排列組合知識點與方法歸納

1、排列組合知識點與方法歸納知識要點1. 分類計數(shù)原理與分步計算原理(1) 分類計算原理(加法原理)：完成一件事，有 n類辦法，在第一類辦法中有m種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法， ，在第 n類辦法中有 m種不同的方法，那么完成這件事共有 N= m+ m2+ mn種不同的方法。(2) 分步計數(shù)原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第 2步有m種不同的方法， ，做第 n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N= mix m2Xx m n種不同的方法。2. 排列(1) 定義從n個不同元素中取出 m(忙三)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取

2、出 m個元素的排列數(shù)，記為.(2) 排列數(shù)的公式與性質(zhì)a) 排列數(shù)的公式：=n (n-1 ) ( n-2 )( n-m+1) = -;特例：當(dāng) m=n 時，=n ! =n (n-1 )( n-2 ) -x 3x 2X1 規(guī)定：0!=1b) 排列數(shù)的性質(zhì)：(I)(m)-'.-i3. 組合(1) 定義N=1 + 1+2+3=7種不同購買方法，應(yīng)選Coa）從n個不同元素中取出'1 ' '： 個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合b)從n個不同元素中取出'1 ' '： -個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素

3、的組合數(shù)，用符號 ：表示。(2)組合數(shù)的公式與性質(zhì)a)嚴(yán) _ 4T _總（用二1）3 _ 2）（肖-戰(zhàn)+1）組合數(shù)公式：*；"（乘積表示）= （崔嗨E"1；且刪E町'檄!（協(xié)（階乘表示）b)組合數(shù)的主要性質(zhì):(I)-4. 排列組合的區(qū)別與聯(lián)系（1）排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2）注意到獲得（一個）排列歷經(jīng)“獲得（一個）組合”和“對取出元素作全排列”兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系:、經(jīng)典例題例1、某人

4、計劃使用不超過 500元的資金購買單價分別為60、70元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買 3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式是（）A .5種B.6種C. 7 種D. 8種解：注意到購買 3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的180元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有 2種方法；第四類，不買軟件，再買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有3種方法；于是由分類計數(shù)原理可知，共有例2、在"-中有4個編號為1 , 2, 3, 4

5、的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍(lán)、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同 的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是相 同顏色，于是考慮以對角的小三角形1、4同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類，進(jìn)而在每一類中分步計算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時有N=5X 4X 4=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂 法，故此時有Nb=5X 4X 3X 3=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有 80+180=260種。例3、用數(shù)

6、字0, 1 , 2, 3, 4, 5組成無重復(fù)數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字 2和3,并且 2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個？解：注意到這里“ 0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“ 0”的符合條件的四位數(shù)，首先從 1, 4, 5這三個數(shù)字中任選兩個作排 列有種；進(jìn)而將2和3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置， 又有丄種排法， 于是由分步計數(shù)原理可知，不含 0且符合條件的四位數(shù)共有兒=36個。第二類：含有“ 0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間 接法”：首先從1, 4, 5這三個數(shù)字中任選一個，而后與 0, 2, 3進(jìn)行全排列，這樣的排列 共有1個。其中，有如下三

7、種情況不合題意，應(yīng)當(dāng)排險：(1) 0在首位的，有-個；(2) 0在百位或十位，但 2與3相鄰的，有J ：二 個(3) 0在個位的，但2與3相鄰的，有亠個因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有=30個于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個例4、某人在打靶時射擊 8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的,那么該人射擊的8槍，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有()A.720 種B.480 種C.24 種D.20 種分析：首先，對未命中的4槍進(jìn)行排列，它們形成5個空擋，注意到未命中的 4槍“地 位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5

8、個空格中選2個排進(jìn)去，有丄 種排法，于是由乘法原理知，不同的報告結(jié)果菜有 種。例5、(1)(2)若J «十11_'工廿1十 ，貝卩n=(3) 1 二 1；丄丄二2_(4) 若、；，貝U n的取值集合為厲=u?C = -C(5) 方程I工'的解集為;解：3ji£13 4M* 17 -2f Un- 6(1)注意到n滿足的條件IxZ原式=-；/一.：一(2 )運用楊輝恒等式，已知等式：- 1 '"丨 二所求 n=4。(3) 根據(jù)楊輝恒等式原式一二 一十=一“ .I 暑一JBa(B+ 2)(a +!)(«-1)=_4（4）注意到這里n滿足的條件n > 5且n N*在之下，<=>原不等式''31G2x5!- 2) «Qs- 1)(»- 2)(»-3) 冊典-1)(« - 2 )(/5 - 3)(» - 4)O1-斗 <40刃-3 （鬼-R（鬼-書-