量子力學(xué)習(xí)題

1、量 子 力 學(xué) 習(xí) 題（三年級用）山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院二OO七年第一部分 量子力學(xué)的誕生1、計算下列情況的波長，指出那種情況要用量子力學(xué)處理：（1）能量為的慢中子；被鈾吸收；（2）能量為粒子穿過原子；（3）飛行速度為100米/秒，質(zhì)量為40克的子彈。2、兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正、負(fù)電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？3、利用關(guān)系，及園形軌道為各波長的整數(shù)倍，給出氫原子能量可能值。第二部分 波函數(shù)與Schrdinger方程1、設(shè)（1）求歸一化常數(shù)（2）2、求的幾率流密度。3、若求其幾率流密度，你從結(jié)果中能得到什么樣的結(jié)論？（其中為實數(shù)）4、一維

2、運動的粒子處于的狀態(tài)，其中求歸一化系數(shù)A和粒子動量的幾率分布函數(shù)。5、證明：從單粒子的薛定諤方程得出的粒子的速度場是非旋的，即求證其中6、一維自由運動粒子，在時，波函數(shù)為求：第三部分 一維定態(tài)問題1、粒子處于位場中，求：E時的透射系數(shù)和反射系數(shù)（粒子由右向左運動）2、一粒子在一維勢場中運動。（1）求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)；（2）若粒子處于態(tài)，證明：3、若在x軸的有限區(qū)域，有一位勢，在區(qū)域外的波函數(shù)為如 這即“出射”波和“入射”波之間的關(guān)系，證明：這表明S是么正矩陣4、試求在半壁無限高位壘中粒子的束縛態(tài)能級和波函數(shù)5、求粒子在下列位場中運動的能級6、粒子以動能E入射，受到雙勢壘作用求反射幾率和

3、透射幾率，以及發(fā)生完全透射的條件。7、質(zhì)量為的粒子處于一維諧振子勢場的基態(tài)，（1）若彈性系數(shù)突然變?yōu)?，即勢場變?yōu)殡S即測量粒子的能量，求發(fā)現(xiàn)粒子處于新勢場基態(tài)幾率；（2）勢場突然變成后，不進(jìn)行測量，經(jīng)過一段時間后，勢場又恢復(fù)成，問取什么值時，粒子仍恢復(fù)到原來場的基態(tài)。8、設(shè)一維諧振子處于基態(tài)，求它的，并驗證測不準(zhǔn)關(guān)系。第四部分 力學(xué)量用算符表示1、 若證明： 2、設(shè)的可微函數(shù)，證明（1）（2）3、證明4、如果，是厄密算符（1）證明是厄密算符；（2）求出是厄密算符的條件。5、證明：6、如果與它們的對易子都對易，證明（提示，考慮證明然后積分）7、設(shè)是一小量，算符存在，求證8、如是能量的本征函數(shù)（），

4、證明從而證明：9、一維諧振子處在基態(tài)求： （1）勢能的平均值 （2）動能的平均值（3）動量的幾率分布函數(shù)其中10、若(1) (2) (3) 11、設(shè)粒子處于狀態(tài)，利用上題結(jié)果求12、利用力學(xué)量的平均值隨時間的變化，求證一維自由運動的隨時間的變化為：（注：自由粒子與時間無關(guān)）。第五部分 變量可分離型的波動方程1、求三維各向異性的諧振子的波函數(shù)和能級。2、對于球方位勢試給出有的束縛態(tài)條件。3、設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量，角動量平方和角動量分量的可能值，以及這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均量。4、證明5、設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學(xué)不允許區(qū)域的幾率。6、設(shè)，求粒子的能量本征值。7、設(shè)

5、粒子在半徑為，高為的園筒中運動，在筒內(nèi)位能為0，筒壁和筒外位能為無窮大，求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。8、堿金屬原子和類堿金屬原子的最外層電子在原子實電場中運動，原子實電場近似地可用下面的電勢表示：其中，表示原子實的電荷，證明，電子在原子實電場中的能量為而為的函數(shù)，討論何時較小，求出小時，公式，并討論能級的簡并度。9、粒子作一維運動，其哈密頓量的能級為，試用定理，求的能級。10、設(shè)有兩個一維勢阱若粒子在兩勢阱中都存在束縛能級，分別為（1）證明（提示：令（2）若粒子的勢場中運動，試估計其束縛能總數(shù)的上、下限11、證明在規(guī)范變換下不變。12、計算氫原子中的三條塞曼線的波長。13帶電粒子在外磁場中運

6、動，如選或試求其本征函數(shù)和本征值，并對結(jié)果進(jìn)行討論。14、設(shè)帶電粒子在相互垂直的均勻電場E及均勻磁場B中運動，求其能譜和波函數(shù)（取磁場方向為Z軸方向，電場方向為X軸方向）。第六部分 量子力學(xué)的矩陣形式及表象理論1、列出下列波函數(shù)在動量表象中的表示（1）一維諧振子基態(tài)：（2）氫原子基態(tài)：2、求一維無限深位阱（0a）中粒子的坐標(biāo)和動量在能量表象中的矩陣元。3、求在動量表象中角動量的矩陣表示。4、在（）表象中，求的空間中的的可能值及相應(yīng)幾率。5、設(shè)，試用純矩陣的方法，證明下列求和規(guī)則（提示：求然后求矩陣元）6、若矩陣A，B，C滿足（1）證明：；（2）在A表象中，求B和C矩陣表示。7、設(shè)分別寫出表象和

7、表象中及的矩陣表示。8、在正交基矢和展開的態(tài)空間中，某力學(xué)量求在態(tài)中測量A的可能值，幾率和平均值。第七部分自 旋1、設(shè)為常數(shù)，證明。2、若證明3、在表象中，求的本征態(tài)，是方向的單位矢。4、證明恒等式：其中都與對易。5、已知原子的電子填布為，試給出（1）簡并度；（2）給出耦合的組態(tài)形式；（3）給出耦合的組態(tài)形式；6、電子的磁矩算符，電子處于的本征態(tài)中，求磁矩。7、對于自旋為的體系，求的本征值和本征態(tài)，在具有較小的本征值所相應(yīng)的態(tài)中，測量的幾率是多大？8、自旋為的體系，在時處于本征值為的的本征態(tài)，將其置于的磁場中，求時刻，測量取的幾率。9、某個自旋為的體系，磁矩時，處于均勻磁場中，指向方向，時，再

8、加上一個旋轉(zhuǎn)磁場，其方向和軸垂直。其中已知時，體系處于的本征態(tài)，求時，體系的自旋波函數(shù)，以及自旋反向所需要的時間。10、有三個全同粒子，可以處于三個單粒子態(tài)上，當(dāng)三種情形下的對稱或反對稱波函數(shù)如何寫？11、兩個全同費米子體系處于一個二維方勢阱中，假設(shè)兩粒子間無相互作用，求體系最低兩上能級的能量和波函數(shù)。12、設(shè)有兩個全同粒子，處于一維諧振子勢中，彼此間還有與相互距離成正比的作用力，即位能為求體系的能量本征值及本征函數(shù)，按波函數(shù)的交換對稱性分別討論之。 第八部分 量子力學(xué)中的近似方法一、定態(tài)微擾論1、設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級：及現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為都是實數(shù)，用微擾公式求能量

9、至二級修正值。2、一個一維線性諧振子受一恒力作用，設(shè)力的方向沿方向： （1）用微擾法求能量至二級修正； （2）求能量的精確值，并與（1）所得結(jié)果比較。3、設(shè)在表象中，矩陣表示為試用微擾論求能量的二級修正。4、設(shè)自由粒子在長度為的一維區(qū)域中運動，波函數(shù)滿足周期性邊條件波函數(shù)的形式可取為設(shè)粒子還受到一個“陷阱”的作用試用簡并微擾論計算能量一級修正。5、一體系在無微擾時有兩條能級，其中一條是二重簡并的，在表象中在計及微擾后，哈密頓量為（1）用微擾論求本征值，準(zhǔn)到二級近似；（2）把嚴(yán)格對角化，求的精確本征值，然后進(jìn)行比較。二 變分法1、試用變分法求一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)和能量（試探波函數(shù)取，為特定參數(shù)

10、）。2、設(shè)氫原子的基態(tài)試探波函數(shù)取為為歸一化常數(shù)，為變分參數(shù)，求基態(tài)能量，并與精確解比較。3、粒子在一維勢場中運動（當(dāng)，試證明：至少存在一個束縛態(tài)取試探波函數(shù)。三、量子躍遷1、 氫原子處于基態(tài)，受到脈沖電場作用是常數(shù)試用微擾論計算電子躍遷到各激發(fā)態(tài)的幾率以及仍停留在基態(tài)的幾率。2、具有電荷的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧運動。在光的照射下發(fā)生躍遷，入射光能量密度分布為，波長較長，求（1）躍遷選擇定則；（2）設(shè)離原來處于基態(tài)，求躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。3、設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平板電容器中，取平板法線方向為Z軸方向，電場沿Z軸方向可視為均勻，設(shè)電容器突然充電，然后放電，電勢隨時間變化為 （為常數(shù)）求充分長的時間之后，氫原子躍遷到態(tài)及態(tài)的幾率。4、有一自旋，磁矩，電荷為零的粒子，置于磁場中，開始時，粒子處于的本征態(tài)，即時，再加上沿方向較弱的磁場從而，求時，粒子的自旋態(tài)，以及測得自旋“向上”的幾率。四、散射問題1、用玻恩近似法，求在下列勢中的散射微分截面 （1） （2）2、用分波法公式，證明光學(xué)定量 3、設(shè)勢場用分波法求分波的相移。4、質(zhì)量為的粒子束，被球殼勢場散射。 在高能近似下，用玻恩近似法計算散射振幅和微分截面。5、求各分波相移，并和剛球散射的結(jié)果比較。6、求中子一中子低能波散射截面，設(shè)兩中子間的作用為其中是兩中子的自旋算符，