隨機(jī)變量及其分布

1、 第 四 章 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布二、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的概念一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念三、例題講解三、例題講解第第4.14.1節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量及分布函數(shù)四、小結(jié)四、小結(jié)一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念1.1.隨機(jī)變量的引入隨機(jī)變量的引入（1）為什么要引入隨機(jī)變量？）為什么要引入隨機(jī)變量？ 概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法進(jìn)行研究，因此為就要用數(shù)學(xué)分析的方法進(jìn)行研究，因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意了便于數(shù)

2、學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化，把一些非數(shù)量表示的的隨機(jī)事件數(shù)量化，把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí)，就建立起了隨隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí)，就建立起了隨機(jī)變量的概念。機(jī)變量的概念。（2）隨機(jī)變量的引入）隨機(jī)變量的引入實(shí)例實(shí)例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球，在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球，觀察摸出球的顏色觀察摸出球的顏色可采用下列方法可采用下列方法 X (e) ？紅紅色色、白白色色 將將 數(shù)數(shù)量量化化紅紅 白白1 0 即有即有 X（紅色）（紅色）=1，X（白色）（白色）=0 這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 數(shù)量化了。數(shù)量化了。 10,( ),eX ee紅紅色色白

3、白色色 紅紅色色、白白色色 實(shí)例實(shí)例2 拋擲拋擲骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則有骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則有 樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量 X(e)=e 恒等變換恒等變換 X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3,X(4)=4,X(5)=5,X(6)=6 12 3 4 5 6 ， ， ， ， ，定義定義 設(shè)設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)，是一隨機(jī)試驗(yàn)， 是它的樣本空間，是它的樣本空間，則稱則稱 上的單值實(shí)值函數(shù)上的單值實(shí)值函數(shù) X ( )為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量（random variable）隨機(jī)變量一般用隨機(jī)變量一般用 X, Y , Z ,或小寫希臘字母或小寫希臘字母 , , 表示表示2. 隨機(jī)變量的概念隨

4、機(jī)變量的概念)(1X實(shí)數(shù)按一定法則若隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù)隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , 但它與普通的一元函但它與普通的一元函數(shù)有著本質(zhì)的差別數(shù)有著本質(zhì)的差別 ,普通一元函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)普通一元函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 (樣本樣本空間的元素不

5、一定是實(shí)數(shù)空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).說明說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同（3）隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系 隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個(gè)范圍更廣的概念之隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個(gè)范圍更廣的概念之內(nèi)?；蛘哒f：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨內(nèi)?；蛘哒f：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象。機(jī)現(xiàn)象。 所以，隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的所以，隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件，引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)重大事件，引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究

6、，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究。對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究。實(shí)例實(shí)例 3 擲一個(gè)硬幣擲一個(gè)硬幣, 觀察出現(xiàn)的結(jié)果觀察出現(xiàn)的結(jié)果 , 共有兩種共有兩種情況情況:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), 則有則有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. 實(shí)例實(shí)例4 在有兩個(gè)孩子的家庭中，考慮其性別，在有兩個(gè)孩子的家庭中，考慮其性別，共有共

7、有4個(gè)樣本點(diǎn)：個(gè)樣本點(diǎn)：1234（男男，男男），（男男，女女），（女女，男男），（女女，女女）eeee123412340112012( ),(),(),()( ),( ),XX eX eX eX eX eeeX eee eeee若若用用表表示示該該家家女女孩孩子子的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，則則有有可可得得隨隨機(jī)機(jī)變變量量 實(shí)例實(shí)例5 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8，現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊，直到射中目標(biāo)為止，現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊，直到射中目標(biāo)為止，則則X(e)=“所需射擊次數(shù)所需射擊次數(shù)”是一個(gè)隨機(jī)變量，且是一個(gè)隨機(jī)變量，且X(e)的所有可能取值為的所有可能取值

8、為1，2，3， 實(shí)例實(shí)例6 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，分鐘有一輛汽車通過，如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則X(e)=“此人的等車時(shí)間此人的等車時(shí)間”是一個(gè)隨機(jī)變量，且是一個(gè)隨機(jī)變量，且X(e)所有可能的取值為所有可能的取值為0,5.3.隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量隨機(jī)變量離散型離散型非離散型非離散型連續(xù)型連續(xù)型其它其它（1）離散型）離散型 隨機(jī)變量所有可能值是有限多隨機(jī)變量所有可能值是有限多個(gè)或可列多個(gè)，叫做離散型隨機(jī)變量。個(gè)或可列多個(gè)，叫做離散型隨機(jī)變量。實(shí)例實(shí)例1 觀察一個(gè)觀察一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)變量骰子出現(xiàn)的

9、點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)變量X的可能值是的可能值是1，2，3，4，5，6實(shí)例實(shí)例2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X記為記為“連續(xù)射擊，直至連續(xù)射擊，直至命中時(shí)的射擊次數(shù)命中時(shí)的射擊次數(shù)”，則，則X的可能值是的可能值是1，2，3（2）連續(xù)型）連續(xù)型 隨機(jī)變量所取的可能值可以連隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間，叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間，叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。 實(shí)例實(shí)例 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“燈泡的壽命燈泡的壽命”，則，則 X 的取值范圍為的取值范圍為0,+ ).二、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的概念 為了對隨機(jī)變量為了對隨機(jī)變量r.v（random variable）給出一種統(tǒng)一的描述方法，）給

10、出一種統(tǒng)一的描述方法，下面引進(jìn)下面引進(jìn)分布函數(shù)分布函數(shù)的概念的概念.1.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，稱，稱)()(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 如果將如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布則分布函數(shù)函數(shù)F(x)的值就表示的值就表示X落在區(qū)間落在區(qū)間(- , x的概率的概率. |xxX 由定義，由定義， F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.利用分布函數(shù)可以計(jì)算利用分布函數(shù)可以計(jì)算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXP

11、aXP（ab （);,(, 1)(0) 1 (xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明證明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 2.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)不減性單調(diào)不減性), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)(xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo證明證明,越越來來越越小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,的的值值也也越越來來越越小小xXP 有有時(shí)時(shí)因因而而當(dāng)當(dāng), x,(, +,(,).xP XxXxxX 同同樣樣 當(dāng)當(dāng)增增大大時(shí)時(shí)的的值值也也不不

12、會會減減小小 而而當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)必必然然落落在在內(nèi)內(nèi). 1lim)(limxXPxFxx所以所以).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)右連續(xù). ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x 2x 1p 2p 1 反過來反過來,如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)某個(gè)r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)也就是說，性質(zhì)(1)-(4)是鑒是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件的分布函數(shù)的充分必要條件.三、例題講解三、例題講解.,)(,

13、的的值值求求常常數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)其其中中函函數(shù)數(shù)為為其其分分布布在在整整個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)軸軸上上取取值值已已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量例例BAxxBeAxFXx00001 ()1.FA 解解由由分分布布函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)知知(0)01,1.FABAB 由由分分布布函函數(shù)數(shù)的的右右連連續(xù)續(xù)性性于于是是有有例例2 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤米的圓盤,設(shè)擊中靶上任設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶,以以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).

14、解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x20,.PXxk xk 是是常常數(shù)數(shù), 120 XP由由41,k 得得1.4k 即即.402xxXP 因而因而; 0)( xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故故 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其圖形為一連續(xù)曲線其圖形為一連續(xù)曲線四、小結(jié)四、小結(jié)1. 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的的, 因此為了方便有力地研究隨機(jī)現(xiàn)象因此為了方便有力地研究隨機(jī)現(xiàn)象, 就需將隨就需將隨機(jī)事件數(shù)量化機(jī)事件數(shù)量化,把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字表示時(shí)字表示時(shí), 就建立起了隨機(jī)變量的概念就建立起了隨機(jī)變量的概念. 因此因此隨機(jī)隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù). ( )F xP Xx3. 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(4(4個(gè)性質(zhì)個(gè)性質(zhì)) )2. 隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有黃金