函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)()

1、 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）第七節(jié)第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一一 、 連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念 設(shè)設(shè) 在在U(x0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義,稱稱 x=x-x0 為自變量在為自變量在 x0 處的改變量處的改變量( (或或增量增量);稱稱y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)為函數(shù)值的為函數(shù)值的改變量改變量( (或或增量增量).)(xfy 定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有的某一鄰域內(nèi)有定義定義, ,若若 或或或或 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處連續(xù)連續(xù). .)(xfy 0 x0lim0 yx).()(lim00 xfxfxx 0)()(lim

2、000 xfxxfx)(xfy 0 x 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）* *亦可用亦可用 語(yǔ)言表述語(yǔ)言表述. .定義定義2 (左連續(xù)和右連續(xù)的概念左連續(xù)和右連續(xù)的概念) 若若 , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 處處左連續(xù)左連續(xù). .)()(lim)0(000 xfxfxfxx )(xfy 0 x 若若 , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處右連續(xù)右連續(xù). .)()(lim)0(000 xfxfxfxx )(xfy 0 x所以定義可簡(jiǎn)化為所以定義可簡(jiǎn)化為: :若若 , ,則函數(shù)則函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). .)()(lim00 xfxfxx )(xfy 0 x 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）性質(zhì)性質(zhì)

3、函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是 在在 處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù). .)(xfy 0 x)(xf0 x例例 1 討論函數(shù)討論函數(shù) 1,)2(1, 22)(22xxxxxxf在點(diǎn)在點(diǎn) 處的連續(xù)性處的連續(xù)性. .1 x解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?)(lim)01(1 xffx1)(lim)01(1 xffx所以所以)1(1)(lim1fxfx , ,故函數(shù)在點(diǎn)故函數(shù)在點(diǎn) 處的連續(xù)處的連續(xù). .1 x 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）例例2 設(shè)設(shè) ，求，求 a , b 使使 1,21, 31,)(2xbxaxxbxaxxf)(xf1 x在在 處連續(xù)處連續(xù). .解解 因?yàn)橐驗(yàn)閎af

4、) 01 (baf 2) 01 (要使要使 在在 處連續(xù)，則必須處連續(xù)，則必須)(xf1 x3 ba32 ba解得解得 . .1, 2 ba 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）定義定義3 若若 在在 內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù), ,則稱則稱 在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù); ; 若區(qū)間包括端點(diǎn)若區(qū)間包括端點(diǎn), , 在左端在左端點(diǎn)點(diǎn) 處是右連續(xù)處是右連續(xù), ,右端點(diǎn)右端點(diǎn) 處是左連續(xù)處是左連續(xù), ,則稱則稱 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上是連續(xù)函數(shù)上是連續(xù)函數(shù). .)(xf ba, ba,)(xf,a b)(xf)(xfab例如例如 在在 R 上是連續(xù)函數(shù)上是連續(xù)函數(shù). .ysinx 例例3 證明證明 在在 R 上是連續(xù)函數(shù)

5、上是連續(xù)函數(shù). .(0,1)xy a aa 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 定義定義4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 或或 內(nèi)有內(nèi)有定義定義. .若若 不是不是 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn), ,則稱則稱 是是 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). .)(xf 0 xUo)(xf)(xf0()U x0 x0 x 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）)(lim0 xfxx 存在存在,但是但是)()(lim00 xfxfxx 若若 是是 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn),則可能出現(xiàn)的情況有則可能出現(xiàn)的情況有:)(xf0 x （1） 在在 處處有定義有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在00(0),

6、(0)f xf x 00(0), (0)f xf x 0 x0 x0 x)(xf（2） 在在 處處沒(méi)定義沒(méi)定義0 x)(lim0 xfxx 存在存在0 x)(lim0 xfxx不存在不存在, 討論同討論同(1). 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）例例4 在在 處有定義，且處有定義，且 0, 00,sin)(xxxxxf0 x1sinlim)(lim00 xxxfxx，但但 ，0) 0( f所以所以 為函數(shù)為函數(shù) 的第一類的第一類( (可去可去)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). .0 x)(xf例例5 在在 處有定義，但處有定義，但 1, 11, 1)(xxxf1 x)(lim1xfx不存在，所以不存在，所以 為為

7、第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn). .1 x)(xf 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）例例6 在在 處無(wú)定義，所以處無(wú)定義，所以xxf 21)(2 x 為函數(shù)為函數(shù) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). .)(xf2 x因因 xx21lim2故故 為為 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)( (也稱也稱無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)).).2 x)(xf 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）例例8 求求 的間斷點(diǎn)，并判斷其類型的間斷點(diǎn)，并判斷其類型. . )2sin()2()(2 xexxfx解：由解：由 ，0)2sin( x 得得 ( ( ） kx 2 , 2, 1, 0k由于由于1)2sin()2(lim22 xexxx )2sin()2(li

8、m22xexxkx 0 k所以所以 為為 的第一類間斷點(diǎn)；的第一類間斷點(diǎn)； ( )( )為為 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn). .2 x)(xf kx 2)(xf ,2, 1k 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）例例9 討論討論 的連續(xù)性的連續(xù)性, ,若有間斷點(diǎn)若有間斷點(diǎn)判斷其類型判斷其類型. .nnnxxxf2211lim)( 解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1 x111lim)(22 nnnxxxf當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1 x11111lim11lim)(2222 nnnnnnxxxxxf當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1 x0)( xf 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）所以所以 111011)(xxxxf在在 處，處，1 x1)01( f

9、1)01( f所以所以 為為 的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn). .1 x)(xf同理同理 也是也是 的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn). .1 x)(xf 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）定理定理1 若函數(shù)若函數(shù)f 在在a,b上有定義且單調(diào)，則上有定義且單調(diào)，則 f 在在a, b內(nèi)若有間斷點(diǎn)，只能是第一類間斷點(diǎn)。內(nèi)若有間斷點(diǎn)，只能是第一類間斷點(diǎn)。定理定理2 若函數(shù)若函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則處連續(xù)，則 f 在在x0的某的某個(gè)鄰域內(nèi)有界。個(gè)鄰域內(nèi)有界。 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）定理定理3 若若 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)且連續(xù)且 ，則存在則存在 的某一的某一 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，)(xf0 x0)(0 xf0 x)(0 xUO)(0 xUxO 0)( xf證：因?yàn)樽C：因?yàn)?)()(lim00 xfxfxx不妨設(shè)不妨設(shè) ，則由，則由局部保號(hào)性局部保號(hào)性定理知定理知存在存在 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0)(0 xf)(0 xUO)(0 xUxO 0)( xf 數(shù)學(xué)分析（上）數(shù)學(xué)分析（上）思考思考 若若)(xf在