同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

1、xyooxyoxy（1） 若角若角 與角與角 的終邊關(guān)于的終邊關(guān)于X軸對稱，則軸對稱，則 （2） 若角若角 與角與角 的終邊關(guān)于的終邊關(guān)于Y軸對稱，則軸對稱，則 （3） 若角若角 與角與角 的終邊在同一條直線上，則的終邊在同一條直線上，則 （4） 若角若角 與角與角 的終邊互相垂直，則的終邊互相垂直，則 0360 00180360 0180 0090360 設(shè)角設(shè)角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的任意一點，是終邊上的任意一點，點點 與原點的距離與原點的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos

2、叫做叫做 的正切，即的正切，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點有關(guān)，而與點 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：定義推廣：180= 弧度弧度弧長公式，面積公式弧長公式，面積公式 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）（弧度制）三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-三角形三角形A

3、BC中，任意一個角的正弦值都大于中，任意一個角的正弦值都大于0.例例5. 已知已知(0， )，試證明，試證明sintan .2證明：證明：sin=|ON|=|MP|,tan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan .利用三角函數(shù)線證明相應結(jié)論利用三角函數(shù)線證明相應結(jié)論學習目標學習目標：1【知識目標知識目標】（1）掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。）掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。（2）能準確應用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行求值、化簡、證明）能準確應用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行求值、化簡、證明3.【突破方法突破方法】（1）循序漸進，層層深入）循序漸進，層層深入（2）

4、 練習練習認識認識再練習再練習2. 重點重點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導及應用：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導及應用 難點難點：在于關(guān)系式在解題中的靈活運用和對學生進行思維靈活性的培養(yǎng)上：在于關(guān)系式在解題中的靈活運用和對學生進行思維靈活性的培養(yǎng)上一：溫故知新一：溫故知新M 問題問題2. 圖圖1中的三角函數(shù)線是：中的三角函數(shù)線是：正弦線正弦線；余弦線余弦線；正切線正切線.yxxy)0( x)0 , 1 (ATcos；tansin；問題問題3. 問題問題1中三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的中三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一下同一個角的不同三角函數(shù)

5、之間的關(guān)系嗎？幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一下同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？問題問題1. 如圖如圖1，設(shè)，設(shè) 是一個任意角，是一個任意角， 它的它的終邊終邊 與單位圓交于與單位圓交于 ，那么由三，那么由三角函數(shù)的定義可知：角函數(shù)的定義可知：),(yxPOxyP圖1MPOMAT1（x,y）二、探究新知：二、探究新知：問題問題 當角當角 的終邊在坐標軸上時的終邊在坐標軸上時,關(guān)系式是否還成立？關(guān)系式是否還成立？1、探究同角正弦、余弦之間的關(guān)系、探究同角正弦、余弦之間的關(guān)系OxyPM圖2 當角當角 的終邊在的終邊在 軸上時軸上時,x110cossin22101cossin22y當角當角 的終邊在的終邊在

6、 軸上時軸上時,問題當角問題當角 的終邊不在坐標軸上時正弦、余弦的終邊不在坐標軸上時正弦、余弦之間的關(guān)系是什么？（如圖）之間的關(guān)系是什么？（如圖）222OPOMMP122 xy1cossin2212cos2sin ( ），都有結(jié)論：對于任意角R 1 即可以寫成，點坐標可以表示為用，由勾股定理得，且三者構(gòu)成直角三角形，半徑，余弦線的正弦線角POPOPOMMP平方關(guān)系平方關(guān)系sin,cos2.觀察任意角觀察任意角 的三角函數(shù)的定義的三角函數(shù)的定義,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的關(guān)系商的關(guān)系有什么樣的關(guān)系呢？、tancossin思考：思考：cossintan, 1co

7、ssin22 這兩個公式的前提是這兩個公式的前提是“同角同角”，因此，因此 注：注：商的關(guān)系不是對任意角都成立商的關(guān)系不是對任意角都成立 ，是在等式兩，是在等式兩邊都有意義的情況下，等式才成立邊都有意義的情況下，等式才成立),2( Zkk2222sinsinsinsinsin寫成寫成的平方，不能將的平方，不能將的簡寫，讀作的簡寫，讀作是是三、例題互動三、例題互動類型一：類型一： 應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決三角函數(shù)的求值問題應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決三角函數(shù)的求值問題解：解：53)54(1sin1cos22 得得由由1cossin22 所所以以是是第第二二象象限限角角因因為為, 0cos

8、, 53cos 34)35()54(cossintan 0707全國全國1 1的的余余弦弦值值和和正正切切值值。是是第第二二象象限限角角，求求角角且且、已已知知例例 ,54sin1 的值，求、已知變式tan,cos54sin1解解：當當 是第一象限角時是第一象限角時， 0cos53259cos343554cossintan當當 是第二象限角時，是第二象限角時，0cos53259cos34)35(54cossintan自我反思：自我反思：在象限決定所得結(jié)果的符號由角所得得解：由34cossintan53sin1cos54sin2得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角

9、角的值，求、已知變式cos,sin3tan2為為第第二二或或第第四四象象限限角角 0tan3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin為第四象限角時當為第二象限角時當1cossin22tancossin方程方程(組組)思想思想解：解： cossintan 討論交流：討論交流：各自的特點公式tancossin , 1cossin22移項變形：移項變形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余弦函數(shù)常用于正弦、余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，相互求解。的相互轉(zhuǎn)化，相互求解。注：注：在開方時，由角在開方時，由角 所在的象限來

10、確定開方后的符號。所在的象限來確定開方后的符號。即即在一、二象限時，當在三、四象限時，當22cos1cos1sin是一、四象限時當是二、三象限時，當,sin1sin122cos的特點、公式tancossin2變形：變形：tansincos由正弦正切，求余弦由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切由正弦余弦，求正切注：注：所得三角函數(shù)值的符號是由另外兩個三角所得三角函數(shù)值的符號是由另外兩個三角函數(shù)值的符號確定的。函數(shù)值的符號確定的。的的值值。求求、已已知知例例 tan,270180,55cossin300 1cossin55co

11、ssin22 恒恒等等式式，得得到到方方程程組組解解：依依題題意意和和基基本本三三角角55cos552cos 02cos5cos5 ,sin2 或或由由方方程程解解得得得得消消去去55cos , , 0cos27018000 所所以以，因因為為. 2cossintan , 552sin , 于于是是代代入入原原方方程程組組得得1tancossin 4化簡、例 類型二：類型二：應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡三角函數(shù)式應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡三角函數(shù)式解題思想：解題思想： 統(tǒng)一消元的思想統(tǒng)一消元的思想,常用化簡方法常用化簡方法“切化切化弦弦”。 1cossincossin解：原式coscos

12、sincossin cos tancos) 1 (跟蹤練習：跟蹤練習：化簡下列各式：化簡下列各式：22cos)tan1)(2(sin) 1 ( 答案：1)2(答案：0280sin-1 5 化簡例000280cos80cos80cos解：原式解題思路：公式變形例題例題6xxxxcossin1sin1cos求證證法一：證法一：證法二：證法二：0cos, 0sin1cossin1)sin1)(sin1 (22xxxxxx且因為所以xxxxcossin1sin1cos發(fā)散思維發(fā)散思維 提問：本題還有其提問：本題還有其他證明方法嗎？他證明方法嗎？ 交流總結(jié)證明一個三角恒等式的方法注意選擇最優(yōu)解 類型三類

13、型三 應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式 cossin1cosx-1cosxxx因為xxxxcos)sin1 (coscos 22xxxxcos)sin1 ()sin1 (cos220所以，原式成立所以，原式成立可知，由0sin10cosxx左邊右邊xxcossin1所以原式成立所以原式成立證法三：證法三：)sin1)(sin1 ()sin1 (cosxxxxxxx2sin1)sin1 (cosxxx2cos)sin1 (cos三角函數(shù)恒等式證明的一般方法三角函數(shù)恒等式證明的一般方法（2）證明原等式的等價關(guān)系：）證明原等式的等價關(guān)系： 利用作差法證

14、明等式兩利用作差法證明等式兩邊之差為零。邊之差為零。注：注：要注意兩邊都有意義的條件下才恒等要注意兩邊都有意義的條件下才恒等（1）從一邊開始證明它等于另一邊）從一邊開始證明它等于另一邊（由繁到簡）（由繁到簡）（3）證明左、右兩邊等于同一式子）證明左、右兩邊等于同一式子四、歸納總結(jié)：四、歸納總結(jié)：（2 2）三種基本題型三種基本題型: : 三角函數(shù)值的計算問題：利用平方關(guān)系時，往往要開方，三角函數(shù)值的計算問題：利用平方關(guān)系時，往往要開方， 因此要先根據(jù)角的所在象限確定符號，即將角所在象限因此要先根據(jù)角的所在象限確定符號，即將角所在象限 進行分類討論。進行分類討論。 化簡題：一定要在有意義的前提下進行。化簡題：一定要在有意義的前提下進行