第 2 章 2.6固有值和固有函數(shù)

1、1內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.對(duì)對(duì)一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程和和熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程的定解問題而言：的定解問題而言：當(dāng)當(dāng)方程和邊界條件均為齊次方程和邊界條件均為齊次時(shí)，時(shí)，不管初值條件不管初值條件如何，可直接應(yīng)用如何，可直接應(yīng)用分離變量法分離變量法求解；求解；當(dāng)當(dāng)邊界條件為齊次邊界條件為齊次、方程與初始條件為非齊次方程與初始條件為非齊次時(shí)，原定解問題分解成兩個(gè)，時(shí)，原定解問題分解成兩個(gè)，其一是其一是方程為齊次方程為齊次的并具有的并具有原初始條件原初始條件的定解的定解問題，這個(gè)問題應(yīng)用問題，這個(gè)問題應(yīng)用分離變量法分離變量法求解；求解；其二是其二是方程為非齊次方程為非齊次的并具有的并具有齊次初始條件齊次

2、初始條件的的定解問題，該問題應(yīng)用定解問題，該問題應(yīng)用固有函數(shù)法固有函數(shù)法求解；求解；2內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.對(duì)對(duì)一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程和和熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程的定解問題而言：的定解問題而言：當(dāng)當(dāng)邊界條件為非齊次邊界條件為非齊次時(shí)，時(shí)，則必須則必須引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù)把把邊界條件化為齊次邊界條件化為齊次的，的， 然后再按照以前的方法然后再按照以前的方法求解。求解。分離變量法、分離變量法、固有函數(shù)法、固有函數(shù)法、作輔助函數(shù)法作輔助函數(shù)法方程和邊界方程和邊界條件齊次條件齊次方程非齊次，方程非齊次，定解條件齊定解條件齊次次邊界條件非齊次邊界條件非齊次32.2.對(duì)于對(duì)于二維拉普拉斯方程二維拉普拉

3、斯方程的邊值問題而言：的邊值問題而言：應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系，使得，使得在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡單，便于在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡單，便于求解。求解。內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié);0,0byax yax0,0 對(duì)對(duì)圓域、圓環(huán)域、扇形域圓域、圓環(huán)域、扇形域等采用等采用極坐標(biāo)極坐標(biāo)例如，例如，對(duì)于像對(duì)于像矩形矩形帶形帶形一類的區(qū)域采用一類的區(qū)域采用直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系應(yīng)當(dāng)指出，只有當(dāng)應(yīng)當(dāng)指出，只有當(dāng)求解區(qū)域很規(guī)則求解區(qū)域很規(guī)則時(shí)，才可以應(yīng)時(shí)，才可以應(yīng)用分離變量法用分離變量法求解拉普拉斯方程的邊值問題。求解拉普拉斯方程的邊值問題。43.3.對(duì)于

4、對(duì)于二維泊松方程二維泊松方程的邊值問題而言：的邊值問題而言：內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(rw),(),(),(rwrvru, 0112vrvrvrrr),0(0rr ).,()(|00rwfvrr(Q)(Q)思路思路1 1 (1)(1)找出此找出此泊松方程泊松方程的一個(gè)的一個(gè)特解特解令令(2)(2)將泊松方程化成將泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程可用可用分離變量法分離變量法或或試探法試探法求解問題求解問題(Q)(Q)53.3.對(duì)于對(duì)于二維泊松方程二維泊松方程的邊值問題而言：的邊值問題而言：內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(112rF

5、urururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(),(),(rwrvru),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1)思路思路2 2 將問題將問題(P)(P)的解看成兩部分，的解看成兩部分，令令),(rv),(rw和和分別滿足分別滿足63.3.對(duì)于對(duì)于二維泊松方程二維泊松方程的邊值問題而言：的邊值問題而言：內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1), 0112wrwrwrrr),0(0rr ).(|0fwrr(P2

6、)(P2)和和固有函數(shù)法分離變量法(或試探法)72.6 2.6 固有值與固有函數(shù)固有值與固有函數(shù). 0)()0(, 0)()( lXXxXxX 本章的前三節(jié)，我們應(yīng)用分離變量法求解弦振本章的前三節(jié)，我們應(yīng)用分離變量法求解弦振動(dòng)方程、一維熱傳導(dǎo)方程和二維拉普拉斯方程的動(dòng)方程、一維熱傳導(dǎo)方程和二維拉普拉斯方程的有關(guān)定解問題時(shí)，都需要解決一個(gè)含參變量有關(guān)定解問題時(shí)，都需要解決一個(gè)含參變量的的也屬于也屬于施圖姆施圖姆- -劉維爾問題劉維爾問題常微分方程的邊值問題，常微分方程的邊值問題，這樣的問題稱為這樣的問題稱為固有值問題固有值問題。8施圖姆施圖姆- -劉維爾方程的一般形式劉維爾方程的一般形式0)()

7、()(yxyxqdxdyxpdxd ,)()(baCxpxp);(0)(bxaxp (95)(95) ,)(baCxq ),()(baCxq; 0)(xq ,)(baCx . 0)(x其中其中 1.1.2.2.或者或者而在而在區(qū)間端點(diǎn)處至多有一階極點(diǎn)，且區(qū)間端點(diǎn)處至多有一階極點(diǎn)，且3.3.方程方程(95)(95)加上邊界條件就稱為加上邊界條件就稱為施圖姆施圖姆- -劉維爾問題劉維爾問題那些使那些使施施- -劉問題劉問題存在存在非非0 0解解的的值，值，稱為該問題稱為該問題的的固有值固有值，而相應(yīng)于給定的固有值的，而相應(yīng)于給定的固有值的非非0 0解解，稱為，稱為固有函數(shù)固有函數(shù)。9關(guān)于固有值和固

8、有函數(shù)的幾點(diǎn)結(jié)論：關(guān)于固有值和固有函數(shù)的幾點(diǎn)結(jié)論：(1)(1) 存在無窮多個(gè)實(shí)的固有值：存在無窮多個(gè)實(shí)的固有值：,21n0)(xq);, 3, 2, 1(0 nn.),(,),(),(21 xyxyxynn),(xyn)(xyn)(x0)()()(dxxyxyxnmba).(nm 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，對(duì)應(yīng)于這些固有值對(duì)應(yīng)于這些固有值有無窮多個(gè)固有函數(shù)：有無窮多個(gè)固有函數(shù)：(2)(2) 如果把對(duì)應(yīng)于固有值如果把對(duì)應(yīng)于固有值的固有函數(shù)記為的固有函數(shù)記為那么所有那么所有組成一個(gè)帶權(quán)函數(shù)組成一個(gè)帶權(quán)函數(shù)的的正交函數(shù)正交函數(shù)系系，即，即(96)(96)0)(222 FnrFrFr例如例如0)(222 FnrFr

9、Fr例如例如0)(222 FnrFrFr例如例如0)(222 FnrFrFr10)(xf),(ba1),()(nnnxycxfbanbanndxxyxdxxyxfxc)()()()()(2);, 3, 2, 1( n(3)(3) 類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按固有函數(shù)系展開固有函數(shù)系展開有下有下面的面的收斂性收斂性：若函數(shù)若函數(shù)在在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足所給的邊界條件，連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足所給的邊界條件，)(xf),(ba則則在在內(nèi)可以按固有函數(shù)展開為內(nèi)可以按固有函數(shù)展開為絕對(duì)且絕對(duì)且一致收斂一致收斂的級(jí)數(shù)：的級(jí)數(shù)：其中其中(97)(

10、97)11)(xf),(ba)(xf 0 x,)0()0(2100 xfxf),(xf),(ba若函數(shù)若函數(shù)在在(3)(3) 類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按類似于傅里葉級(jí)數(shù)，按固有函數(shù)系展開固有函數(shù)系展開有下有下面的面的收斂性收斂性：內(nèi)是分段連續(xù)函數(shù)，內(nèi)是分段連續(xù)函數(shù)，則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(97)(97)在在的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)處收斂于處收斂于且在且在上失去一致收斂性。上失去一致收斂性。1),()(nnnxycxf(97)(97)12練習(xí)練習(xí)習(xí)題二的第習(xí)題二的第1313題、第題、第1515題題13.13. 用分離變量法寫出下列定解問題：用分離變量法寫出下列定解問題： )()0 ,(, 0|, 0| )(),0,0(

11、02xxuuuutlxuaulxxxxxxt0的固有值問題；并寫出的固有值問題；并寫出(1)(1)邊界條件中的邊界條件中的(2)(2)邊界條件中的邊界條件中的時(shí)的固有值及固有函數(shù)；時(shí)的固有值及固有函數(shù)；時(shí)的固有值及固有函數(shù)；時(shí)的固有值及固有函數(shù)；1313.13. 下列定解問題：下列定解問題： )()0 ,(, 0|, 0| )(),0,0(02xxuuuutlxuaulxxxxxxt的固有值問題為的固有值問題為 . 0|, 0| )(, 0)()(0lxxXXXxXxX 0 000.|),()(,)()(lxXXXxXxX140(1)(1)邊界條件中的邊界條件中的時(shí)固有值問題簡化為時(shí)固有值問題

12、簡化為, 0)()( xXxX. 0|, 0|0lxxXX ,)(2lnn)., 2, 1, 0(cos)( nlxnxXn此時(shí)對(duì)應(yīng)的固有值和固有函數(shù)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的固有值和固有函數(shù)為 0 000.|),()(,)()(lxXXXxXxX15(2)(2)邊界條件中的邊界條件中的時(shí)固有值問題簡化為時(shí)固有值問題簡化為, 0)()( xXxX. 0|, 0|0lxxXX ,)2) 12(2lnn)., 2, 1(2) 12(sin)( nlxnxXn此時(shí)對(duì)應(yīng)的固有值和固有函數(shù)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的固有值和固有函數(shù)為 0 000.|),()(,)()(lxXXXxXxX1615.15. 試證問題試證問題 0)()

13、1 ()1 (, 02eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函數(shù)系固有函數(shù)系x1在在上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)正交。正交。tex xtln,11)1(1)1(222ttttttxxyxyxxyxxyy0yyyytttt0 yytt解解作變換作變換則有則有,1xyytx代入原方程有代入原方程有(1)(1)首先求出固有函數(shù)系首先求出固有函數(shù)系)(xyn的具體表達(dá)式的具體表達(dá)式齊次歐拉方程齊次歐拉方程17),lnsin()(xnBxynnxtln. 0) 1 ()0( yy將將代入即得代入即得), 2, 1( n0 yytt,)(2nn)., 2, 1(sin)( ntnBtynn15.15. 試證

14、問題試證問題 0)() 1 ()1 (, 02eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函數(shù)系固有函數(shù)系x1在在上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)正交。正交。齊次歐拉方程齊次歐拉方程解解 )lnsin()(xnxyn則原問題的固有函數(shù)系則原問題的固有函數(shù)系為為), 2, 1( n1815.15. 試證問題試證問題 0)() 1 ()1 (, 02eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函數(shù)系固有函數(shù)系x1在在上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)正交。正交。解解(2)(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系)(xyn的函數(shù)正交性的函數(shù)正交性齊次歐拉方程齊次歐拉方程dxxyxyxmne)()(1110)()(dttyt

15、ymn10sinsintdtmtn, nm ,21, 0. nm tex 作變換作變換19思考思考 試證問題試證問題 0)() 1 ()1 (, 032eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函數(shù)系固有函數(shù)系x在在上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)正交。正交。tex xtln,11)1(1)1(222ttttttxxyxyxxyxxyy03yyyytttt02yyyttt解解作變換作變換則有則有,1xyytx代入原方程有代入原方程有(1)(1)首先求出固有函數(shù)系首先求出固有函數(shù)系)(xyn的具體表達(dá)式的具體表達(dá)式20思考思考 試證問題試證問題 0)() 1 ()1 (, 032eyyexyyxyx)(x

16、yn, 1 e固有函數(shù)系固有函數(shù)系x在在上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)正交。正交。),lnsin(1)(xnxBxynnxtln. 0) 1 ()0( yy將將代入即得代入即得), 2, 1( n02yyyttt, 1)(2nn)., 2, 1(sin)( ntneBtytnn解解)lnsin(1)(xnxxyn則原問題的固有函數(shù)系則原問題的固有函數(shù)系為為), 2, 1( n21思考思考 試證問題試證問題 0)() 1 ()1 (, 032eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函數(shù)系固有函數(shù)系x在在上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)正交。正交。解解(2)(2)現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系現(xiàn)在驗(yàn)證固有函數(shù)系)(xyn的函數(shù)

17、正交性的函數(shù)正交性dxxyxyxmne)()(1102)()(dttytyemnt10sinsintdtmtn, nm ,21, 0. nm tex 作變換作變換22第三章第三章 行波法與積分變換法行波法與積分變換法本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問題的方法，本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問題的方法，一是一是行波法行波法( (或或達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法) )，二是，二是積分變換法積分變換法。行波法行波法只能用于求解只能用于求解無界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程無界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程的定的定解問題。解問題。 雖有很大的局限性，但對(duì)于波動(dòng)問題有其雖有很大的局限性，但對(duì)于波動(dòng)問題有其特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本

18、解法之一。特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本解法之一。積分變換法積分變換法不受方程類型的限制，不受方程類型的限制，主要用于無主要用于無界區(qū)域界區(qū)域，但對(duì)于有界區(qū)域也能應(yīng)用。，但對(duì)于有界區(qū)域也能應(yīng)用。23)()()()()()()(xuxufxvxvfdttfdxdxvxu)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdyyxfdxdxxdyyxfxxx)()(),(兩個(gè)求導(dǎo)公式兩個(gè)求導(dǎo)公式1 1 關(guān)于關(guān)于一元函數(shù)一元函數(shù)含參變量積分含參變量積分的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式2 2 關(guān)于關(guān)于二元函數(shù)二元函數(shù)含參變量積分含參變量積分的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式243.1 3.1 達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式. .

19、波的傳播波的傳播3.1.1 3.1.1 弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法如果我們所考察的如果我們所考察的弦線長度很長弦線長度很長， 而我們需要而我們需要知道的又只是在較短時(shí)間且知道的又只是在較短時(shí)間且離開邊界較遠(yuǎn)的一段離開邊界較遠(yuǎn)的一段范圍范圍內(nèi)的振動(dòng)情況，內(nèi)的振動(dòng)情況，那么那么邊界條件的影響邊界條件的影響就可以就可以忽略忽略。不妨把所考察弦線的不妨把所考察弦線的長度視為無限長度視為無限，而需，而需要知道的只是要知道的只是有限范圍內(nèi)有限范圍內(nèi)的振動(dòng)情況。的振動(dòng)情況。此時(shí)，定解問題歸結(jié)為如下形式：此時(shí)，定解問題歸結(jié)為如下形式：),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0

20、,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)25),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)對(duì)于上述初值問題，由于微分方程及定解條件對(duì)于上述初值問題，由于微分方程及定解條件都是線性的，所以都是線性的，所以疊加原理疊加原理同樣成立。同樣成立。),(1txu),(2txu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(),(21txutxuu即如果即如

21、果和和分別是下述初值問題分別是下述初值問題和和的解，的解， 則則是原問題是原問題(1)(2)(1)(2)的解。的解。26),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(txf)(),(xx這表示：由這表示：由所代表的外力因素和由所代表的外力因素和由所表示的初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)整個(gè)振動(dòng)過程所產(chǎn)生的綜所表示的初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)整個(gè)振動(dòng)過

22、程所產(chǎn)生的綜合影響，合影響，可以分解為單獨(dú)可以分解為單獨(dú)只考慮外力因素只考慮外力因素和和只考慮只考慮初始振動(dòng)狀態(tài)初始振動(dòng)狀態(tài)是對(duì)振動(dòng)過程所產(chǎn)生影響的疊加。是對(duì)振動(dòng)過程所產(chǎn)生影響的疊加。27,atx ,atx ,2x.2at),(uu autxu2,2),().,(uuxt),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)首先我們考察問題首先我們考察問題(3)(4)(3)(4). .通過通過自變量變換自變量變換求解。求解。為此，令為此，令(7)(7)其逆變換為其逆變換為(8)(8)用用記新的未知函數(shù)，則記新的未知函數(shù)，則28,atx ,atx

23、),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)uxtxxxuuu,uu )(xxuu)(xxxxuuu).2(2uuuautt,2uuu利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到同理可得同理可得(9)(9)(10)(10)將將(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化簡即得化簡即得29,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)將將(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化簡即得化簡即得. 0u)

24、,()(),(gfugf ,(11)(11)方程方程(11)(11)可以通過可以通過積分法積分法直接求解。直接求解。 先關(guān)于先關(guān)于積分一次，積分一次，積分一次，便可得到方程積分一次，便可得到方程(11)(11)再關(guān)于再關(guān)于的的通解通解為為(12)(12)其中其中都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。再將自變量變換再將自變量變換(7)(7)代入代入(12)(12)則可得則可得30., gf ),()()(xxgxf),()()(xxgaxf a0 xc,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)

25、(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13)下面，我們利用下面，我們利用初始條件初始條件(4)(4)來確定通解來確定通解(13)(13)中中的任意函數(shù)的任意函數(shù)將將(4)(4)代入代入(13)(13)得得(14)(14)(15)(15)再將再將(15)(15)式兩邊積分得式兩邊積分得(16)(16)其中其中是任意一點(diǎn)，而是任意一點(diǎn)，而是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。31),()()(xxgxf,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4

26、)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13)(14)(14)(16)(16),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx由由(14)(14)和和(16)(16)變形得變形得(17)(17)把把(17)(17)代入通解式代入通解式(13)(13)得初值問題得初值問題(3)(4)(3)(4)的解的解322)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可

27、表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx(17)(17)這種求解方法稱為這種求解方法稱為達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法。(18)(18)這個(gè)公式稱為這個(gè)公式稱為無限長弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式無限長弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式，或稱或稱達(dá)朗貝爾解達(dá)朗貝爾解。33),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2tx

28、txfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)為了求解問題為了求解問題(5)(6)(5)(6)，我們利用，我們利用齊次化原理齊次化原理，把把非齊次方程非齊次方程的求解問題的求解問題化為化為相應(yīng)的相應(yīng)的齊次方程齊次方程的情況來處理，的情況來處理，從而可以直接利用前面有關(guān)齊從而可以直接利用前面有關(guān)齊次方程的結(jié)果。次方程的結(jié)果。34),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)3.1.4 3.1.4 齊次化原理齊次化原理齊次化原理齊次化原理);,(txw),(2twawxxtt ),(|, 0|xf

29、wwttt tdtxwtxu0);,(),(若若是初值問題是初值問題(21)(21)的解的解( (其中其中 為參數(shù)為參數(shù)),), 則則(22)(22)就是初值問題就是初值問題(5)(6)(5)(6)的解。的解。35),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(2twawxxtt ),(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(21)(21)(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并記并記則問題則問

30、題(21)(21)可化為如下形式：可化為如下形式：362)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)t axt axdfatxw.),(21);,(tdtxwtxu0);,(),(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并記并記則問題則問題(21)(21)可化為如下形式：可化為如下形式：由由達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式(18)(18)知問題知問題(23)(23)的解為的解為37)()(.),(21);,(taxtaxdfatxw ttaxtaxddfat

31、xu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)tdtxwtxu0);,(),(22)(22)t axt axdfatxw.),(21);,(,tt由由將變量還原得將變量還原得(24)(24)再將再將(24)(24)代入公式代入公式(22)(22)即得初值問題即得初值問題(5)(6)(5)(6)的解的解(25)(25)38dyyxfdxdxx)()(),()( )(,xxxf)( )(,xxxfdyyxfxxx)()(),( ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事實(shí)上，由事實(shí)上，由(25)(25)確定的函數(shù)確是問題確定的函數(shù)確是問題(5)(6)(5)(6)的解的解二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式: :39ftudtfattaxttax)()(),(21dtaxft021),(dtaxft021),(,),(),(210dtaxftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(