數(shù)字信號處理吳鎮(zhèn)揚_CHP5有限沖激響數(shù)字濾波器設計

1、趙發(fā)勇 zfy_序言序言5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特性濾波器的特性5.2 窗口設計法（時間窗口法）窗口設計法（時間窗口法） 5.3 頻率采樣法頻率采樣法5.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計5.5 IIR與與FIR數(shù)字濾器的比較數(shù)字濾器的比較IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器和優(yōu)缺點和優(yōu)缺點優(yōu)點優(yōu)點 可以利用模擬濾波器設計的結(jié)果，而模擬濾波可以利用模擬濾波器設計的結(jié)果，而模擬濾波器的設計有大量圖表可查，方便簡單器的設計有大量圖表可查，方便簡單。缺點缺點 相位的非線性相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡進行相位校

2、正相位，則要采用全通網(wǎng)絡進行相位校正, ,使濾波器設使濾波器設計變得復雜，成本也高。計變得復雜，成本也高。 11(1)0110( )NNiNiiH zaa zaza z輸入輸出的卷積關系為輸入輸出的卷積關系為FIRFIR數(shù)字數(shù)字濾波器濾波器的差分方程為的差分方程為10)()(Niiinxany對應的系統(tǒng)函數(shù)為對應的系統(tǒng)函數(shù)為10)()()(Niinxihny比較可得：比較可得：( )iah i系數(shù)系數(shù)ai即為系統(tǒng)的單位抽樣響應，即為系統(tǒng)的單位抽樣響應，無極點無極點(或極或極點在原點點在原點)優(yōu)點優(yōu)點 （1 1）很容易獲得）很容易獲得嚴格的線性相位嚴格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)，避免被處理的

3、信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （2 2 ）可得到多帶幅頻特性；）可得到多帶幅頻特性； （3 3 ）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題無穩(wěn)定性問題； （4 4 ）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一 定定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿足因果性總是滿足； （5 5）無反饋運算，運算誤差小。）無反饋運算，運算誤差小。 穩(wěn)定穩(wěn)定性及可實現(xiàn)性及可實現(xiàn)和

4、和線性相位特性線性相位特性是是FIRFIR濾波器突出的優(yōu)點。濾波器突出的優(yōu)點。語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中具有重要的應用。中具有重要的應用。缺點缺點 （1 1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價；較高的階數(shù)為代價； （2 2）無法利用模擬濾波器的設計結(jié)果，一般無解）無法利用模擬濾波器的設計結(jié)果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 系統(tǒng)的頻率響應包括系統(tǒng)的頻率響應包括幅頻特性幅頻特性和和相頻特

5、性相頻特性。幅頻幅頻特性特性反映了信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況反映了信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況。相相頻特性頻特性反映了信號的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時間上反映了信號的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時間上發(fā)生的位移情況發(fā)生的位移情況。 很多場合下，一個理想的離散時間系統(tǒng)（濾波器）很多場合下，一個理想的離散時間系統(tǒng)（濾波器）除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通等），最好具有等），最好具有線性相位線性相位,即即argH()jek 產(chǎn)生什么效果？若：若：( )k 其中其中k為常數(shù)為常數(shù)也稱也稱線性相位線性相位5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點

6、濾波器的特點()H()()()jjjjkjY eeX eeX e分析分析：現(xiàn)假設系統(tǒng)的幅頻特性為：現(xiàn)假設系統(tǒng)的幅頻特性為1，考慮，考慮信號經(jīng)過信號經(jīng)過線性相位系統(tǒng)后的輸出線性相位系統(tǒng)后的輸出。設系統(tǒng)的輸入序列為設系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，則輸出序列為則輸出序列為y(n)的頻率特性為的頻率特性為由由DTFT的性質(zhì)可知輸出序列的性質(zhì)可知輸出序列此式說明，輸出序列此式說明，輸出序列y(n)為輸入序列為為輸入序列為x(n)在時在時間上位移。間上位移。結(jié)論結(jié)論當系統(tǒng)具有線性相位時，信號無當系統(tǒng)具有線性相位時，信號無失真（指無相位失真、有一定的失真（指無相位失真、有一定的延遲）。延遲）。( )()y nx

7、 nk5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點定義定義系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲( )( )gd 由上面的分析可知，由上面的分析可知，線性相位的群延遲為一常數(shù)。線性相位的群延遲為一常數(shù)?？梢詫⑷貉舆t作為相頻特性是否線性的度量，同時，可以將群延遲作為相頻特性是否線性的度量，同時，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點當當FIR系統(tǒng)系統(tǒng)h(n)滿足滿足該系統(tǒng)具有線性相位。該系統(tǒng)具有線性相位。其中其中+表示偶對稱，表示偶對稱，-表示奇表示奇對稱對稱(如圖示如圖示) 。同時由于。同時由于N可取奇或偶，共有四種可取奇或偶，共

8、有四種情況，情況，下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特性。性。第一類FIR系統(tǒng)第二類FIR系統(tǒng)第三類FIR系統(tǒng)第四類FIR系統(tǒng)為偶數(shù)且為奇數(shù)且為偶數(shù)且為奇數(shù)且NnNhn、hNnNhn、hNnNhn、hNnNhn、h),1()(4),1()(3),1()(2),1()(1( )()h nh Nn 15.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點h(n)=h(N-1-n)為偶對稱為偶對稱h(n)= -h(N-n-1)為奇對稱為奇對稱N為偶為偶N為奇為奇N為偶為偶N為奇為奇5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點1、且、且N為奇數(shù)

9、為奇數(shù)()( )( )()( )( )()() ( )()()NnnNNNnnNnnNNNnnNnnNNnNnnH zh n zNh n zhzh n zNh n zh Nn zhzNh n zzhz 1011112210211112210211121201211212（( )()h nh Nn 15.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點)( )()NjwNjwjwnjw NnNH eh n eehe121121012（-n（)()( )()( )cos() ()NNNNNjjnjjjnNNjnNH eeh n eeheNNeh nnh 111111222220111220121

10、1222（-n+令令則系統(tǒng)的頻率響應則系統(tǒng)的頻率響應jwze5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點arg()jNH e 12系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅度函數(shù)系統(tǒng)的幅度函數(shù)由定義可知，此時的由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。系統(tǒng)具有線性相位。( )( )cos() ()NnNNHh nnh1201122221Nnm令令 ，則，則2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha 2/10cos)(NnnnaH令令則由于由于 偶對稱，因此偶對稱，因此 對這些頻率對這些頻率也呈偶對稱。也呈偶對

11、稱。2 , 0cos關于n H(1)/2111( )2 ()cos22NmNNHhhmm 2 05.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點、h(n)= h(N-1-n),且且N為偶數(shù)為偶數(shù)()( )( )( )( )()( )( )( )NNNnnnNnnnNNnnNnnNNnNnnnNnNnnHzh n zh n zh n zh n zh Nn zh n zh n zh nzz 111200211202112210012101（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點)( )Njwjwnjw NnH eh n e

12、e1210（-n（)()( )NNNNjjnjjnH eeh n ee 111122220（-n+( )cos() NNjnNeh nn 11220122令令則系統(tǒng)的頻率響應則系統(tǒng)的頻率響應jwze5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點arg()jNH e 12系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為由定義可知，此時的由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。系統(tǒng)具有線性相位。( )( )cos() NnNHh nn 120122令 ，則12Nnm 2/121cos122NmmmNhH 120121cos22NmNHhmm nNhnbnnbHNn122)

13、(21cos)(2/1或?qū)憺椋?由于 奇對稱，所以 對 也為奇對稱，且由于 時， 處必有一零點，因此這種情況不能用于設計 時 的濾波器，如高通、帶阻濾波器。對2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點同理可求出同理可求出N奇、偶時系統(tǒng)的相頻特性分別為奇、偶時系統(tǒng)的相頻特性分別為 通過以上分析可知，當通過以上分析可知，當FIR DF的抽樣響應滿足對稱時，的抽樣響應滿足對稱時，該濾波器具有線性相位該濾波器具有線性相位，其中，當，其中，當h(n)為奇對稱時，為奇對

14、稱時，通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生90的相移。的相移。arg()jNH e 122下面討論具有線性相位下面討論具有線性相位FIR濾波器零點分布及幅頻響應問題濾波器零點分布及幅頻響應問題5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點一、零點分析一、零點分析利用利用h(n)的對稱性可知的對稱性可知其中其中+表示偶對稱，表示偶對稱，-表示奇對稱。由上式容易可以看表示奇對稱。由上式容易可以看出出H(Z-1)的零點也是的零點也是H(Z)的零點。的零點。)( )()( )( )()()NNnnnnNm NnNmmNNnnNH zh n zh Nn zzh m zzh

15、 n zzH z 110011101110111（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點、情況一：情況一：分析：分析：在這種情況下在這種情況下H（Z-1）的零點也是）的零點也是H（Z）的零點的零點,即即Zk為零點為零點 ， Zk-1也是零點也是零點,(兩者稱為單兩者稱為單位圓鏡像對稱位圓鏡像對稱);同時同時,零點為復數(shù)，應當成對出零點為復數(shù)，應當成對出現(xiàn)，即此時有四個互為倒數(shù)的兩組共軛現(xiàn)，即此時有四個互為倒數(shù)的兩組共軛 對零點，對零點，如下圖所示：如下圖所示：。zr，kkk在單位圓內(nèi)且和, 105.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點、情況二：情況二：分析：分析：

16、此時零點不在單位圓上，但在實軸上，此時零點不在單位圓上，但在實軸上，是實數(shù)是實數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點零點,如下圖所示：如下圖所示：。zr，kkk在實軸上且和, 105.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點、情況三：情況三：分析：分析：此時零點在單位圓上，但不在實軸上，因此時零點在單位圓上，但不在實軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，如倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，如下圖所示：下圖所示：。zr，kkk在單位圓上且和, 105.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點、情況四：情況四：分析：分析：此

17、時零點既在單位圓上，又在實軸上，共此時零點既在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點，所以軛和倒數(shù)都合為一點，所以以單以單出現(xiàn)，且只有兩出現(xiàn)，且只有兩種可能，種可能，zk=1或或zk=-1。如下圖所示：。如下圖所示：. 10kkr，且和5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 通過以上分析可知，一個具有線性相位的通過以上分析可知，一個具有線性相位的FIR DF，其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級聯(lián)，即其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級聯(lián)，即上述子傳輸函數(shù)分別對應四種情況下的一階、二上述子傳輸函數(shù)分別對應四種情況下的一階、二階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對稱的系數(shù)，它階和四階子系統(tǒng)。

18、由于其均具有對稱的系數(shù)，它們均為們均為線性相位子系統(tǒng)線性相位子系統(tǒng)。為實現(xiàn)。為實現(xiàn)H（Z）提供了方）提供了方便，便，H（Z）各種情況下的零點位置示意圖如下如）各種情況下的零點位置示意圖如下如所示。所示。)kmlnkmlnH zHzHzHzHz（:4 order:4 order:2 order:2 order:2 order:2 order:1 order:1 order5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點二、線性相位二、線性相位FIR DF幅頻響應特點幅頻響應特點 在一個在一個FIR系統(tǒng)中，滿足圖系統(tǒng)中，滿足圖5.3.1所

19、示的對稱性，所示的對稱性，稱此進的稱此進的H（Z）為鏡像對稱多項式（）為鏡像對稱多項式（MIP），下），下面分析這引面分析這引MIP在在z=1或或z=-1處幅頻響應的特點。處幅頻響應的特點。)()NH zzH z 11（為偶數(shù)奇對稱類型為奇數(shù)奇對稱類型為偶數(shù)偶對稱類型為奇數(shù)偶對稱、類型N：、N：、N：、N：,44,33,22,115.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點第一類第一類FIR DF (偶對稱偶對稱,N為奇為奇)的特點：的特點： 恒相時延，相位曲線是過原點的直線。恒相時延，相位曲線是過原點的直線。 H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即即Z=-1和和1(或零點或

20、零點和和點點)都能保證都能保證5.3.1式成立式成立, 點相當模擬頻點相當模擬頻率率 s2，或者說模擬頻率的最高頻，或者說模擬頻率的最高頻(高頻端高頻端),因因此此,此類此類FIR DF可靈活設置可靈活設置低通低通高通和帶通濾高通和帶通濾波器波器.)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點第二類第二類FIR DF (偶對稱偶對稱,N為偶為偶)的特點的特點： 恒相時延，相位曲線是過原點的直線。恒相時延，相位曲線是過原點的直線。 H(1)=H(1), H(-1)=-H(-1),即即點一定是點一定是幅度函數(shù)的零點幅度函數(shù)的零點,以保證對稱性成立。以保證對稱性

21、成立。 點是零點是零點說明高端不通，所以這類點說明高端不通，所以這類FIR系統(tǒng)系統(tǒng)只能做低只能做低通和帶通通和帶通,不能設計高通和帶阻濾波器不能設計高通和帶阻濾波器.)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點第三類第三類FIR DF (奇對稱奇對稱,N為奇為奇) 的特點的特點： 恒群時延，有恒群時延，有 /2 /2 附加相移，相位曲線附加相移，相位曲線是截距為是截距為/2 /2 、斜率為、斜率為 -(N-1)/2 的直線。的直線。 對零頻和對零頻和頻均為頻均為奇對稱奇對稱, 即即H(1)=-H(1)， H(-1)=-H(-1)，所以，所以零頻和零頻和頻

22、頻都必須都必須是是H()的零點，以保證對稱性。所以這類的零點，以保證對稱性。所以這類FIR系統(tǒng)只系統(tǒng)只能做帶通能做帶通。)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點第四類第四類FIR DF (奇對稱奇對稱,N為偶為偶)的特點的特點： 恒群時延，有恒群時延，有/2 /2 附加相移。相位曲線附加相移。相位曲線與第三類相同。與第三類相同。 幅度曲線對原點奇對稱，幅度曲線對原點奇對稱，H(1)=-H(1)零零頻是的零點。頻是的零點。 幅度曲線對幅度曲線對H(-1)=H(-1),即即點點偶對稱。所以這類偶對稱。所以這類FIR系統(tǒng)只能做系統(tǒng)只能做高通和帶通高通和帶通

23、濾波器。濾波器。)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點小結(jié)：小結(jié)： 線性相位濾波器是線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應濾波器中最重要的一種，應用最廣。實際使用時應根據(jù)需用選擇其合適類型，用最廣。實際使用時應根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設計時遵循其約束條件。并在設計時遵循其約束條件。 基于模擬的設計是面向極點系統(tǒng)的設計，不適用基于模擬的設計是面向極點系統(tǒng)的設計，不適用于于FIRFIR系統(tǒng)系統(tǒng)，目前，目前FIR DFRFIR DFR的設計方法主要建立在對的設計方法主要建立在對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎上，主要有理想濾波器頻率特性作某

24、種近似的基礎上，主要有窗數(shù)法（時域逼近）窗數(shù)法（時域逼近）頻率抽樣法頻率抽樣法( (頻域逼近）頻域逼近）最佳一致逼近法（等波紋逼近）最佳一致逼近法（等波紋逼近） 本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。FIR DFFIR DF設計的含義是：設計的含義是： 根據(jù)根據(jù)給定的給定的設計指標，求解所選運算結(jié)構(gòu)要求設計指標，求解所選運算結(jié)構(gòu)要求的的h(n)h(n)或或H(z)H(z)（線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求FIR FIR DFDF的的h(n)h(n)；級聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)

25、，求級聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)，求FIR DF FIR DF 的的H(z)H(z)） 。1. 由理想的頻率響應得到理想的由理想的頻率響應得到理想的 ( )dh n2.2.由由 得到因果、有限長的單位抽樣得到因果、有限長的單位抽樣響應響應( )dh n( )h n一、思路與方法：一、思路與方法： 如果希望如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為得到的濾波器的理想頻率響應為 ，時間窗函數(shù)設計法是從，時間窗函數(shù)設計法是從單位沖響應序單位沖響應序列著手，使設計的濾波器單位沖激響應列著手，使設計的濾波器單位沖激響應h(n)逼近逼近理想的單位脈沖響應序列理想的單位脈沖響應序列hd(n)。()jdH e我們知道我們知

26、道h hd d(n(n) )可以從理想頻響通過付氏反變可以從理想頻響通過付氏反變換獲得換獲得, , 即即deeHnhnjjdd21)(如理想低通濾波器如理想低通濾波器的單位沖激響應為的單位沖激響應為: :nnnhcdsin)(特點：特點： 無限長無限長 非因果非因果 偶對稱偶對稱解決方法：解決方法： 截短截短 移位移位 保留保留 這種截取可想象為這種截取可想象為h(nh(n) )是通過一個是通過一個“窗口窗口”所看到的一段所看到的一段h hd d(n(n) )，因此這種方法稱為窗函因此這種方法稱為窗函數(shù)法。數(shù)法。h(nh(n) )也可表達為也可表達為h hd d(n(n) )和一個和一個“窗函

27、數(shù)窗函數(shù)”的乘積，即的乘積，即h(nh(n)=)=w(nw(n) ) h hd d(n(n) ) 。 最簡單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)最簡單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)R RN N(n(n），后面我們還可看到，后面我們還可看到, ,為了改善設計濾波器的特為了改善設計濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當于在矩，相當于在矩形窗內(nèi)對形窗內(nèi)對h hd d(n(n) )作一定的加權(quán)處理。作一定的加權(quán)處理。 ( )( -)dh nh n M 20,1,.,nM即：即：隱含著使用隱含著使用了窗函數(shù)了窗函數(shù))()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj10)(Nn

28、jnjenheH1 1）由定義）由定義)()()2jeHnhDFT3 3）卷積）卷積插值插值設計步驟設計步驟deWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(窗函數(shù)對理想特性的影響：窗函數(shù)對理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 4/N，等于等于WR()的主瓣寬度的主瓣寬度。（。（決定于窗長決定于窗長） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強值大，肩峰強 ，與與 N無關

29、無關。（決定于窗口形狀）。（決定于窗口形狀） N增加增加,過渡帶寬減小過渡帶寬減小,肩峰值不變肩峰值不變。 其中其中x=N/2,所以所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關系，只能改變例關系，只能改變WR（）的絕對值大小和起伏的）的絕對值大小和起伏的密度，當密度，當N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠為肩峰永遠為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應。效應。xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(ccjjdeeH01)(計算計算)()(sin(2121)(n

30、ndeedeeHnhcnjjnjjddcc 以一個截止頻率為以一個截止頻率為c c的線性相位理想低通濾波器的線性相位理想低通濾波器為例為例, ,討論討論FIRFIR的設計問題。的設計問題。1 1、對于給定的理想低通濾波器、對于給定的理想低通濾波器 這是一個以為這是一個以為 中心的偶對稱的中心的偶對稱的無限長非因果無限長非因果序列序列，如果截取一段，如果截取一段n=0-Nn=0-N的的h hd d(n(n) )作為作為h(nh(n) )，則為，則為保證所得到的是線性相位保證所得到的是線性相位FIRFIR濾波器，延時濾波器，延時 應為應為h(nh(n) )長度長度N N的一半的一半, ,即即 2/

31、N為其它值nNnonhnwnhnhdRd0)()()()(其中其中)()(nRnwNR2 2、計算、計算)(nh3 3、計算、計算)(jeH 改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際

32、上這兩點不能兼得，一般總是通但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。1、理想的線性相位高通、理想的線性相位高通DF的頻率特性為的頻率特性為ccjwMjwdwwwweeH|00|)(2/1| )(|jeHwcwcpww截止頻率為： 相對于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設計相對于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設計只需要改變積分的上下限即可，只需要改變積分的上下限即可，下面介紹：下面介紹：nMnMnMndeeHdeeHdeeHnhcnjjdnjjdnjjddcc)2()2(sin)2(sin)(21)(21)(21)( 理想的線性

33、相位高通理想的線性相位高通DF相當于一個全通減去相當于一個全通減去一個低通濾波器一個低通濾波器.2、理想的線性相位帶通、理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：的頻率特性為：其它0|)(2/hlMjjwdwwweeHnMnMnwMnwdwedwedweeHnhlhMnjwwMnjjwnjwddhllh)2/()2/(sin)2/(sin2121)(21)(0)2/(0)2/(3、理想的線性相位帶阻、理想的線性相位帶阻DF：略：略 獲得理想特性后，選取一個滿意的窗函數(shù)獲得理想特性后，選取一個滿意的窗函數(shù)w(n)，令令 h(n)w(n)hd(n) n0,1, ,M 則則h(n)即是要設計的濾波器的頻率

34、響應。即是要設計的濾波器的頻率響應。 按上述方法設計出的濾波器，由于滿足了按上述方法設計出的濾波器，由于滿足了h(n)土土h(M一一n)的對稱關系的對稱關系,因此都因此都具有線性相位具有線性相位。 FIR DF設計的窗函數(shù)法不但可以用來設計普通設計的窗函數(shù)法不但可以用來設計普通的的LP，HP，BP及及BS濾波器，也可用以來設計一些特濾波器，也可用以來設計一些特殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。優(yōu)點優(yōu)點：1.1.無穩(wěn)定性問題；無穩(wěn)定性問題； 2.2.容易做到線性相位；容易做到線性相位； 3.3.可以設計各種特殊類型的濾波器；可以設計各種特

35、殊類型的濾波器； 4.4.方法簡單。方法簡單。缺點缺點：1.1.不易控制邊緣頻率；不易控制邊緣頻率； 2.2.幅頻性能不理想；幅頻性能不理想； 3. 3. 較長；較長；( )h n 二、窗函數(shù)法的特點：二、窗函數(shù)法的特點：改進改進：1.1.使用其它類型的窗函數(shù)；使用其它類型的窗函數(shù)； 2.2.改進設計方法。改進設計方法。)()()(nwnxnxNdeWeXeWeXeXjjjjjN)(21)()()()( 在信號處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題，在信號處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題，例如，上節(jié)討論的例如，上節(jié)討論的FIR DF濾波器的設計，還有比如在濾波器的設計，還有比如在功率譜估計中要遇

36、到對自相關函數(shù)的截短問題。功率譜估計中要遇到對自相關函數(shù)的截短問題。 總之，我們在實際工作中所能處理的離散序列總總之，我們在實際工作中所能處理的離散序列總是有限長。把一個長序列變成有限長的短序列不可避是有限長。把一個長序列變成有限長的短序列不可避免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應用免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應用是信號處理中的一個基本問題。是信號處理中的一個基本問題。 下面給出了三個領域指標以定量地比較各種窗函下面給出了三個領域指標以定量地比較各種窗函數(shù)的性能：數(shù)的性能：3dB3dB帶寬帶寬B B 它是主瓣歸一化的幅度下降到一它是主瓣歸一化的幅度下降到一3dB3dB時帶

37、寬。當時帶寬。當數(shù)據(jù)長度為數(shù)據(jù)長度為N N時，矩形窗主辨兩個過零點之間的寬度為時，矩形窗主辨兩個過零點之間的寬度為4 4N N。最大邊瓣峰值最大邊瓣峰值A A (dB) (dB)。邊瓣譜峰漸近衰減速度邊瓣譜峰漸近衰減速度D D (dB (dBoctoct) )。 說明：一個理想的窗函數(shù)，應該具有說明：一個理想的窗函數(shù)，應該具有最小的最小的B B和和A A及及最大的最大的D D。 除以上三個指標外，除以上三個指標外，窗函數(shù)窗函數(shù)還有一些共同的要求：還有一些共同的要求： w(n)應是非負的實偶函數(shù)，且應是非負的實偶函數(shù)，且w(n)從對稱中心開從對稱中心開始，應是非遞增的。始，應是非遞增的。 由由(

38、7.2.2)式可知，若式可知，若X(ejw)恒為正，那么，若恒為正，那么，若W(ejw)有正有負。則有正有負。則XN(ejw)將有正有負。因為功率譜將有正有負。因為功率譜總是正的，因此，我們希望總是正的，因此，我們希望W(ejw)也盡可能是正的。也盡可能是正的。 窗函數(shù)的頻譜應滿足窗函數(shù)的頻譜應滿足1)(21)0(deWwj）升余弦窗布萊克曼窗（又稱二階弦窗）漢明窗（又稱改進余（窗）漢寧窗（又稱升余弦（窗三角窗（又稱）矩形窗（的特性。的窗函數(shù)，并比較它們下面我們討論五種常用Window，BlackmanWindowg，HaWindow，HanningWindow，BartlettBartlet

39、tWindowglec)5()min4)3)2()tanRe1octdBDdBABeWewwNNeWNNnnNwNnNnnwjwwNjjw/12,27,28. 1) 2/sin()4sin(2)1, 2/)(2/, 2 , 1 , 02)()21(2的（其頻率響應為：octdBDdBAdBBNeUNUNUUeWN，NnNnnWNnNnnWjj/18,32,44. 1) 2/sin(/ ) 2/sin()()2()2(25. 0)(5 . 0)(202),2cos(1 5 . 0)(10),2cos(1 5 . 0)(2/式中或優(yōu)點優(yōu)點由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅值的矩由于頻譜是由三個互有頻

40、移的不同幅值的矩形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當有效地集中在主瓣內(nèi)。從而能量相當有效地集中在主瓣內(nèi)。代價（缺點）代價（缺點）主瓣加寬一倍，可達到減少肩峰，余振，提主瓣加寬一倍，可達到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大NB80主瓣寬度：octdBDdBANBdBBNwUNwUeUeWeW，N，NnNnnwNnNnnwjwjwjwHm/6,43,/8,3 . 1)223. 0)223. 0)(54. 0)()(2/, 02/,)2cos(46. 054. 0)(1, 2 , 1 , 0,)2cos(46

41、. 054. 0)(0（為其頻域函數(shù)或.,4396.99主瓣寬度和漢寧窗相同主瓣小，第一旁瓣的峰值比主瓣的能量約占更加集中在主瓣中，改進的升余弦窗，能量dBoctdBDdBANBBNwUNwUNwUNwUUeWN，NnNnNnnwNnNnNnnwjw/18,58,/12,68. 1)4()4(04. 0)2()2(25. 0)(42. 0)(2/,2/,4cos08. 02cos5 . 042. 0)(1, 2 , 1 , 0,4cos08. 02cos5 . 042. 0)(0其頻域函數(shù)為：或NB，wU123)(倍。即：到矩形窗的寬但主瓣寬度卻不得不加可以得到更低的旁瓣，阻帶衰減進一步增加，

42、使旁瓣再進一步抵消函數(shù)，幅度也不同的它們都是移位不同，且成，其幅頻函數(shù)由五部分組18/12586/84318/83212/8276/413)/)NNNNNoctdBwdB布萊克曼窗漢明窗漢寧窗三角形窗矩形窗漸近衰減速度（過渡帶寬旁瓣峰值幅度（窗函數(shù)% for example 7.9.1 and 7.1.1to test fir1.mclear all;N=10; M=128;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1); % 矩形窗作為沖激響應的窗函數(shù)矩形窗作為沖激響應的窗函數(shù)b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1); % 漢明窗作沖激響應的窗函數(shù)漢明窗作沖激響應的窗函數(shù)

43、h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);% 求濾波器的頻率響應；求濾波器的頻率響應；t=0:10;subplot(221);stem(t,b2,.);hold on;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;for k=1:M1 hd(k)=1; hd(k+M1)=0; hd(k+2*M1)=0; hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222);plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid;0510-0.300.800

44、.1 窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)的一種設計法。窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)的一種設計法。工工程上，程上，常給定頻域上的技術指標常給定頻域上的技術指標，所以采用頻域設，所以采用頻域設計更直接。計更直接。尤其對于尤其對于Hd(ejw)公式較復雜，或公式較復雜，或Hd(ejw)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率抽抽樣設計法更為方便，有效。樣設計法更為方便，有效。102221, 2 , 1 , 0,)(1)().()(1, 2 , 1 , 0),()()(NkknNjddkNjdkNwjwddNnekHNnhnhIDFTkHNNkeH

45、eHkH，得到進行點再對一、思路與方法 使所設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于點點頻率取樣確定102101012101)(1)()(1)(1)()()()NkjkNjdNjNnnjjdNkkNjdNdNnneekHNeenheHkHzekHNzzH，kHzHznhzH（系統(tǒng)的頻率響應為。形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)采樣值此式就是直接利用頻率看出：（插值公式為：來表示也可用當然（系統(tǒng)函數(shù)為10)1(212/2sin2/2sin)()(Nk

46、NkNjdNjjNkNNkNekHeeH，有經(jīng)推導2/2sin2/2sin),()1(NkNNkNekSNkNj令1021),()()(NkdNjjkSkHeeH有由此可以看出，連續(xù)函數(shù)由此可以看出，連續(xù)函數(shù)H(eH(ej jw w) )是由以是由以N N個離散值從個離散值從H Hd d(k(k) ) 作為權(quán)重和插值函數(shù)作為權(quán)重和插值函數(shù)S(S(w,kw,k) )線性組合的結(jié)果。線性組合的結(jié)果。線性相位條件線性相位條件 為了設計線性相位的為了設計線性相位的FIRFIR濾波器，采樣值濾波器，采樣值 H H（k k）要滿足一）要滿足一定的約束條件。定的約束條件。 具有線性相位的具有線性相位的FIR

47、FIR濾波器，其單位脈沖響應濾波器，其單位脈沖響應h(nh(n) )是實序是實序列，且滿足列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對特性，就是對H(kH(k) )的約束。的約束。情況一情況一: :設計第一類線性相位設計第一類線性相位FIRFIR濾波器，即濾波器，即N N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(nh(n) )偶偶對稱，則對稱，則幅度函數(shù)幅度函數(shù)( (用用H(H() )表示表示) )應具有偶對稱性：應具有偶對稱性：)1()(nNhnh21| )(|NjjjeeHeH)2()( HH令令 則則 必須滿足偶對稱性：必須滿足偶對稱性：而而 必須取為：必須取為： kjkeHkH)(k

48、NkNNkNk) 1(212情況二情況二:設計第二種線性相位設計第二種線性相位FIRFIR濾波器，濾波器，N N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(nh(n) )偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的，偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的， 2HHkNkHHkH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0Nk因此，因此，H Hk k 也必須滿足奇對稱性：也必須滿足奇對稱性： 相位關系同上，相位關系同上， 其它兩種線性相位其它兩種線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器的設計，同樣也要滿足數(shù)字濾波器的設計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。幅度與相位的約束條件。同樣可根據(jù)頻率響應的插值公式來分析。同樣可根據(jù)頻率響應的插值公式來分析。 kNkH

49、H1, 1 , 0,) 1(NkNkNk1, 1 , 0Nk根據(jù)所設計濾波器的通帶和阻帶的要求根據(jù)所設計濾波器的通帶和阻帶的要求, ,根據(jù)根據(jù)N N為為奇偶奇偶, ,按線性相位要求指定按線性相位要求指定H Hd d( (k k).).計算計算 , ,求出所設計濾波器的頻率響求出所設計濾波器的頻率響應。應。例例.1例例.2分析：分析：過渡帶的設計過渡帶的設計)( ZH)(nh綜上所述，頻率抽樣法的設計步驟為綜上所述，頻率抽樣法的設計步驟為二、頻率抽樣法的特點二、頻率抽樣法的特點優(yōu)點：優(yōu)點： 直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便直接從頻域進行設計，物理概念清楚

50、，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值。幾個非零值。缺點：缺點： 截止頻率難以控制。截止頻率難以控制。因頻率取樣點都局限在因頻率取樣點都局限在2/N2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加?？梢越咏魏谓o定的頻率，但計算量和復雜性增加。 前面介紹了前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設計方數(shù)字濾波器的兩種逼近設計方法，即窗口法（時域逼近法）和頻率

51、采樣法（頻域逼法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設計出的濾波器的頻率特性都近法），用這兩種方法設計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對給定理想頻率特性是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。的逼近。 說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對“好好”“”“壞壞”的恒量標準不同，也會得出不同的結(jié)論。的恒量標準不同，也會得出不同的結(jié)論。窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性。需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過來要求在某種準則下設計濾波器各參如果反

52、過來要求在某種準則下設計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設計的概數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設計的概念，最優(yōu)化設計一般需要大量的計算，所以一般需要念，最優(yōu)化設計一般需要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設計。依靠計算機進行輔助設計。 從數(shù)值逼近的理論來看，對函數(shù)從數(shù)值逼近的理論來看，對函數(shù)f(x)的逼近一般有的逼近一般有三種方法（或可以適用于三種方法（或可以適用于FIR濾波器最優(yōu)化設計中）濾波器最優(yōu)化設計中）：插值法插值法最小平方逼近法（最小均方誤差）最小平方逼近法（最小均方誤差）最佳一致逼近法最佳一致逼近法( (最大誤差最小化準則最大誤差最小化準則) )插值

53、法：即尋找一個插值法：即尋找一個n n階多項式階多項式p p( (x x) )使它在使它在n+1n+1個點個點處滿足處滿足而在非插值點上，而在非插值點上，p(xp(x) )是是f(xkf(xk) )的某種組合。在非插值的某種組合。在非插值點上存在一定的誤差。點上存在一定的誤差。頻率抽樣法可以看作為插值法。頻率抽樣法可以看作為插值法。nkxfxpkk, 2 , 1 , 0),()(最小平方逼近法（最小均方誤差）最小平方逼近法（最小均方誤差） 若以若以E(eE(ejj) )表示逼近誤差，則表示逼近誤差，則 那么均方誤差為那么均方誤差為deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHe

54、E）（均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差方誤差 ，這一方法注重的是在整個，這一方法注重的是在整個-頻頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，min2對于窗口法對于窗口法FIRFIR濾波器設計，因采用有限項的濾波器設計，因采用有限項的h(nh(n) )逼近逼近理想的理想的h hd d(n(n) )，所以其逼近誤差為：，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗如果采用矩形窗 則有則有ndnhnh22)()(其它01

55、)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnh可以證明，這是一個可以證明，這是一個最小均方誤差最小均方誤差264264。其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大, ,或者說或者說誤差分布不均勻。誤差分布不均勻。最大誤差最小化最大誤差最小化最佳一致逼近最佳一致逼近等波紋逼近）等波紋逼近）表示為表示為 切比雪夫理論指出，這樣的多項式是存在的。切比雪夫理論指出，這樣的多項式是存在的。優(yōu)點優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標下，可用最少的階數(shù)達到最佳化。布均勻，

56、相同指標下，可用最少的階數(shù)達到最佳化。 |)()(|maxmin| )()(|maxxfxpxfxpbxabxaspjdeH001設所希望的理想頻率響應為設所希望的理想頻率響應為 我們的任務是，尋找一，使其在通帶我們的任務是，尋找一，使其在通帶和阻帶內(nèi)最佳一致逼近理想頻響。和阻帶內(nèi)最佳一致逼近理想頻響。 根據(jù)交錯點組定理，可以想象，如果只根據(jù)交錯點組定理，可以想象，如果只H(ejw)是是對對Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內(nèi)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內(nèi)應具有如圖應具有如圖7.4.1的等紋波性質(zhì)。所以最佳一致逼近的等紋波性質(zhì)。所以最佳一致逼近有時又稱等紋波逼近。有時又稱等

57、紋波逼近。jeH如圖，用等波紋逼近法設計濾波器需要確定五個參數(shù)：如圖，用等波紋逼近法設計濾波器需要確定五個參數(shù)： N、p、s、1、2按上圖所示的誤差容限設計低通濾波器，就是說要在通帶按上圖所示的誤差容限設計低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差內(nèi)以最大誤差 1 逼近逼近1，在阻帶，在阻帶s 內(nèi)內(nèi) 以最大誤差以最大誤差2逼近零。逼近零。 要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法：要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法： 1）給定）給定N、1、2，以，以p和和s、為變量。為變量。 缺點：邊界頻率不能精確確定。缺點：邊界頻率不能精確確定。 2）給定）給定N、P和和S，以，

58、以1和和2為變量，通過迭代運算為變量，通過迭代運算 ，使逼近誤差，使逼近誤差1和和2 最小，并確定最小，并確定h(n)切比雪切比雪 夫最佳一致逼近。夫最佳一致逼近。 特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。 2/ ) 1(,cos)()(0NMnnaeHMnjg)()(2/)1(jgNjjeHeeH式中式中為了保證設計的濾波器具有線性相位，仍應遵守為了保證設計的濾波器具有線性相位，仍應遵守h(nh(n) )的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設h(nh(n) )為偶對稱，為偶對稱，為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 定義逼近誤差函數(shù)：定義逼近誤差函數(shù)：)

59、(cos)()()(0jdMnjjdjgjjeHnnaeWeHeHeWeE 上式中使用加權(quán)因數(shù)上式中使用加權(quán)因數(shù) ，是考慮在設計濾波器，是考慮在設計濾波器時對通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同時對通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同的加權(quán)函數(shù)。的加權(quán)函數(shù)。 由交錯點組定理可知，由交錯點組定理可知，Hg(ej)在子集在子集F上是對上是對Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要條件是唯一最佳一致逼近的充要條件是:誤差函數(shù)在誤差函數(shù)在F上至少呈現(xiàn)上至少呈現(xiàn)M十十2個個“交錯交錯”，使得，使得jeW |max|1EEEEEFnnii式中 |max) 1(cos)()(0EEnnaHWFnkM

60、nkkdk式中 如果已知在如果已知在F F上的上的M+2M+2個交錯頻率個交錯頻率, ,即即w1,w2,Wm+1,w1,w2,Wm+1,則有則有上式可以寫成矩陣形式上式可以寫成矩陣形式問題問題: 一是交錯點組一是交錯點組i事先是不知道的，這樣當然無法事先是不知道的，這樣當然無法求解方程式求解方程式;二是直接求解方程組比較因難。二是直接求解方程組比較因難。(1)(1)在頻率子集在頻率子集 F F 上均勻等間隔地選取上均勻等間隔地選取 M+2 M+2 個極個極值點頻率值點頻率 并計算作為初值,110M1010)(/) 1()(MkkkkMkkdkWH)cos(cos1)(1,0kiMkiikk式中