重慶大學 工程力學2

1、定理定理 ：作用在剛體上某點的力 F ，可以平行移動到剛體 上任意一點，但必須同時附加一個力偶，其力偶 矩等于原來的力 F 對平移點之矩。證明：證明：如下圖所示：)()(FMMFdFMBB2.2.1 1 力的平移定理力的平移定理(a)ABdFABdFF”(b)圖1力線平移定理的證明BdAM=Fd(c)FF 可見，一個力可以分解為一個與其等值平行的力和一個位于平移平面內(nèi)的力偶。反之，一個力偶和一個位于該力偶作用面內(nèi)的力，也可以用一個位于力偶作用面內(nèi)的力來等效替換 如打乒乓球，若球拍對球作用的力其作用線通過球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼佣恍D；但若力的作用線與球相切“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動和轉動。

2、cFcFcm圖22(a)(b)F一般力系力偶系匯交力系向一點簡化合成合成F（合力）Mo（合力偶） 應用力線平移定理，將該力系中的各個力逐個向剛體上的某一點o（稱為簡化中心）平移再將所得的匯交力系和力偶系分別合成。過程為：2.2 2.2 力系的簡化力系的簡化(1) 匯交力合成的幾何法2.2.1 匯交力系的簡化回憶一下力三角形法則:211FFFR31312iiRRRFFFFiniinRnRFFFFF11.31312iiRRRFFFF211FFFR力多邊形力多邊形規(guī)則各力矢與合力矢構成的多邊形稱為力多邊形。用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形規(guī)則。力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。

3、結論：平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點。 用矢量式表示為：nRFFFF.21例1 已知：求：1.水平拉力F=5kN時，碾子對地面及障礙物的壓力？2.2.欲將碾子拉過障礙物，水平拉力F至少多大？3.力F沿什么方向拉動碾子最省力，及此時力F多大？P=20kN，R=0.6m, h=0.08m:解： 1.取碾子，畫受力圖.用幾何法，按比例畫封閉 力四邊形30arccosRhR按比例量得 4 .11AF kN，10BF kN或由圖中FFFFFBABcossin解得BF=10kN,AF=11.34kN2.碾子拉過障礙物，用幾何法0AF應有解

4、得解得 kN10sinminPF3.合力在x、y、z軸的投影為niziznzzzniyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFFFFFFF121121121. 空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。即niin121R.FFFFF)(11RkjiFFziniyixiniiFFF (2) 匯交力系合成的解析法RziRzRyiRyRxiRxFFFFFFFFFFFF),cos(),cos()cos(RRkFjFi ,FR方向余弦合力矢F FR的大小和方向余弦為 222222R)()()( ziyixizyxFFFFFFF大小 在剛體上作用著四個匯交力，它們在坐標軸上的投

5、影如下表所示，試求這四個力的合力的大小和方向。kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFF由上表得解：F1F2F3F4單位Fx1202kNFy1015510kNFz3412kN例2kN 31kN 6305222RF所以合力的大小為316,cos ,3130,cos , 315,cosRRRkFjFiF8 .78, ,6 .14, ,7 .83,RRRkFjFiF合力的方向余弦為合力FR 與x，y，z 軸間夾角kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 1

6、0,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFF例3niin121.MMMMM即其合力偶矢的大小和方向的計算與空間匯交力系的合力的大小和方向的計算完全相同。合力偶矢的大小222222)()()(ziyixizyxMMMMMMM方向余弦為 ),cos( , ),cos( , ),cos(MMMMMMzyxkMjMiM2.2.2 力偶系的簡化力偶系的簡化 任意個空間分布的力偶可以合成為一個合力偶，合力任意個空間分布的力偶可以合成為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。(1) 空間任意力系的簡化空間任意力系的簡化簡化理論依據(jù)是:力線平移定理空間力系中

7、,應把力對于點之矩與力偶矩用矢量表示odoA)(0FMM FF 力線平移定理力線平移定理:作用于剛體上的任一力,可平移至剛體的任意一點,欲不改變該力對于剛體的作用,則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)加一力偶,其力偶矩矢等于力對于指定點之矩矢.A1A2An1F2FnF0F0M1m2mnm1F2FnFRRFFFF000)(MFMMMo空間任意力系向任一點簡化的結果,一般可得到一力和一力偶,該力作用于簡化中心,其力矢等于力系的主矢,該 力偶的力偶矩矢等于力系對于簡化中心的主矩.ZFYFXFRZRyRx,222)()()(ZYXFRZRYRXcos,cos,cos若取坐標原點為簡化中心,則有:將主矢

8、及各力 均投影在三坐標軸上則R1F2FnF.)(10Fm)(20Fm)(0nFm 與平面力系一樣,空間力系的主矢與簡化中心的位置無關,而矩的一般將隨著簡化中心的位置不同而改變.同樣,將其投影在在一坐標軸上,并應用力矩關系定理,則得)()(0FMFMMxxox)()(0FMFMMyyoy)()(0FMFMMzzoz2220)()()(FMFMFMMzyx0)(cosMFMx 0)(cosMFMy0)(cosMFMz(2) 空間任意力系的簡化結果空間任意力系的簡化結果0 , 0 (1)ROMF力系可合成一個合力偶合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO 。此時主矩與簡化中心此時主矩與簡化中心O

9、的位置無關的位置無關。0 , 0 (2)ROMF力系可合成為一個合力合力，合力的作用線過簡化中心O，大小和方向與主矢相同。0 , 0 (3)ROMF此時分三種情況討論。OMF R )a (可進一步簡化成一合力合力的大小和方向與主矢相等，RR FF作用線距簡化中心O的距離R FMOd OMOFR（a)RFOOd(c)RFRF RFOOd(b)OMF / )b(R原力系簡化成力螺旋力螺旋，即力與力偶作用面垂直。力螺旋不能進一步的合成為一個力或力偶。OMF R ) c (這是最一般的情況，可進一步簡化成力螺旋。因此，在在一般的情況下空間任意力系可合成為力螺旋一般的情況下空間任意力系可合成為力螺旋。0

10、 , 0 (4)ROMF這就是空間任意力系的平衡(3)平面任意力系的簡化結果平面任意力系的簡化結果1 . 1 . 力系簡化為力偶力系簡化為力偶力系合成為一力偶，所以主矩與簡化中心的位置無關。0, 0oRMFFFFABC例例PaMMMFCBAR866. 0, 0aaa2. 力系簡化為合力力系簡化為合力 FR 就是原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。力系仍可簡化為一個合力，但合力的作用點不通過簡化中心。（1）0, 0oRMF（2）0, 0oRMF3. 力系平衡力系平衡是平面一般力系平衡的充分和必要條件。0, 0oRMF圖3-5 力系簡化為合力Moo( )a(c)od(b)odFROOOFRFR

11、FRFR選擇簡化中心選擇簡化中心：A點點 分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的載荷稱分布載荷。若分布載荷可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線載荷，簡稱線載荷。該載荷一定能簡化為一個合力,合力的作用點稱為力系的中心。載荷集度q,量綱：力/長度2.2.4 平行分布載荷的簡化求圖示三角形平行線分布載荷的力系中心求圖示三角形平行線分布載荷的力系中心主矢主矢qlqdxlxFlR210主矩主矩2031qlqdxlxxMlA簡化結果簡化結果lqlqlFMdRA3221312dxqlxqlFFRR21 yBdxlRFx再向力系中心再向力系中心B簡化簡化,結果為結果為力系中心的位置力系中心的

12、位置結論： 1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線載荷的方向相同。3、合力的中心通過載荷圖的形心。1、均布載荷、均布載荷qlQ 2、三角形載荷、三角形載荷qlQ213、梯形載荷、梯形載荷l/2l/2qQlq2q1可以看作一個三角形荷載和一可以看作一個三角形荷載和一個均布載荷的疊加個均布載荷的疊加 如圖所示空間平行力系，當它有合力FR時，合力的作用點C 就稱為空間空間平行力系的中心平行力系的中心。2.3.1 2.3.1 平行力系的中心平行力系的中心 如果讓各力繞其作用點轉過同一角度時，并仍然保持平行，那么合力FR也同樣繞作用點C轉過相同的角度且與各力仍然保持平行。即合力

13、的作用點的位置只與各平行力的大小和作用點的位置有關，而與方向無關。2.3 2.3 物體的重心物體的重心00RR ,FFFFiiFFRRR , , :FzFzFyFyFxFxiiCiiCiiC投影式由合力矩定理：)()(RiOOFMFM如果令F0是力作用線方向的單位矢量，iiinnCFFFFFFrrrrrR2211.則將上式代入（1）式得nnCFrFrFrFr.2211R（1）如果把物體的重力看成為平行力系，物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。則求重心問題就是求平行力系的中心問題。物體的重心位置為 iiiCiiiCiiiCPzPzPyPyPxPx , ,2.3.2 物體的重心物體的重心若物體是均質(zhì)的，上式可改寫成VVzzVVyyVVxxVCVCVCd , d ,d這時重心與幾何中心重合2.3.3 確定物體重心的方法確定物體重心的方法（1）積分法）積分法適用于幾何形狀規(guī)則的均質(zhì)物體 解解：由于對稱關系，該圓弧重心必在Ox軸，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC求半徑為R，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。例 4cosRx (2) 組合法組合法cm4 . 6 212211AAyAyAAyAy