數(shù)學分析課件：6-1定積分的概念

1、第六章第六章 函數(shù)的函數(shù)的( (定定) )積分積分6.1 6.1 定積分的概念定積分的概念 abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提一、問題的提出出)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積可以看出，小矩形越多，矩形總面積越可以看出，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,12

2、10bxxxxxabann 個分點，個分點，內插入若干內插入若干在區(qū)間在區(qū)間ab xyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當分割無限加細當分割無限加細0,max,21 nxxx 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實例實例2 2

3、 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值

4、設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,b

5、a也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只只要要當當0 時時，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當函數(shù)）當函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(

6、xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上(Riemann)可積可積. .0 )4(的區(qū)別的區(qū)別和和極限過程極限過程 n . )5(極限的區(qū)別極限的區(qū)別積分和的極限和函數(shù)的積分和的極限和函數(shù)的.,對對應應的的函函數(shù)數(shù)值值唯唯一一確確定定來來說說函函數(shù)數(shù)對對每每個個 x.,積積分分和和并并不不唯唯一一確確定定即即使使確確定定了了細細度度),(選擇無限選擇無限分割無限分割無限同一細度同一細度記記,max21nxxx ，00I ，存在，存在，對于任意給定的，對于任意給定的設有定數(shù)設有定數(shù)各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，一點一點i （iix ），），二、定積分的數(shù)學描

7、述二、定積分的數(shù)學描述,)f(n1ii Ixi，就有，就有只要只要定義定義三、簡單性質三、簡單性質且且上也可積上也可積在在那么那么上可積上可積在在設設.,bagfbagf 證證iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（可推廣到有限多個函數(shù)的情況）（可推廣到有限多個函數(shù)的情況）性質性質1 1證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質性質2 2且且上也可積上也可積在在常數(shù)常數(shù)那

8、么對任何那么對任何上可積上可積在在設設., , bakfkbaf babadxxfkdxxkf)()(則則0)( dxxfba. . )(ba 性質性質3 3性質性質4 4則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02dxx 02不計算定積分比較積分大小不計算定積分比較積分大小, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值四、幾何意義四、幾何意義幾何意義：幾何意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下

9、方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 六、求簡單函數(shù)積分六、求簡單函數(shù)積分例例2 2 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12nnini121 niin12316)12)(1(13 n

10、nnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例3 3 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點點 12, nqqq,典型小區(qū)間為典型小區(qū)間為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(l

11、im1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 的區(qū)間的區(qū)間思考：若區(qū)間變?yōu)橐话闼伎迹喝魠^(qū)間變?yōu)橐话阍趺辞?？怎么求? 0,1 abdxxbabaqaqaqaqbann 且且內插入分點，內插入分點，在在,12怎么求？怎么求？對對, 0,12 abdxxba，（作業(yè)），（作業(yè)）取同樣分點，求和不同取同樣分點，求和不同思考題思考題將和式極限將和式極限 nnnnnn )1(sin2sinsin1lim)1表示成定積分表示成定積分. nnnnn12111lim)2限限？在在前前面面如如何何求求的的這這個個極極思考題解答思考題解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1s