第三章 隨機變量與概率分布

1、第三章第三章 隨機變量和概率分布隨機變量和概率分布l概率分布概率分布l正態(tài)分布正態(tài)分布l二項分布二項分布隨機變量及其種類隨機變量及其種類l隨機變量（隨機變量（random variable）在一定范圍內(nèi)隨機取值的變量在一定范圍內(nèi)隨機取值的變量 以一定的概率分布取值的變量以一定的概率分布取值的變量l分類分類離散型離散型(discrete)隨機變量：只取有限個可能值（通隨機變量：只取有限個可能值（通常為整數(shù)）常為整數(shù)） 例：發(fā)病個體數(shù)，產(chǎn)仔數(shù)例：發(fā)病個體數(shù)，產(chǎn)仔數(shù)連續(xù)型連續(xù)型(continuous)隨機變量：在一定范圍內(nèi)可取隨機變量：在一定范圍內(nèi)可取無限個可能值（實數(shù)）無限個可能值（實數(shù)） 例：產(chǎn)

2、奶量，體長，日增重例：產(chǎn)奶量，體長，日增重概率分布概率分布l概率函數(shù)概率函數(shù)(probability function)隨機變量取某一特定值的概率函數(shù)（離散型隨機變量取某一特定值的概率函數(shù)（離散型隨機變量）隨機變量）l 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)(probability density function) 隨機變量取某一特定值的密度函數(shù)（連續(xù)型隨機變量取某一特定值的密度函數(shù)（連續(xù)型隨機變量）隨機變量）l 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)(probability distribution function)隨機變量取值小于或等于某特定值的概率隨機變量取值小于或等于某特定值的概率離散型隨機變量的概率分布離散

3、型隨機變量的概率分布l概率函數(shù)概率函數(shù))()(xXPxfX ：隨機變量，隨機變量，x：該隨機變量的某一可能取值該隨機變量的某一可能取值xxfxf所有1)(,0)(l概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)xyyfxXPxF)()()(離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l例例1：擲一次骰子所得點數(shù)的概率函數(shù)擲一次骰子所得點數(shù)的概率函數(shù)6, 5, 4, 3, 2, 1,61)(xxfx123456f (x)1/61/61/61/61/61/6概率分布列概率分布列離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l例例2：擲二次骰子所得點數(shù)之和的概率分布擲二次骰子所得點數(shù)之和的概率分布x234567f(

4、x)1/362/363/364/365/366/36x89101112f(x)5/364/363/362/361/363621)()7(72xxfF366)7()7(21xxPf)()(21xxxPxf離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布概率分布圖概率分布圖離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l隨機變量的期望隨機變量的期望(expectation) 期望也稱數(shù)學期望，是一次試驗中所期望的隨機變量的取值，也期望也稱數(shù)學期望，是一次試驗中所期望的隨機變量的取值，也等于總體平均數(shù)等于總體平均數(shù))()(iixfxXE對于例對于例1：5 . 3)654321 (6161)(ixX

5、E離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)aaE)()()()(YEXEYXE)()(XaEaXE(a是常量)()()(YEXEXYE1.2.3.4.（當X和Y彼此獨立）離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布)()()(iixfxHXHEl隨機變量函數(shù)的期望隨機變量函數(shù)的期望設(shè)H(X)是隨機變量X的某個函數(shù))()(22iixfxXE例：例：2)(XXH對于例對于例1：167.15)654321 (6161)(22222222ixXE離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l隨機變量的方差隨機變量的方差(variance) - 總體方差總體方差)(

6、)()(222XENxXVari2222222)()(2)()2()(XEXEXEXXEXE對于例對于例1：917. 25 . 3167.15)(2222XE離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)1. Var(a) = 0 （a是常量）是常量）2. Var(aX ) = a2Var(X )3. Var(X Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和和Y彼此獨立）彼此獨立）4. Var(XY ) = Var(X )Var(Y )/連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布l概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)滿足以下條件的函數(shù)滿足以下條件的函數(shù)f (x)稱為

7、連續(xù)性隨機變稱為連續(xù)性隨機變量量X的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù):0)(xf(x是X的任一可能取值)1)()(dxxfdxxfX的取值范圍badxxfbXaP)()(連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布l概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)xdyyfxXPxF)()()(l期望期望dxxxfXE)()(l方差方差2222)()()(dxxfxXEXVar連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布l正態(tài)分布（正態(tài)分布（normal distribution）具有如下概率密度函數(shù)的隨機變量稱為正態(tài)具有如下概率密度函數(shù)的隨機變量稱為正態(tài)分布隨機變量：分布隨機變量：xxxf2)(exp21)(22

8、 = 期望 2 = 方差（可以證明這個函數(shù)滿足概率密度函數(shù)的（可以證明這個函數(shù)滿足概率密度函數(shù)的3個條件）個條件）),(N2X正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何表示正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何表示正態(tài)曲線正態(tài)曲線f (x)x曲線下某區(qū)間的面積即為隨機變量在該區(qū)間取值的概率曲線下某區(qū)間的面積即為隨機變量在該區(qū)間取值的概率正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布的特點正態(tài)分布的特點只有一個峰，峰值在只有一個峰，峰值在x = 處處曲線關(guān)于曲線關(guān)于x = 對稱，因而平均數(shù)對稱，因而平均數(shù)=眾數(shù)眾數(shù)=中中位數(shù)位數(shù)x軸為曲線向左、右延伸的漸進線軸為曲線向左、右延伸的漸進線由兩個參數(shù)決定：由兩個參數(shù)決定： 平均數(shù)

9、平均數(shù) 和和 標準差標準差 決定曲線在決定曲線在x 軸上的位置軸上的位置 決定曲線的形狀決定曲線的形狀正態(tài)分布正態(tài)分布平均數(shù)的影響平均數(shù)的影響標準差的影響標準差的影響正態(tài)分布正態(tài)分布l標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布(standard normal distribution) ),(2NX令令XZZ服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布) 1 , 0( NZ標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布對于對于0)(1)(1)(XEZE1)0(1)()(1)(222VarXVarZVar標準化標準化正態(tài)分布正態(tài)分布l標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)zzzf2exp21)(20正態(tài)分布正態(tài)分布l標準正態(tài)分布的概率計算標

10、準正態(tài)分布的概率計算 附表附表1 (p. 294)uudzzdzzfuZP)2exp(21)()(2正態(tài)分布正態(tài)分布(1) P( Z u) 或或 P(Z -u) (u 0)()(uZPuZP直接查表直接查表正態(tài)分布正態(tài)分布(2) P( Z -u) 或或 P(Z u) )(1)()(uZPuZPuZP查表查表正態(tài)分布正態(tài)分布)()()(aZPbZPbZaP(3) P( a Z b) )()(1)(bZPaZPbZaP或或例：設(shè) Z N(0, 1)，求 (1) P(Z 0.64) (2) P(Z 1.53) (3) P(-2.12 Z -0.53) (4) P(-0.54 Z 0.84) 正態(tài)分布

11、正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布P( -1 Z 1) = 68.26%P( -2 Z 2) = 95.45%P( -3 Z 3) = 99.73%P( -1.96 Z 1.96) = 95%P( -2.58 Z 2.58) = 99% 幾個特殊的標準正態(tài)分布概率幾個特殊的標準正態(tài)分布概率 正態(tài)分布正態(tài)分布68.3%95.5%99.7%正態(tài)分布正態(tài)分布l對于給定的兩尾概率對于給定的兩尾概率 求標準正態(tài)分布在求標準正態(tài)分布在x軸上的分位點軸上的分位點附表附表2 （p. 297）)(1uZuP/2/2正態(tài)分布正態(tài)分布)(1uZP2)(1uZuP用用2 查附表查附表2，可得一尾概率為，可得一尾概率為 時的分位

12、點時的分位點ul對于給定的一尾概率對于給定的一尾概率 求標準正態(tài)分布在求標準正態(tài)分布在x軸上的分位點軸上的分位點正態(tài)分布正態(tài)分布l一般正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布的概率計算轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布計算轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布計算)()()(xZPxXPxXP例： 設(shè) X N(30, 102)，求P(X 40)8413. 0) 1()103040()40(ZPZPXPX N( , 2)正態(tài)分布正態(tài)分布P( - X + ) = 68.26%P( - 2 X + 2 ) = 95.45%P( - 3 X + 3 ) = 99.73%P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95%P( - 2.58 X +

13、 2.58 ) = 99% 幾個特殊的一般正態(tài)分布概率幾個特殊的一般正態(tài)分布概率 正態(tài)分布正態(tài)分布-3 -2 - + +2 +3x68.3%95.5%99.7%偏度與峭度偏度與峭度l偏度（偏度（skewness） 度量一個分布的對稱性的指標度量一個分布的對稱性的指標331)(XE2231mmmg （總體）（總體）（樣本）（樣本）偏度和峭度可以用來輔助判斷樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的程度偏度和峭度可以用來輔助判斷樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的程度偏度為負（負偏態(tài)）就意味著在概率密度函數(shù)左側(cè)的尾部比偏度為負（負偏態(tài)）就意味著在概率密度函數(shù)左側(cè)的尾部比右側(cè)的長，絕大多數(shù)的值位于平均值的右側(cè)。右側(cè)的長，絕大多數(shù)的值

14、位于平均值的右側(cè)。偏度為正（正偏態(tài)）就意味著在概率密度函數(shù)右側(cè)的尾部比偏度為正（正偏態(tài)）就意味著在概率密度函數(shù)右側(cè)的尾部比左側(cè)的長，絕大多數(shù)的值位于平均值的左側(cè)左側(cè)的長，絕大多數(shù)的值位于平均值的左側(cè)。偏度與峭度偏度與峭度l峭度（峭度（kurtosis） 度量一個分布的尖峭或平坦程度的指標度量一個分布的尖峭或平坦程度的指標3)(442XE32242mmg（總體）（總體）（樣本）（樣本） 峭度為正表示分布曲線比正態(tài)分布更尖峭，說明變量值的峭度為正表示分布曲線比正態(tài)分布更尖峭，說明變量值的次數(shù)較為密集地分布在眾數(shù)的周圍。次數(shù)較為密集地分布在眾數(shù)的周圍。 峭度為負表示分布曲線比正態(tài)分布更平坦，說明變量

15、值的峭度為負表示分布曲線比正態(tài)分布更平坦，說明變量值的次數(shù)分布比較均勻地分散在眾數(shù)的兩側(cè)。次數(shù)分布比較均勻地分散在眾數(shù)的兩側(cè)。 峭度為零，說明分布為正態(tài)的峭度為零，說明分布為正態(tài)的。離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l二項分布（二項分布（binomial distribution）假設(shè)：假設(shè)：1. 在相同條件下進行了在相同條件下進行了n次試驗次試驗 2. 每次試驗只有兩種可能結(jié)果（每次試驗只有兩種可能結(jié)果（1或或0） 3. 結(jié)果為結(jié)果為1的概率為的概率為p，為，為0的概率為的概率為1-p 4. 各次試驗彼此間是獨立的各次試驗彼此間是獨立的 在在n次試驗中，結(jié)果為次試驗中，結(jié)果為1

16、的次數(shù)（的次數(shù)（X = 0，1，2，n）服從二項分布，表示為）服從二項分布，表示為),(BpnX離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l二項分布的概率函數(shù)二項分布的概率函數(shù)), 2 , 1 , 0()1 ()!( !)1 ()(nxppxnxnppCxfxnxxnxxnl二項分布的期望二項分布的期望npxfxXEii)()(l二項分布的方差二項分布的方差)1 ()(2pnpXVar離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布l例例3：一頭母豬一窩產(chǎn)了一頭母豬一窩產(chǎn)了10頭仔豬，分別求其頭仔豬，分別求其中有中有2頭公豬和頭公豬和6頭公豬的概率。頭公豬的概率。0439. 05 . 0

17、5 . 0)!210( ! 2!10)5 . 01 (5 . 0)2(822102210Cf2051. 05 . 05 . 0)!610( ! 6!10)5 . 01 (5 . 0)6(466106610Cf產(chǎn)公豬頭數(shù)的期望值：產(chǎn)公豬頭數(shù)的期望值：55 . 010)( npXE產(chǎn)公豬頭數(shù)的方差：產(chǎn)公豬頭數(shù)的方差：25. 05 . 05 . 010)1 ()(pnpXVar3.5 普哇松（Poisson）分布 當二項分布中n很大，P很小時,二項分布就變成為Poisson分布，所以Poisson分布實際上是二項分布的極限分布。 若隨機變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，且其概率分布為其中0；e=2.718