（鎖（鎖B放放C）0（鎖（鎖C放放B）第第3輪分配輪分配M終2.662.67 2.67-1.332.670 多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法是一種漸近法，多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法是一種漸近法，計(jì)算結(jié)果為近似解。計(jì)算結(jié)果為近似解。 為了使計(jì)算收斂速度快，通常先為了使計(jì)算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開從不平衡力矩較大的分配單元開始分配。始分配。 終止彎矩分配的條件一般有兩種：終止彎矩分配的條件一般有兩種： a）明確分配輪次。如：要求完）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計(jì)算誤差多成兩輪分配，則不管計(jì)算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計(jì)大，兩輪分配完成后即可終止計(jì)算。算。 b）明確計(jì)

16、算精度。如：計(jì)算要求）明確計(jì)算精度。如：計(jì)算要求保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，則應(yīng)計(jì)算保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，則應(yīng)計(jì)算至分配彎矩或傳遞彎矩小于至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個(gè)輪次分配與傳遞需注意最后一個(gè)輪次分配與傳遞需同時(shí)完成，不可以只分配不傳遞。同時(shí)完成，不可以只分配不傳遞。ACDB1.332.676M圖圖(kNm)110.0844gM0.320.16 0.162022-5-13彎矩分配法 多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法 【例【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖?！吭囉脧澗胤峙浞ㄗ鲌D示連續(xù)梁的彎矩圖。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI2.52.51.251.250.50.5

17、0.50.5（固定狀態(tài)）（固定狀態(tài)）分分配配與與傳傳遞遞221（鎖（鎖B放放C）（鎖（鎖C放放B）0.630.63（鎖（鎖B放放C）0.08（鎖（鎖C放放B）00.020.01 0.010.040.04（鎖（鎖B放放C）0（鎖（鎖C放放B）M終2.662.67 2.67-1.332.670ACDB1.332.676M圖圖(kNm)12豎向荷載作用下內(nèi)力的近似計(jì)算方法 分層法13豎向荷載作用下的內(nèi)力近似計(jì)算 在豎向荷載（vertical load）作用下，多、高層框架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可用力法、位移法等結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計(jì)算。工程設(shè)計(jì)中，如采用手算，可采用迭代法、分層法、彎矩二次分配法及系數(shù)法等近似方法計(jì)算。

18、14常用方法分層法豎向荷載作用下框架結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)及內(nèi)力計(jì)算假定：（1）不考慮框架結(jié)構(gòu)的側(cè)移對(duì)其內(nèi)力的影響；（2）每層梁上的荷載僅對(duì)本層梁及其上、下柱的內(nèi)力產(chǎn)生影響，對(duì)其他各層梁、柱內(nèi)力的影響可忽略不計(jì)。 應(yīng)當(dāng)指出，上述假定中所指的內(nèi)力不包括柱軸力，因?yàn)槟硨恿荷系暮奢d對(duì)下部各層柱的軸力均有較大影響，不能忽略。15分層法的適用范圍 分層法一般用于結(jié)構(gòu)與荷載沿高度分布比較均勻的多層框架的內(nèi)力計(jì)算，對(duì)于側(cè)移較大或不規(guī)則的多層框架不宜采用16豎向荷載作用下分層計(jì)算示意圖豎向荷載作用下分層計(jì)算示意圖17（1）將多層框架沿高度分成若干單層無側(cè)移的敞口框架，每個(gè)敞口框架包括本層梁和與之相連的上、下層柱。梁上作用的荷載、各層柱高及梁跨度均與原結(jié)構(gòu)相同。（2）除底層柱的下端外，其他各柱的柱端應(yīng)為彈性約束。為便于計(jì)算，均將其處理為固定端。這樣將使柱的彎曲變形有所減小，為消除這種影響，可把除底層柱以外的其他把除底層柱以外的其他各層柱的線剛度乘以修正系數(shù)各層柱的線剛度乘以修正系數(shù)0.9。分層法計(jì)算要點(diǎn)分層法計(jì)算要點(diǎn)18分層法計(jì)算要點(diǎn)分層法計(jì)算要點(diǎn)（3）用彎矩分配法計(jì)算各敞口框架的桿端彎矩，在計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)周圍各桿件的彎矩分配系數(shù)時(shí)，應(yīng)采用修正后的柱線應(yīng)采用修正后的柱線剛度剛度計(jì)算；并且底層柱和各層梁的傳遞系數(shù)均取底層柱和