(完整版)相似三角形性質(zhì)與判定專項練習(xí)30題(有答案)

1、相似三角形性質(zhì)和判定專項練習(xí)30題（有答案）1,已知：如圖，在4ABC中，點D在邊BC上，且/BAC=/DAG,/CDG=/BAD（1）求證：J!=上;ABAC(2)當(dāng)GCLBC時，求證：ZBAC=90F分別是垂足.2 .如圖，已知在4ABC中，/ACB=90,點D在邊BC上,CEXAB,CFXAD,E、(1)求證：AC2=AF?AD;(2)聯(lián)結(jié)EF,求證：AE?DB=AD?EF.3 .如圖，4ABC中，PC平分/ACB,PB=PC.(1)求證：APCsACB;(2)若AP=2,PC=6,求AC的長.4 .如圖，在平行四邊形ABCD中，過B作BELCD,垂足為點E,連接AE,F為AE上一點，且

2、/BFE=/C.(1)求證：ABFsEAD;(2)若AB=4,/BAE=30,求AE的長.5.已知：如圖，4ABC中,求證：AB?BC=AC?CD./ABC=2ZC,BD平分/ABC.6,已知4ABC,ZACB=90的理由.,AC=BC，點E、F在AB上，/ECF=45,設(shè)ABC的面積為S,說明AF?BE=2S7.等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點E,F,連接AF,BE相交于點P.(1)若AE=CF;求證：AF=BE,并求/APB的度數(shù)；若AE=2,試求AP?AF的值；(2)若AF=BE,當(dāng)點E從點A運動到點C時，試求點P經(jīng)過的路徑長.8.如圖所示，AD,BE是鈍角4ABC的

3、邊BC,AC上的高，求證:BEBC9 .已知：如圖，在4ABC中，AB=AC,DE/BC,點F在邊AC上,DF與BE相交于點G,且/EDF=/ABE.求證：(1)DEFsDE;(2)DG?DF=DB?EF.10 .如圖，ABC、DEF都是等邊三角形，點D為AB的中點，E在BC上運動，DF和EF分別交AC于G、H兩點，BC=2,問E在何處時CH的長度最大？3EC11.如圖，AB和CD交于點O,當(dāng)/A=/C時，求證:OA?OB=OC?OD.12 .如圖，已知等邊三角形4AEC,以AC為對角線做正方形ABCD(點B在4AEC內(nèi)，點D在4AEC外).連接EB,過E作EFXAB,交AB的延長線為F.(1

4、)猜測直線BE和直線AC的位置關(guān)系，并證明你的猜想.(2)證明：aBEFsABC,并求出相似比.13.已知：如圖，4ABC中，點D、E是邊AB上的點,(1)求證：CEDsACD;CD平分/ECB,且BC2=BD?BA.14 .如圖，4ABC中，點D、E分別在BC和AC邊上，點G是BE邊上一點，且/BAD=/BGD=/C,聯(lián)結(jié)AG.(1)求證：BD?BC=BG?BE;(2)求證：/BGA=/BAC.15 .已知：如圖，在4ABC中，點D是BC中點，點E是AC中點，且ADBC,BEXAC,BE,AD相交于點G,過點B作BF/AC交AD的延長線于點F,DF=6.(1)求AE的長；(2)求互出的值.A

5、FBG16 .如圖，4ABC中，/ACB=90,D是AB上一點，M是CD中點，且/AMD=/BMD,AP/CD交BC延長線于P點，延長BM交PA于N點，且PN=AN.(1)求證：MN=MA;(2)求證：/CDA=2/ACD.2.17 .已知：如圖，在4ABC中，已知點D在BC上，聯(lián)結(jié)AD,使得/CAD=/B,DC=3且Saacd:Saadb=1(1)求AC的值；的值.(2)若將4ADC沿著直線AD翻折，使點C落點E處，AE交邊BC于點F,且AB/DE,求18 .在4ABC中，D是BC的中點，且AD=AC,DEBC,與AB相交于點E,EC與AD相交于點F.(1)求證：ABCsFCD;(2)若DE

6、=3,BC=8,求4FCD的面積.CE19 .如圖，4ABC為等邊三角形，D為BC邊上一點，以AD為邊作ZADE=60,DE與4ABC的外角平分線交于點E.(1)求證：/BAD=/FDE;(2)設(shè)DE與AC相交于點G,連接AE,若AB=6,AE=5時，求線段AG的長.20 .如圖所示，4ABC中，/B=90,點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.(1)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒，使4PBQ的面積等于8cm2?(2)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒，

7、使4PCQ的面積等于12.6cm2?21 .已知：如圖，4ABC是等邊三角形，D是AB邊上的點，將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60彳導(dǎo)到線段DE,延長ED交AC于點F,連接DC、AE.(1)求證：ADEDFC;(2)過點E作EH/DC交DB于點G,交BC于點H,連接AH.求/AHE的度數(shù)；(3)若BG=工CH=2,求BC的長.322 .如圖，在4ABC中，CD平分/ACB,BE/BC交AC于點E.(1)求證：AE?BC=AC?CE;(2)若$ade：Sacde=4：3.5,BC=15,求CE的長.23 .如圖，四邊形ABCD中，AC平分/DAB,ZADC=ZACB=90,E為AB的中點,(1)求證：a

8、c2=ab?ad；(2)求證：CE/AD;(3)若AD=4,AB=6,求堡的值.AF24.在4ABC中，/CAB=90,AD，BC于點D,點E為AB的中點，EC與AD交于點G,點(1)如圖1,AC:AB=1:2,EFXCB,求證：EF=CD.(2)如圖2,AC:AB=1:73，EFXCE,求EF:EG的值.BC上.25.如圖，M、N、P分別為4ABC三邊AB、BC、CA的中點，BP與MN、AN分別交于E、F.(1)求證：BF=2FP;(2)設(shè)4ABC的面積為S,求4NEF的面積.BNC26 .在RtAABC中，/ACB=90,CDXAB,垂足為D,E、F分別是AC,BC邊上一點，且CE,AC,

9、BFBC,414(1)求證：笆上;BCBD(2)求/EDF的度數(shù).C27 .如圖，4ABC是等邊三角形，且AB/CE.(1)求證：ABDsCED;(2)若AB=6,AD=2CD,求E到BC的距離EH的長.求BE的長.28.如圖，RtAABC是由RtAABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的,(1)若AC=3,AB=4,求比,(2)證明：ACEsFBE;(3)設(shè)/ABC=a,/CAC=3,試探索“、3滿足什么關(guān)系時,連接CC交斜邊于點巳CC的延長線交BB于點F.ACE與4FBE是全等三角形，并說明理由.29 .如圖，ABC是等邊三角形，/DAE=120,求證：(1)ABDsECA;(2)BC2=DB?CE.

10、30 .如圖，在RtAABC中，ZC=90,且AC=CD=近,又E,D為CB的三等分點.(1)證明：ADEsBDA;(2)證明：/ADC=/AEC+/B;(3)若點P為線段AB上一動點，連接PE,則使得線段PE的長度為整數(shù)的點P的個數(shù)有幾個？請說明理由.相似三角形性質(zhì)和判定專項練習(xí)30題參考答案:1.解：(1)./ADC=/B+/BAD,且/CDG=/BAD,ZADG=/B;/BAC=/DAG,AABCAADG,ABAC(2)ZBAC=ZDAG,/BAD=/CAG;又/CDG=/BAD,/CDG=/CAG, A、D、C、G四點共圓， /DAG+/DCG=180; .GCXBC,/DCG=90,

11、/DAG=90,/BAC=/DAG=9062.解：(1)如圖，/ACB=90,CFXAD,/ACD=/AFC,而/CAD=/FAC,AACDAAFC,.旦_迪AFac2=af?ad.(2)如圖，CEXAB,CFXAD,/AEC=ZAFC=90,A、E、F、C四點共圓，/AFE=/ACE;而ZACE+/CAE=/CAE+/B,/ACE=ZB,ZAFE=/B;/FAE=/BAD,AEFsMDB,AE:AD=BD:EF,ae?db=ad?ef.CbBB=/PCB;PC平分/ACB,./ACP=/PCB,/B=/ACP,ZA=ZA,AAPCAACB.(2)AAPCAACB,叁善AC%，AP=2,PC=

12、6,AB=8,AC=4.AP+AC=PC=6,這與三角形的任意兩邊之和大于第三邊相矛盾,該題無解.A4.(1)證明：.AD/BC,/C+ZADE=180, /BFE=/C,/AFB=/EDA, AB/DC,/BAE=ZAED,AABFAEAD;(2)解：.AB/CD,BELCD,/ABE=90, AB=4,ZBAE=30,AE=2BE,由勾股定理可求得AE=：,：35,證明：/ABC=2/C,BD平分/ABC,/ABD=/DBC=/C,BD=CD,1r/&二/a在AABD和AACB中，:,IZABD=ZCAABDAACB,四二口ACBC即AB?BC=AC?BD,AB?BC=AC?CD.6.證明

13、：AC=BC,ZA=ZB, /ACB=90,/A=/B=45, /ECF=45,/ECF=/B=45, /ECF+/1=/B+/1,/BCE=/ECF+/1,/2=/B+/1;/BCE=Z2,ZA=ZB,ACFsBEC.用工BE-BCAC?BC=BE?AF,Szabc=Lc?BC=BE?AF,22AF?BE=2S.7 .(1)證明：.ABC為等邊三角形,AB=AC,ZC=ZCAB=60,又AE=CF,在ABE和ACAF中，Cab=acZBAE=ZACF,I.AE二CFAABEACAF(SAS),AF=BE,/ABE=/CAF.又/APE=/BPF=/ABP+/BAP,/APE=/BAP+/CA

14、F=60.ZAPB=180-/APE=120./C=/APE=60,APAEAP2位短，即宙/PAE=/CAF,AAPEAACF,所以AP?AF=12(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.當(dāng)AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時ABP為等腰三角形，且/ABP=/BAP=30,/AOB=120,又AB=6,.OA=1；，點p的路徑是旦旦衛(wèi)巴馬四/7T.1801303當(dāng)AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；因為等邊三角形ABC的邊長為6,所以點P的路徑為：-32二次四.所以，點P經(jīng)過的路徑長為生但冗或如

15、.38 .證明：.AD,BE是鈍角ABC的邊BC,AC上的高,/D=ZE=90,/ACD=/BCE,AACDABCE,.幽在BEBC9.證明：(1)AB=AC,/ABC=/ACB, DE/BC, /ABC+/BDE=180,/ACB+ZCED=180,/BDE=ZCED, /EDF=ZABE,DEFsBDE;(2)由DEFsBDE,得典DEEFde2=db?ef,由DEFsBDE,得/bed=/dfe. /GDE=/EDF, .GDEsEDF.DEde2=dg?df,dg?df=db?ef.10.解：設(shè)EC=x,CH=y,貝UBE=2-x,ABC、ADEF都是等邊三角形，/B=ZDEF=60,

16、/B+/BDE=/DEF+/HEC,/BDE=/HEC,.BEDsCHE,BEBEAB=BC=2，點D為AB的中點，BD=1,宜_yT=2x即：y=-x2+2x=-(x1)2+1.當(dāng)x=1時，y最大.此時，E在BC中點11.解：ZA=ZC,/AOD=/BOC,.OADsoCB,上一OCOB.OA?OB=OC?OD.12.解：(1)猜測BE和直線AC垂直.證明：AEC是等邊三角形， .AE=CE,四邊形ABCD是正方形，AB=CB, BE=BE,AAEBACEB(SSS)./AEB=/CEB, AE=CE, BEXAC;(2).AEC是等邊三角形,/EAC=ZAEC=60,BEXAC,/BEA=

17、ZAEC=30,2四邊形ABCD是正方形,./BAC=45,./BAE=15,./EBF=45,EFXBF,./F=90,./EBF=/BAC,/F=/ABC,.ABEFAACB,a,延長EB交AC于G,設(shè)AC為2a,則BG=a,EB=Ja.相似比是:0EFBE二4日-！名H3TAC2a2a213.證明：(1)BC2=BD?BA,BD:BC=BC:BA,/B是公共角，ABCDABAC,/BCD=/A,CD平分/ECB,/ECD=/BCD,/ECD=ZA,/EDC=/CDA,ACEDIAACD;皿典,EDCD(2)/ABCDABAC,ACEDAACD,皂,BCCD.ABCE二.BCED14.證明

18、：(1)./DBG=/EBC,/BGD=/C,.BDGsBEC,.也以BEBC貝UBD?BC=BG?BE;(2)ZDBA=ZABC,/BAD=/C,.DBAsABC,.里,即ab2=bd?bc,ABBCBD?BC=BG?BE,ab2=bg?be,即里=理ABBE/GBA=/ABE,AGBAAABE,/BGA=/BAC.15.解：(1)二,在ABC中，點D是BC中點，點E是AC中點，且ADBC,BEAC,AC=AB=BC,AABC是等邊三角形，/C=60, BF/AC,/CBF=/C=60,ADBC,/FDB=90,/F=30, DF=6,BD=2.；, AE=EC=BD=DC,AE=2.；;(

19、2)ZBDF=90,ZF=30,BD=2/1,BF=2DB=4近,aAC/BF,AAEGAFBG,21-=S3FBGb鏟瓦16.證明：(1)AP/CD,/AMD=/MAN,/BMD=/MNA,ZAMD=ZBMD,/MAN=/MNA,MN=MA.ADEAP/CD,且PN=AN.(2)如圖，連接NC,PPNNABNMC=MD,CN為直角AACP斜邊AP的中線，CN=NA,/NCA=/NAC,AP/CD,/NAC=/ACD,/NCM=2/ACD,/CMN=/DMB,/DMA=/BMD,/CMD=/DMA,在ACMN和ADMA中，|fCM=KDZCMN=ZDHA,IACMNDMA(SAS),/ADM=

20、/NCM=2/ACD.即：/CDA=2/ACD.17.解：(1)Saacd:Saadb=1:2,BD=2CD,DC=3,BD=2X3=6,.BC=BD+DC=6+3=9,/CAD=ZB,ZC=ZC,ABCsADAC,.嶇空一一解得AC=3（；(2)由翻折的性質(zhì)得，/E=/C,DE=CD=3,AB/DE,/B=ZEDF,/CAD=/B,/EDF=/CAD,.EFDsMDC,18.(1)證明：.是BC的中點，DEBC,be=ce,/B=ZDCF,AD=AC,/FDC=ZACB,AABCAFCD;(2)解：過A作AGLCD,垂足為G.AD=AC,.DG=CG,.BD:BG=2:3,edxbc,.ED

21、/AG,.abdeabga,.ED:AG=BD:BG=2:3,DE=3,AABCAFCD,BC=2CD,笠帝用19.(1)證明：.ABC為等邊三角形，/B=60,由三角形的外角性質(zhì)得，/ADE+/FDE=/BAD+/B,/ADE=60,/BAD=/FDE;(2)解：如圖，過點D作DH/AC交AB于H,AABC為等邊三角形，ABDH是等邊三角形，/BHD=60,BD=BH,/AHD=180-60=120, .CE是AABC的外角平分線，/ACE=1(180-60)=60,2/DCE=60+60=120,/AHD=/DCE=120,又AH=AB-BH,CD=BC-BD,AH=CD,在4AHD和4D

22、CE中，ZBAD=ZFDE止CD,Zahd=ZdceAAHDADCE(ASA),AD=DE, /ADE=60,AADE是等邊三角形，/DAE=/DEA=60,AE=AD=5, /BAD=/BAC-/CAD=60-/CAD,/EAG=/DAE-/CAD=60-/CAD,/BAD=/EAG,AABDAAEG,220 .解：(1)設(shè)x秒時，點P在AB上，點Q在BC上，且使4PBQ面積為8cm,由題意得(6-x)?2x=8,解之，得X1=2x2=4,2經(jīng)過2秒時，點P到距離B點4cm處，點Q到距離B點4cm處；或經(jīng)4秒，點P到距離B點2cm處，點Q到距離B點8cm處，4PBQ的面積為8cm2,(2)當(dāng)

23、P在AB上時，經(jīng)x秒，4PCQ的面積為:綜上所述，經(jīng)過2秒或4秒，4PBQ的面積為8cm2;XPBCQ=X(6-x)(8-2x)=12.62解得：xi=第42幅(不合題意舍去)，X2=252匹,55|經(jīng)x秒，點P移動到BC上，且有CP=(14-x)cm,點Q移動到CA上，且使CQ=(2x-8)cm,過Q作QDCB,垂足為D,由CQDsCAB得四,2x-8-AC即QD=2rl-10由題意得一(14-x)?0Q宜一切=12.6,解之得xi=7,x2=11.210經(jīng)7秒，點P在BC上距離C點7cm處，點Q在CA上距離C點6cm處，使4PCQ的面積等于12.6cm2.經(jīng)11秒，點P在BC上距離C點3c

24、m處，點Q在CA上距離C點14cm處，1410,點Q已超出CA的范圍，此解不存在.綜上所述，經(jīng)過7秒和亞二過區(qū)秒時4PCQ的面積等于12.6cm2521 .(1)證明：如圖，線段DB順時針旋轉(zhuǎn)60。得線段DE,/EDB=60,DE=DB.AABC是等邊三角形，/B=ZACB=60./EDB=ZB.EF/BC.DB=FC,/ADF=/AFD=60.DE=DB=FC,ZADE=ZDFC=120,MDF是等邊三角形.AD=DF.AADEADFC.(2)解：由ADE0DFC,得AE=DC,/1=/2.ED/BC,EH/DC,四邊形EHCD是平行四邊形.EH=DC,/3=/4.AE=EH.ZAEH=/1

25、+/3=/2+/4=/ACB=60AAEH是等邊三角形./AHE=60.(3)解：設(shè)BH=x,貝UAC=BC=BH+HC=x+2由(2)四邊形EHCD是平行四邊形，ED=HC.DE=DB=HC=FC=2.EH/DC,BGHsBDC.BGBH.=BDBC即色L.2x+Z解得x=1.BC=3.3H22. (1)證明：DE/BC,/ADE=/B,/AEC=/ACB,ADEABC,.AEDE DE/BC, ./EDC=/BCD CD平分ZACB ./BCD=/DCE ./DCE=/EDC, .DE=CE,AECE 喬即AE?BC=AC?CE;AUDC(2)1.-Saade：Sacde=4：3.5,AE

26、：CE=4：3.5,.坐,AC4+3.5由（1）知一二ACBCDE=CE,.CE=8.(1)證明：.AC平分/DAB,/DAC=/CAB, /ADC=/ACB=90,ADCACB,AD:AC=AC:AB,AC2=AB?AD;(2)證明：.E為AB的中點,ce=1ab=ae,/EAC=/ECA, /DAC=/CAB,/DAC=/ECA,CE/AD;(3)解：.CE/AD,AAFDACFE,.AD:CE=AF:CF, CE=AB,CE=6=3,2AD=4,24.(1)證明：如圖1,在ABC中，./CAB=90,ADBC于點D,/CAD=/B=90-/ACB.AC:AB=1:2,AB=2AC,點E為

27、AB的中點，AB=2BE,AC=BE.在AACD與BEF中，CZCAD=ZBZADC=ZBFE=90*,AC=BEAACDABEF,CD=EF,即EF=CD;(2)解：如圖2,作EHAD于H,EQBC于Q, EHXAD,EQXBC,ADBC,四邊形EQDH是矩形，/QEH=90,/FEQ=/GEH=90-/QEG,又/EQF=ZEHG=90, .EFQsEGH, .EF:EG=EQ:EH.,.AC:AB=1:V3,/CAB=90。,/B=30.在BEQ中，ZBQE=90,.sinB=-l!=EQBE.2ZAEH=ZB=30,在AEH中，ZAHE=90,.cos/AEH=四=亟,AE2eh=5a

28、e.2點E為AB的中點,BE=AE,EF:EG=EQ:EH=-BE:AE=1:心3.2225. (1)證明：如圖1,連接PN,.N、P分別為4ABC邊BC、CA的中點,.PN/AB,且昨ABFsNPF,FPFWFN乙BF=2FP.(2)解：如圖2,取AF的中點G,連接MG,MG/EF,AG=GF=FN.NEFsNMG,Sanef=tSamng426. (1)證明：CDXAB,/CDB=/ADC=90,/ACD+/BCD=90,/ACB=90,/A+/ACD=90,/A=/BCD,AADCACDB,I，(2)解：CE=-AC,BF=-BC,44又/A=/BCD,/ACD=/B,ACEDABFD,/CDE=/BDF,/EDF=/EDC+/CDF=/BDF+/CDF=/CDB=90C27. 解；(1).AB/CE,/A=/DCE,又/ADB=/EDC,ABDsCED;（2）過點E作EHBF于點H,AABC是等邊三角形，ABDsCED,AB=6,AD=