物理競賽電磁學習題講解

1、江西理工大學理學院江西理工大學理學院江西理工大學理學院江西理工大學理學院 例例: : 求電偶極子在求電偶極子在其中垂線上和電偶極子軸線延長線上其中垂線上和電偶極子軸線延長線上某點的電場強度某點的電場強度. .電偶極子電偶極子: :一對等量異號電荷相距一定距離形成電偶極子一對等量異號電荷相距一定距離形成電偶極子):(:從從負負電電荷荷指指向向正正電電荷荷方方向向電電偶偶極極矩矩l qp解解: :先計算電偶極子軸線延長線上某點的電場強度先計算電偶極子軸線延長線上某點的電場強度. .qqlAEE江西理工大學理學院江西理工大學理學院如上圖所示如上圖所示: :令電偶極子軸線的中點令電偶極子軸線的中點O

2、O到場點到場點A A的距離為的距離為r(rL),r(rL),由由點電荷場強公式點電荷場強公式, ,有有: :qqlAEEro2024lrqE2024lrqE則則A A點的合場強為點的合場強為: :2202020212142424lrlrqlrqlrqEEEA江西理工大學理學院江西理工大學理學院22402202020212124212142424rlrlrrlqlrlrqlrqlrqEEEA30241,rqlElrA):(:從從負負電電荷荷指指向向正正電電荷荷方方向向電電偶偶極極矩矩l qp30241rPEA電偶極子軸線延長電偶極子軸線延長線上某點的場強線上某點的場強江西理工大學理學院江西理工大

3、學理學院如右下圖所示如右下圖所示: :令電偶極子中點令電偶極子中點O O到中垂線上的場點到中垂線上的場點B B的距離為的距離為r(rL),r(rL),由點電荷場強公式由點電荷場強公式, ,有有: :BEErqqloBE220214lrqEE232202222024)2(22142cos2coscoslrqllrllrqEEEEB江西理工大學理學院江西理工大學理學院2322024lrqlEBBEErqqloBE323222,rlrlr304rpEB電偶極子中垂線上電偶極子中垂線上某點的場強某點的場強江西理工大學理學院江西理工大學理學院1304Q rErRRr 3033302113434141RQ

4、rRQrrESdESRr rrQE4202EQRr 均勻帶電的球體內外的場強分布。設球體半徑為均勻帶電的球體內外的場強分布。設球體半徑為R，所帶總帶電為所帶總帶電為Q例例 均勻帶電球體內外的電場強度均勻帶電球體內外的電場強度解：均勻帶電球體的電場也具有解：均勻帶電球體的電場也具有球對稱性球對稱性,即同一球面上場強相即同一球面上場強相等等,方向沿徑向方向沿徑向。故。故選取同心的球面為高斯面選取同心的球面為高斯面。 022dQSES江西理工大學理學院江西理工大學理學院練習題：練習題：-割補法割補法證明：電荷體密度為證明：電荷體密度為 的的均勻帶電球體均勻帶電球體中挖中挖 出一個球形空洞內的電場為均

5、勻場。出一個球形空洞內的電場為均勻場。O1O2江西理工大學理學院江西理工大學理學院證明：如圖所示，由高斯定理可求，證明：如圖所示，由高斯定理可求，均勻帶電球體內任一點的場強為：均勻帶電球體內任一點的場強為：3300034433rQQrErrrRRO1O2r1r2 球體無洞時：球體無洞時：1013rE洞位置帶洞位置帶- 的球體內的球體內：2023rE 由迭加原理得：由迭加原理得：210210213)(3OOrrEEE江西理工大學理學院江西理工大學理學院練習題：練習題：電荷體密度為電荷體密度為 的的無限長圓柱體無限長圓柱體，其中有，其中有一個圓柱孔，試求孔中任意點的電場。一個圓柱孔，試求孔中任意點

6、的電場。O1O2江西理工大學理學院江西理工大學理學院解：如圖所示，由高斯定理可知：解：如圖所示，由高斯定理可知：均勻帶電圓柱體內任一點的場強為：均勻帶電圓柱體內任一點的場強為：02ErO1O2r1r2帶帶 的的大圓柱體在空腔內任意點產生大圓柱體在空腔內任意點產生的電場為：的電場為： 由迭加原理得：由迭加原理得：12121200()22EEErrO O1102Er帶帶- 的的小圓柱體在空腔內任意點產生小圓柱體在空腔內任意點產生的電場為：的電場為：2202Er江西理工大學理學院江西理工大學理學院1R2R3Rqq 例例 有一外半徑有一外半徑 和內半徑和內半徑 的金屬球殼，在球殼內放一半徑的金屬球殼，

7、在球殼內放一半徑 的同心金的同心金屬球，若使球殼和金屬球均帶有屬球，若使球殼和金屬球均帶有 的正電荷，的正電荷，問問 兩球體上的電荷如何分布？球心的電勢為多少？兩球體上的電荷如何分布？球心的電勢為多少？ cm101Rcm72Rcm53RC108q解解 根據靜電平衡的條件求電荷分布根據靜電平衡的條件求電荷分布)(031RrE0S2232d,qSERrR作作球形高斯面球形高斯面2S2024rqE1S2Sr作作球形高斯面球形高斯面1S江西理工大學理學院江西理工大學理學院1R2R3R)(031RrE)(423202RrRrqE根據靜電平衡條件根據靜電平衡條件)(0213RrRE0d0S33iiqSE0

8、0S412d,4qqSERrii)(421204rRrqE3Sr4Srqqq2江西理工大學理學院江西理工大學理學院0dlEVO112233dddd43201RRRRRRlElElElE)( 031RrE)(423202RrRrqE)( 0213RrRE)( 421204rRrqEV1031. 2)211(431230RRRqVO1R2R3Rqqq2江西理工大學理學院江西理工大學理學院例例2、 兩個大帶電導體平面兩個大帶電導體平面A 、B平行放置，板面積為平行放置，板面積為S，現(xiàn)給現(xiàn)給A板帶電板帶電QA ，B板帶電板帶電QB ， 且且QA QB 0. 求靜電平求靜電平衡時衡時,金屬板上的電荷分布

9、和周圍空間的電場分布金屬板上的電荷分布和周圍空間的電場分布(忽略忽略邊緣效應邊緣效應). 如果金屬板如果金屬板B接地接地,情況又是如何情況又是如何?ABAQ SBQ江西理工大學理學院江西理工大學理學院解：靜電平衡后，導體內部無凈電荷解：靜電平衡后，導體內部無凈電荷,電荷只能分布于電荷只能分布于導體表面導體表面.設金屬板各面所帶電荷面密度如圖所示設金屬板各面所帶電荷面密度如圖所示:由靜電平衡條件：由靜電平衡條件：E內內=0取場強向右為正，則有取場強向右為正，則有00222204321040302014321即：EEEEEM同理：同理：004321NE1432MNAB江西理工大學理學院江西理工大學

10、理學院AQS )(21BQS )(43（1）由電荷守恒得：）由電荷守恒得：解得：解得：SQQBA241SQQBA232可見金屬板可見金屬板A,B相背的兩面帶等量的同號電荷相背的兩面帶等量的同號電荷,相對的兩相對的兩面帶等量的異號電荷面帶等量的異號電荷.江西理工大學理學院江西理工大學理學院金屬板金屬板A的的左側的場強為左側的場強為:1432MNABSQQBA241SQQBA232水水平平向向左左方方向向:,222004011SQQEBA金屬板金屬板A,B之間的場強為之間的場強為:水水平平向向右右方方向向:,222003022SQQEBA金屬板金屬板B右側的場強為右側的場強為:水水平平向向右右方方

11、向向:,222004013SQQEBA江西理工大學理學院江西理工大學理學院如果將金屬板如果將金屬板B接地接地,由于金屬板由于金屬板A帶帶正電荷正電荷,所以所以金屬板金屬板B只帶只帶負電荷負電荷,而正電荷都流入大地而正電荷都流入大地.即即:04與與前面一樣的解題思路前面一樣的解題思路,有有:AQS )(21電荷守恒：電荷守恒：0000321321NMEE1432MNABSQA3241;0江西理工大學理學院江西理工大學理學院R2dE)(2200 xdxEEExxdxxEURdRRdRd)11(2d0RdRRdlnln00單位長度的單位長度的電容電容RdUCln0解解 設兩金屬線的電荷線密度為設兩金

12、屬線的電荷線密度為EE 例例 兩半徑為兩半徑為 的平行長直導線中心間距為的平行長直導線中心間距為 ，且且 , , 求單位長度的電容求單位長度的電容 . .RdRd oxPxxd江西理工大學理學院江西理工大學理學院 例：例： 一平行平板電容器充滿兩層厚度各為一平行平板電容器充滿兩層厚度各為 和和 的電介質，的電介質，它們的電容率分別為它們的電容率分別為 和和 , 極板面積為極板面積為 .當極板上的自當極板上的自由電荷面密度的值為由電荷面密度的值為 時，時，求求；（1）各電介質內的電位移和場各電介質內的電位移和場強強. （2）電容器的電容電容器的電容1d2d1 2 S0 0d01021 SDSDS

13、DS12DD 解（解（1）設這兩層電介質中的）設這兩層電介質中的場強和電位移矢量分別為場強和電位移矢量分別為E1,E2;D1,D2.由高斯面由高斯面S1可知：可知：由高斯面由高斯面S2可知：可知：0100012d DSSDSDS021 DD+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d00- - - - - - + + + + + + 11+ + + + + + - - - - - - 222S1E2E1S0S0S1D2DAB江西理工大學理學院江西理工大學理學院10111 DE222111EDED 20222 DE（2）：板間電勢差為：）：板間電勢

14、差為：+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d00- - - - - - + + + + + + 11+ + + + + + - - - - - - 222S1E2E1S0S0S1D2DAB 2211221102211 ddSqdddEdEUUBA電容器電容為：電容器電容為： 2211 ddSUqCAB江西理工大學理學院江西理工大學理學院例例4 （1）計算：帶電量為）計算：帶電量為Q，半徑為半徑為R的的孤立導孤立導 體球的靜電能體球的靜電能.（球外真空）（球外真空） （2）在多大半徑的球面內所儲存的能量）在多大半徑的球面內所儲存的能量 為總能

15、量的一半？為總能量的一半？解（解（1）由高斯定理得）由高斯定理得RrrQRrE20410222200014228eREQWw dVdVErdrR江西理工大學理學院江西理工大學理學院（2）設離球心）設離球心R0遠的空間范圍內所儲存的遠的空間范圍內所儲存的 能量是總能量的一半，即：能量是總能量的一半，即：RRRQdrrrQRR28214)420022220200解得：（可見：電場越強的地方，電場能量密度越大；相同的體可見：電場越強的地方，電場能量密度越大；相同的體積中儲存的能量也就越多。積中儲存的能量也就越多。江西理工大學理學院江西理工大學理學院例題例題: 證明轉動帶電圓盤的磁矩證明轉動帶電圓盤的

16、磁矩 。241RQPm rdrorrRQqd2d2 rrRQTdqId22d2 rrd rrrImdddP32 RmmrrP03ddP241RQ 江西理工大學理學院江西理工大學理學院 例題例題 均勻帶電球面均勻帶電球面( ), ( ), 繞直徑以繞直徑以 勻速旋轉勻速旋轉 , R 求球心處求球心處0B Rox旋轉帶電球面旋轉帶電球面 許多環(huán)形電流許多環(huán)形電流等等效效解：解： dsin2dd2RqI 等效圓電流：等效圓電流：r取半徑取半徑 的環(huán)帶的環(huán)帶 rId d2ddrRSq 江西理工大學理學院江西理工大學理學院 Rox rId dsin2 2sindsin )(2dd303222022202

17、3RRRRxrIrB RRBB003032dsin2d RB032 寫成矢量式：寫成矢量式：Bd方向如圖方向如圖江西理工大學理學院江西理工大學理學院如右圖：如右圖：?d lBl212dIIlBl I I3 3對環(huán)路上各點的磁感應強度有貢獻嗎？對環(huán)路上各點的磁感應強度有貢獻嗎？I I3 3對圖中磁感應強度的環(huán)路積分有貢獻嗎？對圖中磁感應強度的環(huán)路積分有貢獻嗎？前者前者沒沒有貢獻，有貢獻，后者有貢獻后者有貢獻江西理工大學理學院江西理工大學理學院例：例：同軸電纜的內導體圓柱半徑為同軸電纜的內導體圓柱半徑為R1，外導體圓筒內外半外導體圓筒內外半徑分別為徑分別為R2、 R3，電纜載有電流電纜載有電流I，

18、求磁場的分布。求磁場的分布。解：同軸電纜的電流分布具有軸對稱解：同軸電纜的電流分布具有軸對稱性在電纜各區(qū)域中性在電纜各區(qū)域中磁力線是以電纜軸線為磁力線是以電纜軸線為對稱軸的同心圓。對稱軸的同心圓。R2R3IR1Irr R1時時, 取沿半徑取沿半徑 r 的磁感應線為環(huán)路的磁感應線為環(huán)路IlB 0d 22102rRIrB .2 210RIrB 江西理工大學理學院江西理工大學理學院R1 r R2 , 同理同理IrB02 rIB 20 IlB 0d R2R3IR1Ir江西理工大學理學院江西理工大學理學院R2 r R3 ,B = 002 rB 江西理工大學理學院江西理工大學理學院 結論結論: 均勻磁場均

19、勻磁場中，任意形狀中，任意形狀剛性閉合平面剛性閉合平面通電線圈所受的力和力矩為：通電線圈所受的力和力矩為：BPMFm ,02/,max BPMMBPmmne與與 成成右手右手螺旋螺旋I0穩(wěn)定穩(wěn)定平衡平衡非穩(wěn)定非穩(wěn)定平衡平衡0,/ MBPmneNISPm 磁矩：磁矩：江西理工大學理學院江西理工大學理學院IB.FF. . . . . . . . . . . . . . . . .FIBB+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + IFmax,2MM 0,0M穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡討討 論論1） 方向與方向與 相同相同Bne2）方向相

20、反）方向相反3）方向垂直）方向垂直0,M力矩最大力矩最大江西理工大學理學院江西理工大學理學院iBB RIB例：如圖，半圓閉合回路，半徑 ，電流 ， 求它在均勻磁場 中所受力矩解：建立如圖所示的坐標系解：建立如圖所示的坐標系mnkBiPBj方向為方向， 為 方向，為方向22RMIBj xByzRI)(22kRIeISPnm 江西理工大學理學院江西理工大學理學院例題：一矩形線圈處在例題：一矩形線圈處在無限長無限長載流直導線的磁場中，線圈平面和載流直導線的磁場中，線圈平面和直導線直導線共面共面，且一邊與直導線，且一邊與直導線平行平行，相關參數如圖。線圈匝數為，相關參數如圖。線圈匝數為N，試求，試求（

21、1）：電流）：電流I1在線圈平面的磁通量和對線圈的磁力；在線圈平面的磁通量和對線圈的磁力；（2）：當線圈從）：當線圈從d1平移到平移到d2的過程中，磁力對線圈所作的功。的過程中，磁力對線圈所作的功。1Io1d2Ixabdx江西理工大學理學院江西理工大學理學院1Io1d2Ixabdx解：如圖建立坐標，取寬為解：如圖建立坐標，取寬為dx的面積元，則通過該面積元的磁通的面積元，則通過該面積元的磁通量為：量為：)(210方方向向磁磁通通為為正正設設線線圈圈mPbdxxISdBd 整個線圈的磁通量為：整個線圈的磁通量為：111010ln2211dadbIbdxxIdadd 1F2F3F4F上下兩邊所受磁

22、力相互抵消上下兩邊所受磁力相互抵消，左右左右兩邊所受磁力不等兩邊所受磁力不等，整個線圈所受，整個線圈所受的合力為：的合力為： addabIIadIdIbIFFF 11210110110221222 江西理工大學理學院江西理工大學理學院1Io1d2Ixabdx1F2F3F4F由上式可知，線圈所受的合力為一個變力，一般情況下，當由上式可知，線圈所受的合力為一個變力，一般情況下，當線圈左邊距離長直導線的距離為線圈左邊距離長直導線的距離為x時，時，線圈所受的合力為：線圈所受的合力為： axxabIIF 2210相應的元功為相應的元功為： dxaxxabIIdxxFdA 2)(210當線圈從當線圈從d1

23、平移到平移到d2的過程中，磁力對的過程中，磁力對線圈所作的功為線圈所作的功為： 212102dddxaxxabIIdAA 2211210lnln2daddadbII 江西理工大學理學院江西理工大學理學院1Io1d2Ixabdx1F2F3F4F也可以利用磁力作功的公式直接求解也可以利用磁力作功的公式直接求解：當線圈從當線圈從d1平移到平移到d2的過程中，磁力對的過程中，磁力對線圈所作的功為線圈所作的功為： 2211210122lnln2daddadbIIIA 12 IIA11101011ln2211dadbIbdxxIdadd 線圈在線圈在d1位置時位置時的磁通量為：的磁通量為：線圈在線圈在d2

24、位置時位置時的磁通量為：的磁通量為：22101022ln2222dadbIbdxxIdadd 江西理工大學理學院江西理工大學理學院例題：一導線例題：一導線ab與長直導線與長直導線AB共面且相互垂直，當共面且相互垂直，當ab以速度以速度V平平行于電流方向運動時，求它產生的動生電動勢。相關參數如圖。行于電流方向運動時，求它產生的動生電動勢。相關參數如圖。dIbaABlvxdxx0江西理工大學理學院江西理工大學理學院dIbaABlvxdxx0解：一、以定義法求解解：一、以定義法求解,以以a到到b為積分路徑為積分路徑。如圖建立坐標。取微。如圖建立坐標。取微元元dx，有：有：dxxIvdxxIvlB 2

25、cos2sin2d)(d00 v整個導線上的電動勢為：整個導線上的電動勢為：dldIvdxxIvldd ln22d00 江西理工大學理學院江西理工大學理學院dIbaABlvxdxx0解：二、解：二、由法拉第感應定律求解由法拉第感應定律求解。如圖建立閉合回路。設想。如圖建立閉合回路。設想ab邊與邊與另一部分假想的固定軌道另一部分假想的固定軌道bcda構成回路，構成回路，設回路方向為設回路方向為abcda，開開始時刻始時刻ab邊與邊與cd邊重合邊重合。則任意時刻，穿過回路的磁通量為：。則任意時刻，穿過回路的磁通量為：所以感應電動勢為：所以感應電動勢為：ydxxIBydxSdBd20cdyydldI

26、yydxxIdlddln2200vty tdldIvln20dldIvdtdln20負號表示感應電動勢方向與規(guī)定的回路方負號表示感應電動勢方向與規(guī)定的回路方向相反，即沿向相反，即沿adcba方向方向。a為高電勢點。為高電勢點。:解設螺線管通有電流I，管內磁感應強度通過每匝線圈的磁通量通過整個螺線管的磁鏈所以螺線管的自感系數nIBnISSBlISnnlN2VnlSnIL22例例1、有一長度為有一長度為l的長直螺線管，單位長度的匝數為的長直螺線管，單位長度的匝數為n，截面積為截面積為S，其中充滿磁導率為其中充滿磁導率為 的磁介質。試求該螺的磁介質。試求該螺線管的自感系數。線管的自感系數。VnL2 長直螺線管的自感系數長直螺線管的自感系數：xdxtlIld