matlab在微積分中的應(yīng)用實用教案

1、數(shù)學(xué)建模種常用的微積分知識(zh shi)在Matlab中的實現(xiàn)1. 極限(jxin)運算2. 求導(dǎo)運算(yn sun)3. 積分運算4. 函數(shù)的TaylorTaylor展開5. 數(shù)值積分6. 線性方程和非線性方程的求解7. 求和及求極值方法第1頁/共60頁第一頁，共61頁。命令功能limit(f,x,a)計算limit(f,x,inf)計算limit(f,x,a,right)計算單側(cè)極限limit(f,x,a,left)計算單側(cè)極限 limxafx limxf a limxaf x limxaf x注意：在左右極限不相等(xingdng)或左右極限有一個不存在時，Matlab的默認(rèn)狀態(tài)是求右

2、極限。第2頁/共60頁第二頁，共61頁。例1.求極限(jxin) 與極限(jxin) 10lim 14xxx01limxxex解： syms x; y1=(1+4*x)(1/x);y2=(exp(x)-1)/x;a=limit(y1,x,0)b=limit(y2,x,0)a=exp(4)b=1例2.求極限(jxin)10lim2xxx解：syms x;y=sqrt(x)-2(-1/x);limit(y,x,0,right)ans=0；第3頁/共60頁第三頁，共61頁。1一元函數(shù)求導(dǎo)命令(mng lng)形式1：diff（f）功能(gngnng)(gngnng)：求函數(shù)f f的一階倒數(shù)，其中f

3、f為符號函數(shù)。命令形式2：diff（f,n）功能：求函數(shù)f f的n n階倒數(shù)，其中f f為符號函數(shù)。第4頁/共60頁第四頁，共61頁。例3.求函數(shù) 的二階倒數(shù)(do sh)例4.設(shè) ，求3351xx2321yxx1|xy解：syms x;f=3*x3+5*x+1;diff(f,2)ans=18*x解：syms x;y=3*x2-2*x+1B=diff(y),x=1;eval(B)B=6*x-2ans=4第5頁/共60頁第五頁，共61頁。2.多元函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)命令(mng lng)形式1：diff（f,xi）功能(gngnng)(gngnng)：求多元函數(shù)f f對變量xixi的一階偏導(dǎo)

4、。命令形式2：diff（f,xi,n）功能：求多元函數(shù)f對變量xi的n階偏導(dǎo)。例5.求 關(guān)于x的偏導(dǎo)。2sin2zxy解：syms x y;z=x2*sin(2*y);B=diff(z,x)B=2*x*sin(2*y)第6頁/共60頁第六頁，共61頁。3.全微分、參數(shù)方程(fngchng)求導(dǎo)及隱函數(shù)求導(dǎo)(1)若函數(shù) 在某點 的兩個(lin )偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點的全微分為,zf x y00,xy0000,xydzfxydxfxydy（2）對參數(shù)方程 所確定的函數(shù) ，Matlab中求函數(shù)全微分的命令為：,diff z xdiff z y xx tyy t根據(jù)公式 ， 連續(xù)兩次利用 命

5、令就可以求出結(jié)果。( )yf x/dydy dtdxdx dt( )diff f第7頁/共60頁第七頁，共61頁。(3)隱函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)方程 所確定的隱函數(shù)(hnsh) ，其導(dǎo)數(shù)為( )yy x( , )0F x y xyFdydxF 方程 確定的隱函數(shù) ，其導(dǎo)數(shù)為 ( , , )0F x y z ( , )zz x yxzFzxF yzFzyF 在Matlab中按照上述公式，分別求出函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)再相除就可以得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第8頁/共60頁第八頁，共61頁。1一元函數(shù)的不定積分(b dn j fn)命令(mng lng)形式1：int（f）功能：求函數(shù)f f對默認(rèn)變量的不定積分，用于函

6、數(shù)中只有一個變量的情況。命令形式2：int（f,v）功能：求符號函數(shù)f對變量v的不定積分。第9頁/共60頁第九頁，共61頁。例6計算(j sun)。221sincosdxxxsyms x;y=1/(sin(x)2*cos(x)2);int(y)pretty(int(y)%把int(y)化簡為常用(chn yn)的數(shù)%學(xué)形式%的表達(dá)式例7求syms x z;B=int(x/(1+z2),z)21xdzz第10頁/共60頁第十頁，共61頁。2一元函數(shù)的定積分(jfn)命令(mng lng)形式1：int（f,x,a,b）功能：用微積分公式計算定積分( )baf x dx例8求 .2(1/ )121

7、(1)xxxedxxsyms x;t=1+x-1/x;y=exp(x+1/x);f=t*y;int(f,x,0.5,2)第11頁/共60頁第十一頁，共61頁。3多重積分(jfn)運算命令功能int(int(f,x),y)計算不定積分Int(int(f,y,c,d),x,a,b)計算定積分( , )dxf x y dy ( , )bdacdxf x y dy注意：對于三重積分的運算和二重積分的運算形式(xngsh)上一致。例9.計算 .syms x y;A=int(int(x2+y2+1,y,x,x+1),x,0,1)112201xxdxxydy第12頁/共60頁第十二頁，共61頁。命令(mng

8、 lng)形式1：taylor(f)功能: :將函數(shù)f f展開(zhn ki)(zhn ki)成默認(rèn)變量的6 6階麥克勞林公式. .命令形式1：taylor(f,n)功能：將函數(shù)f展開成默認(rèn)變量的n階麥克勞林公式.命令形式1：taylor(f,n,v,a)功能：將函數(shù)f(v)在v=a處展開成n階Taylor公式.第13頁/共60頁第十三頁，共61頁。返回(fnhu)例10.將函數(shù)(hnsh) 展開為x的6階麥克勞林公式 2tanln 1f xxarcxxsyms x;f=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2);taylor(f)例11將函數(shù) 展開為關(guān)于（x-2）的最高次為4的冪級數(shù)。

9、 21f xxsyms x;f=1/x2;taylor(f,4,x,2);pretty(taylor(f,4,x,2)第14頁/共60頁第十四頁，共61頁。1復(fù)合梯形(txng)公式命令(mng lng)形式：trapz（x,y）功能(gngnng)(gngnng)：用復(fù)合梯形公式計算定積分，變量x x是積分變量在被積區(qū)間上的分點向量，y y為被積函數(shù)在x x處對應(yīng)的函數(shù)值向量。2復(fù)合辛普生公式命令形式1：quad（fun,a,b,tol,trace）命令形式2：quadl（fun,a,b,tol,trace）式中funfun是被積函數(shù)表達(dá)式字符串或者是M M函數(shù)文件名，a a，b b表示積分

10、下限與上限，toltol代表精度，可以缺?。蝗笔r，tol=0.001tol=0.001，trace=1trace=1時用圖形展示積分過程，trace=0trace=0時無圖形，默認(rèn)值為0 0。命令形式2 2比命令形式1 1精度高。注意：fun可以是字符串，內(nèi)聯(lián)函數(shù)或M函數(shù)文件名。第15頁/共60頁第十五頁，共61頁。例12用復(fù)合梯形(txng)公式和復(fù)合辛普生公式求 的積分值。 522ln xdxxsyms x;x=2:0.1:5;y=log(x)./(x.2);t=trapz(x,y);ff=inline(log(x)./(x.2),x);q=quad(ff,2,5);disp(blank

11、s(3) 梯形(txng)法球積分 blanks(3) 辛普生法求積分),t,q第16頁/共60頁第十六頁，共61頁。例13設(shè) ，其中(qzhng) , 求s（10）。 0( )xs xy t dt0.8 sin( )tty teclfdt=0.1;t=0:dt:10;y=exp(-0.8*t.*abs(sin(t);st10=trapz(t,y);ff=inline(exp(-0.8*t.*abs(sin(t),t);q=quad(ff,0,10);ql=quadl(ff,0,10);disp(blanks(6),trapz,blanks(5),quad,blanks(5),quadl)di

12、sp(st10,q,ql)第17頁/共60頁第十七頁，共61頁。1用數(shù)值方法(fngf)計算二重積分命令(mng lng)形式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)功能：計算二重積分 ，其中 xmin xmin，xmaxxmax，yminymin，ymaxymax表示(biosh)(biosh)積分限。 maxmaxminmin( , )xyxydxf x y dy2用數(shù)值方法計算三重積分命令形式：triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)注意：fun可以是字符串，內(nèi)聯(lián)函數(shù)或M函數(shù)文件名。第18頁/共60頁第十八頁，共

13、61頁。例14計算 ，其中(qzhng)D是y=1，x=4，x=0，y=0所圍成的區(qū)域。Dxydxdy解：dblquad(x*y,0,4,0,1)例15計算(j sun) 11200dyxy dxff=inline(x.2+y,x,y);dblquad(ff,0,1,0,1)第19頁/共60頁第十九頁，共61頁。1求多項式方程(fngchng)的根N次多項式的一般形式：理論上，n次多項式方程有n個根，且對于n4的多項式方程，其根一般不能用解析式表示。因此，在MATLAB中，對于次數(shù)n4的多項式方程，不一定能求出所有根的準(zhǔn)確形式，但可以求出所有根的近似形式。20120nnaa xa xa x第2

14、0頁/共60頁第二十頁，共61頁。命令(mng lng)形式1：root（p）功能：求多項式p p的所有根，注意這里(zhl)(zhl)的p p只能是多項式方程。命令形式2：solve（s）功能：對一個方程s s的默認(rèn)變量求解，這里的方程s s可以是多項式方程，也可以是一般的任意方程。命令形式3：solve（s,v）功能：對一個方程指定的變量v v求解。第21頁/共60頁第二十一頁，共61頁。命令(mng lng)形式4：solve（s1,s2, ,sn,v1,v2, ,vn）功能：對n n個方程(fngchng)(fngchng)的制定變量v1,v2, ,vnv1,v2, ,vn求解。命令(

15、mng lng)形式5：x1,x2, ,xn=solve （s1,s2, ,sn,v1,v2, ,vn）功能：將n n個方程的指定變量v1,v2, ,vn求解的結(jié)果賦給x1,x2, ,xn第22頁/共60頁第二十二頁，共61頁。例17求方程(fngchng) 的所有根。3249100 xxxp=1 -4 9 -10r=roots(p)s1=sym(x3-4*x2+9*x-10);solve(s1)例18求方程(fngchng) 的所有根，其中a，b為常數(shù) 240 xaxbs1=sym(x2-a*x-4*b=0);solve(s1,x)第23頁/共60頁第二十三頁，共61頁。2求超越(choyu

16、)方程的根超越方程(fngchng)是指除了多項式方程(fngchng)之外的函數(shù)方程(fngchng)，這類方程(fngchng)通常不容易求得全部跟和確切解，而往往是采用數(shù)值方法求近似根，對于某些方程(fngchng)組可能連近似根都求不出來，因為非線性方程(fngchng)組的解還有很多問題沒有解決。在matlab中求超越方程(fngchng)可以用solve。例19求方程 的根，其中p，r為常數(shù)。sinpxrff=sym(p*sin(x)=r);solve(ff,x)第24頁/共60頁第二十四頁，共61頁。例20，求方程(fngchng) 的根。1115xyxyx,y=solve(x+

17、y=1,x-11*y=5,x,y)第25頁/共60頁第二十五頁，共61頁。求一元函數(shù)超越(choyu)方程的數(shù)值解可以用fzero命令：命令(mng lng)形式：z=fzero（fname,x0，tol,trace)功能: :球一元函數(shù)的零點.其中fname是待求零點的函數(shù)文件名,或是待求方程.x0是預(yù)定待搜索零點的大致位置.tol是精度,可以默認(rèn)為eps,trace表示是否顯示迭代步驟,可以默認(rèn)為不顯示.求多元函數(shù)方程的數(shù)值解可以用fsolve命令：命令形式：z=fsolve（fun,x0)功能: :求多元函數(shù)fun在點x0處的零點,其中x0為一向量.第26頁/共60頁第二十六頁，共61頁

18、。例21。求方程(fngchng) 在1附近的根.2cosxxx=fzero(x-(cos(x).2,1)例22。求方程組 在(1,2)附近(fjn)的根.2cosxyyxfunction q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-y2;q(2)=y-cos(x); x=fsolve(myfun,1,2)第27頁/共60頁第二十七頁，共61頁。1.求和(qi h)（1）向量或矩陣(j zhn)的求和命令形式：sum(x)功能：求向量X的和或者是矩陣每一列向量的和（2）級數(shù)求和命令形式：symsum(s,v,a,b)功能:對表達(dá)式s的符號變量v從v=a到v=b進(jìn)行求和.第28

19、頁/共60頁第二十八頁，共61頁。例23.a=1:5;A=1 2 3;2 3 4;7 8 9sum(a)ans=15sum(A)ans=10,13,16例24.求130nkksyms k nf=k3;symsum(f,k,0,n-1)例25.求0!kkxksyms k nsymsum(xk/sym(k!),k,0,inf)第29頁/共60頁第二十九頁，共61頁。2.求函數(shù)的極值(j zh)點(1)求一元函數(shù)的極值(j zh)問題命令形式1：fmin(fun,x1,x2)功能:在區(qū)間x1，x2內(nèi)求函數(shù)fun的極小值點命令形式2：fminbnd(fun,x1,x2)功能:在區(qū)間x1，x2內(nèi)求函數(shù)f

20、un的極小值點兩個函數(shù)功能相同,命令1是matlab早期版本中使用的.注意：fun可以是字符串，內(nèi)聯(lián)函數(shù)或M函數(shù)文件名。第30頁/共60頁第三十頁，共61頁。(2)求多元函數(shù)(hnsh)極值問題命令(mng lng)形式1：fminsearch(fun,x0)功能:用單純形法求多元函數(shù)fun在x0附近的極值點。命令形式2：fminunc(fun,x0)功能:用擬牛頓法求多元函數(shù)fun在x0附近的極值點。第31頁/共60頁第三十一頁，共61頁。例27.求函數(shù) 的極小值點。例28.求函數(shù) 在點(0,5,4)附近(fjn)的極小值。222( , )100()(1)f x yyxx4( , , )si

21、ncosf x y zxyzfunction f=myfun(p)x=p(1);y=p(2);f=100*(y-x2)2+(1-x)2;x0=-1.2,1x=fminunc(myfun,x0)function f=myfun(p)x=p(1);y=p(2);z=p(3);f=x4+sin(y)-cos(z);x0=0,5,4xmin,fval=fminsearch(myfun,x0)第32頁/共60頁第三十二頁，共61頁。第33頁/共60頁第三十三頁，共61頁。第34頁/共60頁第三十四頁，共61頁。第35頁/共60頁第三十五頁，共61頁。第36頁/共60頁第三十六頁，共61頁。第37頁/共6

22、0頁第三十七頁，共61頁。第38頁/共60頁第三十八頁，共61頁。第39頁/共60頁第三十九頁，共61頁。第40頁/共60頁第四十頁，共61頁。2.（1）1.已知 ，求 。lnsin3xexyxylimnnnn（2）11lim sincosxxx第41頁/共60頁第四十一頁，共61頁。第42頁/共60頁第四十二頁，共61頁。第43頁/共60頁第四十三頁，共61頁。數(shù)學(xué)(shxu)建模種常用的線性代數(shù)知識在Matlab中的實現(xiàn)1. 向量(xingling)和矩陣的基本運算2. 矩陣(j zhn)的變換與分解3. 特征值和特征向量的求解方法4. 線性方程組的直接求解法5. 線性方程組的迭代求解法第

23、44頁/共60頁第四十四頁，共61頁。數(shù)組運算數(shù)組運算指令指令說明說明指令指令說明說明A.非共軛轉(zhuǎn)置，相非共軛轉(zhuǎn)置，相當(dāng)于當(dāng)于(conj(A)A+B與與A-B對應(yīng)元素之間加減對應(yīng)元素之間加減k.*A或或A.*kk乘乘A的每個元素的每個元素k+A與與k-Ak加減加減A的每個元素的每個元素A.*B兩數(shù)組對應(yīng)元素兩數(shù)組對應(yīng)元素相乘相乘A.kA的每個元素進(jìn)行的每個元素進(jìn)行k次方運算次方運算k.A以以k為底，分別以為底，分別以A的元素為指數(shù)求的元素為指數(shù)求冪值冪值k./A和和A.kK分別被分別被A的元素除的元素除左除左除A./BA的元素被的元素被B的對的對應(yīng)的元素除應(yīng)的元素除右除右除B.A與左式相同與左式相同第45頁/共60頁第四十五頁，共61頁。數(shù)組運算數(shù)組運算指令指令說明說明指令指令說明說明A共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置A+B與與A-B對應(yīng)元素之間加減對應(yīng)元素之間加減k*A或或A*kk乘乘A的每個元素的每個元素k+A與與k-Ak加減加減A的每個元素的每個元素A*B按線性代數(shù)的矩按線性代數(shù)的矩陣乘法陣乘法AkK個矩陣個矩陣A相乘相乘kA矩陣的冪矩陣的冪左除左除A/BAX=B的解的解右除右除BAXA=B的解的解第46頁/共60頁第四十六頁，共61頁。inv 求矩陣(j zhn)的逆矩陣(j zhn)。如果A是奇異矩陣(j zhn)或者近似奇異矩陣(j zhn)，則會給