函數(shù)的周期性和對稱性(解析版)——王彥文

1、專題二：函數(shù)的周期性和對稱性【高考地位】函數(shù)的周期性和對稱性是函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中，研究一個函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研 究對稱性(中心對稱、軸對稱)，并且在高考中也經(jīng)?？疾楹瘮?shù)的對稱性和周期性，以及它們之間的聯(lián)系。因此，我 們應(yīng)該掌握一些簡單常見的幾類函數(shù)的周期性與對稱性的基本方法?！痉椒c評】、函數(shù)的周期性求法使用情景:幾類特殊函數(shù)類型解題模板:第一步合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃?第二步準(zhǔn)確求出函數(shù)的周期性;第三步運用函數(shù)的周期性求解實際問題1例 1 (1)f(f(5)函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x 2)1,f(x)A.5試題分析:由題意得，/(V) =

2、 /(y+4);則*5)=!)="那么f=/(9=1) = A =：綜合選 D.考點：函數(shù)的周期性.(2)已知f x在R上是奇函數(shù)，且滿足 f x0,5 時,f 2016()A、-12、-16、-20試題分析：因為10的周期為10,因此f 2016 f16 412 ,故選A.考點：1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的解析式及單調(diào)性.對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利【點評】(1)函數(shù)的周期性反映 了函數(shù)在整個 定義域上的性質(zhì).用函數(shù)周期性求值.(2)求函數(shù)周期的方法【變式演練1】已知定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足f ( x)f(x), f (3 x) f (x),則 f(201

3、9)()A.3 B . 0 C , 1 D , 3試題分析；"3幻=/(力=一力，所以-x) =f(3 -x) = /(-x)F= 6 ,因此/(2015) = /(3) = /(0)=0;選 B,考點：田數(shù)周期性J質(zhì)f x 0,x0,2 時，f x 3x 1,則 f 2015 的值為(【變式演練2】定義在R上的函數(shù)f x滿足f x 2【答案】A試題分析：由已知可得f (x 4) f(x 2) f (x)f x的周期T 4f 2015f(3)f (1)2,故選A.考點：函數(shù)的周期性【變式演練3】定義在R上的偶函數(shù)y f(x)滿足f (x 2)f (x),且在x一 32,0上為增函數(shù)，

4、a f (1),b f(2), cf (log1 8),則下列不等式成立的是(2A. a b c B . b c ab a c D .cab【答案】B試題分析：因為定義在 R上的偶函數(shù)yf (x)在x 2,0上為增函數(shù)，所以在x 0,2上單調(diào)遞減，又一71- 13 一 .f(x 4) f (x),所以 b f (7) f 1 ,c f (log 1 8) f 3 f1,又 113,所以 bca 22222,考點：1 .偶函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)的周期性.二、函數(shù)的對稱性問題使用情景：幾類特殊函數(shù)類型解題模板：記住常見的幾種對稱結(jié)論：第一類 函數(shù)f(x)滿足f(x a) f (b x)時，函數(shù)y f

5、(x)的圖像關(guān)于直線x b對稱；2第二類 函數(shù)f(x)滿足f(x a) f (b x) c時，函數(shù)y f(x)的圖像關(guān)于點("b")對稱；22ba第三類 函數(shù)y f (x a)的圖像與函數(shù)y f (b x)的圖像關(guān)于直線x a對稱.2例2 .(從對稱性思考) 已知定義在 R上的函數(shù) ”刈滿足£( x) f(x), f (3 x) f (x),則f (2019)()A.3 B . 0 C . 1 D . 3試題 分析：代力=二/<3 的=/也3),且/=0 j又/3 -X)= ,3 ,=由此可得了(#-3)二 -(工一6),二/00 二 /(工一6),二_/0

6、0是,周期為6的%數(shù),/(2019)= /(6x336 + 3), a/(2019) =/(5) =/(O) = 0 ,故選瓦考點：國劌的奇偶性，周期性，對稱性是對函數(shù)的基本性質(zhì)的考察. 2【易錯點晴】函數(shù) f(x)滿足f(-x) -f(x)，則函數(shù)關(guān)于(0,0)中心對稱，f(3 x) f(x)，則函數(shù)關(guān)于X W軸對稱， 3常用結(jié)論：若在 R上的函數(shù)f(x)滿足f(a x) f(a x), f(b x) f (b x),則函數(shù)f(x)以41a b|為周期. ,-2八 _本題中，利用此結(jié)論可得周期為40-6,進(jìn)而f (2019)f(3), f (3)需要回到本題利用題干條件賦值即可.3例3已知定

7、義在R上的函數(shù)f x的圖象關(guān)于點3 0對稱，且滿足f x f x 3 ,又4,2f11,f 02,貝Uf 1f 2 f 3.f 2008()A.669 B . 670 C . 2008D. 1【答案】D3試題分析：由fx fx3得fx fx3,又f 11,f 02,2 .3f( 1) f( 1 3) f (2) , f (0) f(3), f x的圖象關(guān)于點一,0對稱，所以41 13一 一 一f 1 f( -)f( - -)f (1), f(1) f(2)f(3) 0,由 fx fx 3可得2 2 2f 1 f 2 f 3 . f 2008669 (f 1 f 2 f 3) f(1) f (1

8、) f( 1) 1,故選 D.考點：函數(shù)的周期性；函數(shù)的對稱性.2 ,1例4已知函數(shù)g(x) a x (- x e, e為自然對數(shù)的底數(shù)) 與h(x) 21nx的圖像上存在關(guān)于 x軸對稱的點，則 e實數(shù)a的取值范圍是()12122A 1, 2 2B. 1,e2 2C. 2 2,e 2D. e2 2,)ee【答案】B試題分析：由已知j得到方程任-即f = 工-1在p上有解，諼.。9二21皿工-F e求導(dǎo)得2工=絲二型9,因為所以力=0在工=1有唯一的極值點F因為 XXe，d) = -2二 =河虹上二/=-1且/卜八3我取呈一口 = 2也工一X2在上&SS&有解等價于2-/VFV7

9、 所以實數(shù)日的取直向噩L -斗 故選民考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；方程的有解問題x) f(34x),且滿足f(4)23【變式演練4】定義在R上的奇函數(shù)f(x),對于 x R,都有f (34f (2) m3,則實數(shù)m的取值范圍是.m,33試題分析：由f(3 x) f(344，,一3數(shù)，且 T 4 - 3, . f(4)4【答案】m 1或0 m 3 x),因此函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x 3對稱，又f(x)是奇函數(shù)，因此它也是周期函42 , . f ( 4)f(4) 2 ,f(2) f (2 3 2) f ( 4),即 m 2 ,解得mx1 或0 x 3.考點：函數(shù)的奇偶性、周期性 【高考再現(xiàn)】、

10、.一. .一一 x 11.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知函數(shù)f(x)(x R)滿足f( x) 2 f(x),若函數(shù)y 與y f (x)圖像的交 xm點為(x1,y)(x2, y2),(xm,ym),則(x yi)()1 1(A) 0(B) m(Q2m(D)4m【答案】C試題分析：由于f x f x 2,不妨設(shè)f x x 1,與函數(shù)y1工的交點為1,2 , 1,0 ,故x xx x2 y1 y22,故選 C.考點：函數(shù)圖象的性質(zhì)【名師點睛】如果函數(shù)f(x),x D ,滿足 x D，恒有f (a x)f (b x),那么函數(shù)的圖象有對稱軸如果函數(shù)f (x) , x D ,滿足 x D，恒有f (

11、a x)f (b x),那么函數(shù)的圖象有對稱中心2.12016高考山東理數(shù)】已知函數(shù)f(x)的定義域為 R當(dāng)x<0時,f(x)3x 1 ;當(dāng) 1 x 1 時，f ( x)一 1 一 1、1、當(dāng) x 2 時，f (x 2) f (x 2).則 f(6)=()(A) - 2(B) - 1(C) 0(D) 2【答案】D【解析】試題分析二當(dāng)工工時，/(1+ !)二/(“一上所以當(dāng)工)時，函數(shù)分是周期為1的周期函數(shù)，所以 2222= /(I),又函裁是奇困數(shù)，所以/(!)二一,7)二一(一1y-1 = 2,故選考點：1.函數(shù)的奇偶性與周期性；2.分段函數(shù).【名師點睛】本 題主要考查分 段函數(shù)的概念

12、、函數(shù)的奇偶性與周期性，是高考?？贾R內(nèi)容.本題具備一定難度.解答此類問題，關(guān)鍵在于利用分段函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)特征，進(jìn)行函數(shù)值的轉(zhuǎn)化.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計算能力等 .3.【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù) f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0vxv1時，f (x) 4x,則5f( 2)f(1)=.【答案】-2試題分析:因為函數(shù)G)是定義在R上周期為2的奇函數(shù),所以F似-阿=川)，即/=0口/(-1) -4 = /L三-/(1) = 7予=2 ,今十 /CD =一2 ,考點：函數(shù)的奇偶性和周期性 .一 .5. 一 【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期

13、性，屬于基本題，在求值時，只要把f(一)和f(1),利用奇偶性與周期性2化為(0,1)上的函數(shù)值即可.5.12016高考江蘇卷】設(shè)f (x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上，f (x)a, 1x ,0x 0,其中x 1,59a R.若 f( ) f(),則 f(5a)的值是22【解析】f (I) f(f(|)因此f(5a)f(3) f(1) f( 1)f(2)1 351225考點：分段函數(shù)，周期性質(zhì)【名師點睛】分段函數(shù)的考查方向注重對應(yīng)性,即必須明確不同的自變量所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時，要注意區(qū)間端點是否取到及

14、其所對應(yīng)的函數(shù)值，尤其是 分段函數(shù)結(jié)合點處函數(shù)值【反饋練習(xí)】1.12016屆云南昆明一中高三仿真模擬七數(shù)學(xué)，理4設(shè)函數(shù)y f(x)定義在實數(shù)集 R上，則函數(shù)y f (a x)與y f (x a)的圖象()A.關(guān)于直線y 0對稱 B .關(guān)于直線x0對稱C.關(guān)于直線y a對稱 D .關(guān)于直線x a對稱【答案】D試題分析:令，二二CIj因為函數(shù)尸=與9二/&)的圖象關(guān)于直線f = 口對奇，所以屋融5三/S -/與二/" 一 m的圖象關(guān)于直線工=5對稱，選d.考點：曲數(shù)的又持性2.12017屆河南夏邑縣第一高級中學(xué)高三文一輪復(fù)習(xí)周測二數(shù)學(xué)試卷】已知函數(shù)f X是定義在R內(nèi)的奇函數(shù)，且滿

15、足 f x 4 f x ,當(dāng) x 0,2 時，f X2x2,則 f 2015()A. -2 B . 2 C . -98 D .98【答案】A試題分析：由f x 4 f x得f x的周期T 4 f 2015 f (3) f ( 1)f(1)2,故選A.考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的周期性.3.12017屆河南新鄉(xiāng)一中高三 9月月考數(shù)學(xué)，文8】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x 3) f(x),對x1,x2 0,3 f ()f (x2)且x1 x2,都有 上U口' 0 ,則有()X 又2A. f (49) f (64) f (81)B. f (49) f (81) f(64)C. f

16、 (64) f (49) f (81) D. f(64) f (81) f (49)【答案】A【解析】試題分析：因為f(x 3) f(x),所以f(x 6) f(x3)fx ,及f x是周期為6的函數(shù)，結(jié)合f(x)是偶函數(shù)可得，f(49) f 1, f (64) f 2 f 2, f(81)f3 f 3 ,再由 為80,3且 x x2,上(一f2) 0 得 f(x)在0,3上遞增，因此 f (1) f (2)f(3),即 f(49) f (64)f(81),故選 A.X x2考點：1、函數(shù)的周期性；2、奇偶性與單調(diào)性的綜合.4.12017屆安徽合肥一中高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷，文12】已知定義

17、在 R上的函數(shù)f(x)滿足：y f (x 1)的圖31象關(guān)于(1,0)點對稱，且當(dāng)x 0時恒有f(x -)f (x 5),當(dāng)x 0,2)時，f(x) e 1,則f (2016) f ( 2015)()A. 1 eB. e 1C.1 eD. e 1【答案】A一 一_一 .一，, ，一.一， ,，一 一.31試題分析：y f(x 1)的圖象關(guān)于(1,0)點對稱，則f x關(guān)于原點對稱.當(dāng)x 0時恒有f(x -) f (x 1)即函 22數(shù) f x 的周期為 2.所以 f(2016) f ( 2015) f 0 f 11 e.考點：函數(shù)的單調(diào)性、周期性與奇偶性，分段函數(shù).5.12016-2017學(xué)年貴

18、州遵義四中高一上月考一數(shù)學(xué)試卷，理11】已知函數(shù)f(x) a x2(1 x 2)與g(x) x 2的圖象上存在關(guān)于 x軸對稱的點，則實數(shù) a的取值范圍是()4,C. 2,0D2,4【答案】C【解析】試題分析：若圖數(shù)/Q，工1虱母=*+2的圖象上存在關(guān)于工軸對阿晾？則方程 口 / = O 口二小一工2 在區(qū)間1.2上有解 J 令-x-2,1 <x<2 ?由雙0=/-#-2的圖象是開口朝上.且以直線工=為又慚軸的拋物線,故當(dāng)工;1時，網(wǎng)心取最小值 2,當(dāng)a 2時,因數(shù)取最大值0,故ee20上故選：C.考點：構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍.6.12017屆河北武邑中學(xué)高三上周考數(shù)學(xué)試卷，

19、理9】若對正常數(shù) m和任意實數(shù)x,等式f(x m)則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為 2m B函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為4m D.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)【答案】C試題分析；7 FQv+用j/(x+2w) =1一/(冷1 十 1+-l + /(x+iu)1-7l-/(x+w) 1 l+/<x) - /(X)'1-/MX(x+ 4m) i- = y(r) ,.丁 二 4函.曲選 C.-/(x+ 2m)1考點：函數(shù)的周期性.7.12017屆四川成都七中高三 10月段測數(shù)學(xué)試卷，文 10 函數(shù)f

20、(x)的定義域為R ,以下命題正確的是()同一坐標(biāo)系中，函數(shù) y f (x 1)與函數(shù)y f (1 x)的圖象關(guān)于直線 x 1對稱;3一 ,3、一 ,、函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于點( 4,0)成中心對稱，對于任意x '又有f(x -) f(x) 則f(x)的圖象關(guān)于直線3x 一對稱;2函數(shù)f(x)對于任意x,滿足關(guān)系式f(x 2)f( x 4),則函數(shù)y f (x 3)是奇函數(shù).A.B . C . D .【答案】D【解析】試題分析：正確，因為函數(shù)y f x與yf x關(guān)于y軸對稱，而yf x 1和y f 1 x都是y fx與y f x向右平移1個單位得到的，所以關(guān)于直線 x 1對稱;正確，

21、因為函數(shù)關(guān)于點33-,0成中心對稱，所以f 萬xf (x),所以3一 一3f 3 x ,即 fx f x ,又根據(jù) f (x -)22f (x),可得函數(shù)的周期T3,又有f x f x ,33，一3 f x - f x ,所以函數(shù)關(guān)于直線 x 對稱;222正確，因為3,所以函數(shù)f x關(guān)于點3,0對稱，而函數(shù) y f x 3是函數(shù)y f x向左平移3個單位得到，所以函數(shù)yf x 3是奇函數(shù).故3個命題都正確，故選 D.考點：抽象函數(shù)的性質(zhì)【方法點睛】本題考查了復(fù)合笛數(shù)的函教性所問題F屬于卬檔題型J若對于國教在定義域內(nèi)的任一自變量 的值，都有0/(工)=»-力一，)則國豹關(guān)于點(。力)成中心對稱，/=5W瞰的圖像關(guān)于直線入=僅對稱j的數(shù)y = /力的圄像與函數(shù)y = 2b-f(2a-對的圖像關(guān)于點6母對稱、=7卬1的圖像與心數(shù)= 功-幻的