微分方程式的建立與求解PPT教案

1、微分方程式的建立與求解微分方程式的建立與求解物理系統(tǒng)的模型物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫微分方程的列寫n 階線性時不變系統(tǒng)的描述階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法第1頁/共20頁許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程來描述來描述。第2頁/共20頁根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)對于電

2、路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束元件特性約束和和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束約束列寫系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)的微分方程。 元件特性約束元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。第3頁/共20頁電感電感電阻電阻 tvRtiR1 d1 tLvLti電電容容 ttvCtiCdd 根據(jù)根據(jù)KCL

3、 titititiCLRS 代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 這是一個代表這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求并聯(lián)電路的端電壓求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵與激勵 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 tv tis tisRRiLLiCciab tv第4頁/共20頁這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。 兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則性常系數(shù)微分方

4、程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。可以用高階微分方程表示。 msFf機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧的剛體一端由彈簧 tv牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為擦力為 ，外加牽引力為，外加牽引力為 ，其外加牽引力，其外加牽引力 與與剛體運動速度剛體運動速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 k第5頁/共20頁 一個線性系統(tǒng)，其激勵信號一個線性系統(tǒng)，其激勵信號 與響應(yīng)信號與響應(yīng)信號 之間之間的關(guān)系，可以用下列形式的

5、微分方程式來描述的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系統(tǒng)為時不變的，則若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。階次階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。第6頁/共20頁分析系統(tǒng)的方法：分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。列寫方程，求解方程。 變換域法變換域法利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀

6、態(tài)零狀態(tài)可利用經(jīng)典法求解可利用經(jīng)典法求解零輸入零輸入應(yīng)應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響經(jīng)典法經(jīng)典法解方程解方程網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束根據(jù)元件約束根據(jù)元件約束列寫方程列寫方程: ,:求解方程時域求解方程時域經(jīng)典法經(jīng)典法就是：就是：齊次解齊次解+特解。特解。 第7頁/共20頁 我們一般將激勵信號加入的時刻定義為我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0 ，響應(yīng)，響應(yīng)為為 時的方程的解，初始條件時的方程的解，初始條件 0t齊次解齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式 nktkkA1e 注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。特特 解：根據(jù)微分方程右

7、端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù)代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr初始條件的確定初始條件的確定是此課程要解決的問題。是此課程要解決的問題。kA全全 解：齊次解解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解特解，由初始條件定出齊次解 。第8頁/共20頁 的齊次解。的齊次解。求微分方程求微分方程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 01216723 0322 3 , 221 重重根根 tth

8、AAtAtr33221ee 特征根特征根因而對應(yīng)的齊次解為因而對應(yīng)的齊次解為第9頁/共20頁如果已知：如果已知： 分別求兩種情況分別求兩種情況下此方程的特解。下此方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 給定微分方程給定微分方程式式 3221pBtBtBtr 為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 122tttte得到代入方程右端將平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式代入方程得到將此式代入方程得到 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。這里這里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 第10頁/共20頁等式兩端各

9、對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有 032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解為所以，特解為 271092312p tttr第11頁/共20頁 這里，這里，B是待定系是待定系數(shù)。數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有： ?？蛇x可選很明顯很明顯時時當(dāng)當(dāng)ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于是，特解為于是，特解為te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齊齊次次解解trtrph trAtrnitip1ie 第12頁/共20頁時的變化。時

10、的變化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立電流。建立電流轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向由由時時達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)?shù)奈恢枚乙呀?jīng)的位置而且已經(jīng)處于處于開關(guān)開關(guān)給定如圖所示電路，給定如圖所示電路，0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R第13頁/共20頁根據(jù)電路形式，列回路方程根據(jù)電路形式，列回路方程 tetvtiRC 1 2ddRtititLtvLLC 列結(jié)點電壓方列結(jié)點電壓方程程 titvtCtiLC dd , tvC先消去變量先消去變量 , 把電路參數(shù)代入整理得把電路參數(shù)代入整理得再消去變量再消去變量tiL te

11、tettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)第14頁/共20頁系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程01072 052 即即特征根特征根5 , 221 齊次解齊次解 0 ee5221tAAtitth V4 0 tet時時由由于于 , , 44pBti 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由項為方程右端自由項為代入式代入式(1)(1)要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為 0 58ee5221tAAtitt特解特解第15頁/共20頁 0dd0iti和和確定換路后的確定換路后的 A5420021 RRiiL 00dd it V56V23540 Cv換路前換路

12、前21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R第16頁/共20頁 A514A5641100101 CveRi s/A20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有 :0dd0 iti和和換路后的換路后的由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變, ,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R第17頁/共20頁 時時的的完完全全響響應(yīng)應(yīng)在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti 2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全響應(yīng)為要求的完全響應(yīng)為 1523421AA