第十三講 振動與波動大物

1、6 6 阻尼振動阻尼振動( (簡介簡介) )阻尼阻尼(damp)(damp)：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。消耗振動系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類：阻尼種類： 摩擦阻尼摩擦阻尼輻射阻尼輻射阻尼一、阻尼振動的振動方程和表達式一、阻尼振動的振動方程和表達式1.1.阻力阻力dxdt ， f阻阻 = - = - 對在流體對在流體( (液體、氣體液體、氣體) )中運動的物體，當中運動的物體，當物物 體速度較小時，體速度較小時，阻力阻力 速度。速度。 ：阻力系數(shù)阻力系數(shù)2.2.振動方程振動方程討論：在阻力作用下的彈簧振子討論：在阻力作用下的彈簧振子受力：彈性恢復力受力：彈性恢復力 -kxdxdt - 阻力阻力dxd

2、t - d2xdt2 m=- kx振動方程振動方程 引入引入阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) = /2m固有頻率固有頻率 0 = (k/m)1/2得得阻尼振動阻尼振動(damped vibration)的振動方程的振動方程d2xdt2 = 0+ 02x+ 2 dxdt 此方程的解應分三種情形討論：此方程的解應分三種情形討論： 2 02 稱作稱作過阻尼過阻尼(overdamping) 2 = 02 稱作稱作臨界阻尼臨界阻尼(critical damping )3.3.振動表達式振動表達式 在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻尼下的阻尼下的阻尼振動的振動表達式阻尼振動的振動表

3、達式，為為x(t) = A0e- tcos( t + )其中其中 = ( 02 - 2)1/2 (欠阻尼下欠阻尼下) xt o A0e- t阻尼振動的振動曲線阻尼振動的振動曲線 4.振動曲線振動曲線二二. .阻尼振動的特點阻尼振動的特點 (欠阻尼下欠阻尼下) 1.振幅特點振幅特點振幅：振幅：A(t) = A0e- t振動能量：振動能量：E(t) = E0e-2 t2.2.周期特點周期特點位移相繼兩次達到正向極大值的時間間隔位移相繼兩次達到正向極大值的時間間隔T =2 =2 ( 02 - 2)1/2T0 (固有周期固有周期)三、三種阻尼下的振動曲線三、三種阻尼下的振動曲線to過阻尼過阻尼欠阻尼欠

4、阻尼臨界阻尼臨界阻尼 三種阻尼三種阻尼 和過阻尼情形相比，臨界阻尼和過阻尼情形相比，臨界阻尼情形下，物體回到平衡位置并情形下，物體回到平衡位置并停在那里，所需時間最短。停在那里，所需時間最短。7 7 受迫振動與共振（簡介）受迫振動與共振（簡介） 一、受迫振動一、受迫振動受迫振動受迫振動(forced vibration)：振動系統(tǒng)在周振動系統(tǒng)在周 期性期性驅動力驅動力作用下的振動作用下的振動。 1.1.系統(tǒng)受力：系統(tǒng)受力：以彈簧振子為例，以彈簧振子為例， 彈性力彈性力 -kx阻尼力阻尼力 dt- ( )dx周期性驅動力周期性驅動力 f = F0 cos t 2.振動方程：振動方程：由牛頓定律有

5、由牛頓定律有- ( )m = -kx + f dxdtd2xdt 2+2 + 02x = hcos td2xdt 2dx dt 0 = ( )1/2km其中其中 是固有角頻率是固有角頻率 ； = 2mF0h =mx =Acos( t+ ) 3.穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解： 4.4.特點：特點： 穩(wěn)態(tài)時的受迫振動是簡諧振動穩(wěn)態(tài)時的受迫振動是簡諧振動(但它不但它不是無是無阻尼自由諧振動，請注意兩者的區(qū)別阻尼自由諧振動，請注意兩者的區(qū)別)。 (1)角頻率角頻率：等于驅動力的：等于驅動力的角角頻率頻率 (2)振幅振幅：系統(tǒng)作：系統(tǒng)作等幅振動等幅振動(雖有阻力消耗能雖有阻力消耗能 量，但同時有驅動力作功對系統(tǒng)輸入能

6、量，量，但同時有驅動力作功對系統(tǒng)輸入能量，系統(tǒng)仍可維持等幅振動系統(tǒng)仍可維持等幅振動)。 其振幅其振幅由系統(tǒng)參數(shù)由系統(tǒng)參數(shù)( 0)、阻尼阻尼( )、驅動力驅動力 (F0, )共同決定。共同決定。A =h( 02- 2)2+4 2 21/2A的大小敏感于的大小敏感于 和和 0的相對大小關系，而的相對大小關系，而 和初始條件和初始條件(x0、 0)無關。無關。tg =-2 02- 2(3)初相初相：亦決定于：亦決定于 0、 、和、和 ，與初始條件，與初始條件 無關。無關。 值在值在- 0之間之間?？梢姡灰瓶梢?，位移x落后于落后于 驅動力驅動力f 的變化的變化( f的初相為零的初相為零)。 二、共振

7、二、共振(resonance)： 位移共振位移共振(displacement resonance) 速度共振速度共振(velocity resonance)1.位移共振位移共振位移共振位移共振：當驅動力的角頻率當驅動力的角頻率 等于某個等于某個 適當數(shù)值適當數(shù)值(稱共振角頻率稱共振角頻率)時，振幅出現(xiàn)極大時，振幅出現(xiàn)極大 值、振動很劇烈的現(xiàn)象。值、振動很劇烈的現(xiàn)象。 (1)共振角頻率共振角頻率： r= ( 02-2 2)1/2Ar =h2 ( 02- 2)1/2 (2)共振振幅共振振幅： 若阻尼很小，若阻尼很小， 2 02，則則 r 0 ， 2Ar h稱稱尖銳共振尖銳共振 2.速度共振速度共振

8、速度共振速度共振：當驅動力的角頻率正好等于系統(tǒng)當驅動力的角頻率正好等于系統(tǒng) 的固有角頻率時，速度幅的固有角頻率時，速度幅 A達極大值的現(xiàn)達極大值的現(xiàn) 象。象。 (1)共振角頻率共振角頻率： r= 0Vmr =h2 (2)共振時共振時速度速度的的幅幅值：值：(3)共振時速度的共振時速度的初相初相： r = 0即速度共振時，速度與驅即速度共振時，速度與驅動力同相，一周動力同相，一周力總作正功，此時向系統(tǒng)力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。輸入的能量最大。 期內驅動期內驅動 (廟里的大鐘不敲自響的故事廟里的大鐘不敲自響的故事)。 故事：從前有一座山，山里有座廟，故事：從前有一座山，山里有座廟，演示

9、：演示： 音叉共振音叉共振 1940年華盛頓的塔科曼大橋年華盛頓的塔科曼大橋建成建成同年同年7月的一場大風引起橋月的一場大風引起橋的的共振使橋摧毀共振使橋摧毀 小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎碎 據(jù)說，據(jù)說，160多年前，不可一世的拿破侖率領法國軍隊多年前，不可一世的拿破侖率領法國軍隊入侵西班牙時，部隊行軍經(jīng)過一座鐵鏈懸橋，隨著軍官入侵西班牙時，部隊行軍經(jīng)過一座鐵鏈懸橋，隨著軍官雄壯的口令，隊伍跨著整齊的步伐趨向對岸。正在這時，雄壯的口令，隊伍跨著整齊的步伐趨向對岸。正在這時，轟隆一聲巨響，大橋坍塌，士兵、軍官紛紛墜水。幾十轟隆一聲巨響，大橋坍塌，士兵、軍官紛紛墜水。幾十

10、年后，圣彼得堡卡坦卡河上，一支部隊過橋時也發(fā)生了年后，圣彼得堡卡坦卡河上，一支部隊過橋時也發(fā)生了同樣的慘劇。從此，世界各國的軍隊過橋時都不準齊步同樣的慘劇。從此，世界各國的軍隊過橋時都不準齊步走，必須改用凌亂無序的碎步通過。一般認為，這是由走，必須改用凌亂無序的碎步通過。一般認為，這是由于軍隊步伐的周期與橋的固有周期相近，發(fā)生共振所致。于軍隊步伐的周期與橋的固有周期相近，發(fā)生共振所致。 減振和防振是工程技術和科學研究里的一項重要任減振和防振是工程技術和科學研究里的一項重要任務。減振和防振的辦法，除了使用阻尼器吸收振動的務。減振和防振的辦法，除了使用阻尼器吸收振動的消極辦法外，積極的措施是利用共

11、振的原理來設計各消極辦法外，積極的措施是利用共振的原理來設計各種機械濾波裝置，把最有害波段的振動濾掉。種機械濾波裝置，把最有害波段的振動濾掉。 汽車的減振裝置模型，這里有三級濾波：最下面的一級汽車的減振裝置模型，這里有三級濾波：最下面的一級是輪軸和輪胎組成的彈簧是輪軸和輪胎組成的彈簧-質量系統(tǒng)，車身和底座彈簧構成質量系統(tǒng)，車身和底座彈簧構成第二級，乘客和座椅彈簧構成第三級。當質量較大而彈簧的第二級，乘客和座椅彈簧構成第三級。當質量較大而彈簧的勁度系數(shù)相對來說較小時，各級振動系統(tǒng)的固有頻率足夠低，勁度系數(shù)相對來說較小時，各級振動系統(tǒng)的固有頻率足夠低，就可形成一個低通濾波器，把大部分有害的高頻振動

12、濾掉。就可形成一個低通濾波器，把大部分有害的高頻振動濾掉。 簡諧振動的合成簡諧振動的合成簡諧振動的合成簡諧振動的合成 (combination of simple harmonic motions)： 8同一直線上同頻率的簡諧振動的合成同一直線上同頻率的簡諧振動的合成1.分振動：分振動：一物體同時參與兩個在同一直線一物體同時參與兩個在同一直線 上的同頻率的簡諧振動，其表達式為上的同頻率的簡諧振動，其表達式為 x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)x =A cos( t+ ) 2.合振動：合振動： x = x1+x2合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動，其，其角頻率角頻率仍為

13、仍為 ，A = A12 +A22 + 2A1A2cos( 2 - 1)A1sin 1 + A2sin 2A1cos 1 + A2cos 2tg =3.兩種特殊情況兩種特殊情況(1)若兩分振動同相若兩分振動同相， 2 1 = 2k ，則，則 A=A1+A2， 兩分振動兩分振動 相互加強相互加強。(2)若兩分振動反相若兩分振動反相， 2 1= (2k+1) ,則則A = |A1 - A2|， 兩分振動兩分振動 相互減弱相互減弱。 (以上以上k = 0,1,2,)如再有如再有A1=A2， 則則A = 0。 此情形下，此情形下，“振動加振動等于不振動振動加振動等于不振動”。9 、 同一直線上不同頻率的

14、簡諧振動的合成同一直線上不同頻率的簡諧振動的合成1.分振動：分振動： 設為設為 x1 = Acos 1t x2 = Acos 2tx = 2Acos( 2 - 12 2 + 12) t cos() t2.合振動：合振動： x = x1 + x2合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動。 9tx1 2tx2 1 = 1- 2 tx合振動可看作合振動可看作振幅緩變的簡諧振動。振幅緩變的簡諧振動。 其其中中tAtA)2cos(2)(12 隨緩變隨緩變)2cos(cos12tt 隨快變隨快變3.拍拍(beat)合振動的周期性時強時弱的現(xiàn)象稱作合振動的周期性時強時弱的現(xiàn)象稱作拍拍。 拍頻拍頻(beat fr

15、equency)： 單位時間內合振動加強或減弱的次數(shù)。單位時間內合振動加強或減弱的次數(shù)。 b=| 2- 1| 或或 b=| 2- 1| b即即A2(t) 或或 |A(t)| 的變化頻率。的變化頻率。演示：演示：用音叉演示拍現(xiàn)象用音叉演示拍現(xiàn)象例例2 2、三個同方向、同頻率的簡諧振動三個同方向、同頻率的簡諧振動: :)tcos(.x63140801 )tcos(.x23140802 )tcos(.x653140803 求求: (1): (1)合振動表達式合振動表達式 (2)(2)合振動由初始位置運動到合振動由初始位置運動到Ax22 所需最短時間所需最短時間10 10 諧振分析諧振分析一一. 一個

16、周期性振動可分解為一系列一個周期性振動可分解為一系列 頻率分立的簡諧振動頻率分立的簡諧振動若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波A 03 05 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一個非周期性振動可分解為無限一個非周期性振動可分解為無限xot阻尼振動曲線阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖阻尼振動頻譜圖o A多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動11

17、 、相互垂直的同頻率簡諧振動的合成、相互垂直的同頻率簡諧振動的合成1.分振動：分振動：一個質點同時參與兩個相互垂直的一個質點同時參與兩個相互垂直的同頻率簡諧振動同頻率簡諧振動 x = A1cos( t+ 1) y = A2cos( t+ 2) 2.合運動合運動位移：是兩個分振動位移的矢量和。位移：是兩個分振動位移的矢量和。軌跡方程：軌跡方程： x yA1x2A12y2A22+-2cos( 2- 1)= sin2( 2- 1)A2(1)合運動一般是在合運動一般是在2A1(x向向)、2A2(y向向) 范圍范圍 內的一個橢圓內的一個橢圓 。(2)橢圓的性質橢圓的性質(方位、長短軸、左右旋方位、長短軸、左右旋) 在在A1、 A2 確定之后，確定之后，主要決定于主要決定于 = 0 = /4 = /2 = 3 /4 = = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4P Q兩個沿垂直方向的同頻簡諧振動的合運動的軌跡兩個沿垂直方向的同頻簡諧振動的合運動的軌跡 = 2 - 1用旋轉矢量法作圖用旋轉矢量法作圖tAxcos1)4cos(2tAyxxyy1A2A1A2A右旋右旋1-11垂直振動的合成.exe四、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成四、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成若兩振動的頻率成簡單整數(shù)比，若兩振動的頻率成簡單整數(shù)比，則軌跡為穩(wěn)則軌跡為穩(wěn) 定的閉合曲線，稱定的閉合曲線，稱李