概率論與數理統(tǒng)計(2-1)_第1頁
概率論與數理統(tǒng)計(2-1)_第2頁
概率論與數理統(tǒng)計(2-1)_第3頁
概率論與數理統(tǒng)計(2-1)_第4頁
概率論與數理統(tǒng)計(2-1)_第5頁
已閱讀5頁,還剩16頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

1、第二章 隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布律隨機變量的分布函數連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量的分布隨機變量函數的分布隨機變量及其聯(lián)合分布函數隨機變量隨機變量變量的相互獨立性離散型隨機變量及其分布律 一、隨機變量的定義 二、離散型隨機變量及其分布律 三、常見的離散型隨機變量的分布 為更好地揭示隨機現象的規(guī)律性并利用數學工具為更好地揭示隨機現象的規(guī)律性并利用數學工具描述其規(guī)律描述其規(guī)律, , 有必要引入隨機變量來描述隨機試驗的有必要引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結果不同結果. . 例例1 擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現的情況。擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現的情況。記記1= “正面朝

2、上正面朝上”, 2=“反面朝上反面朝上”。21, 0, 1)(XXX是定義在是定義在=1,2上的函數,是隨機變量。上的函數,是隨機變量。 一、隨機變量的概念一、隨機變量的概念 =t | t 0例例3 測試燈泡的壽命:測試燈泡的壽命:X=X(t) X()X 例例2 從一批種子中隨機抽取從一批種子中隨機抽取20粒進行發(fā)芽試驗,觀粒進行發(fā)芽試驗,觀察發(fā)芽粒數。顯然察發(fā)芽粒數。顯然=0,1,20,用變量,用變量X表示發(fā)表示發(fā)芽種子粒數,則芽種子粒數,則X的所有可能取值為的所有可能取值為 0,1,20. = X=X() 一、隨機變量的概念一、隨機變量的概念 定義定義 設隨機試驗設隨機試驗E的樣本空間為的

3、樣本空間為,如果對于每一如果對于每一個個,都有唯一的一個實數都有唯一的一個實數X()與之對應,則稱與之對應,則稱X()為為隨機變量隨機變量,并簡記為,并簡記為X。 注意:注意: 1. X是定義在是定義在上的實值、單值函數。上的實值、單值函數。 2. 因隨機試驗的每一個結果的出現都有一定的概率,因隨機試驗的每一個結果的出現都有一定的概率, 所以隨機變量所以隨機變量X的取值也有一定的概率。的取值也有一定的概率。 3. 隨試驗結果不同隨試驗結果不同, X取不同的值,試驗前可以知取不同的值,試驗前可以知道它的所有取值范圍,但不知確定取什么值。道它的所有取值范圍,但不知確定取什么值。 一、隨機變量的概念

4、一、隨機變量的概念例例3 (1) 50次射擊試驗中命中的次數次射擊試驗中命中的次數 可以用一個隨機變量可以用一個隨機變量X來表示,它可能取來表示,它可能取0,1,50中的任一非負整數;中的任一非負整數;(2)城市某十字路口一分鐘內通過的機動車數城市某十字路口一分鐘內通過的機動車數 可以用隨機變量可以用隨機變量X來表示,它所有可能的取值為一切非來表示,它所有可能的取值為一切非負整數;負整數; 二、二、 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律(3) 汽車司機剎車時,輪胎接觸地面的點的位置是在汽車司機剎車時,輪胎接觸地面的點的位置是在0, 2 r上取值的隨機變量,其中上取值的隨機變量,其中

5、r 是輪胎的半徑是輪胎的半徑 隨機變量按其可能取的值,區(qū)分為兩大類隨機變量按其可能取的值,區(qū)分為兩大類: 一類叫一類叫離散型隨機變量離散型隨機變量, 其特征是只能取有限或可列其特征是只能取有限或可列個值個值.在例在例1的的 (1) 和和(2)中中,隨機變量為離散型隨機變量隨機變量為離散型隨機變量 另一類是另一類是非離散型隨機變量非離散型隨機變量。在非離散型隨機變量。在非離散型隨機變量中,通常只關心中,通常只關心連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量,它的全部可能取值,它的全部可能取值不僅是無窮多的、不可列的,而是充滿某個區(qū)間在不僅是無窮多的、不可列的,而是充滿某個區(qū)間在例例1的(的(3),隨機變量則為連

6、續(xù)型隨機變量),隨機變量則為連續(xù)型隨機變量二、二、 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律 P X = xi = pi (i = 1, 2, )亦可用下面的概率分布表來表示亦可用下面的概率分布表來表示Xx1x2xnpkp1p2pn則稱之為離散型隨機變量則稱之為離散型隨機變量X的的概率分布律或分布列(律)概率分布律或分布列(律) 定義定義 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X所有可能的取值為所有可能的取值為 x1 , x2 , , xn , X取各個值的概率取各個值的概率,即事件即事件X=xi的概率為的概率為二、二、 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律(1)非負性:)非負性

7、: pi 0 (i=1,2,) 11iip(2)規(guī)范性:)規(guī)范性: 課堂練習課堂練習1 已知隨機變量已知隨機變量X的概率分布為:的概率分布為:, )5 , 4 , 3 , 2 , 1(kakkXPpk求常數求常數a.解解 由概率分布的性質得由概率分布的性質得151iip得得 15a = 1, 即即.151a分布律具有如下性質:分布律具有如下性質:211,610310261431036CCCXPCCXP3013,1032310343101624CCXPCCCXP)3 , 2 , 1 , 0(310364kCCCkXPkk6121103301X0123pk6白白4紅紅10球球 解解 用用X表示抽到

8、的紅球數,則表示抽到的紅球數,則X所有可能的取值為所有可能的取值為0,1,2,3。且取每一個值的概率分別為。且取每一個值的概率分別為 課堂練習課堂練習2 在一個袋子中有在一個袋子中有10個球,其中個球,其中6個白球,個白球,4個紅球。從中任取個紅球。從中任取3個,求抽到紅球數的概率分布。個,求抽到紅球數的概率分布。可表示為可表示為 例例4 假設某籃球運動員投籃命中率為假設某籃球運動員投籃命中率為0.8,X表示他表示他投籃一次命中的次數,求投籃一次命中的次數,求X的概率分布的概率分布 解解 用用X=1表示表示“投籃一次命中投籃一次命中”,X=0表示表示“投投籃一次沒命中籃一次沒命中”,則,則 P

9、X=1=0.8, PX=0=1PX=1=10.8=0.2.即即X的概率分布為的概率分布為 X 0 1 P 0.2 0.8三、常見的離散型隨機變量的分布三、常見的離散型隨機變量的分布pqXPpXP10,1 1. 0-1分布分布 若隨機變量若隨機變量 X 只可能取只可能取 0 和和 1 兩個值,概率分布為兩個值,概率分布為 1 , 0,1kqpkXPkk ( 0p1,p+q=1) 若若只有兩個樣本點,即只有兩個樣本點,即=1,2,則可以定義具則可以定義具有有0-1分布的隨機變量:分布的隨機變量:X = X() = 21, 0, 1XP1 0p q則稱則稱 X 服從服從0-1分布(分布(p為參數)為

10、參數), 也稱為兩點分布也稱為兩點分布.記記作作 X B (1 , p ). 其分布可表示為其分布可表示為或或特別特別當當 n=1時,二項分布為時,二項分布為) 1 , 0(1kqpkXPkkknkknqpCkXP 顯然顯然0()1nkkn knnkC p qpq 2. 二項分布二項分布即為即為0-1分布。分布。 定義定義 如果隨機變量如果隨機變量X的概率分布為的概率分布為 (k = 0,1,2,n) (0p1, q=1-p )則稱則稱 X 服從參數為服從參數為 n,p的二項分布。記作的二項分布。記作XB(n, p).P X 2 = 1 P X = 0 + P X = 1 (k=0,1,2,4

11、00) 解解 將每次射擊看成是一次伯努利試驗,將每次射擊看成是一次伯努利試驗,X表示在表示在400次射擊中擊的次數,則次射擊中擊的次數,則XB(400, 0.02)其分布律為其分布律為kkkCkXP400400)98. 0()02. 0(98. 002. 0400)98. 0(1399400 例例5 某人進行射擊,其命中率為某人進行射擊,其命中率為0.02,獨立射擊,獨立射擊400次,試求擊中的次數大于等于次,試求擊中的次數大于等于2的概率。的概率。0.9972 小概率事件原理:小概率事件原理:某事件在一次試驗中發(fā)生的可某事件在一次試驗中發(fā)生的可能性很小,但只要重復次數足夠大,那么該事件的發(fā)能

12、性很小,但只要重復次數足夠大,那么該事件的發(fā)生幾乎是肯定的。生幾乎是肯定的。 例例6 甲、乙兩名棋手約定進行甲、乙兩名棋手約定進行10盤比賽,以贏的盤盤比賽,以贏的盤數較多者為勝數較多者為勝.,假設每盤棋甲贏的概率都為,假設每盤棋甲贏的概率都為0.6,乙贏,乙贏的概率為的概率為0.4,且各盤比賽相互獨立,問甲、乙獲勝的,且各盤比賽相互獨立,問甲、乙獲勝的概率各為多少?概率各為多少? 解解 每一盤棋可看作一次伯努利試驗每一盤棋可看作一次伯努利試驗. 設設X為為10盤棋賽盤棋賽中甲贏的盤數,則中甲贏的盤數,則 X B(10,0.6) ,按約定,甲只要贏,按約定,甲只要贏6盤或盤或6盤以上即可獲勝盤

13、以上即可獲勝. 所以所以6331. 0)4 . 0()6 . 0(61010610kkkkCXPP甲獲勝甲獲勝 =若乙獲勝,若乙獲勝, 則甲贏棋的盤數,即則甲贏棋的盤數,即4XPP 乙獲勝1662. 0)4 . 0()6 . 0(104010kkkkC 練習練習 某廠需從外地購買某廠需從外地購買12只集成電路只集成電路.已知該型號已知該型號集成電路的不合格率為集成電路的不合格率為0.1,問至少需要購買幾只才能,問至少需要購買幾只才能以以99%的把握保證其中合格的集成電路不少于的把握保證其中合格的集成電路不少于12只?只? 解解 設需要購買設需要購買n只,用只,用X表示這表示這n只集成電路中合格

14、只集成電路中合格品只數,則,按題意,要求事件品只數,則,按題意,要求事件“X12”的概率不小的概率不小于于0.99,即,即12XP99. 0) 1 . 0()9 . 0(12knnkkknC可算出至少需要購買可算出至少需要購買17只集成電路,才能以只集成電路,才能以99%的把的把握保證其中合格品不少于握保證其中合格品不少于12只只. 注意:事件注意:事件“甲獲勝甲獲勝”與與“乙獲勝乙獲勝”并不是互逆事并不是互逆事件,因為兩人還有輸贏相當的可能容易算出件,因為兩人還有輸贏相當的可能容易算出 555105(0.6) (0.4)0.2007PP XC不分勝負 一本書的某一頁中印刷符號錯誤的個數;某地

15、區(qū)一本書的某一頁中印刷符號錯誤的個數;某地區(qū)一天內郵遞遺失的信件數等,這些隨機變量都服從或一天內郵遞遺失的信件數等,這些隨機變量都服從或近似服從泊松分布近似服從泊松分布!kekXPk其中其中0是常數,則稱是常數,則稱X服從參數為服從參數為的泊松分布,記的泊松分布,記為為XP()查課本查課本204頁附表頁附表2 泊松分布表,對于給定的泊松分布表,對于給定的,可查可查ekxXPxkk! 3. 泊松分布泊松分布(k =0,1,2,) 定義定義 如果隨機變量如果隨機變量X的概率分布為的概率分布為 例例7 在在500個人組成的團體中,恰有個人組成的團體中,恰有5個人的生日是個人的生日是元旦的概率是多少?

16、元旦的概率是多少? 解解 該團體中每個人的生日恰好是元旦的概率都是該團體中每個人的生日恰好是元旦的概率都是 1/365 ,則該團體中生日為元旦的人數,則該團體中生日為元旦的人數 B(500, 1 /365) ,恰有,恰有5個人的生日是元旦的概率為個人的生日是元旦的概率為 550055500)36511 ()3651(5CXP這里這里n值較大,直接計算比較麻煩值較大,直接計算比較麻煩. 而在二項分布中,而在二項分布中,當當n值較大,而值較大,而p較小時,有一個很好的近似計算公式,較小時,有一個很好的近似計算公式,這就是著名的泊松定理。這就是著名的泊松定理。設隨機變量設隨機變量Xn(n=1,2,3)服從二項分布服從二項分布B(n, pn) , !)1 (limlimkeppCkXPkknnknknnnnknnknknppC)1 (!)(kenpnnpkn從而從而n較大,較大,pn較小時有較小時有其中其中pn與與 n有關。如果有關。如果泊松(泊松(Poisson)定

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論