數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模教學(xué)教材

1、數(shù)學(xué)(shxu)模型與數(shù)學(xué)(shxu)建模第一頁，共44頁。主要(zhyo)內(nèi)容n1.什么是數(shù)學(xué)模型？n 1.1基本概念n 1.2特點(diǎn)(tdin)和分類n2.如何數(shù)學(xué)建模？n 2.1方法和步驟n 2.2示例n3.為什么數(shù)學(xué)建模？n 3.1現(xiàn)實(shí)意義n 3.2個人收獲2第二頁，共44頁。1.什么(shn me)是數(shù)學(xué)模型？n數(shù)學(xué)(shxu)n模型n數(shù)學(xué)(shxu)模型3第三頁，共44頁。自然離不開數(shù)學(xué)1、圓形蜘蛛網(wǎng)是一個簡單漂亮(pio ling)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造2、蜂巢(fngcho)消耗最少的材料(cilio)和最少的“工時”巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格 3、在礦物結(jié)構(gòu)中，可以找到許多更為奇妙的

2、空間圖形 4第四頁，共44頁。問題/應(yīng)用來自數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)核磁共振成像技術(shù)(MRI)計(jì)算機(jī)輔助成像(CAT)積分幾何空中交通管制控制論期權(quán)定價(jià)Black-Scholes期權(quán)模型和Monte Carlo模擬全局勘察、信號處理、圖象處理、數(shù)據(jù)采掘應(yīng)急用儲備物資的管理運(yùn)籌學(xué)、最優(yōu)化理論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合學(xué)機(jī)密和完整性數(shù)論、密碼學(xué)/組合學(xué)大氣和海洋的建模小波、統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)值分析敏捷制造、自動制造、可視化、機(jī)器人過程質(zhì)量控制中的幾何學(xué)、控制論設(shè)計(jì)和訓(xùn)練模擬、建模、離散數(shù)學(xué)人類基因組分析數(shù)據(jù)采掘、模式識別、算法合理的藥物設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)采掘、組合學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)Seiberg- Witten方程(弦論)幾

3、何學(xué)宇宙數(shù)據(jù)的解釋數(shù)據(jù)采掘、建模、奇點(diǎn)理論復(fù)合材料的設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制論、計(jì)算、偏微分方程地震的分析和預(yù)測過程控制中的統(tǒng)計(jì)學(xué)動力系統(tǒng)/湍流建模社會離不開數(shù)學(xué)5第五頁，共44頁。 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究(ynji)量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學(xué)作為語言工具 。著名(zhmng)數(shù)學(xué)家 華羅庚 任何應(yīng)用問題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，就會立即任何應(yīng)用問題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，就會立即(lj)顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑和通向勝利的一

4、線曙光。顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光。馬克思教導(dǎo)我們：一門學(xué)科只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了完善的地步！6第六頁，共44頁。玩具、照片玩具、照片(zhopin)、飛機(jī)、火箭模型、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物實(shí)物(shw)模型模型我們我們(w men)(w men)常見的模型常見的模型7第七頁，共44頁。玩具、照片、飛機(jī)玩具、照片、飛機(jī)(fij)、火箭模型、火箭模型 實(shí)物實(shí)物(shw)模型模型水箱水箱(shuxing)中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型我們常見的模型我們常見的模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型8第八

5、頁，共44頁。玩具、照片、飛機(jī)、火箭玩具、照片、飛機(jī)、火箭(hujin)模型模型 實(shí)物實(shí)物(shw)模型模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞水箱中的艦艇、風(fēng)洞(fn dn)中的飛機(jī)中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的抽象、提煉出來的原型原型的替代物，集中反映了的替代物，集中反映了原型原型中中人們需要的那一部分特征。人們需要的那一部分特征。我們常見的模型我們常見的模型9第九頁，共44頁。模型(mxng)物質(zhì)(wzh)模型（形象模型）理想模型(m

6、xng)（抽象模型(mxng)）直觀模型物理模型思維模型符號模型數(shù)學(xué)模型模型的分類10第十頁，共44頁。 “1”是最簡單是最簡單(jindn)的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。 那些我們(w men)所熟知的數(shù)學(xué)模型 設(shè)水池的總?cè)萘繛?。兩臺抽水機(jī)同時工作所需要(xyo)時間為 例例 兩臺不同功率的抽水機(jī)向一個大水池中注水。如果第一臺抽兩臺不同功率的抽水機(jī)向一個大水池中注水。如果第一臺抽水機(jī)單獨(dú)工作，水機(jī)單獨(dú)工作，4小時可以將水池注滿；如果第二臺抽水機(jī)小時可以將水池注滿；如果第二臺抽水機(jī)單獨(dú)工作，單獨(dú)工作，6小時可以將水池注滿?，F(xiàn)在由兩臺抽水機(jī)同小時可以將水池注滿。現(xiàn)在由兩臺抽水機(jī)同時工作，需要多長時間

7、注滿水池？時工作，需要多長時間注滿水池？4 . 261411（小時）（小時） 11第十一頁，共44頁?；《戎剖菍谴笮〉牧硪环N度量弧度制是對角大小的另一種度量(dling)方式，弧度制的基本原理與方式，弧度制的基本原理與平面相似形有關(guān)。平面相似形有關(guān)。AABBO1扇形扇形(shn xn)AOB相似相似(xin s)于扇形于扇形BOA OAAOABBA因此，可以用扇形弧長與半徑之比來確定圓心角。因此，可以用扇形弧長與半徑之比來確定圓心角。 OAABAOBA比如，當(dāng)扇形的弧長與半徑之比為比如，當(dāng)扇形的弧長與半徑之比為2時，對應(yīng)的圓心角是直角；時，對應(yīng)的圓心角是直角；時，對應(yīng)的圓心角是平角（扇形剛好

8、是半圓）時，對應(yīng)的圓心角是平角（扇形剛好是半圓）. 當(dāng)扇形的弧長與半徑之比為當(dāng)扇形的弧長與半徑之比為弧度制的主要特點(diǎn)是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再弧度制的主要特點(diǎn)是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量綱（名數(shù)）。加量綱（名數(shù)）。 引入角的弧度制實(shí)際上是數(shù)學(xué)建模的過程，這種數(shù)學(xué)模型恰是關(guān)于幾何圖形的數(shù)學(xué)模型。12第十二頁，共44頁。方程是表現(xiàn)方程是表現(xiàn)(bioxin)等量關(guān)系的數(shù)學(xué)等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型模型 31 10 x“ ”那些我們(w men)所熟知的數(shù)學(xué)模型例例 一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬(xio m)馱倆，馬

9、仔倆馱馱倆，馬仔倆馱一塊。問大馬、小馬一塊。問大馬、小馬(xio m)、馬仔各幾何。、馬仔各幾何。解解 設(shè)大馬，小馬，馬仔分別為設(shè)大馬，小馬，馬仔分別為1001321002xyzxyz5(20)32(100)3yxzx匹，應(yīng)有匹，應(yīng)有分別消去分別消去 和和 可得可得, ,x y zzy這是一個不完全方程組的求整數(shù)解問題這是一個不完全方程組的求整數(shù)解問題丟番圖問題。丟番圖問題。13第十三頁，共44頁。 “點(diǎn)點(diǎn)”、“面面”、“線線”抽象化的數(shù)學(xué)模型抽象化的數(shù)學(xué)模型那些我們(w men)所熟知的數(shù)學(xué)模型1726年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（17011783）受聘于沙俄）受聘于沙俄(Sh )

10、科學(xué)院，科學(xué)院，后來出任數(shù)學(xué)部主任。后來出任數(shù)學(xué)部主任。1736年秋天，歐拉收到來自東普魯士首都哥尼斯年秋天，歐拉收到來自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生在來信中向他請教的堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生在來信中向他請教的是下面一個問題。是下面一個問題。 布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學(xué)的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個小島，布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學(xué)的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚(bngwn)前后，學(xué)生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u前后，學(xué)生們

11、三三兩兩地散步于小島上與河岸邊。上與河岸邊。 有人突發(fā)奇想，能不能在一個晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過一次呢？有人突發(fā)奇想，能不能在一個晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過一次呢？哥尼斯堡七橋哥尼斯堡七橋問題問題14第十四頁，共44頁。店主橋店主橋鐵匠橋鐵匠橋木橋木橋綠橋綠橋“饞嘴饞嘴”吉布萊茨橋吉布萊茨橋高橋高橋蜜橋蜜橋內(nèi)福夫島內(nèi)福夫島普雷蓋爾河普雷蓋爾河新河道新河道舊河道舊河道哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢力最東端的前哨達(dá)四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天(jntin)，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄

12、羅斯。 15第十五頁，共44頁。CDBA作為一筆畫過程，應(yīng)該只有一個起點(diǎn)和一個終點(diǎn)作為一筆畫過程，應(yīng)該只有一個起點(diǎn)和一個終點(diǎn)(zhngdin)，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)(zhngdin)應(yīng)該是奇節(jié)點(diǎn)，而其它點(diǎn)都是通過點(diǎn)，并只能是偶節(jié)點(diǎn)應(yīng)該是奇節(jié)點(diǎn)，而其它點(diǎn)都是通過點(diǎn)，并只能是偶節(jié)點(diǎn)歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來，問歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來，問題是否有可行的方案，與島、半島題是否有可行的方案，與島、半島(bndo)的大小無關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的大小無關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長度無關(guān)。因而不妨將半島的長度無關(guān)。因而不妨將半島(bndo)、兩、兩側(cè)河岸和小島都縮

13、為一點(diǎn)，將各個小橋代之側(cè)河岸和小島都縮為一點(diǎn)，將各個小橋代之以線。以線?，F(xiàn)在的問題是，能否現(xiàn)在的問題是，能否(nn fu)用一只鉛筆從用一只鉛筆從“結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)”A、B、C、D之中的某一點(diǎn)開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而之中的某一點(diǎn)開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復(fù)呢？不出現(xiàn)線路重復(fù)呢？ 類似這樣的問題，后來被統(tǒng)稱為類似這樣的問題，后來被統(tǒng)稱為“一筆畫一筆畫”問題。問題。 圖中四個節(jié)點(diǎn)圖中四個節(jié)點(diǎn)A、B、C、D都是奇節(jié)點(diǎn)。所以，這是一個不可行的都是奇節(jié)點(diǎn)。所以，這是一個不可行的一筆畫問題。一筆畫問題。 16第十六頁，共44頁。什么(shn me)是數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模n 一般地說，數(shù)學(xué)模

14、型可以描述為，對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些(yxi)必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模建模建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）17第十七頁，共44頁。對某個實(shí)際問題對某個實(shí)際問題了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特模型中變量的特征征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法

15、學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際研究課題的實(shí)際范疇范疇人口模型、生人口模型、生 態(tài)系統(tǒng)模型態(tài)系統(tǒng)模型 、交通、交通流模型、經(jīng)流模型、經(jīng) 濟(jì)模型、濟(jì)模型、 基因模型等基因模型等18第十八頁，共44頁。2.如何(rh)數(shù)學(xué)建模？19第十九頁，共44頁。你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行航行(hngxng)(hngxng)問題問題”用用 x x 表示表示(biosh)(biosh)船速，船速，y y 表示表示(biosh)(biosh)水速，列出方程：水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船

16、速每小時答：船速每小時(xiosh)20(xiosh)20千米千米/ /小時小時(xiosh).(xiosh).甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨祝瑥募椎揭翼標(biāo)叫行?0小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解20第二十頁，共44頁。航行航行(hngxng)問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟n 作出必要的簡化作出必要的簡化(jinhu)假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；n 用符號表示用符號表示(biosh)有關(guān)量（有關(guān)量（x, y表示表示(bios

17、h)船速和水速）；船速和水速）；n 用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；n 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）；n 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）；小時）；21n 驗(yàn)證上述結(jié)果（用實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證）驗(yàn)證上述結(jié)果（用實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證）。第二十一頁，共44頁。幾個(j )數(shù)學(xué)建模示例22第二十二頁，共44頁。例例1 1 椅子能在不平椅子能在不平(bpng)(bpng)的地面上的地面上放穩(wěn)嗎放穩(wěn)嗎問題問題(wnt)分分析析模模型

18、型(mxng)假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地n 四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形;n 地面高度連續(xù)變化，任何方向都不會出現(xiàn)地面高度連續(xù)變化，任何方向都不會出現(xiàn)間斷，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面間斷，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;n 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。同時著地。23第二十三頁，共44頁。n 椅子椅子(y zi)位置位置利用利用(lyng)正方形正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性xBADCOD C B A 用用 (對角

19、線與對角線與x軸的夾角軸的夾角(ji jio)表示椅表示椅子位置子位置n 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來只腳著地的關(guān)系表示出來模型構(gòu)成模型構(gòu)成24第二十四頁，共44頁。用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)(shxu)語言把椅子位語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出置和四只腳著地的

20、關(guān)系表示出來來f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少至少(zhsho)一個一個為為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(sh(shxuxu)問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至椅子在任意位置至少三只腳著地少三只腳著地25第二十五頁，共44頁。模型模型(mxng)求解求解給出一種簡單、粗糙的證明給出一種簡單、粗糙的證明(zhngmn

21、g)方法方法將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f(/2)=0 , g(/2)0.令令h()= f()g(), 則則h(0)0和和h(/2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存必存在在(cnzi)0 , 使使h(0)=0, 即即f(0) = g(0) .因?yàn)橐驗(yàn)閒() g()=0, 所以所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考評注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形

22、的椅子 和和 f( ), g( )的確定的確定26第二十六頁，共44頁。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)建模的一般步驟建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解了解(lioji)(lioji)實(shí)際背景實(shí)際背景明確明確(mngqu)(mngqu)建模目的建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的問題問題27第二十七頁，共44頁。模模型型假假設(shè)設(shè)針對針對(zhndu)問題特點(diǎn)和建模目的問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化作出合理的、簡化(jinh

23、u)的假設(shè)的假設(shè)抓本質(zhì)，在合理抓本質(zhì)，在合理(hl)與簡化之間作出折中與簡化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題內(nèi)在規(guī)律發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟28第二十八頁，共44頁。模型模型(mxng)求解求解各種數(shù)學(xué)方法各種數(shù)學(xué)方法(sh xu fn f)、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析如結(jié)果的誤差分析(fnx)、統(tǒng)計(jì)分析、統(tǒng)計(jì)分析(fnx)、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析(fnx)模型模型分析分析模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)

24、象、數(shù)據(jù)比較，與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟29第二十九頁，共44頁。例例2 2 商人們怎樣商人們怎樣(znyng)(znyng)安全過河安全過河問題(智力(zhl)游戲) 3名商人 3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人(shngrn)多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河30第三十頁，

25、共44頁。模型(mxng)構(gòu)成xk第k次渡河前此岸(c n)的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸(c n)的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由s1=(3,3)到達(dá)到達(dá)sn+

26、1=(0,0).多步?jīng)Q策問題31第三十一頁，共44頁。模型(mxng)求解xy3322110 窮舉法 編程上機(jī)圖圖解解法法狀態(tài)(zhungti)s=(x,y) 16個格點(diǎn) 10個 點(diǎn)允許決策(juc)D 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, , 易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 32適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建

27、立多步?jīng)Q策模型，是有效解決此類問題的方法。第三十二頁，共44頁。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模的全建模的全過程過程現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí)(xinsh)對象的信息對象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí)(xinsh)對象的解答對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問題成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯翻譯”回實(shí)際對象回實(shí)際對象用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得到的解答用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得

28、到的解答實(shí)踐現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界理論實(shí)踐33第三十三頁，共44頁。思考(sko)與練習(xí)34第三十四頁，共44頁。 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)個過渡狀態(tài)亮一段時間的黃燈。亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離，車輛仍將向前行

29、駛一段距離 L。這就。這就是說，在離街口距離為是說，在離街口距離為 L處存在著一條處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。 馬路的寬度馬路的寬度 D是容易測得是容易測得 的，問題的關(guān)鍵在的，問題的關(guān)鍵在 于于L的的確定。為確定確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2，其中其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程 ，L2

30、為剎車制動后車輛為剎車制動后車輛駛過的路程。駛過的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門對司機(jī)的平較容易計(jì)算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時間均反應(yīng)時間 t1早有測算，反應(yīng)時間過長將考不出早有測算，反應(yīng)時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度駕照），而此街道的行駛速度 v 也是交管部門早也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而究，從而 L1=v*t1。剎車距離。剎車距離 L2既可用曲線擬合既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來 （ 留作留作習(xí)題）習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得

31、清楚多了。第一黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出步，先計(jì)算出 L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順利穿過馬路，即利穿過馬路，即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v。 DL第三十五頁，共44頁。練習(xí)練習(xí) 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離。設(shè)兩艇間距離(jl)為為60哩，潛水艇最大航速為哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇

32、最大航速為節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。追趕潛水艇。 顯然，這是一個顯然，這是一個(y )對策問題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡對策問題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡單情形：單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即(lj)下潛，并沿著直線下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追趕方案的設(shè)計(jì)）（追趕方案的設(shè)計(jì)） 設(shè)巡邏艇在設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r()，見圖，見圖1。BAA1drdsd圖1第三十六頁，共44頁。3.為什么數(shù)學(xué)(shxu)建模？37第三十七頁，共44頁。 隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個詞匯越來越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中。例如： 電氣工程師必須建立一個用于控制生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，通過它的精確設(shè)計(jì)和計(jì)算來實(shí)現(xiàn)有效的過程控制； 氣象工作者為得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，需要依賴