第七章二次曲線的射影性質(zhì)

1、 兩個古老而美麗的定理兩個古老而美麗的定理. 內(nèi)容包括兩個定理及其內(nèi)容包括兩個定理及其逆定理逆定理, 以及它們的各種極限、退化形式以及它們的各種極限、退化形式. 有著重要有著重要的應(yīng)用意義！的應(yīng)用意義！簡單六點形簡單六點形654321AAAAAA簡記為：簡記為：123456三雙對邊三雙對邊12, 45；23, 56；34, 61(間隔間隔(n2)/2條邊條邊)簡單六線形簡單六線形654321aaaaaa簡記為：簡記為：123456一、一、Pascal定理與定理與Brianchon定理定理 定理定理4.7(Pascal) 定理定理4.7(Brianchon) 定理定理4.8(Pascal逆定理逆

2、定理) 定理定理4.8(Brianchon逆定理逆定理)Pascal線線Brianchon點點一、極點與極線一、極點與極線 在二次曲線理論中十分重要在二次曲線理論中十分重要, 與二次曲線的大部分重要性質(zhì)與二次曲線的大部分重要性質(zhì)有關(guān)有關(guān). 只討論二階曲線只討論二階曲線, 總假定：非退化總假定：非退化.設(shè)設(shè)) 1 (. 0| ,0:31,ijjiijjijiijaaaxxaS定義定義7.1 兩點兩點P, Q關(guān)于關(guān)于 共軛共軛. (如圖如圖) 定理定理7.13 點點P關(guān)于關(guān)于 的共軛點的軌的共軛點的軌跡為一條直線跡為一條直線Sp=0. 證明證明 設(shè)設(shè)P(pi), Q(qi). 則則PQ與與 : S

3、=0的交點的交點M(pi+ qi)滿滿足足. 022pppqqqSSS設(shè)兩根為設(shè)兩根為 1, 2. 則交點為則交點為Mj( pi+ jqi)(j=1,2). 于是于是(PQ, M1M2)= 1 1/ 2= 1 1+ 2=0 200.pqpqqqSSS將將qi 改為流動坐標改為流動坐標xi , 得得P關(guān)于關(guān)于 的共軛點的軌跡為直線的共軛點的軌跡為直線Sp=0.一、極點與極線一、極點與極線定理定理7.13 點點P關(guān)于關(guān)于 的共軛點的軌跡為一條直線的共軛點的軌跡為一條直線Sp=0.推論推論7.5 兩點兩點P, Q關(guān)于關(guān)于 共軛共軛Spq=0. 即即注注2 P在在 上上, 則則Spp=0, 規(guī)定規(guī)定：

4、 上的點關(guān)于上的點關(guān)于 自共軛自共軛.注注1 驗證兩點驗證兩點P, Q關(guān)于關(guān)于 共軛共軛, 只要驗證上式只要驗證上式. 0),(321332313232212131211321qqqaaaaaaaaappp2. 極點與極線極點與極線定義定義7.7 對于點對于點P, 若若P則稱則稱P關(guān)于關(guān)于 的的共軛點軌跡共軛點軌跡pP切線切線p為為P關(guān)于關(guān)于 的的極線極線, 方程為方程為Sp=0. 反之反之, 稱稱P為直線為直線p關(guān)于關(guān)于 的的極點極點.一、極點與極線一、極點與極線 推論推論7.6 平面上任一點平面上任一點P關(guān)于關(guān)于 的極線存在唯一的極線存在唯一, 方程方程為為Sp=0. 反之反之, 平面上任

5、一直線平面上任一直線p關(guān)于關(guān)于 的極點存在唯一的極點存在唯一. 證明證明 只要證后半只要證后半. 設(shè)直線設(shè)直線u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求求u關(guān)關(guān)于于 的極點的極點. 設(shè)設(shè)P(pi)為其一個極點為其一個極點. 由于由于P(pi)的極線唯一存在為的極線唯一存在為Sp=0, 從而從而u與與Sp=0為同為同一直線一直線, 即即2. 極點與極線極點與極線一、極點與極線一、極點與極線2. 極點與極線極點與極線)0(332211uxSuxSuxSppp即即.0,1,2,3.iipSuix二、配極變換二、配極變換1. 配極變換配極變換定義定義7.9 稱由稱由)18. 4(. 0| , 3 ,

6、 2 , 131ijjiijjjijiaaaixau決定的同底點場與線場之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線決定的同底點場與線場之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線 : S=0的的配極變換配極變換.注注2 任一非退化二階曲線任一非退化二階曲線 都決定了平面上的一個配極變換都決定了平面上的一個配極變換.)18. 4(0, 0|333223113332322211223132121111ijaxaxaxauxaxaxauxaxaxau 注注1 (4.18) 即即表示點表示點x與直線與直線u是關(guān)于是關(guān)于 : S=0的極點極線關(guān)系的極點極線關(guān)系.注注4非異實對非異實對稱矩陣類稱矩陣類非退化非退化二階曲線二階曲線配

7、極變換配極變換二、配極變換二、配極變換1. 配極變換配極變換 注注 本定理為配極變換最基本的幾何性質(zhì)本定理為配極變換最基本的幾何性質(zhì). 定理定理7.14(配極原則配極原則)點點P關(guān)于關(guān)于 的極線的極線p通過點通過點Q點點Q關(guān)于關(guān)于 的極線的極線q通過點通過點P. 定理定理7.14(配極原則配極原則) 直直線線p關(guān)于關(guān)于 的極點的極點P在直線在直線q上上直線直線q關(guān)于關(guān)于 的極點的極點Q在直線在直線p上上.一、二階曲線的奇異點一、二階曲線的奇異點1. 定義定義 定義定義7.20 若點若點P0(p0i)的坐標是方的坐標是方程組程組) 1)(, 3 , 2 , 1,(031ijjiijjjijaia

8、axa秩的非零解的非零解, 則稱則稱P0為二階曲線為二階曲線 ：31,0jijiijxxa的一個的一個奇異點奇異點. 注注1. P0為為 的奇異點的奇異點 P0在在 上上, 且且Sp0=0. 注注2. : S=0有奇異點有奇異點|aij|=0 為退化為退化的的. 注注3. 若秩若秩(aij)=2, 則則 有唯一奇異點；若秩有唯一奇異點；若秩(aij)=1, 則則 有無窮多的奇異點有無窮多的奇異點, 構(gòu)成一條直線構(gòu)成一條直線.2. 性質(zhì)性質(zhì) (1). 定理定理7.24. 上一點上一點P為奇異點為奇異點P與與 上任一點連線上的上任一點連線上的點都在點都在 上上.二、二階曲線的射影分類二、二階曲線的

9、射影分類1. |aij| 0,秩秩(aij)=3.再作一次僅改變單位點的射影坐標變換再作一次僅改變單位點的射影坐標變換3 , 2 , 1,|1 ixaxiiiiS=0又可化為又可化為. 0 2 32 22 1xxxS去掉去掉“ ”之后之后, 由于由于齊次性齊次性及及x1, x2, x3的的平等性平等性, 只有兩種情只有兩種情況況. 0233322222111xaxaxaS2221230.xxx實二階曲線（長圓曲線）虛二階曲線（零曲線）. 0232221xxx綜上綜上, 非退化二階曲線的方程必可化為上述兩種非退化二階曲線的方程必可化為上述兩種標準方程標準方程之一之一.二、二階曲線的射影分類二、二

10、階曲線的射影分類2. |aij|=0,秩秩(aij)=2. 退化為兩條相交直線退化為兩條相交直線m1,m2 取新的射影坐標系如圖所示取新的射影坐標系如圖所示, 的方的方程可化為程可化為. 02221xx即即一對相交實直線. 02221xx一對共軛虛直線. 02221xx一對相交實直線. 02221xx 綜上綜上, 當二階曲線當二階曲線 退化且秩為退化且秩為2時時, 其方程必可化為其方程必可化為上述兩種上述兩種標準方程標準方程之一之一.二、二階曲線的射影分類二、二階曲線的射影分類3. |aij|=0,秩秩(aij)=1. 退化為一條完全由奇異點構(gòu)成的直線退化為一條完全由奇異點構(gòu)成的直線. 取此直

11、線為取此直線為坐標三點形的一邊坐標三點形的一邊, 比如比如A2A3, 則則S=0必可化為必可化為一對重合實直線 . 021x 綜上綜上, 當當 退化且秩為退化且秩為1時時, 的方程必可化為上述的方程必可化為上述標準方程標準方程. 由以上討論由以上討論, 二階曲線被分成二階曲線被分成5個等價類個等價類, 屬于同一等屬于同一等價類的二階曲線的方程必可化為上述價類的二階曲線的方程必可化為上述5種標準方程之一種標準方程之一.一、二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系一、二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系 定義定義7.21 對于任意的二階曲線對于任意的二階曲線 , 若若 交交l 于兩個于兩個相異的實點相異的實點重合的實點重

12、合的實點共軛的虛點共軛的虛點, 則稱則稱 為為雙曲型雙曲型的的拋物型拋物型的的.橢圓型橢圓型的的若若 非退化非退化, 則稱為則稱為雙曲線雙曲線拋物線拋物線.橢圓橢圓雙曲線雙曲線拋物線拋物線橢圓橢圓約定約定 本節(jié)與下節(jié)本節(jié)與下節(jié), 僅在僅在射影仿射平面射影仿射平面上討論上討論, 即指定即指定 l : x3=0.一、二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系一、二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系設(shè)設(shè)) 1 (. 1)(,0:31,ijjiijjijiijaaaxxaS秩其中其中xi為為射影仿射坐標射影仿射坐標, 則則x1, x2地位平等而地位平等而x3特殊特殊. 與與l 的交點為的交點為003xS, 0222222112

13、2111xaxxaxa解出解出x1:x2即得交點即得交點(x1,x2,0). 于是于是,對于對于x1:x2, 有兩個有兩個相異的實根相異的實根重合的實根重合的實根共軛的虛根共軛的虛根0003322121211Aaaaa 為為雙曲型雙曲型的的拋物型拋物型的的.橢圓型橢圓型的的 定理定理7.25 對于二階曲線對于二階曲線 : S=0, A33的符號為仿射的符號為仿射不變的不變的.由于由于l ： x3=0為仿射不變的為仿射不變的, 因此二階曲線與因此二階曲線與l 的相交的相交情況也是仿射不變的情況也是仿射不變的, 所以有下列定理所以有下列定理二、二階曲線的中心二、二階曲線的中心 定義定義7.22 l

14、 關(guān)于關(guān)于 的極點的極點C稱為稱為 的的中心中心. (1) 通常點通常點C為為 的中心的中心C為為 的對稱中心的對稱中心(即即C為過為過C的弦的中點的弦的中點). (2) 雙曲線雙曲線, 橢圓的中心為有窮遠點；拋物線的中心為橢圓的中心為有窮遠點；拋物線的中心為無窮遠點無窮遠點.雙曲線雙曲線橢圓橢圓有心二階曲線有心二階曲線. 033A無心二階曲線無心二階曲線拋物線拋物線. 033A因為中心因為中心C為為l 的極點的極點, 設(shè)設(shè)C(c1,c2,c3). 則中心方程組為則中心方程組為.100321332313232212131211cccaaaaaaaaa00323222112313212111ca

15、cacacacaca0021CCxSxS.:333231321AAAccc于是于是, 中心坐標為：中心坐標為：有心二階曲線有心二階曲線：(A31, A32, A33).無心二階曲線無心二階曲線：(A31, A32, 0). 即即(a12, a11, 0)或或(a22, a12, 0).易犯之錯：易犯之錯：A32的符號！的符號！三、直徑與共軛直徑三、直徑與共軛直徑(1). 直徑直徑仿射定義仿射定義解幾定義解幾定義 無窮遠點無窮遠點P 的的有窮有窮遠遠極線極線(過中心的過中心的通常通常直線直線). 一組平行弦中點的一組平行弦中點的軌跡軌跡.(XY, ZP )= 1(2). 共軛直徑共軛直徑 直徑直

16、徑AB的共軛直的共軛直徑為徑為AB上無窮遠點上無窮遠點P 的極線的極線EF(相互通過相互通過對方極點的兩直徑對方極點的兩直徑). 直徑直徑AB的共軛直徑的共軛直徑為平行于為平行于AB的弦的中的弦的中點軌跡點軌跡EF.(XY, ZP )= 1仿射定義仿射定義解幾定義解幾定義(3). 共軛方向：與一對共軛直徑平行的方向共軛方向：與一對共軛直徑平行的方向.l 不是任何二階曲線的直徑！不是任何二階曲線的直徑！利用中心坐標利用中心坐標, 可直接寫出可直接寫出 的直徑方程為的直徑方程為.)(012113212111bxaaybbxxaxa即為常數(shù)或者或者.)(022123222112bxaaybbxxax

17、a即為常數(shù)四、漸近線四、漸近線 1. 定義定義. 二階曲線上無窮遠點處的二階曲線上無窮遠點處的有窮遠切線有窮遠切線稱為其稱為其漸近線漸近線.注注1. 等價定義等價定義：過中心的有窮遠切線稱為漸近線：過中心的有窮遠切線稱為漸近線.注注2. 與漸近線平行的方向稱為與漸近線平行的方向稱為漸近方向漸近方向.注注3.雙曲線雙曲線橢橢 圓圓有兩條有兩條實實虛虛漸近線漸近線, 一對漸近方向；拋物線無漸近線一對漸近方向；拋物線無漸近線.從而從而, 漸近線只對有心二階曲線討論漸近線只對有心二階曲線討論.問題：問題：在射影仿射平面上在射影仿射平面上, 給定給定) 1 (. 1)(,0:31,ijjiijjijii

18、jaaaxxaS秩適當選取射影仿射坐標系適當選取射影仿射坐標系, 將將 的方程化為的方程化為射影仿射標射影仿射標準方程準方程. 依據(jù)：依據(jù)： 的秩的秩, A33的符號的符號, 將雙曲型、拋物型、橢圓將雙曲型、拋物型、橢圓型三類曲線進一步細分為若干射影仿射等價類型三類曲線進一步細分為若干射影仿射等價類, 得到每得到每一類的一類的標準方程標準方程. 注意：注意：由由l ：x3=0在射影仿射平面上的特殊性在射影仿射平面上的特殊性, 故在故在選取新的射影仿射坐標系時必須保持選取新的射影仿射坐標系時必須保持A1, A2總在總在l 上上.一、一、 非退化非退化|aij| 0,秩秩(aij)=3.1. A330, 有心二階曲線有心二階曲線. 以以A1A2A3為坐標三點形為坐標三點形, 適當選取單位點適當選取單位點E(按單位點規(guī)則按單位點規(guī)則), 建立新的仿射坐標系建立新的仿射坐標系. 0 232221xxxS注意到注意到x1, x2地位平等地位平等,