南農(nóng)概率論第一章1.3

1、一、頻率的定義與性質(zhì)一、頻率的定義與性質(zhì)二、概率的定義與性質(zhì)二、概率的定義與性質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 頻率與概率頻率與概率).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并記記發(fā)發(fā)生生的的頻頻率率稱稱為為事事件件比比值值生生的的頻頻數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)稱稱為為事事件件發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)事事件件次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中在在這這次次試試驗(yàn)驗(yàn)進(jìn)進(jìn)行行了了在在相相同同的的條條件件下下1. 定義定義 一、頻率的定義與性質(zhì)一、頻率的定義與性質(zhì) 2. 性質(zhì)性質(zhì)設(shè)設(shè) A 是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn) E 的任一事件的任一事件, 則則; 1)(0)1( Afn; 0)(, 1)()2( fSf).()()()(,)3(2121

2、21knnnkkAfAfAfAAAfAAA 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若試驗(yàn)試驗(yàn)序號序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例實(shí)例 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.處處波波動(dòng)

3、動(dòng)較較大大在在21波動(dòng)最小波動(dòng)最小隨隨n的增大的增大, 頻率頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性呈現(xiàn)出穩(wěn)定性處處波波動(dòng)動(dòng)較較小小在在21從上述數(shù)據(jù)可得從上述數(shù)據(jù)可得(2) 拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù) n 較小時(shí)較小時(shí), 頻率頻率 f 的隨機(jī)波動(dòng)幅的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大度較大, 但但隨隨 n 的增大的增大 , 頻率頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即即當(dāng)當(dāng) n 逐漸增大時(shí)頻率逐漸增大時(shí)頻率 f 總是在總是在 0.5 附近擺動(dòng)附近擺動(dòng), 且且逐漸穩(wěn)定于逐漸穩(wěn)定于 0.5.(1) 頻率有頻率有隨機(jī)波動(dòng)性隨機(jī)波動(dòng)性,即對于同樣的即對于同樣的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者德德 摩根摩根蒲蒲 豐豐

4、nHnf皮爾遜皮爾遜 K皮爾遜皮爾遜 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21我們再來看一個(gè)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的著名實(shí)驗(yàn)我們再來看一個(gè)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的著名實(shí)驗(yàn)高爾頓高爾頓(Galton)板試驗(yàn)板試驗(yàn).試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缦滤驹囼?yàn)?zāi)Ｐ腿缦滤?自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落過程中當(dāng)小球碰在下落過程中當(dāng)小球碰到釘子時(shí)到釘子時(shí),從左邊落下與從右邊從左邊落下與從右邊落下的機(jī)會(huì)相等落下的機(jī)會(huì)相等.碰到下一排釘碰到下一排釘子時(shí)又是如此子時(shí)又是如此.最后落入底板中最后落入底板

5、中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,則此球落入哪一個(gè)格子則此球落入哪一個(gè)格子,預(yù)先難以確定預(yù)先難以確定.但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,則其最后所呈現(xiàn)的曲線則其最后所呈現(xiàn)的曲線,幾乎總是一樣幾乎總是一樣的的.單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出請看動(dòng)畫演示請看動(dòng)畫演示重要結(jié)論重要結(jié)論頻率當(dāng)頻率當(dāng) n 較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大，當(dāng)較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大，當(dāng) n 逐漸增逐漸增大時(shí)大時(shí) ， 頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小它就是事件的了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小它就是事件

6、的概率概率 醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭：醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭：“你的你的病很重，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活病很重，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.” 當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說：當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運(yùn)的因?yàn)槟阏业搅宋遥乙呀?jīng)看過但你是幸運(yùn)的因?yàn)槟阏业搅宋?，我已?jīng)看過九個(gè)病人了，他們都死于此病九個(gè)病人了，他們都死于此病.”醫(yī)生的說法對嗎醫(yī)生的說法對嗎?請同學(xué)們思考請同學(xué)們思考. 1933年年 ，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)率論的公理化結(jié)構(gòu) ，給出了概率的嚴(yán)格定義，給出了概率的嚴(yán)格定義

7、 ，使，使概率論有了迅速的發(fā)展概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的定義與性質(zhì)二、概率的定義與性質(zhì)柯爾莫哥洛夫資料柯爾莫哥洛夫資料:)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數(shù)如果集合函數(shù)的概率的概率件件稱為事稱為事記為記為賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)的每一事件的每一事件對于對于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè) PAAPAESE; 0)(,: (1) APA 有有對于每一個(gè)事件對于每一個(gè)事件非負(fù)性非負(fù)性; 1)(,: (2) SPS 有有對對于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對對于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設(shè)設(shè), 2, 1,: (3)21 jiAA

8、jiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定義概率的定義. 0)()1( P證明證明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且則則 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性質(zhì)性質(zhì)概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互

9、互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 則則且且為為兩兩個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)證明證明BA,BA 因因?yàn)闉?.(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)5(APA PAA 則則的對立事件的對立事件是是設(shè)設(shè)證明證明, 1)(, SPAASAA因因?yàn)闉?.(1)(APAP . 1)(,)4( APA對對于于任任一一事事件件SA , 1)()( S

10、PAP. 1)( AP故故證明證明)()(1AAPSP 所所以以. )()(APAP ).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有對對于于任任意意兩兩事事件件加加法法公公式式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推廣推廣 三個(gè)事件和的情況三個(gè)事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和的情況)

11、(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解),()()1(BPABP 由由圖圖示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥與與的值的值三種情況下三種情況下求在下列求在下列和和的概率分別為的概率分別為設(shè)事件設(shè)事件BASSAB1例例,)3(BAABA 由由圖圖示示得得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且SABAB).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 則則且且為為兩兩個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)1. 頻率頻率 (波動(dòng)波動(dòng)) 概率概率(穩(wěn)定穩(wěn)定). n2. 概率的主要性質(zhì)概率的主要性質(zhì), 1)(0) 1 ( AP; 0)(, 1)(