位移分析與剛度設(shè)計

1、第八章第八章 位移分析與剛度設(shè)計位移分析與剛度設(shè)計本章重點本章重點 1. 拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲變形計算；拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲變形計算； 2. 疊加法、能量法求變形；疊加法、能量法求變形； 3. 靜不定問題解法；靜不定問題解法； 4. 桿件剛度的合理設(shè)計。桿件剛度的合理設(shè)計。8 8-1 -1 拉（壓）變形計算拉（壓）變形計算一、縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變一、縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變ll bb橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變lllbbbPP二、虎克定理二、虎克定理NF llEANFllE AE E當構(gòu)件工作應(yīng)力當構(gòu)件工作應(yīng)力 p時時應(yīng)力應(yīng)力 與應(yīng)變與應(yīng)變 成正比成正比即即,NFllA考慮到考慮到即即E為

2、彈性模量，為彈性模量，EA稱為稱為抗拉（壓）剛度抗拉（壓）剛度或或橫向變形橫向變形： 單向應(yīng)力狀態(tài)下單向應(yīng)力狀態(tài)下 p 時時 稱為橫向變形系數(shù)或稱為橫向變形系數(shù)或泊松（泊松（Poisson）比）比公式的應(yīng)用范圍與注意事項：公式的應(yīng)用范圍與注意事項：2、構(gòu)件的工作應(yīng)力、構(gòu)件的工作應(yīng)力 p （線彈性范圍內(nèi)）；（線彈性范圍內(nèi)）；3、軸力、橫截面面積、軸力、橫截面面積A為常量為常量等直桿兩端受軸向力。等直桿兩端受軸向力。討論：討論：1.1.軸力變化時：軸力變化時：1、L為為“+”時伸長，為時伸長，為“-”時縮短。符號規(guī)時縮短。符號規(guī)定與軸力一致；拉為定與軸力一致；拉為“+”，壓為，壓為“-”；BCAB

3、lll21B CA BNNFlFlE AE A2.2.橫截面變化時：橫截面變化時：CAB階梯狀桿階梯狀桿BCABlll1l2lBC3P2P1PAlP lE A( )dd( )NFxlxEA x ()d()NlFxlxEA x三、變截面桿：三、變截面桿：( )NF x( )NF x錐角錐角較小，如較小，如10度度xdxlPP例例1 1：圖示桿，圖示桿，1段為直徑段為直徑 d1=20mm的圓的圓桿，桿，2段為邊長段為邊長a=25mm的方桿，的方桿，3段為直段為直徑徑d3=12mm的圓桿。已知的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力段桿內(nèi)的應(yīng)力2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長，求整個桿的伸長L。

4、（不考慮應(yīng)力集中）（不考慮應(yīng)力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解解: :PA22230251875.kN312312123NNNF lF lFlLEAEAEA2292187500.020.012210100.025440.272mm （縮短）（縮短）PP1230.2m0.4m0.2m例例2 2：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點A的垂直位移的垂直位移.PABC EAlEAl22cosPlAAEA解解: :小變形條件下小變形條件下切線替代圓弧切線替代圓弧APcos221PFFNNcos2121EAPlEAlFllNAN2FN1F一、分析構(gòu)件受力：一、分析構(gòu)件受力：取取B點研究

5、點研究例例3 3：簡單托架，簡單托架，BC桿為桿為圓鋼，直徑圓鋼，直徑d=20mm，BD桿桿為為8號槽鋼。號槽鋼。=160MPa，E=200GPa，P=60KN。試求。試求B點的位移。點的位移。解解: :PBN1FN2F（“-”表示表示FN2與圖示方向相反，為壓力）與圖示方向相反，為壓力）BDC4m3mPkN45431 PFNkN75452PFN二、分析計算二、分析計算B點的位移點的位移假想把假想把B節(jié)點松開節(jié)點松開受力后受力后B點移到點移到B其位移其位移2BB1B3B4BBDC3mP4m1 32sinBB323B BB B ctg2321cosB BBPN1FN2F111111BBAELFl

6、N222222BBAELFlN2BB1B3B4BBDC3mP4m水平位移水平位移鉛垂位移鉛垂位移5BBmmm1015. 210204102003104536293111111BBAELFLN查型鋼表得：查型鋼表得：22cm24.10Am1083. 11024.1010200510753493222222BBAELFlNmm15. 21lmm9 . 3ctgcossin122lll例例4 4：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點A的位移。的位移。AEAEA21PLAEAEA21PL解解: :取取A點研究點研究PA12,0PLllEAAN1FN2F1l0,21NNFPF鉛垂位移鉛垂

7、位移)(1l水平位移水平位移)(ctg1l例例5 5：圖示結(jié)構(gòu)中三桿的剛度均為圖示結(jié)構(gòu)中三桿的剛度均為EA，AB 為剛體，為剛體，P、l、EA皆為已知。求皆為已知。求C點的垂直點的垂直和水平位移。和水平位移。ll /2l /212345PACBl ll l /2l l /212345PACB解解: :NNPN13220,llPlEAl13220,C點水平位移點水平位移=鉛垂位移鉛垂位移 l1Pl /2l /245A C BN1N2N3例例6 6：求考慮自重影響的等直桿變形。已知求考慮自重影響的等直桿變形。已知P、桿長、桿長L、A、E、容重、容重 。若已知若已知 求許可桿長。求許可桿長。P解：解

8、：1、求軸力、求軸力FN(x)Pxxx2、求變形：、求變形：dxdxFN(x)FN(x)取微段取微段dx研究研究FN(x)xP+ AL PFN(x) 0:0AxPxFFNx AxPxFN xxAPEEAxxFxNd1dd3、求、求許可桿長許可桿長APAL:NmaxmaxAALPAF由ELEAPLdxxAPEL2)(120積分：積分：例例7 7：圖示變截面桿左右兩端直徑分別為圖示變截面桿左右兩端直徑分別為D、d, 作用有軸向壓力作用有軸向壓力P，不計桿件自重，材料彈性模量，不計桿件自重，材料彈性模量為為E，桿長，桿長L。試求桿件的變形。試求桿件的變形。DdPP解解: :取微段取微段dx研究研究x

9、dx設(shè)距左端為設(shè)距左端為x處橫截面的處橫截面的直徑為直徑為dd(1)DdxdDDL 222( )(1)44DdxA xdDDL( )NFxP 對微段來說對微段來說( )4( )NlFxdxP LlE A xD d E （縮短）（縮短）三、拉（壓）桿超靜定問題的解法靜定問題靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問題稱為可解出全部未知力，這類問題稱為靜定問題靜定問題，相，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)。超靜定問題：超靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)

10、若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題稱為超靜定問便無法確定全部未知力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題題或靜不定問題.相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)或或靜不靜不定結(jié)構(gòu)定結(jié)構(gòu)多余約束：多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)在靜定結(jié)構(gòu)上加上的一個或幾個約束，上加上的一個或幾個約束，對于維持平衡來說是不必對于維持平衡來說是不必要的約束稱要的約束稱多余約束多余約束。對。對應(yīng)的約束力稱應(yīng)的約束力稱多余約束反多余約束反力力 由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上結(jié)構(gòu)的

11、內(nèi)力及變形，在工程上（如橋梁等）應(yīng)用非常廣泛。（如橋梁等）應(yīng)用非常廣泛。超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與平衡未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)12PA11AE22AECBRARB拉（壓）桿超靜定問題的解法拉（壓）桿超靜定問題的解法比較變形法比較變形法 把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但題解，但必須滿足原結(jié)構(gòu)的變必須滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。形約束條件。1、選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），、選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端解端解除多余約束，代之以約束反力除多余約束，代之以約束反力RB解解：12FC11AE22AEBABR例例8

12、8. 桿上段為銅，下段為鋼桿，桿上段為銅，下段為鋼桿，上、下段長度、截面積以及材料的上、下段長度、截面積以及材料的彈性模量分別為彈性模量分別為l1，l2、A1、A2、E1、E2，桿的兩端為固支，桿的兩端為固支，求兩段，求兩段的軸力。的軸力。3、比較兩次計算的變形量，其值、比較兩次計算的變形量，其值應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程求解。求解。2、求靜定基僅在原有外力作用下和僅在代替約束的、求靜定基僅在原有外力作用下和僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移約束反力作用下于解除約束處的位移0ABAC12FC11AE22AEBA)(111AEFACCBR為負值）BB

13、ABBRAEAER)(222111)122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA拉（壓）桿超靜定問題的解法拉（壓）桿超靜定問題的解法幾何變形法幾何變形法 解超靜定問題必須找出求解所有未知約束解超靜定問題必須找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件-即即滿足變形相容條件滿足變形相容條件（變形協(xié)調(diào)條件）變形協(xié)調(diào)條件）。關(guān)鍵：關(guān)鍵：變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件注意：注意：力與變形一致力與變形一致例例9 9：圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu)1、2桿抗拉剛度為桿

14、抗拉剛度為E1A1，3桿為桿為E3A3，在在F力作用下，求各桿內(nèi)力。力作用下，求各桿內(nèi)力。解解: : 1、 畫畫A結(jié)點受力圖，建立結(jié)點受力圖，建立 平衡方程平衡方程未知力個數(shù)未知力個數(shù)3 3個，平衡方程數(shù)個，平衡方程數(shù)2 2個，個，故為一次超靜定。故為一次超靜定。FA123AxyFFN1FN2FN321:0NNxFFFFFFFNNy31cos2:0A213213、代入物理關(guān)系，建立補充方程、代入物理關(guān)系，建立補充方程21cos31A32、如圖三桿鉸結(jié)，畫、如圖三桿鉸結(jié)，畫A結(jié)點位移圖結(jié)點位移圖,列出變形相容條件列出變形相容條件。要注意所設(shè)的。要注意所設(shè)的變形性質(zhì)必須和受力分析中設(shè)定的變形性質(zhì)必

15、須和受力分析中設(shè)定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知力的性質(zhì)一致。由對稱性知cos11111111AElFAElFlNN33333333AElFAElFlNN4、聯(lián)立、聯(lián)立、求解求解333113211331cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos3313111AElFAElFNN由由式可知：式可知：例例10 10：圖示桁架，已知圖示桁架，已知3根桿的材料及橫截面完全相根桿的材料及橫截面完全相同，即同，即EA相等。求各桿的內(nèi)力及相等。求各桿的內(nèi)力及B點的水平位移和鉛點的水平位移和鉛垂位移。垂位移。3030L321B30P解解: :1、確定靜不定次數(shù)、確定靜不定次數(shù)1次次2、列靜力

16、平衡方程、列靜力平衡方程研究研究B節(jié)點節(jié)點1F2F3F312sin30cos030cos3:00PFFFX31sin30sin300:cos300FFYP3、物理關(guān)系、物理關(guān)系（伸長）（伸長）（伸長）（伸長）（縮短）（縮短）30cos11EALFl EALFl2230cos33EALFl 4、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系3030L321B30P1F2F3F123B1B2B3BB添加輔助線添加輔助線abCab=BC-Ba-bC聯(lián)立求解可得：聯(lián)立求解可得：1231.030.2170.703FPFPFP（拉力）（拉力）（拉力）（拉力）（壓力）（壓力） l3 l2 l130tg30sin30sin30t

17、g2312llll3123lll溫度應(yīng)力：溫度應(yīng)力：超靜定結(jié)構(gòu)中，由于溫度超靜定結(jié)構(gòu)中，由于溫度變化，使構(gòu)件膨脹或收縮而產(chǎn)生的附加變化，使構(gòu)件膨脹或收縮而產(chǎn)生的附加應(yīng)力。應(yīng)力。不容忽視！不容忽視！高溫管道間隔一定距離彎一個伸縮節(jié)高溫管道間隔一定距離彎一個伸縮節(jié)路、橋、建筑物中的伸縮縫路、橋、建筑物中的伸縮縫8 8- -2 2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算ddxTGIpddTGIxpTGIxplddmmxdxdxNF llEA 比較拉壓變形比較拉壓變形：公式適用條件：公式適用條件：1、當、當p（剪切比例極限）公式才成立（剪切比例極限）公式才成立2、僅適用于圓桿（平面假設(shè)對圓桿才成立）

18、、僅適用于圓桿（平面假設(shè)對圓桿才成立）4、對于小錐度圓桿（截面緩慢變化）可作近似計算、對于小錐度圓桿（截面緩慢變化）可作近似計算3、扭矩、面積沿桿軸線不變化（、扭矩、面積沿桿軸線不變化（T、Ip為常量）為常量）GIp稱為抗扭剛度稱為抗扭剛度若若constT 則則pGITl圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件max pTWddpTxGImaxmax()180pTGIrad/m/m單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角強度條件：強度條件：剛度條件：剛度條件：例例1313：已知一直徑已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭的鋼制圓軸在扭轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為 6時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于90MPa，G=80GP

19、a。求該軸長度。求該軸長度。解：解：(1)pTlGImax(2)pTW( )( )12得：maxppIGlW618080100059010296. 233.m例例14 14：圓截面橡膠棒的直徑圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后受扭后,原原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由來表面上的圓周線和縱向線間夾角由 90變?yōu)樽優(yōu)?88。如桿長。如桿長 l=300mm，試求兩端截面間的相，試求兩端截面間的相對扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量對扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩m。mdl解：解：由由ld2得ld222300

20、4030max G272180. 009425.MPamaxpmW009425100041663.118.N m2例例15 15：有兩根圓軸，一為實心軸，一為空心軸，它有兩根圓軸，一為實心軸，一為空心軸，它們的長度、橫截面面積和承受的外力偶矩均相同。外們的長度、橫截面面積和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩力偶矩m=10KNm，軸長，軸長l=1m，剪切模量，剪切模量G=80GPa，實心軸直徑為實心軸直徑為104mm，空心軸外徑為，空心軸外徑為120mm，內(nèi)徑為，內(nèi)徑為60mm。試比較它們的最大扭轉(zhuǎn)角。試比較它們的最大扭轉(zhuǎn)角。解：解：實心軸實心軸PT lG I34129(10 10 ) 110410

21、(80 10 )32310.89 10 rad空心軸空心軸36.55 10 radPT lG I344129(10 10 ) 1(12060 ) 10(80 10 )323310.89 101.6636.55 10實空ACB1m2m3mABlACl例例16 16：鋼制實心圓截面軸，鋼制實心圓截面軸，d=70mm ，G=80GPa，lAB300mm， lAC500mm，m1=1592Nm， m2=955Nm， m3=637Nm，試求截面試求截面C相對截面相對截面B的扭轉(zhuǎn)角。的扭轉(zhuǎn)角。解：解：假設(shè)假設(shè)A截面不動截面不動ABABBAPTlG IACACCAPTlG I3412995530010701

22、0(8010 )3234129637500107010(8010 )3231.52 10 rad31.69 10 rad41.7 10CBCABArad方向同方向同m3第一種解法第一種解法ACB1m2m3mABlAClm1=1592Nmm2=955Nmm3=637Nm第二種解法第二種解法 疊加法疊加法 在線彈性范圍和小變形在線彈性范圍和小變形條件下，可采用條件下，可采用疊加法疊加法 假設(shè)假設(shè)B截面不動。分別截面不動。分別求出在求出在m1和和m3單獨作用下，單獨作用下，C截面相對截面相對B截面的扭轉(zhuǎn)角，截面的扭轉(zhuǎn)角，然后疊加。然后疊加。ACB1m2m3mABlAClm1=1592Nm,m2=95

23、5Nm,m3=637Nm31()ABACABCBPPmllm lG IG I33412412991592 300 10637 (300500) 1070107010(80 10 )(80 10 )323241.7 10 rad轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)向與m1相反與相反與m3相同相同扭轉(zhuǎn)超靜定問題解法扭轉(zhuǎn)超靜定問題解法例例17 17：兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C受受外力偶矩外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。mCBA b解：解：mmmAB靜力平衡方程為：靜力平衡方程為：0ABACCB變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：maG Im bG I

24、ApBp0即：即：Am bmlBm amlmCBA bmmBmA8-3 彎曲變形計算 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。 橋式起重機的橫梁變形過大橋式起重機的橫梁變形過大, ,則會使小車行走則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形

25、，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。P2P2P一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程 1 1、撓曲線、撓曲線撓曲線撓曲線2 2、撓度和轉(zhuǎn)角、撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定：規(guī)定：向上的撓度為正向上的撓度為正 逆時針的轉(zhuǎn)角為正逆時針的轉(zhuǎn)角為正撓曲線方程：撓曲線方程：( )y f x轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：d( )dyfxx tan撓度撓度y(f)：橫截面形心處的鉛垂位移：橫截面形心處的鉛垂位移轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度yxyx3 3、梁的撓曲線近似微分方程、梁的撓曲線近似微分方程zEIM1Kyy()/123 2曲線曲線y=f(x)的曲率為：的曲率

26、為：梁純彎曲時中性層的曲率：梁純彎曲時中性層的曲率：2 3/21(1)yy y zMyEIyMEI 或EIyM M 0 xy0y MMMMM 00yxy式中積分常數(shù)式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定由邊界條件和連續(xù)條件確定( )EIyM x ( )dEIyM xxC ( )d dEIyM xx xCxD二、積分法求彎曲變形二、積分法求彎曲變形沒有約束無法確定位移沒有約束無法確定位移約束對位移的影響約束對位移的影響1 1、連續(xù)光滑曲線，鉸支座對位移的限制、連續(xù)光滑曲線，鉸支座對位移的限制0AByy2 2、連續(xù)光滑曲線，固定端對位移的限制、連續(xù)光滑曲線，固定端對位移的限制0,0BBy3 3

27、、光滑連續(xù)條件、光滑連續(xù)條件PCccccyy例18：已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁。試求圖示簡支梁在均布載荷在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定定max和和ymax。xylq解：解：M xqlxqx( ) 222222qlqEIyxx 2346qlqEIyxxC 341224qlqEIyxxCxD由邊界條件：由邊界條件：000 xyxly時，時，得：得：CqlD 3240,xqlxyAB梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：qEIlxxl2464233()233(2)24qxylxxlEI最大轉(zhuǎn)角

28、和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABqlEI3244max25384lxqlyyEI xqlxyAB A B例19：已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁。試求圖示懸臂梁在集中力在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定定max和和ymax。xylPAB解：解：M xP lx( )() EIyPxPl 22PEIyxPlxC 3262PPlEIyxxCxD由邊界條件：由邊界條件：00,0 xyy時，得：得：CD 0 xylPABx梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：PxEIxl22()2(3

29、 )6PxyxlEI最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max BPlEI223max3BPlyyEI xylPABxB例例2020：已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支。試求圖示簡支梁在集中力梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定并確定max和和 ymax。xyl2PABCl2解：解：ACM xPx段：( ) 22PEIyx 24PEIyxC 312PEIyxCxD由邊界條件：由邊界條件：00 xy時，得：得：D 0由對稱條件：由對稱條件：02lxy時，得：得：CPl 216xyl2PABCl2xAC段段梁的轉(zhuǎn)角方程和

30、撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：PEIxl16422()22(43)48PxyxlEI最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABPlEI2163max248lxPlyyEI xyl2PABCl2x討論：討論：0c例例21 21：已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和ymax。yaqABCxaaaDE解：解：由對稱性，只考慮半跨梁由對稱性，只考慮半跨梁ACDMxqaxxa11110()()112222()2EIyqaxqEIyqaxxaMxqaxqxaa

31、xa22222222()()()yaqABCxaaaDEqaqax1x2由連續(xù)條件由連續(xù)條件：121212,xxayyyy時21112qaEIyxC由邊界條件：由邊界條件：由對稱條件由對稱條件：得CCDD1212110,0 xy時得 D10222,0 xay時得 Cqa23116 11EIyqax2222()2qEIyqaxxa3111 116qaEIyxC xD232222()26qaqEIyxxaC34222222()624qaqEIyxxaC xD梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：22111233222223111134322222(113)06 3()11

32、26(11)06 4()44224qaaxxaEIqaxxaaaxaEIqaya xxxaEIqyaxxaa xaxaEI 最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：13max10116AxqaEI 24max22198xaqayyEI 例例2222：圖示變截面梁懸臂梁，試用積分法圖示變截面梁懸臂梁，試用積分法求求A端端的撓度的撓度fA解：解：AC段（段（0 x l/2）( )M xP x EIyP x 212PEIyxC 3116PEIyxCx D( )M xP x 2EIyP x 2222PEIyxC 32226PEIyxC xD 2lABP2IICx2lCB段（段（ l/2 x

33、 l）由邊界條件：由邊界條件：由連續(xù)條件：由連續(xù)條件：2ClxC左C右左C右時,y=y,=得：得：232211,23CPlDPl 231153,1616CP lDP l AC段撓度方程為：段撓度方程為：3231153()61616yPxPl xPlEI令令0 x 得得:3316APlfEI ( )x=l時時，y=0，=0三、疊加法求彎曲變形三、疊加法求彎曲變形 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各

34、自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷共變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。例例2323：用疊加法求用疊加法求fC、 A、 B。qPmABCl/2l/2解：解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加將梁上的各載荷分別引起的位移疊加Cf 53844qlEIPlEI348mlEI216 ( )AqlEI324PlEI216mlEI3( ) BqlEI324PlEI216mlEI3( ) mA B CqPl/2 l/2A B Cql/2 l/2A

35、B CPl/2 l/2A B Cml/2 l/2逐段剛化法：逐段剛化法：變形后：變形后：AB AB BC BC變形后變形后AB部分部分為曲線，但為曲線，但BC部分仍為直線。部分仍為直線。C點的位移為：點的位移為：wc2LwwwwBBcBc例例2424：求外伸梁求外伸梁C點的位移。點的位移。解：解：將梁各部分分別將梁各部分分別引起的位移疊加引起的位移疊加ABCP剛化剛化EI= LaCABPPCfc11、BC部分引起的位移部分引起的位移fc1、c1c1EIpafc331EIpac2212、AB部分引起的位移部分引起的位移fc2、c2CABP剛化剛化EI= fc2 B2P B2aEIPaLafBc3

36、2223BPaLEI 21cccfff21cccPa例例2525：已知梁的已知梁的EI為常數(shù)，今欲使梁的撓為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在曲線在x=l/3處出現(xiàn)一拐點，則比值處出現(xiàn)一拐點，則比值m1/m2為為多少？多少？lm2xm1解：解：由梁的撓曲線近似微分方程由梁的撓曲線近似微分方程( )EIyM x 知，在梁撓曲線的拐點處有：知，在梁撓曲線的拐點處有：從彎矩圖可以看出：從彎矩圖可以看出：2121mmlm2xm1M 0Mm2m1拐點：曲線凹與凸拐點：曲線凹與凸 的分界點的分界點0y 例例2626：欲使欲使AD梁梁C點撓度為零，求點撓度為零，求P 與與q的關(guān)系的關(guān)系。qPACBD 解：解：45 (

37、2 )384CqafEI PaaEI()2162 0Pqa56qPA C B D qA C B D PA C B D PPA C B D 例例2727：若圖示梁若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶，則力偶矩矩m等于多少？等于多少？PmACB 解：解：BPaEI 22maEI20mPa4PmA C B PA C B mA C B 例例2828：求圖示梁求圖示梁 C、D兩點的撓度兩點的撓度 fC、fD。qqA C B D 2 解：解：qqA C B D 2 qqA C B D 2 445 (2 )50,38424CDqaqaffEIEI 例例2929：求圖示梁求圖示梁B、D兩處的撓度兩處的撓度

38、 fB、fD2 q2q A C B D解：解： 434(2 )(2 )14833BqaqaaqafEIEIEI 342(2 )82483BDfqaaqafEIEIqa為為B處約束力處約束力qABq 2q CBD2 q2q A C B D例例3030：用疊加法求圖示變截面梁用疊加法求圖示變截面梁B、C截截面的撓度面的撓度 fB 、 fC 。PEI2EI ABC解：解：323(2)2(2)BPaPa afEIEI33BBCfaPafEI 3512PaEIBPaEIPa aEI22 22()234PaEI順時針 332PaEIEIC2EIAB PCEIBPEIP2EIABPP 例例31 31：用疊加

39、法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。P ABCq 解：解：3364BCqaqaEIEI順時針BqaaEIqaaEI22223216()312qaEI順時針 445824BCqaqafEIEIaP=q P=q m=q /2ABqCBP=q qABC 例例3232：用疊加法求圖示梁跨中的撓度用疊加法求圖示梁跨中的撓度fC和和B點的轉(zhuǎn)角點的轉(zhuǎn)角B（k為彈簧系數(shù)）。為彈簧系數(shù)）。qABCEIkl /2l /2解：解：彈簧縮短量彈簧縮短量BqkqlEIqlEI8224222433378384qqakEI順時針 4516768CqlqlfkEI qlk88qlB處反力=kqEIl l

40、 /2l l /2ABCqkABCq/2ABCq/2q/2ABC例例3333：圖示梁圖示梁B處為彈性支座，彈簧剛處為彈性支座，彈簧剛 度度k=EI/2a3，求，求C端撓度端撓度fC。qEIk 2 2 ABC解：解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的梁不變形，僅彈簧變形引起的C點撓度為點撓度為 41332CqaqafkEI 342(2 )243CqaqafaEIEI(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的彈簧不變形，僅梁變形引起的C點撓度為點撓度為(3)C點總撓度為點總撓度為 41283CCCqafffEIBqa處 反 力 =qk 2 ABCqk 2 ABCqk 2 ABCEIALBq四、靜不定梁的解法

41、用用“多余多余”反力反力代替代替“多余多余”約束，約束，就得到一個形式上就得到一個形式上的靜定梁，該梁稱的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的相為原靜不定梁的相當系統(tǒng)當系統(tǒng),亦稱亦稱基本靜基本靜定系定系。 一個靜不定結(jié)構(gòu)一個靜不定結(jié)構(gòu)往往有多個基本靜往往有多個基本靜定系定系l l qABqABRBqBAMA例例3535：求圖示靜不定梁的支反力。求圖示靜不定梁的支反力。qABl 解法一：解法一：將支座將支座B看看成多余約束，變形協(xié)調(diào)成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：條件為：0Bf 即R lEIqlEIB34380RqlB38ABql l ABqRB 解法二：解法二：將支座將支座A對截對截面轉(zhuǎn)動的約束看成多余約

42、面轉(zhuǎn)動的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：束，變形協(xié)調(diào)條件為：A 0即M lEIqlEIA32403MqlA182ABql l qBAMA例例3636：為了提高懸臂梁為了提高懸臂梁AB的強度和剛度，的強度和剛度， 用短梁用短梁CD加固。設(shè)二梁加固。設(shè)二梁EI相同，試求相同，試求 (1) 二梁接觸處的壓力；二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值；梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后加固前后B點撓度的比值。點撓度的比值。PABCD 解：解：(1)變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：DDABCDff即5633333PaEIR aEIR aEIDD54DRP(2)(3)自行完成自

43、行完成PBACDRD例例3737：梁梁ABC由由AB、BC兩段組成，兩段梁兩段組成，兩段梁的的EI相同。試繪制剪力圖與彎矩圖。相同。試繪制剪力圖與彎矩圖。qABC 解：解：變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：BBABBCff334833BBR aR aqaEIEIEI即316BRqa其余自行完成！自行完成！qABBCRB例例3838：圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu)AB梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EI，CD桿的抗拉剛度為桿的抗拉剛度為EA，已知，已知P、L、a。求。求CD桿所受的拉力。桿所受的拉力。PABCDa2L2L解：解：變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：DaCPABC2L2LCR3()48CCRaPRLEAE

44、I3348CA LRPA LI aCCDfl8 8- -4 4 能能 量量 法法 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能彈性應(yīng)變能，簡稱，簡稱應(yīng)變能應(yīng)變能。 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)值物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即VW( (功能原理）功能原理）能量法：能量法：從功和能的角度出發(fā)，分析從功和能的角度出發(fā)，分析 桿件的內(nèi)力、應(yīng)力和位移。桿件的內(nèi)力、應(yīng)力和位移。一、桿件應(yīng)變能計算

45、1 1、軸向拉伸和壓縮、軸向拉伸和壓縮VW12Pl12PPlEA2222NF lP lEAEA2( )d2( )NlFxVxEA xNFA或 變化時PPlll l l lPA2 2、扭轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)VWmm12m 122222mmlG Im lG IT lG Ippp2( )d2( )plTxVxGIx當當T=T(x)或截面變化或截面變化A=A(x)時，可取微段：時，可取微段：ml 3 3、彎曲、彎曲VW純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：2( )d2( )lMxVxEI x12m12mmlEIm lEIM lEI2222mmmm結(jié)論：1、桿件應(yīng)變能在數(shù)值上等于變形過程中外力所做的功。、桿件應(yīng)變能在

46、數(shù)值上等于變形過程中外力所做的功。2、線彈性范圍內(nèi)，若外力從、線彈性范圍內(nèi)，若外力從0緩慢的增加到最終值：緩慢的增加到最終值：12VWP其中：其中：P-廣義力廣義力 -廣義位移廣義位移拉、壓：拉、壓：NNF LLPFEA 軸力PTLPTEI扭矩扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：zMLPMEI彎矩彎曲：彎曲：組合變形222( )( )( )ddd2( )2( )2( )NplllF xTxMxVxxxEA xGIxEI x 截面上存在幾種內(nèi)力，各個內(nèi)力及相應(yīng)的各個位移截面上存在幾種內(nèi)力，各個內(nèi)力及相應(yīng)的各個位移相互獨立，力獨立作用原理成立，各個內(nèi)力只對其相相互獨立，力獨立作用原理成立，各個內(nèi)力只對其相應(yīng)的位移做功。應(yīng)

47、的位移做功。注意：注意：上式中各項是對內(nèi)力分量平方的積分，故恒上式中各項是對內(nèi)力分量平方的積分，故恒為正值。且對產(chǎn)生同一種變形形式的荷載，不能采用為正值。且對產(chǎn)生同一種變形形式的荷載，不能采用疊加原理。疊加原理。2221212FFFFFF但 彈性變形的最終狀態(tài)僅與荷載的終值有關(guān)，因此，彈性變形的最終狀態(tài)僅與荷載的終值有關(guān)，因此，彈性變形能的計算與加載次序無關(guān)。彈性變形能的計算與加載次序無關(guān)。例例3939：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功能原理求自由端用功能原理求自由端B的撓度。的撓度。xAPBl 解：解：M xP x( ) 2( )d2lMxVxEI20()d2lP

48、xxEIP lEI2 3612BWP fVW由，得33BPlfEIxAPBl 例例4040：試求圖示梁的應(yīng)變能，并利用功能原試求圖示梁的應(yīng)變能，并利用功能原理求理求C截面的撓度。截面的撓度。PABC b bl x1x2解：解：2( )d2lMxVxEIP bEI laP aEI lb22232223232312CWP f22121200dd22abPbPaxxllxxEIEIP a bEI l2226VW由，得：223CPa bfEIlPABC b bl x1x2例例41 41：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于軸線為半圓形的平面曲桿，作用于A端的集中力端的集中力P垂直于軸線所在的平面。試求垂直于

49、軸線所在的平面。試求A點的垂直位移。已知點的垂直位移。已知GIp、EI為常量。為常量。ARPARP解：解：,( )sinMPR12AWP fVW由，得：33322ApPRPRfGIEI22( )( )dd22pllTMVRRGIEITPR( )(cos )13442323P RGIP REIpRAP二、卡氏第二定理 對于線彈性體，其應(yīng)變能對某一荷載對于線彈性體，其應(yīng)變能對某一荷載Fi的偏導的偏導數(shù)，等于該荷載的相應(yīng)位移數(shù)，等于該荷載的相應(yīng)位移 i。 用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處的位移時，該處需要有用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處的位移時，該處需要有與所求位移相應(yīng)的荷載。與所求位移相應(yīng)的荷載。 如需計算某處的位移，

50、而該處并無與位移對應(yīng)如需計算某處的位移，而該處并無與位移對應(yīng)的荷載，則可采取的荷載，則可采取附加力法附加力法。iiFV例例4242：抗彎剛度為抗彎剛度為EI的懸臂梁受三角形分布的懸臂梁受三角形分布荷載作用，梁的材料是線彈性體，且不計剪應(yīng)荷載作用，梁的材料是線彈性體，且不計剪應(yīng)變對撓度的影響。試用卡氏第二定理計算懸臂變對撓度的影響。試用卡氏第二定理計算懸臂梁自由端的撓度。梁自由端的撓度。BAL0qBAL0q解：解：A處沒有與撓度對應(yīng)的荷處沒有與撓度對應(yīng)的荷載，加一虛擬力載，加一虛擬力PPx0()xq xqLq(x)( )( )23q xx xM xPx 30()6qxPxL ( )M xxP ( )( )lM xM xAdxEIP P=0300()6()lq xPxlx dxEI P=04030qLEI( )例例4343：圖示平面折桿圖示平面折桿AB與與BC垂直，在自由垂直，在自由端端C受集中力受集中力P作