總體均數(shù)和總體率的估計(jì)

1、均數(shù)估計(jì)2 【例【例6-1】欲了解某地正常成年男性血清膽固醇的欲了解某地正常成年男性血清膽固醇的平均水平，某研究者在該地隨機(jī)抽取正常成年男性平均水平，某研究者在該地隨機(jī)抽取正常成年男性120名，得其血清膽固醇的均數(shù)為名，得其血清膽固醇的均數(shù)為3.86mmol/L，標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為1.73 mmol/L，據(jù)此認(rèn)為該地正常成年男性，據(jù)此認(rèn)為該地正常成年男性血清膽固醇的平均水平為血清膽固醇的平均水平為3.86 mmol/L。 以樣本均數(shù)以樣本均數(shù)3.86mmol/L來代表該地區(qū)正常成來代表該地區(qū)正常成年男性血清膽固醇的平均水平是否合適？年男性血清膽固醇的平均水平是否合適？ 均數(shù)估計(jì)3以上問題為統(tǒng)計(jì)

2、推斷內(nèi)容以上問題為統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)：方差分析、秩和檢驗(yàn)等方差分析、秩和檢驗(yàn)等參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì): 總體均數(shù)估計(jì)、總體率估計(jì)總體均數(shù)估計(jì)、總體率估計(jì)均數(shù)估計(jì)4本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 t 分布分布 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 二項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布和Poisson分布分布 總體率的估計(jì)總體率的估計(jì)均數(shù)估計(jì)5第一節(jié)第一節(jié) 抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤均數(shù)估計(jì)6 【例【例6-2】假設(shè)已知某地正常成年男性紅細(xì)胞數(shù)假設(shè)已知某地正常成年男性紅細(xì)胞數(shù)的均值為的均值為5.001012/L，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為0.431012/L?，F(xiàn)。現(xiàn)從該總體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，每次

3、抽取從該總體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，每次抽取10名正常成年名正常成年男子，并測得他們的紅細(xì)胞數(shù)，抽取男子，并測得他們的紅細(xì)胞數(shù)，抽取100份樣本，份樣本，計(jì)算出每份樣本的均數(shù)。計(jì)算出每份樣本的均數(shù)。抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)7樣本號樣本號均數(shù)均數(shù)樣本號樣本號均數(shù)均數(shù)樣本號樣本號均數(shù)均數(shù)樣本號樣本號均數(shù)均數(shù)14.87264.82515.22764.9825.09275.07525.06774.8634.98284.89535.06785.0045.10295.00545.08795.0555.18304.69555.04805.0764.95315.08565.27815.1674.83

4、325.22575.06825.1084.71335.22584.86835.0494.92344.88595.13845.11104.97355.11604.86854.97115.11365.12614.64864.96125.01375.12624.94875.15135.00385.09634.85885.07145.06395.23644.97894.93155.12404.93654.98904.95表表6-1隨機(jī)抽取的隨機(jī)抽取的100份樣本紅細(xì)胞數(shù)的計(jì)算結(jié)果份樣本紅細(xì)胞數(shù)的計(jì)算結(jié)果 （n=10） 引引起起這這種種現(xiàn)現(xiàn)象象的的原原因？因？ 抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)

5、81.1抽樣誤差抽樣誤差: :由抽樣引起的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)間的差異稱抽樣誤差。不可避免、可以控制。表現(xiàn)：樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異 樣本統(tǒng)計(jì)量之間的差異產(chǎn)生原因：個體變異抽樣1.均數(shù)的抽樣誤差（sampling error）抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)92.1均數(shù)的分布均數(shù)的分布: :2.均數(shù)的分布和標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 先看一個抽樣研究例子先看一個抽樣研究例子均數(shù)估計(jì)10 從N（4.6602，0.57462）總體中進(jìn)行抽樣，樣本例數(shù)n分別為5，10，20，50，每一樣本例數(shù)抽樣100次，觀察樣本均數(shù)的頻數(shù)分布，會得到什么結(jié)論？抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與

6、標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)11Frequency distribution of sample means Value Frequency of mean Sample size=5 Sample size=10 Sample size=20 Sample size=50 0.75 1 1.25 1 1.75 4 1 2.25 2 2 2.75 12 5 2 1 3.25 15 8 9 5 3.75 12 16 24 22 4.25 10 26 31 45 4.75 17 16 22 24 5.25 8 15 10 3 5.75 6 8 2 6.25 7 3 6.75 4 7.25-7.75 1 從N（

7、 4.6602，0.57462）抽樣的樣本均數(shù)分布圖123456789(a)1234578n=5(b)123456789n=10(c)123456789n=20(d)123456789n=30(e)均數(shù)估計(jì)14圖圖6-1 表表6-1資料資料 100個樣本均數(shù)的頻數(shù)分布圖個樣本均數(shù)的頻數(shù)分布圖抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)15 中心極限定理 從正態(tài)分布總體 中固定樣本含量n反復(fù)多次抽樣，所得的 各不相同，但它們以為中心呈正態(tài)分布。），2(NXX 即使從偏態(tài)分布總體抽樣，只要n足夠大（n50)， 也近似正態(tài)分布。抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)162.均數(shù)的分布和標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤

8、差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 2.2 標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error)2.2.1樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。2.2.2樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)172.均數(shù)的分布和標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤表示樣本均數(shù)的變異度 總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替 nX nSSX 均數(shù)估計(jì)184.標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算例 隨機(jī)抽取某市200名7歲男童的身高均數(shù)為124.0cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.6cm，估計(jì)抽樣誤差的大小。)cm(33. 0=2006 . 4=nS=SX抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)192.2.3標(biāo)準(zhǔn)誤的用途p衡量樣本均數(shù)的可靠性； p估計(jì)

9、總體均數(shù)的可信區(qū)間；p用于均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 均數(shù)估計(jì)20第二節(jié)第二節(jié) t t 分布分布均數(shù)估計(jì)21樣本均數(shù) ,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變換，則(0,1)XXuN XXN( ,) 實(shí)際工作中，總體方差未知。所以，用樣本方差代替總體方差，此時 =t t,t t值的分布如何？XXs t 分布分布 均數(shù)估計(jì)22從N(0,1)中1000次抽樣的 t 值的分布(n=4)Fractiont-8-6-4-2024680.05.1.15.2.25.3.35均數(shù)為 0.05696標(biāo)準(zhǔn)差為 1.55827 t 分布分布 均數(shù)估計(jì)232.1概念：從正態(tài)總體N(,2)中進(jìn)行無數(shù)次樣本含量為n的隨機(jī)抽樣

10、，每次均可得到一個 和一個s，通過公式： 轉(zhuǎn)換，可得無數(shù)個t值，t t值的分布即為值的分布即為t t分布分布XXS-X=t t 分布分布 均數(shù)估計(jì)24自由度為1、5、的t分布 近似標(biāo)準(zhǔn)近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布 t 分布分布 均數(shù)估計(jì)25 2.2特征p以0為中心，左右對稱pt分布是一簇曲線形狀與自由度有關(guān)p當(dāng) 趨于 時， t分布逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 pt分布曲線下面積為1 t分布曲線下面積分布可由t值表中查出: 雙側(cè)雙側(cè)P( tP( t - -t t /2/2) +) +P P( ( t t t t/2/2) = ) = 單側(cè)單側(cè)P P( ( t t - -t t ) = ) = 或或 P P( (

11、 t t t t) = ) = t 分布分布 均數(shù)估計(jì)26圖圖6-3 時單雙側(cè)界值的概率示意圖時單雙側(cè)界值的概率示意圖 9 t 分布分布 均數(shù)估計(jì)27從界值表可看出從界值表可看出（1）自由度相同時，界值越大其對應(yīng)的值越小）自由度相同時，界值越大其對應(yīng)的值越小 （2）概率）概率 相等時，相等時， 越大，越大， 界值越小界值越小 （3） 值相等時，雙側(cè)概率為單側(cè)概率的兩倍值相等時，雙側(cè)概率為單側(cè)概率的兩倍 （4） 時，時， 界值即為界值即為 界值界值 Ptttz t 分布分布 均數(shù)估計(jì)28第三節(jié)第三節(jié) 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)29 點(diǎn)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)（point estimation）：

12、）： 用樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)。 區(qū)間估計(jì)（區(qū)間估計(jì)（interval estimation）：）： 按一定的概率(可信度，1 -)估計(jì)總 體均數(shù)所在范圍亦稱總體均數(shù)的可信區(qū)間。參數(shù)估計(jì)：參數(shù)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì) 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)30可信區(qū)間通常由兩個數(shù)值即兩個可信限可信區(qū)間通常由兩個數(shù)值即兩個可信限（confidence limit，CL）表示）表示:較小者稱為較小者稱為下限下限（lower limit，L）較大者稱為較大者稱為上限上限（upper limit，U） 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)31總體均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算總體均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算.當(dāng)當(dāng)已知已知xz

13、n服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (0,1)N/2/2() 1Pzzz=221xxPzz 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)32.當(dāng)已知22,xxxzxz2xxz 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)33圖圖6-4 總體均數(shù)的雙側(cè)總體均數(shù)的雙側(cè) 可信區(qū)間可信區(qū)間100(1)% 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)34總體均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算總體均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算. 未知但未知但n n足夠大（足夠大（n n5050） 22,xxxzSxzS2xxzS1.96xxS 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)35 例例6-36-3中，因中，因n=n=120120， ， ，試求該地正常成年男性，試求該地正常成年

14、男性 血清膽固醇平均水平的血清膽固醇平均水平的9595可信區(qū)間。可信區(qū)間。 3.86mmol/Lx 1.73mmol/L1.731.963.86 1.963.86 0.31120 xxS即（即（3.55，4.17）mmol/L 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)36常用單雙側(cè)u值 單側(cè) 雙側(cè) 0.101.2821.645 0.051.6451.960 0.022.0542.326 0.012.3262.578均數(shù)估計(jì)37同理，可推導(dǎo)出相對應(yīng)的單側(cè)可信區(qū)間同理，可推導(dǎo)出相對應(yīng)的單側(cè)可信區(qū)間 xxzxxz Sxxzxxz S 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)38總體均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算總體

15、均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算.當(dāng)當(dāng)未知未知n n 較小較小2,2,xxxtSxtS2,xxtS 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)39同理，可推導(dǎo)出相對應(yīng)的單側(cè)可信區(qū)間同理，可推導(dǎo)出相對應(yīng)的單側(cè)可信區(qū)間 ,xxtS ,xxtS 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)40 從總體中作隨機(jī)抽樣，每個樣本可以算得從總體中作隨機(jī)抽樣，每個樣本可以算得一個可信區(qū)間。如一個可信區(qū)間。如95%可信區(qū)間意味著做可信區(qū)間意味著做100次抽樣，算得次抽樣，算得100個可信區(qū)間，平均有個可信區(qū)間，平均有95個估計(jì)正確。個估計(jì)正確。 可信區(qū)間的兩個要素可信區(qū)間的兩個要素 一是準(zhǔn)確度一是準(zhǔn)確度: : 反映在可信度的大小反映在

16、可信度的大小 二是精密度二是精密度: : 反映在區(qū)間的長度反映在區(qū)間的長度 可信區(qū)間的涵義可信區(qū)間的涵義 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)41圖圖6-5 從從N（0, 1）中隨機(jī)抽樣算得的）中隨機(jī)抽樣算得的100個個95可信區(qū)間（可信區(qū)間（n=10） 總體均數(shù)的估計(jì)總體均數(shù)的估計(jì) 均數(shù)估計(jì)42 1.標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤有什么區(qū)別與聯(lián)系？標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤有什么區(qū)別與聯(lián)系？思考題思考題可信區(qū)間與參考值范圍有什么不同？可信區(qū)間與參考值范圍有什么不同？均數(shù)估計(jì)43第四節(jié)第四節(jié) 二項(xiàng)分布與二項(xiàng)分布與Poisson分布分布均數(shù)估計(jì)44 在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，有一些隨機(jī)事件是只在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，有一些隨機(jī)事件是只具有兩種

17、互斥結(jié)果的離散型隨機(jī)事件，如具有兩種互斥結(jié)果的離散型隨機(jī)事件，如某種化驗(yàn)結(jié)果的陽性與陰性，接觸某傳染某種化驗(yàn)結(jié)果的陽性與陰性，接觸某傳染源的感染與未感染等。統(tǒng)計(jì)學(xué)上將這類只源的感染與未感染等。統(tǒng)計(jì)學(xué)上將這類只具有兩種互斥結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)稱為貝努利具有兩種互斥結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn)（試驗(yàn)（Bernoulli trial）。）。 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布均數(shù)估計(jì)45【問題【問題6-4】假設(shè)服用某藥物后有10%的人出現(xiàn)過敏反應(yīng)。若3人服藥后，出現(xiàn)0、1、2或3個人過敏的概率分別是多少？均數(shù)估計(jì)46貝努利試驗(yàn)序列特點(diǎn)：貝努利試驗(yàn)序列特點(diǎn)： 每次試驗(yàn)的結(jié)果只能是兩種互斥結(jié)果中的一種；每次試驗(yàn)的結(jié)果只能是兩種

18、互斥結(jié)果中的一種； 各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響；各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響； 在相同試驗(yàn)條件下，各次試驗(yàn)中出現(xiàn)某一結(jié)果在相同試驗(yàn)條件下，各次試驗(yàn)中出現(xiàn)某一結(jié)果A A 具有相同的概率具有相同的概率。 均數(shù)估計(jì)47均數(shù)估計(jì)48 一般地，在一個n重貝努利試驗(yàn)中，令X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則隨機(jī)變量X所有可能的取值為0, 1, 2, , n，且其概率函數(shù)為： 貝努利試驗(yàn)序列中某一結(jié)果A出現(xiàn)次數(shù)的概率分布稱二項(xiàng)分布(binomial distribution), 記為：),(nBX均數(shù)估計(jì)49 n為獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)次數(shù)；為獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)次數(shù)；為陽性的概率；為陽性的概率；（1-）為陰性的概率；）為陰性的概率；

19、X為在為在n次貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)陽性的次數(shù)；次貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)陽性的次數(shù)； 表示在表示在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)X的各種組合情況稱二項(xiàng)系數(shù)的各種組合情況稱二項(xiàng)系數(shù) 。XnXXnCXP)1()(XnC均數(shù)估計(jì)50連續(xù)型分布：連續(xù)型分布：z分布、分布、t分布和分布和F分布等分布等 離散型分布：二項(xiàng)分布和離散型分布：二項(xiàng)分布和Poisson分布等分布等 在二項(xiàng)分布中，參數(shù)在二項(xiàng)分布中，參數(shù) 稱為離散參數(shù)，稱為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；參數(shù)只能取正整數(shù)；參數(shù) 是事件是事件A發(fā)生的發(fā)生的概率。概率。 n均數(shù)估計(jì)51（1）二項(xiàng)分布的概率之和等于）二項(xiàng)分布的概率之和等于1 1)1(0nXXnXXnC均數(shù)估計(jì)5

20、2（2）單側(cè)累積概率）單側(cè)累積概率至多有至多有 例陽性的概率（下側(cè)累積概率）例陽性的概率（下側(cè)累積概率）mXXnXXnCmXP0)1()(m均數(shù)估計(jì)53（2）單側(cè)累積概率）單側(cè)累積概率至少有至少有 例陽性的概率（下側(cè)累積概率）例陽性的概率（下側(cè)累積概率）m)1(1)(mxPmxP均數(shù)估計(jì)54陽性結(jié)果發(fā)生數(shù)X的總體均數(shù)n總體方差)1 (2 n 總體標(biāo)準(zhǔn)差)1 (n 均數(shù)估計(jì)55n=3,=0.300.10.20.30.40.50123456789 10 11 12 13 14 15xP(x)n=6,=0.300.10.20.30.40.5012345678910 11 12 13 14 15xP(

21、x)n=10,=0.300.10.20.30.40.50123456789 10 11 12 13 14 15xP(x)n=20,=0.300.10.20.30.40.50123456789 10 11 12 13 14 15xP(x)=0.3時時, 不同不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布值對應(yīng)的二項(xiàng)分布均數(shù)估計(jì)56均數(shù)估計(jì)57均數(shù)估計(jì)58 【例【例6-5】已知某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病率為9，試計(jì)算該地100名新生兒中有3人患先天性心臟病概率。能否用前述二項(xiàng)分布進(jìn)行計(jì)算？是否有更為簡便的計(jì)算方法？均數(shù)估計(jì)59【例【例6-5】若用二項(xiàng)分布：】若用二項(xiàng)分布：3X100n009. 09733100)009.

22、 01 (009. 0)3( CP均數(shù)估計(jì)60 Poisson分布分布 Poisson分布分布是一種重要的離散型概率分布，是一種重要的離散型概率分布，用于研究單位時間、單位人群、單位空間內(nèi)，某用于研究單位時間、單位人群、單位空間內(nèi)，某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布。具有罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布。具有n很大而事件發(fā)生很大而事件發(fā)生率很小的特點(diǎn)。率很小的特點(diǎn)。均數(shù)估計(jì)61若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，且其概率分布為eXXPX!)(, 2 , 1 , 0X 則稱X服從參數(shù)為的Poisson分布（Poissons distribution），記為 ( )X均數(shù)估計(jì)62【例【例6-5】中：】中：049. 0! 39 . 0)3(9 . 03eP3X100n009. 09 . 0n均數(shù)估計(jì)63是是Poisson分布所依賴的唯一參數(shù)分布所依賴的唯一參數(shù) 均數(shù)估計(jì)64均數(shù)估計(jì)65值愈小分布愈不對稱; 增大，Poisson分布趨于對稱; ,Poisson分布接近于正態(tài)分布. 20Poisson分布具有以下特征：分布具有以下特征： 與與 相等相等 具有可加性具有可加性2均數(shù)估計(jì)66第五節(jié)第五節(jié) 總體率的估計(jì)總體率的估計(jì)均數(shù)估計(jì)67【例【例6-6】某市疾控中心對該市郊區(qū)某市