運(yùn)籌學(xué)-第15章--對(duì)策論

1、管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)1 在競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程的各方為了達(dá)到自己的目標(biāo)和利益，必須考慮對(duì)手的各種可能的行動(dòng)方案，并力圖選取對(duì)自己最為有利或最為合理的方案，也就是說(shuō)要研究采取對(duì)抗其他競(jìng)爭(zhēng)者的策略，這就是對(duì)策問(wèn)題，對(duì)策就是決策者在競(jìng)爭(zhēng)場(chǎng)合下作出的決策。 對(duì)策論是研究對(duì)策的理論與方法，也叫博弈論。 所謂博弈是指局中人按一定規(guī)則，在充分考慮其他局中人可能采取的策略的基礎(chǔ)上，從自己的策略集中選取相應(yīng)策略，并從中得到回報(bào)的過(guò)程。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)2第十五章 對(duì)策論 由“齊王賽馬”引入管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)31 1對(duì)策論的基本概念對(duì)策模型的三個(gè)基本要素：對(duì)策模型的三個(gè)基本要素：1.1.局中人局中

2、人：參與對(duì)抗的各方，可以是一個(gè)人，也可以是一個(gè)：參與對(duì)抗的各方，可以是一個(gè)人，也可以是一個(gè)集團(tuán)，可以是兩方，也可以是多方；集團(tuán)，可以是兩方，也可以是多方；2.2.策略集：局中人選擇對(duì)付其它局中人的行動(dòng)方案稱(chēng)為策略集：局中人選擇對(duì)付其它局中人的行動(dòng)方案稱(chēng)為策略策略；某局中人的所有可能策略全體稱(chēng)為某局中人的所有可能策略全體稱(chēng)為策略集策略集；3.3.一局勢(shì)對(duì)策的益損值：局中人各自使用一個(gè)對(duì)策就形成了一局勢(shì)對(duì)策的益損值：局中人各自使用一個(gè)對(duì)策就形成了一個(gè)局勢(shì)一個(gè)局勢(shì)，一個(gè)局勢(shì)決定了各局中人的對(duì)策結(jié)果（量化），一個(gè)局勢(shì)決定了各局中人的對(duì)策結(jié)果（量化）稱(chēng)為該局勢(shì)對(duì)策的稱(chēng)為該局勢(shì)對(duì)策的益損值益損值。管管 理

3、理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)4出賽的次序是一個(gè)策略出賽的次序是一個(gè)策略“齊王賽馬齊王賽馬”齊王在各局勢(shì)中的益損值表（單位：千金）齊王在各局勢(shì)中的益損值表（單位：千金）1 1對(duì)策論的基本概念管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)5其中：齊王的策略集其中：齊王的策略集: : S1= 1, 2, 3, 4, 5, 6 ， 田忌的策略集：田忌的策略集：S2= 1, 2, 3, 4, 5, 6 。下面矩陣稱(chēng)齊王的下面矩陣稱(chēng)齊王的贏得矩陣贏得矩陣： 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1對(duì)策論的

4、基本概念管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)6二人有限零和對(duì)策二人有限零和對(duì)策（又稱(chēng)（又稱(chēng)矩陣對(duì)策矩陣對(duì)策）：）： 局中人為局中人為2 2；每個(gè)局中人的策略集的策略數(shù)目都；每個(gè)局中人的策略集的策略數(shù)目都是是有限有限的；每一局勢(shì)的對(duì)策均有確定的損益值，并的；每一局勢(shì)的對(duì)策均有確定的損益值，并且對(duì)同一局勢(shì)的兩個(gè)局中人的且對(duì)同一局勢(shì)的兩個(gè)局中人的益損值之和為零益損值之和為零。 通常將矩陣對(duì)策記為通常將矩陣對(duì)策記為: : G = S1, S2, A S1：甲的策略集；：甲的策略集； S2：乙的策略集；：乙的策略集；A：甲的贏得矩陣。甲的贏得矩陣。 “齊王賽馬齊王賽馬”是一個(gè)矩陣策略。是一個(gè)矩陣策略。1 1對(duì)策

5、論的基本概念管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)7在甲方的贏得矩陣中：在甲方的贏得矩陣中：A=aijmni 行代表甲方策略行代表甲方策略 i=1, 2, , m；j 列代表乙方策略列代表乙方策略 j=1, 2, , n；aij 代表甲方取策略代表甲方取策略 i，乙方取策略乙方取策略 j，這一局勢(shì)下甲方的這一局勢(shì)下甲方的益損值。此時(shí)乙方的益損值為益損值。此時(shí)乙方的益損值為 - -aij（零和性質(zhì)）。（零和性質(zhì)）。 在考慮各方采用的策略時(shí)，必須注意一個(gè)前提，就是雙在考慮各方采用的策略時(shí)，必須注意一個(gè)前提，就是雙方都是理智的，即雙方都是從各自可能出現(xiàn)的最不利的情形方都是理智的，即雙方都是從各自可能出現(xiàn)的最不

6、利的情形選擇一種最為有利的情況作為決策的依據(jù)。選擇一種最為有利的情況作為決策的依據(jù)。2 2 矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略2 2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)8111maxminijj ni mva 在矩陣博弈A中，aij表示局中人1的收益，因此，局中人1希望收益值aij越大越好；同時(shí)aij表示局中人2的支付或付出（局中人2的收益為- aij ），因此局中人2則希望付出的aij越小越好。因此，矩陣博弈完全是對(duì)抗的。 一般地，如果局中人1采用他的第i個(gè)策略，則局中人2會(huì)選擇策略使局中人1的收益最小，即 這就是支付矩陣第i行元素中的最小元素。 局中人

7、1不存在僥幸心理，不冒險(xiǎn)，而又追求收益越大越好，因此，他會(huì)從各行的最小元素中選擇最大的，從而確定自己的策略。 這就是說(shuō)，局中人1可以選擇i，使他得到的支付不少于 （能夠穩(wěn)妥地保證得到該收益）1minijjna 管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)9211minmaxijj ni mva 同樣，如果局中人2采用他的第j個(gè)策略，由于局中人1希望自己的收益值（局中人2的支付）越大越好，即局中人1會(huì)選擇策略使局中人2的支付最大， 由于局中人2希望自己的支付越小越好，因此，他會(huì)從支付最大中選擇最小。 這就是說(shuō)，局中人2可以選擇j，保證他失去的不大于1maxiji ma 管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)10 在矩陣博

8、弈中，純策略納什均衡點(diǎn)存在的充分必要條件為：121111maxminminmaxijijj nj ni mi mvaav 管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)11 例：甲乙乒乓球隊(duì)進(jìn)行團(tuán)體對(duì)抗賽，每隊(duì)由三名球員組成，雙例：甲乙乒乓球隊(duì)進(jìn)行團(tuán)體對(duì)抗賽，每隊(duì)由三名球員組成，雙方都可排成三種不同的陣容，每一種陣容可以看作一種策略，雙方方都可排成三種不同的陣容，每一種陣容可以看作一種策略，雙方各選一種策略參賽。比賽共賽三局，規(guī)定每局勝者得各選一種策略參賽。比賽共賽三局，規(guī)定每局勝者得1 1分，輸者得分，輸者得- -1 1分，可知三賽三勝得分，可知三賽三勝得3 3分，三賽二勝得分，三賽二勝得1 1分，三賽一勝得

9、分，三賽一勝得-1-1分，三分，三賽三負(fù)得賽三負(fù)得-3-3分。甲隊(duì)的策略集為分。甲隊(duì)的策略集為S S1 1= 1 1， 2 2， 3 3 ，乙隊(duì)的策略集，乙隊(duì)的策略集為為S S2 2= 1 1， 2 2， 3 3 。根據(jù)以往比賽的資料，有甲隊(duì)的贏得矩陣為。根據(jù)以往比賽的資料，有甲隊(duì)的贏得矩陣為A A，如下所示，如下所示， 請(qǐng)問(wèn)這次比賽各隊(duì)采用哪種陣容上場(chǎng)最為穩(wěn)妥請(qǐng)問(wèn)這次比賽各隊(duì)采用哪種陣容上場(chǎng)最為穩(wěn)妥? ?313311111A2 2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)12矩陣矩陣A A中每行的最小元素分別為中每行的最小元素分別為1 1，-3-3，-1-1。 在這

10、些最少贏得中最好的結(jié)果是在這些最少贏得中最好的結(jié)果是1 1，故甲隊(duì)會(huì)采取策略，故甲隊(duì)會(huì)采取策略 1 1，無(wú)論對(duì)手，無(wú)論對(duì)手采取何策略，甲隊(duì)至少得采取何策略，甲隊(duì)至少得1 1分。對(duì)于乙隊(duì)，分。對(duì)于乙隊(duì)， 1 1， 2 2， 3 3 可能帶來(lái)的最少可能帶來(lái)的最少贏得，即贏得，即A A中每列的最大元素，分別為中每列的最大元素，分別為3 3，1 1，3 3。乙隊(duì)會(huì)采取。乙隊(duì)會(huì)采取 2 2策略，確保策略，確保甲隊(duì)不會(huì)超過(guò)甲隊(duì)不會(huì)超過(guò)1 1分。分。 1 1和和 2 2分別稱(chēng)為局中人甲隊(duì)、乙隊(duì)的最優(yōu)策略。由于雙方必然選擇這分別稱(chēng)為局中人甲隊(duì)、乙隊(duì)的最優(yōu)策略。由于雙方必然選擇這一種策略，所以，這種策略又稱(chēng)為最

11、優(yōu)純策略。一種策略，所以，這種策略又稱(chēng)為最優(yōu)純策略。 這種最優(yōu)純策略只有當(dāng)贏得矩陣這種最優(yōu)純策略只有當(dāng)贏得矩陣A=A=（a aijij）中等式）中等式 成立時(shí)，雙方才有最優(yōu)純策略，并把（成立時(shí)，雙方才有最優(yōu)純策略，并把（ 1 1, , 2 2）稱(chēng)為對(duì)策）稱(chēng)為對(duì)策G G在純策略下的解，在純策略下的解，又稱(chēng)又稱(chēng)（ 1 1, , 2 2）為對(duì)策）為對(duì)策G G的鞍點(diǎn)的鞍點(diǎn)。把其值。把其值V V稱(chēng)之為對(duì)策稱(chēng)之為對(duì)策G=SG=S1 1，S S2 2，AA的值。的值。ijijijjiaamaxminminmax2 2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)13 例例 某單位采購(gòu)員

12、在秋天決定冬季取暖用煤的儲(chǔ)量問(wèn)題，已知某單位采購(gòu)員在秋天決定冬季取暖用煤的儲(chǔ)量問(wèn)題，已知在正常的冬季氣溫條件下要消耗在正常的冬季氣溫條件下要消耗1515噸煤，在較暖和較冷的天氣下要噸煤，在較暖和較冷的天氣下要消耗消耗1010噸和噸和2020噸。假定冬天的煤價(jià)隨天氣寒冷程度而有所變化，在噸。假定冬天的煤價(jià)隨天氣寒冷程度而有所變化，在較暖和、正常、較冷的氣候條件下每噸煤價(jià)分別為較暖和、正常、較冷的氣候條件下每噸煤價(jià)分別為1010元、元、1515元、元、2020元。又設(shè)冬季時(shí)煤炭?jī)r(jià)格為每噸元。又設(shè)冬季時(shí)煤炭?jī)r(jià)格為每噸1010元。在沒(méi)有關(guān)于當(dāng)年冬季準(zhǔn)確的元。在沒(méi)有關(guān)于當(dāng)年冬季準(zhǔn)確的氣象預(yù)報(bào)的條件下，秋

13、天儲(chǔ)煤多少?lài)嵞苁沟脝挝坏闹С鲎钌?？氣象預(yù)報(bào)的條件下，秋天儲(chǔ)煤多少?lài)嵞苁沟脝挝坏闹С鲎钌伲?解：局中人解：局中人I I為采購(gòu)員，局中人為采購(gòu)員，局中人IIII為大自然，采購(gòu)員有三個(gè)策為大自然，采購(gòu)員有三個(gè)策略，買(mǎi)略，買(mǎi)1010噸、噸、1515噸、噸、2020噸。分別記為噸。分別記為 1 1， 2 2， 3 3。大自然也有三個(gè)。大自然也有三個(gè)策略：暖、正常、冷，分別記為策略：暖、正常、冷，分別記為 1 1， 2 2， 3 3。2 2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)14贏得矩陣如下：贏得矩陣如下：在此表上計(jì)算，有在此表上計(jì)算，有 得得故（故（ 3 3， 3 3）為

14、對(duì)策）為對(duì)策G G的解，的解，V VG G=-200=-200。 1 1 2 2 3 3 1 1(10(10噸）噸）-100-175-300 2 2(15(15噸）噸）-150-150-250 3 3(20(20噸）噸）-200-200-200 1 1 2 2 3 3minmin 1 1(10(10噸）噸）-100-175-300-300 2 2(15(15噸）噸）-150-150-250-250 3 3(20(20噸）噸）-200-200-200-200*maxmax-100-150-200*200maxminminmax32aaaijijijji2 2矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策

15、略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)15【解解】 直接在贏得表上計(jì)算，有直接在贏得表上計(jì)算，有 *maxminminmaxjiijijjijiaaa可知可知 =5，i*=1,3，j*=2,4故（故（1，2）（）（1，4）（）（2，2）（）（2，4）為對(duì)策的納什均衡，）為對(duì)策的納什均衡，VG=5* jia8585232195650233A【例例】 設(shè)有矩陣對(duì)策設(shè)有矩陣對(duì)策G= S1，S2；A ，贏得矩陣為，贏得矩陣為1234*12*34*min8 5 85 52 3 2119 5 65 50 2 330max9 585 求納什均衡求納什均衡管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)16 最優(yōu)純策略求解步驟： 1、行

16、中取小，小中取大得最大化最小收益值； 2、列中取大，大中取小得最小化最大支付值； 3、比較兩值是否相等。若相等便存在最優(yōu)純策略。若不等，則不存在最優(yōu)純策略。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)17 設(shè)矩陣對(duì)策設(shè)矩陣對(duì)策 G = S1, S2, A 。當(dāng)當(dāng) max min aij min max aij i j j i時(shí)，不存在最優(yōu)純策略。時(shí)，不存在最優(yōu)純策略。 例：設(shè)一個(gè)贏得矩陣如下例：設(shè)一個(gè)贏得矩陣如下: : min min 5 9 5 5 9 5 A = max 6 = max 6 策略策略 2 8 6 6 8 6 6 i i max 8 9 max 8 9 min 8 min 8 策略策略 1

17、j j3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)18 當(dāng)甲取當(dāng)甲取策略策略 2 2 ，乙取，乙取策略策略 1 1時(shí)，甲實(shí)際贏得時(shí)，甲實(shí)際贏得8比預(yù)期的多比預(yù)期的多2 2，乙當(dāng)然不滿(mǎn)意?？紤]到甲可能取乙當(dāng)然不滿(mǎn)意。考慮到甲可能取策略策略 2 2這一點(diǎn)，乙采取策略這一點(diǎn)，乙采取策略 2 2。若。若甲也分析到甲也分析到乙可能采取策略乙可能采取策略 2 2這一點(diǎn)，取策略這一點(diǎn)，取策略 1 1，則贏得更多為則贏得更多為9 9 。此時(shí)，對(duì)兩個(gè)局中人甲、乙來(lái)說(shuō)，沒(méi)有一個(gè)雙方均可接受。此時(shí)，對(duì)兩個(gè)局中人甲、乙來(lái)說(shuō)，沒(méi)有一個(gè)雙方均可接受的平衡局勢(shì)，其主要原因是甲和乙沒(méi)有執(zhí)行上述原則的

18、共同基礎(chǔ)，的平衡局勢(shì)，其主要原因是甲和乙沒(méi)有執(zhí)行上述原則的共同基礎(chǔ)，即即 max min aij min max aij 。 i j j i 一個(gè)自然的想法：對(duì)甲（乙）給出一個(gè)選取不同策略的一個(gè)自然的想法：對(duì)甲（乙）給出一個(gè)選取不同策略的概率分概率分布布，以使甲（乙）在各種情況下的，以使甲（乙）在各種情況下的平均贏得平均贏得（損失）最多（最少）（損失）最多（最少）-即即混合策略?；旌喜呗?。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)19 如局中人1分別以概率x1和x2隨機(jī)地采用策略1和2，局中人2也分別以概率y1和y2隨機(jī)地采用策略1和2。 兩個(gè)局中人分別選取純策略i

19、 和j的事件是獨(dú)立的，所以局勢(shì)（i，j）出現(xiàn)的概率是xi和yj，這時(shí)局中人1的贏得是aij。 于是局中人1贏得的期望值是mniji=1j=1E (x, y)=aijx y 管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)20【例例】 設(shè)贏得矩陣設(shè)贏得矩陣A為為: 化簡(jiǎn)贏得矩陣化簡(jiǎn)贏得矩陣 【解解】第第4行優(yōu)于第行優(yōu)于第1行，第行，第3行優(yōu)于第行優(yōu)于第2行，故可劃去第行，故可劃去第1行和第行和第2行，得到新的贏得矩陣行，得到新的贏得矩陣，x1=x2=0“嚴(yán)格下策反復(fù)消去法嚴(yán)格下策反復(fù)消去法”(Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies)21020301

20、48649593687550793A1649593687550793A優(yōu)超原理贏得矩陣的化簡(jiǎn)管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)21對(duì)于對(duì)于A1第第1列優(yōu)于第列優(yōu)于第3列，第列，第2列優(yōu)于第列優(yōu)于第4列，列，(1/2)（第（第1列）列）+(1/2) （第（第2列）優(yōu)超于第列）優(yōu)超于第5列，因此去掉第列，因此去掉第3列，第列，第4列和第列和第5列，列， y3=y4=y5=0，得到，得到A2： 又由于第又由于第1行優(yōu)超于第行優(yōu)超于第3行，所以從行，所以從A2中劃去第中劃去第3行，行，x5=0，得到，得到A3 ，2643650A36436A優(yōu)超：行比較取大者留下，列比較取小者留下優(yōu)超：行比較取大者留下，列比

21、較取小者留下若若1 1不是為純策略不是為純策略2 2，,m m中之一所優(yōu)超，而中之一所優(yōu)超，而是為是為2 2，,m m的的某個(gè)凸線(xiàn)性組合某個(gè)凸線(xiàn)性組合所優(yōu)超，仍然所優(yōu)超，仍然可以化簡(jiǎn)?？梢曰?jiǎn)。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)22 求解混合策略問(wèn)題的方法：均衡法、極值法、線(xiàn)性規(guī)劃法。 1、極值法10550A設(shè)局中人設(shè)局中人1 1選擇策略選擇策略1 1和策略和策略2 2的概率分別為的概率分別為x1x1和和x2x2，局中，局中人人2 2選擇策略選擇策略1 1和策略和策略2 2的概率分別為的概率分別為y1y1和和y2y2，概率均大于，概率均大于等于等于0 0。這樣局中人。這樣局中人1 1的贏得就成為一個(gè)

22、隨機(jī)變量，若設(shè)其的贏得就成為一個(gè)隨機(jī)變量，若設(shè)其期望值為期望值為v v，則有：，則有：V=10 x1y1-5x1y2-5x2y1+0 x2y2=10 x1y1-5x1y2-5x2y1V=10 x1y1-5x1y2-5x2y1+0 x2y2=10 x1y1-5x1y2-5x2y1x1+x2=1,y1+y2=1x1+x2=1,y1+y2=1管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)23 局中人1為了使此值達(dá)到最大，就調(diào)整x1和x2的值；而局中人2為了使此值達(dá)到最小，也要調(diào)整y1和y2的值。 此時(shí)，上述問(wèn)題變?yōu)闂l件極值問(wèn)題，可用拉格朗日乘數(shù)法求解，令、為待定系數(shù)，將式 W=10 x1y1-5x1y2-5x2y1+

23、 (x1+x2-1)+ (y1+y2-1) 對(duì)x1、x2、y1、y2求偏導(dǎo)數(shù)，并讓它們等于0。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)24 對(duì)x1求偏導(dǎo)得，10y1-5y2+=0 對(duì)x2求偏導(dǎo)得，-5y1+=0 對(duì)y1求偏導(dǎo)得，10 x1-5x2+=0 對(duì)y2求偏導(dǎo)得，-5x1+=0 再與x1+x2=1,y1+y2=1二式一起聯(lián)立求解，得： x1=1/4,x2=3/4,y1=1/4,y2=3/4. =5/4 帶入v中解得局中人1的預(yù)期贏得。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)例：例：設(shè)設(shè) 解解: :如果如果A有鞍點(diǎn)，則易求出各局中人的最優(yōu)純有鞍點(diǎn)，則易求出各局中人的最優(yōu)純策略；如果沒(méi)有鞍點(diǎn)，則各局中人的最優(yōu)混策略

24、；如果沒(méi)有鞍點(diǎn)，則各局中人的最優(yōu)混合策略中的合策略中的xi*, yj*均大于零。于是可求下列均大于零。于是可求下列方程組：方程組：2222121121aaaaA0, 12121222112221111xxxxvxaxavxaxa0, 12121222121212111yyyyvyayavyaya)()(2112211121122211aaaaaaaav)()(2112211121221aaaaaax)()(2112211112112aaaaaax)()(2112211112221aaaaaay)()(2112211121112aaaaaay22對(duì)策的公式法管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)26 2、

25、均衡法210023112A首先分析是否存在鞍點(diǎn)，另外是否可以用優(yōu)超原理化簡(jiǎn)。首先分析是否存在鞍點(diǎn)，另外是否可以用優(yōu)超原理化簡(jiǎn)。純策略可以看成是混合策略的特殊情況。即某一個(gè)策略的純策略可以看成是混合策略的特殊情況。即某一個(gè)策略的概率為概率為1 1，其他策略的概率為，其他策略的概率為0 0。優(yōu)超原理化簡(jiǎn)，留下的策。優(yōu)超原理化簡(jiǎn)，留下的策略概率取值大于略概率取值大于0 0，刪去的策略概率取值為，刪去的策略概率取值為0 0。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)27210023112A發(fā)現(xiàn)不存在鞍點(diǎn)，也無(wú)法化簡(jiǎn)。說(shuō)明每個(gè)策略選取的概率發(fā)現(xiàn)不存在鞍點(diǎn)，也無(wú)法化簡(jiǎn)。說(shuō)明每個(gè)策略選取的概率均不為均不為0 0。設(shè)局中人

26、設(shè)局中人1 1的混合策略為的混合策略為(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)，局中人，局中人2 2的混合策略的混合策略為為(y1,y2,y3)(y1,y2,y3)。這時(shí)的期望值為：。這時(shí)的期望值為：V=E(x,y)=2x1y1+x1y2+2x2y2+3x2y3+x3y1+x3y2+2x3y3V=E(x,y)=2x1y1+x1y2+2x2y2+3x2y3+x3y1+x3y2+2x3y3=(2y1+y2)x1+(2y2+3y3)x2+(y1+y2+2y3)x3 =(2y1+y2)x1+(2y2+3y3)x2+(y1+y2+2y3)x3 =(2x1+x3)y1+(x1+2x2+x3)y2+(3x2

27、+2x3)y3=(2x1+x3)y1+(x1+2x2+x3)y2+(3x2+2x3)y3管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)28 V=E(x,y)=2x1y1+x1y2+2x2y2+3x2y3+x3y1+x3y2+2x3y3 =(2y1+y2)x1+(2y2+3y3)x2+(y1+y2+2y3)x3 =(2x1+x3)y1+(x1+2x2+x3)y2+(3x2+2x3)y3 試想，如果試想，如果2y1+y22y2+3y3，對(duì)于局中人，對(duì)于局中人1來(lái)說(shuō)，為來(lái)說(shuō)，為了使了使v值變大，他應(yīng)該增大值變大，他應(yīng)該增大x1，而讓?zhuān)寈2變?yōu)樽優(yōu)?。即取策。即取策略略2的概率為的概率為0。而前面的分析顯示，選擇每

28、個(gè)策略的。而前面的分析顯示，選擇每個(gè)策略的概率均不為概率均不為0。故。故2y1+y2=2y2+3y3。同理，。同理， 2y1+y2=2y2+3y3 =y1+y2+2y3=M(設(shè)一變量設(shè)一變量)。將。將M帶帶入入v中得，中得，v=Mx1+Mx2+Mx3=M(x1+x2+x3)=M 對(duì)于局中人對(duì)于局中人2來(lái)說(shuō)，為了使來(lái)說(shuō)，為了使v值變小，也得出值變小，也得出2x1+x3=x1+2x2+x3=3x2+2x3=v。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)29 可得到線(xiàn)性方程組： 2y1+y2=v 2y2+3y3 =v y1+y2+2y3=v y1+y2+y3=1 2x1+x3=v x1+2x2+x3=v 3x2+

29、2x3=v x1+x2+x3=1 八個(gè)方程，七個(gè)未知數(shù)。消元法求解。八個(gè)方程，七個(gè)未知數(shù)。消元法求解。 x1=1/2,x2=1/4,x3=1/4,y1=1/2,y2=1/4,y3=1/4,v=5/4管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)30121541221A 123123123123522421xxxVxxxVxxxVxxx 【解解】建立方程組建立方程組123123123123254221yyyVyyyVyyyVyyy求解得：求解得：x=(0.525，0.275，0.2),y=(0.2，0.05，0.75);VG=0.45 博弈不存在鞍點(diǎn)和優(yōu)博弈不存在鞍點(diǎn)和優(yōu)超策略。超策略。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)

30、學(xué)31 定理：在矩陣博弈G中，若S1= 1,2,m，S2=1,2,n，局中人1的收益函數(shù)為A=(aij)mn，則 該定理使得其中一個(gè)集合Yn或Xm，從無(wú)限集到有限集，從而減少了求解難度。111maxminmmijij nx Xiva x 211minmaxnnijjy Yi mjva x 圖解法管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)32圖解法管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)33管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)34【定理定理3】 設(shè)（設(shè)（x*，y*）為矩陣對(duì)策）為矩陣對(duì)策G的一個(gè)納什均衡，的一個(gè)納什均衡，V=VG，則則 (1)若若xi*0，則，則 (2)若若yi* 0，則，則 (3)若若 ，則，則 (4)若若 ,

31、則則ijjja yVVyajjijVxaiiji0*ix0*jyVxaiiji46832121xxAyy)75,72(),73,74(*yx12121212121238,64,136,84,1yyvyyv yyxxvxxv xx367v 例例管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)35管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)36管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)37管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)38管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)39 線(xiàn)性規(guī)劃法 定理：在矩陣博弈G中，若S1= 1,2,m，S2=1,2,n，局中人1的收益函數(shù)為A=(aij)mn，則 該定理使得其中一個(gè)集合Yn或Xm，從無(wú)限集到有限集，從而減少了求解難度。111

32、maxminmmijij nx Xiva x 211minmaxnnijjy Yi mjva x 管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)40 根據(jù)定理，令11( )minmijijniu xa xV=maxu(x)V=maxu(x)112( ),1,2,.,.101,2,.,mijiimia xu xjnxxxxim若若u(x)0u(x)0，令，令/1/12/1,1,2,.,1.( )01,2,.,imijimia xjnxxxu xxim/( )iixxu x管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)41 令/1( )vu x上述線(xiàn)性規(guī)劃模型化為：上述線(xiàn)性規(guī)劃模型化為：/12/1/min.1,1,2,.,0,1,2

33、,.,mmi jiiivxxxaxjnxim對(duì)上述線(xiàn)性規(guī)劃模型求得最優(yōu)解和最優(yōu)值。同理局對(duì)上述線(xiàn)性規(guī)劃模型求得最優(yōu)解和最優(yōu)值。同理局中人中人2 2也可以列線(xiàn)性規(guī)劃模型求得最優(yōu)解和最優(yōu)值。也可以列線(xiàn)性規(guī)劃模型求得最優(yōu)解和最優(yōu)值。管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)42【例例】 利用線(xiàn)性規(guī)劃方法求解贏得矩陣為利用線(xiàn)性規(guī)劃方法求解贏得矩陣為 1075274836A的矩陣對(duì)策的納什均衡的矩陣對(duì)策的納什均衡 【解解】 此問(wèn)題可化為兩個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：此問(wèn)題可化為兩個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題： 01102817731546min3, 2, 1321321321321xxxxxxxxxxxxxxxz0,1107512741836

34、max3, 21321321321321yyyyyyyyyyyyyyyw最終結(jié)果最終結(jié)果v=1/z=1/wv=1/z=1/wX Xi i=x=xi i/z/zY Yi i=y=yi i/w/w管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)43最優(yōu)解：最優(yōu)解：X(0.1065，0.1448，0.0437), Y(0.1093，0.1038，0.0819)；w0.29508wvYwYXwX1,1,1*利用變換利用變換 得到得到x*=(0.36，0.49，0.15)，y*=(0.37，0.35，0.28)；v=3.39 管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)44作業(yè) 利用優(yōu)超原理化簡(jiǎn)該對(duì)策問(wèn)題 求解對(duì)策雙方的混合策略及對(duì)策值

35、管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)45 求解求解混合策略的混合策略的問(wèn)題有問(wèn)題有圖解法、迭代法、線(xiàn)性方程法和線(xiàn)性規(guī)圖解法、迭代法、線(xiàn)性方程法和線(xiàn)性規(guī)劃法等，我們這里只介紹劃法等，我們這里只介紹線(xiàn)性規(guī)劃法線(xiàn)性規(guī)劃法，其他方法略。，其他方法略。 例：設(shè)甲使用策略例：設(shè)甲使用策略 1 1的概率為的概率為X1 1，使用策略，使用策略 2 2的概率為的概率為X2 ，并設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為并設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為V（未知）。（未知）。 5 9 A= STEP 1 8 6 1) 1) X1+X2=1 X1, X2 0 3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)

36、462)2)無(wú)論乙取何策略，甲的平均贏得應(yīng)不少于無(wú)論乙取何策略，甲的平均贏得應(yīng)不少于V:V:對(duì)乙取對(duì)乙取 1 1： 5X5X1 1+ 8X+ 8X2 2 V V對(duì)乙取對(duì)乙取 2 2： 9X9X1 1+ 6X+ 6X2 2 V V注意注意 V0,V0,因?yàn)橐驗(yàn)锳 A各元素為正。各元素為正。STEP 2 STEP 2 作變換：作變換： X X1 1= X= X1 1/V ; X/V ; X2 2= X= X2 2/V/V得到上述關(guān)系式變?yōu)椋旱玫缴鲜鲫P(guān)系式變?yōu)椋?X X1 1+ X+ X2 2=1/V (V=1/V (V愈大愈好）待定愈大愈好）待定 5X5X1 1+ 8X+ 8X2 2 1 1 9X

37、 9X1 1+ 6X+ 6X2 2 1 1 X X1 1, X, X2 2 0 03 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)47建立線(xiàn)性模型：建立線(xiàn)性模型： min Xmin X1 1+X+X2 2 s.t. 5Xs.t. 5X1 1+8X+8X2 2 1 1 X X1 1= 1/21= 1/21 9 9X X1 1+6X+6X2 2 1 1 X X2 2= 2/21= 2/21 X X1 1, X, X2 2 0 1/V= 0 1/V= X X1 1+X+X2 2=1/7=1/7 所以，所以，V=7 V=7 返回原問(wèn)題：返回原問(wèn)題： X X1 1= = X X1

38、1V= 1/3V= 1/3 X X2 2= = X X2 2V= 2/3V= 2/3于是甲的最優(yōu)混合策略為：于是甲的最優(yōu)混合策略為：以以1/31/3的概率選的概率選 1 1， 以以2/32/3的概率選的概率選 2 2，最優(yōu)值，最優(yōu)值V=7V=7。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)48 同樣可求乙的最優(yōu)混合策略：同樣可求乙的最優(yōu)混合策略：設(shè)乙使用策略設(shè)乙使用策略 1 1的概率為的概率為Y Y1 1 Y Y1 1+Y+Y2 2=1=1設(shè)乙使用策略設(shè)乙使用策略 2 2的概率為的概率為Y Y2 2 Y Y1 1,Y,Y2 2 0 0 設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值

39、為設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為V V。這也是乙損失的平均。這也是乙損失的平均值，越小越好。值，越小越好。 作變換：作變換： Y Y1 1= Y= Y1 1/V /V ， Y Y2 2= Y= Y2 2/V/V 建立線(xiàn)性模型：建立線(xiàn)性模型： max Ymax Y1 1+Y+Y2 2 s.t. 5Ys.t. 5Y1 1+9Y+9Y2 2 1 1 Y Y1 1= 1/14= 1/14 8 8Y Y1 1+6Y+6Y2 2 1 1 Y Y2 2= 1/14= 1/14 Y Y1 1, Y, Y2 2 0 1/V= 0 1/V= Y Y1 1+Y+Y2 2=1/7=1/7 所以，所以，V=7 V=

40、7 3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)49返回原問(wèn)題：返回原問(wèn)題： Y1= Y1V = 1/2 Y2= Y2V = 1/2于是乙的最優(yōu)混合策略為：于是乙的最優(yōu)混合策略為：以以 的概率選的概率選 1 1；以以 的概率選的概率選 2 2 ，最優(yōu)值，最優(yōu)值 V=7。 當(dāng)贏得矩陣中有非正元素時(shí)，當(dāng)贏得矩陣中有非正元素時(shí)，V 0 的條件不一定成立，可以的條件不一定成立，可以作下列變換：作下列變換： 選一正數(shù)選一正數(shù) k，令矩陣中每一元素加上，令矩陣中每一元素加上 k 得到新的正得到新的正矩陣矩陣AA，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策G= SG= S1 1, S, S

41、2 2, A , A 與與 G = SG = S1 1, S, S2 2, A , A 解相同，但解相同，但VG = VG k。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)50例例：求解：求解“齊王賽馬齊王賽馬”問(wèn)題。問(wèn)題。已知齊王的贏得矩陣已知齊王的贏得矩陣A A求得求得故不存在純策略問(wèn)題下的解，可求其混合策略。故不存在純策略問(wèn)題下的解，可求其混合策略。A A中有負(fù)元素，可以取中有負(fù)元素，可以取k=2,k=2,在在A A的每個(gè)元素上加的每個(gè)元素上加2 2得到得到A A如下：如下：311111131111113111111311111131111113A3maxmin

42、1minmaxijijijjiaa533133351333335331333513133353313335A3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)51 建立對(duì)建立對(duì)G G=S=S1 1，S S2 2，A A 中求甲方最佳策略的線(xiàn)性規(guī)劃如下：中求甲方最佳策略的線(xiàn)性規(guī)劃如下： Min xMin x1 1+x+x2 2+x+x3 3+x+x4 4+x+x5 5+x+x6 6 約束條件：約束條件： 5x5x1 1+3x+3x2 2+3x+3x3 3+x+x4 4+3x+3x5 5+3x+3x6 6 11 3x 3x1 1+5x+5x2 2+x+x3 3+3x+3x4 4

43、+3x+3x5 5+3x+3x6 6 11 3x 3x1 1+3x+3x2 2+5x+5x3 3+3x+3x4 4+3x+3x5 5+x+x6 6 11 3x 3x1 1+3x+3x2 2+3x+3x3 3+5x+5x4 4+x+x5 5+3x+3x6 6 11 x x1 1+3x+3x2 2+3x+3x3 3+3x+3x4 4+5x+5x5 5+3x+3x6 6 11 3x 3x1 1+x+x2 2+3x+3x3 3+3x+3x4 4+3x+3x5 5+5x+5x6 6 11 x xi i 0,i=1,2, 0,i=1,2,6,6 可解得解為：可解得解為：x x1 1=x=x4 4=x=x5

44、 5=0, x=0, x2 2=x=x3 3=x=x6 6=0.111, v=0.111, v=3, x=3, x1 1=x=x4 4=x=x5 5= 0= 0，x x2 2=x=x3 3=x=x6 6=1/3, =1/3, 即即X X* * =(0,1/3,1/3,0,0,1/3)=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T T，所以甲的最優(yōu)策略為作出策，所以甲的最優(yōu)策略為作出策略略 2 2、 3 3、 6 6的概率都為的概率都為0.333,0.333,而作出而作出 1 1、 4 4、 5 5 的概率為的概率為0 0，此時(shí)，此時(shí)V VG G=V=V=3=3。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混

45、合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)52 同樣可以建立對(duì)策同樣可以建立對(duì)策G G=S=S1 1，S S2 2，A A 中求乙方最佳策略的線(xiàn)性規(guī)劃如下：中求乙方最佳策略的線(xiàn)性規(guī)劃如下： Min yMin y1 1+y+y2 2+y+y3 3+y+y4 4+y+y5 5+y+y6 6 約束條件：約束條件： 5y5y1 1+3y+3y2 2+3y+3y3 3+3y+3y4 4+y+y5 5+3y+3y6 6 11 3y 3y1 1+5y+5y2 2+3y+3y3 3+3y+3y4 4+3y+3y5 5+y+y6 6 11 3y 3y1 1+y+y2 2+5y+5y3 3+3y+3y4 4+3y+3y5

46、 5+3y+3y6 6 11 y y1 1+3y+3y2 2+3y+3y3 3+5y+5y4 4+3y+3y5 5+3y+3y6 6 11 3y 3y1 1+3y+3y2 2+3y+3y3 3+y+y4 4+5y+5y5 5+3y+3y6 6 11 3y 3y1 1+3y+3y2 2+y+y3 3+3y+3y4 4+3y+3y5 5+5y+5y6 6 11 y yi i0,i=1,2,0,i=1,2,6,6 可解得解為：可解得解為： y y1 1=y=y4 4=y=y5 5=0.111, y=0.111, y2 2=y=y3 3=y=y6 6=0, v=0, v=3, y=3, y1 1=y=

47、y4 4=y=y5 5= 1/3= 1/3， y y2 2=y=y3 3=y=y6 6=0=0，即，即Y Y* * =(1/3,0,0,1/3,1/3,0)=(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T T。 所以田忌的最優(yōu)混合策略為作出策略所以田忌的最優(yōu)混合策略為作出策略 1 1、 4 4、 5 5的概率都為的概率都為1/3,1/3,而作出而作出 2 2， 3 3， 6 6的概率為的概率為0 0，此時(shí)，此時(shí)V VG G=V=VG G-k=1-k=1。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)53 齊王賽馬問(wèn)題的對(duì)策最優(yōu)解可簡(jiǎn)記為齊王賽馬問(wèn)題的對(duì)策最優(yōu)解可簡(jiǎn)記為X X*

48、 *= =(0,1/3,1/3,0,0,1/3)(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T T，Y Y* *= =(1/3,0,0,1/3,1/3,0)(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T T，對(duì)策值，對(duì)策值V VG G=1=1。例例 兩個(gè)局中人進(jìn)行對(duì)策，規(guī)則是兩人互相獨(dú)立的各自從兩個(gè)局中人進(jìn)行對(duì)策，規(guī)則是兩人互相獨(dú)立的各自從1 1、2 2、3 3這三個(gè)這三個(gè)數(shù)字中任意選寫(xiě)一個(gè)數(shù)字。如果兩人所寫(xiě)的數(shù)字之和為偶數(shù)，則局中人乙數(shù)字中任意選寫(xiě)一個(gè)數(shù)字。如果兩人所寫(xiě)的數(shù)字之和為偶數(shù)，則局中人乙支付給局中人甲以數(shù)量為此和數(shù)的報(bào)酬；如果兩人所寫(xiě)數(shù)字之和為奇數(shù)，支付給局中人甲以數(shù)量為此和數(shù)的報(bào)酬；如果兩人

49、所寫(xiě)數(shù)字之和為奇數(shù)，則局中人甲付給局中人乙以數(shù)量為此和數(shù)的報(bào)酬。試求出其最優(yōu)策略。則局中人甲付給局中人乙以數(shù)量為此和數(shù)的報(bào)酬。試求出其最優(yōu)策略。 解：首先計(jì)算局中人甲的贏得矩陣如下表：解：首先計(jì)算局中人甲的贏得矩陣如下表：4-56-34-52-34 1 1（出（出1 1） 2 2（出（出2 2） 3 3（出（出3 3） 3 3（出（出3 3） 2 2（出（出2 2） 1 1（出（出1 1）甲的贏甲的贏 得得甲的策略甲的策略3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略乙的策略乙的策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)54即甲的贏得矩陣為即甲的贏得矩陣為A A： 可知無(wú)純策略意義的解，下面求其在混合策略下

50、的解?？芍獰o(wú)純策略意義的解，下面求其在混合策略下的解。A A的各元素都加上的各元素都加上6 6，得到，得到建立線(xiàn)性規(guī)劃模型如下：建立線(xiàn)性規(guī)劃模型如下： Min xMin x1 1+x+x2 2+x+x3 3 Max yMax y1 1+y+y2 2+y+y3 3 S.T.8xS.T.8x1 1+3x+3x2 2+10 x+10 x3 3 1 8y1 8y1 1+3y+3y2 2+10y+10y3 311 3x 3x1 1+10 x+10 x2 2+x+x3 3 1 3y1 3y1 1+10y+10y2 2+y+y3 3 11 10 x 10 x1 1+x+x2 2+12x+12x3 3 1 1

51、0y1 10y1 1+y+y2 2+12y+12y3 311 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3 0 y0 y1 1,y,y2 2,y,y3 3 00 654543432A1211011031038A3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)55得到得到x x1 1=0.25, x=0.25, x2 2=0.50, x=0.50, x3 3=0.25=0.25；y y1 1=0.25, y=0.25, y2 2=0.50, y=0.50, y3 3=0.25=0.25。即此對(duì)策的解為即此對(duì)策的解為X X* * =(0.25,0.50,0.25)=(0.25,0

52、.50,0.25)T T，Y Y* * =(0.25,0.50,0.25)=(0.25,0.50,0.25)T T。V VG G=V=VG G-k=0-k=0。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)56例例4 4 甲乙兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，甲企業(yè)可以采取的策略措施甲乙兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，甲企業(yè)可以采取的策略措施有有: :(1)(1)降低產(chǎn)品價(jià)格；降低產(chǎn)品價(jià)格；(2)(2)提高產(chǎn)品質(zhì)量；提高產(chǎn)品質(zhì)量；(3)(3)推出新產(chǎn)品。乙企業(yè)考慮采推出新產(chǎn)品。乙企業(yè)考慮采取的策略措施有取的策略措施有(1)(1)增加廣告費(fèi)用；增加廣告費(fèi)用；(2)(2)增設(shè)維修網(wǎng)點(diǎn)

53、，加強(qiáng)售后服務(wù)；增設(shè)維修網(wǎng)點(diǎn)，加強(qiáng)售后服務(wù)；(3)(3)改進(jìn)產(chǎn)品性能。由于甲乙兩個(gè)企業(yè)財(cái)力有限，都只能采取一個(gè)措施。假定改進(jìn)產(chǎn)品性能。由于甲乙兩個(gè)企業(yè)財(cái)力有限，都只能采取一個(gè)措施。假定這兩個(gè)企業(yè)所占有的市場(chǎng)總份額一定，由于各自采取的措施不同，通過(guò)預(yù)這兩個(gè)企業(yè)所占有的市場(chǎng)總份額一定，由于各自采取的措施不同，通過(guò)預(yù)測(cè)今后兩個(gè)企業(yè)的市場(chǎng)占有份額變動(dòng)情況如下表，試求出這兩個(gè)企業(yè)各自測(cè)今后兩個(gè)企業(yè)的市場(chǎng)占有份額變動(dòng)情況如下表，試求出這兩個(gè)企業(yè)各自的最優(yōu)策略。的最優(yōu)策略。3-58-6510108-12 1 1（措施（措施1 1） 2 2（措施（措施2 2） 3 3（措施（措施3 3） 3 3（措施（措施3

54、 3） 2 2（措施（措施2 2） 1 1（措施（措施1 1）3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略甲的贏甲的贏 得得甲的策略甲的策略乙的策略乙的策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)57解：解：易知此對(duì)策無(wú)純策略意義下的解。把易知此對(duì)策無(wú)純策略意義下的解。把A A的每一個(gè)元素加上的每一個(gè)元素加上1212，得到，得到A A建立線(xiàn)性規(guī)劃模型如下：建立線(xiàn)性規(guī)劃模型如下： Min xMin x1 1+x+x2 2+x+x3 3 Max yMax y1 1+y+y2 2+y+y3 3 S.T.22xS.T.22x1 1+20 x+20 x2 21 22y1 22y1 1+6y+6y2 2+15y+15y

55、3 3 11 6x 6x1 1+17x+17x2 2+22x+22x3 3 1 20y1 20y1 1+17y+17y2 2+7y+7y3 3 11 15x 15x1 1+7x+7x2 2+20 x+20 x3 3 1 22y1 22y2 2+20y+20y3 3 11 x x1 1,x,x2 2,x,x3 30 y0 y1 1,y,y2 2,y,y3 300得到：得到：x x1 1=0.027,x=0.027,x2 2=0.020,x=0.020,x3 3=0.023=0.023；y y1 1=0.0225,y=0.0225,y2 2=0.0225,y=0.0225,y3 3=0.025=0

56、.025。V=14.29V=14.29。x x1 1=0.3858, x=0.3858, x2 2=0.2858, x=0.2858, x3 3=0.3286=0.3286；y y1 1=0.3215,y=0.3215,y2 2=0.3215,y=0.3215,y3 3=0.3572=0.3572。即此對(duì)策的解為即此對(duì)策的解為 X X* * =(0.3858,0.2858,0.3286)=(0.3858,0.2858,0.3286)T T ,Y,Y* * =(0.3215,0.3215,0.3572)=(0.3215,0.3215,0.3572)T T。V VG G=V=VG G-k=2.29

57、-k=2.29。202207172015622A3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)58優(yōu)超原則：優(yōu)超原則： 假設(shè)假設(shè)矩陣對(duì)策矩陣對(duì)策 G = SG = S1 1, S, S2 2, A , A 甲方贏得矩陣甲方贏得矩陣 A=aA=aijij m m n n若存在兩行（列），若存在兩行（列），s s 行（列）的各元素均優(yōu)于行（列）的各元素均優(yōu)于 t t 行（列）的元行（列）的元素，即素，即a asjsj a atj tj j=1,2 j=1,2 n ( a n ( ais is a ait it i=1,2 i=1,2 m ) m )稱(chēng)甲方策略稱(chēng)甲方策略 s

58、s優(yōu)超于優(yōu)超于 t t ( ( s s優(yōu)超于優(yōu)超于 t t) )。 優(yōu)超原則優(yōu)超原則：當(dāng)局中人甲方的策略：當(dāng)局中人甲方的策略 t t被其它策略所被其它策略所優(yōu)超時(shí)，可在優(yōu)超時(shí)，可在其贏得矩陣其贏得矩陣A A中劃去第中劃去第t t行（同理，當(dāng)局中人乙方的策略行（同理，當(dāng)局中人乙方的策略 t t被其它策被其它策略所略所優(yōu)超時(shí)，可在矩陣優(yōu)超時(shí)，可在矩陣A A中劃去第中劃去第t t列）。列）。 如此得到階數(shù)較小的贏得矩陣如此得到階數(shù)較小的贏得矩陣AA，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策G= S1, S2, A 與與 G = S1, S2, A 等價(jià)，即解相同。等價(jià)，即解相同。3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣

59、對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)59例例. . 設(shè)設(shè)甲方的益損值，贏得矩陣為甲方的益損值，贏得矩陣為 3 2 0 3 0 被第被第3 3、4 4行所優(yōu)超行所優(yōu)超 5 0 2 5 9 被第被第3 3行所優(yōu)超行所優(yōu)超A= 7 3 9 5 9 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3得到得到 7 3 9 5 9 被第被第1 1列所優(yōu)超列所優(yōu)超A1= 4 6 8 7 5.5 被第被第2 2列所優(yōu)超列所優(yōu)超 6 0 8 8 33 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)60得到得到 7 3 9 A2= 4 6 5.5 6 0 3 被第被第1 1行所優(yōu)超行所優(yōu)超得到得

60、到 7 3 9 被第被第1 1列所優(yōu)超列所優(yōu)超 A3= 4 6 5.5 7 3最終得到最終得到 A4= 4 6 3 3矩陣對(duì)策的混合策略矩陣對(duì)策的混合策略管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)61對(duì)對(duì)A A4 4計(jì)算，用線(xiàn)性規(guī)劃方法得到：計(jì)算，用線(xiàn)性規(guī)劃方法得到：（注意：余下的策略為（注意：余下的策略為 3 3， 4 4， 1 1， 2 2）甲：甲： X* = (0，0，1/15，2/15，0)T V=5 X*= (0，0，1/3 ，2/3 ，0)T 乙：乙： Y* = (1/10，1/10，0，0，0)T V=5 Y*= (1/2 ，1/2 ，0，0，0)T 。 注：注：利用優(yōu)超原則化簡(jiǎn)贏得矩陣時(shí)，有