人大版_賈俊平_第五版_統(tǒng)計(jì)學(xué)_第7章_參數(shù)估計(jì)

1、第7章 參數(shù)估計(jì)馬鍵 博士動機(jī) 對于大部分統(tǒng)計(jì)調(diào)查，普查都是不可能的任務(wù) 調(diào)查對象動輒數(shù)以萬計(jì) 抽樣調(diào)查則存在精度問題 本章“區(qū)間估計(jì)”的目的就是研究精度問精度問題題內(nèi)容提要 點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 一一個總體參數(shù)個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體均值正態(tài)分布總體均值t分布總體比例-正態(tài)分布總體方差-卡方分布 兩個總體參數(shù)兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 均值 獨(dú)立樣本大樣本 獨(dú)立樣本小樣本 匹配樣本 兩個總體比例之差的區(qū)間估計(jì) 兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì) 樣本量樣本量的的確定確定 總體均值 總體比例7.1 點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì) 點(diǎn)估計(jì) 全班同學(xué)的平均身高為160cm 區(qū)間估計(jì)：可以定量分析精確程

2、度 全班同學(xué)的平均身高約在150170cm之間樣本統(tǒng)計(jì)量 (點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限 2.區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個區(qū)間區(qū)間范圍范圍例如: 總體均值落在5070之間，置信度為95% 特點(diǎn)： 1）給出一個置信區(qū)間（范圍） 2）置信區(qū)間有95%/99%的概率包含總體真值（置信水平=95%/99%） 下面結(jié)合具體案例進(jìn)行分析7.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 7.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) 問題：例7.1 某食品廠每天生產(chǎn)約8000袋食品，規(guī)定重量為100g。為了檢驗(yàn)產(chǎn)品重量是否合格，現(xiàn)從某天生產(chǎn)

3、的食品中隨機(jī)抽取25袋袋（見spss data）。已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g，試估計(jì)其平均重量的95%置信區(qū)間。描述統(tǒng)計(jì)量描述統(tǒng)計(jì)量N極小值極大值均值標(biāo)準(zhǔn)差重量2593.3136.8105.360 9.6545有效的 N （列表狀態(tài)）25 分析： 1）計(jì)算樣本均值，它在總體均值附近計(jì)算樣本均值，它在總體均值附近 2）以樣本均值為中心，構(gòu)造區(qū)間，設(shè)法將總）以樣本均值為中心，構(gòu)造區(qū)間，設(shè)法將總體均值套住體均值套住三步算法： 0) 工具-中心極限定理。樣本均值服從以總體均值為中心的正態(tài)分布 1) 定義符號z_alpha/2 2) 以總體均值為中心，畫一個圓，樣本均值有95%的概率

4、落在圓內(nèi) 3) 反過來，以樣本均值為中心，畫同樣大的圓，它有95%的概率包含總體均值 置信水平越高，區(qū)間估計(jì)包含總體參數(shù)的概率越大 其代價是置信區(qū)間會變寬 板書計(jì)算95%置信水平的估計(jì) 課堂練習(xí)： 99%置信水平的估計(jì) 小結(jié)： 總體方差已知是一個不合乎現(xiàn)實(shí)的假定，因?yàn)樾枰詹?實(shí)際操作，用樣本方差代替總體方差，但需要調(diào)整計(jì)算公式t分布T分布 例例7.3 某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取16個燈泡，其壽命見data file 試建立該燈泡平均壽命95%的置信區(qū)間區(qū)間分析 由樣本數(shù)據(jù)可計(jì)算樣本均值、樣本方差、樣本容量。 考慮用中心極限定理建立置信區(qū)間。 問題：總體方差未知 解決方法：用樣本方

5、差代替 大樣本時用樣本方差代替總體方差，可以近似認(rèn)為依然是正態(tài)分布，小樣本（且總體正態(tài)）時的精確分布是t分布- t分布的圖形，藍(lán)色是正態(tài)分布 T分布在自由度增大時，逐漸趨向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)-4-3-2-10123400.050.10.150.20.250.30.350.4 Spss實(shí)現(xiàn)基于t分布的置信區(qū)間 菜單-分析-比較均值-單樣本t檢驗(yàn) 基于正態(tài)分布的似乎并無現(xiàn)成命令 課堂練習(xí)，課堂練習(xí)，計(jì)算計(jì)算99%置信水平的置信區(qū)間置信水平的置信區(qū)間 例7.4 某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占比例，隨機(jī)抽取100個下崗職工，其中65人為女職工。試估計(jì)該城市下崗女職工比例的95%置信區(qū)間。 分析：研究對象為整個

6、城市下崗職工中女性比例，即總體比例。100人中65人下崗，這是樣本比例。樣本比例是總體比例的近似，在概率中，它是某種隨機(jī)變量，因此問題的關(guān)鍵是厘清其抽樣分布。見ch6、6.12式 一旦知道樣本比例是以總體比例為中心的正態(tài)分布，就可以構(gòu)造置信區(qū)間 實(shí)際操作的妥協(xié)： 計(jì)算方差時總體比例未知，用樣本比例代替，會產(chǎn)生一定誤差 課堂練習(xí)， 計(jì)算計(jì)算90%置信水平的置信區(qū)間置信水平的置信區(qū)間Spss實(shí)現(xiàn) 總體比例 總體比例實(shí)際上是一種特殊的總體均值 可以直接使用均值的區(qū)間估計(jì)計(jì)算，但與課本公式的計(jì)算結(jié)果相比略有差異（課本基于正態(tài)分布，軟件基于t分布） 例，EAI公司 課時不夠則省略 7.2.3 總體方差的

7、區(qū)間估計(jì) 例7.5/例7.1 某食品廠每天生產(chǎn)約8000袋食品，規(guī)定重量為100g。為了檢驗(yàn)產(chǎn)品重量是否合格，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的食品中隨機(jī)抽取25袋（見spss data）。已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。 使用例題7.1的數(shù)據(jù)，建立食品重量方差的95%置信區(qū)間 分析：利用抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算樣本方差。現(xiàn)在的問題是利用樣本方差對總體方差進(jìn)行推斷。首要問題是厘清樣本方差的抽樣分布 前提條件 總體接近正態(tài)分布 如何判斷？繪制樣本數(shù)據(jù)的直方圖，判斷是否接近正態(tài) Pp plot、Qqplot顯示，和正態(tài)有一定差距，但做為演示，勉強(qiáng)認(rèn)為它是正態(tài)的，next Chi2分布的性質(zhì) 1）樣本空

8、間：永遠(yuǎn)大于零 2）密度函數(shù)pdf、圖形：單峰形狀 3）期望、方差：略 查chi2表計(jì)算： 找到上側(cè)預(yù)留2.5%面積的臨界值 找到下側(cè)預(yù)留2.5%面積的臨界值 利用計(jì)算公式，得到結(jié)果 雖然我們計(jì)算出置信區(qū)間，但是1）N =25比較少，2）樣本和正態(tài)有一定差距；所以結(jié)果存在誤差，要有一定懷疑態(tài)度 課堂練習(xí)：計(jì)算課堂練習(xí)：計(jì)算99%置信區(qū)間下的方差置信區(qū)間下的方差Spss實(shí)現(xiàn) 似乎Spss并無總體方差的估計(jì)命令，需要自己編寫小程序7.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)動機(jī) 比較藥物A、B的療效。 有30位患者服用藥物A，30位患者服用藥物B。經(jīng)過一段時間，比較治療效果。 問題：哪種藥

9、物更有效？ 分析：藥物、隨機(jī)因素（病人體質(zhì)、日常飲食）都會影響治療效果，必須從統(tǒng)計(jì)上排除隨機(jī)因素的影響，才能證明藥物有效。兩總體檢驗(yàn)的分類 1）獨(dú)立樣本獨(dú)立樣本大樣本大樣本 2）獨(dú)立樣本小樣本（兩個總體為正態(tài)） 總體方差已知（不現(xiàn)實(shí)） 總體方差未知且相等總體方差未知且相等 總體方差未知總體方差未知且不等且不等 3）匹配樣本（兩個總體配對差為正態(tài)） 大樣本 小樣本小樣本 1.兩個總體均值之差的估計(jì)：獨(dú)立樣本獨(dú)立樣本如果兩個樣本是從兩個總體中獨(dú)立抽取的，即一個樣本中的元素與另一個樣本中的元素相互獨(dú)立，則稱為獨(dú)立樣本匹配樣本匹配樣本：姐妹兩人，一人服用藥品A，一人服用藥品B。獨(dú)立樣本獨(dú)立樣本：隨機(jī)找

10、兩個人，一人服用藥品A，一人服用藥品B。Ex7.6某地區(qū)教育管理部門想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所學(xué)校獨(dú)立抽取兩個隨機(jī)樣本，數(shù)據(jù)如下：121212463386785.87.2nnxxss建立兩所學(xué)校高考英語平均分之差95%的置信區(qū)間221212212220.0255.87.28678463381.96 1.52ssxxznnz （2）小樣本的估計(jì)小樣本的估計(jì)在兩個樣本都是小樣本的情況下，為估計(jì)兩個總體的均值之差，需要做出以下假定兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體都服從正態(tài)分布兩個隨機(jī)樣本獨(dú)立的分別抽自兩個總體兩個隨機(jī)樣本獨(dú)立的分別抽自兩個總體則兩個樣本均值之差必定服從正態(tài)

11、分布 1）總體方差已知沿用前文方法沿用前文方法-略略使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Z兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為 2）總體方差未知但相等總體方差未知但相等使用 t 統(tǒng)計(jì)量，結(jié)合兩個總體計(jì)算方差結(jié)合兩個總體計(jì)算方差兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為12121212211pxxtt nnsnn221122212112pnsnssnn 兩點(diǎn)注意： 1）計(jì)算sp時，分母-2，并非-1. 2）根號內(nèi)不是傳統(tǒng)寫法，如果按傳統(tǒng)寫法，應(yīng)為1/（n1+n2） Ex7.7 有兩種組裝產(chǎn)品的方法，其速度或許有差異。為每一種方法安排12個工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品的時間見ex7.7?，F(xiàn)假

12、定兩種方法組裝的時間服從正態(tài)分布（總體正態(tài)），且方差相等，計(jì)算其95%置信區(qū)間。 列出所有已知條件，按公式計(jì)算 重慶富士康員工罷工抗議 因加班少工資減少 3）當(dāng)兩個總體方差未知且不相等兩個總體方差未知且不相等使用的統(tǒng)計(jì)量為2221212222211221112ssnnvsnsnnn兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為221212212( )ssxxtvnn 點(diǎn)評： 1）方差不等的含義是，兩個總體的波動程度可能有差異。 2）此時，根號內(nèi)兩者的方差分開計(jì)算 3）自由度的計(jì)算結(jié)果可能是分?jǐn)?shù)，此時需要四舍五入為整數(shù) Ex7.8 問題與前文相似。有兩種組裝產(chǎn)品的方法，其速度或許有差異。方

13、法1安排12個工人，方法2安排8個工人。每個工人組裝一件產(chǎn)品的時間見ex7.8?，F(xiàn)假定兩種方法組裝的時間服從正態(tài)分布（總體正態(tài)），且方差不一定相等，計(jì)算其95%置信區(qū)間。Spss實(shí)現(xiàn)獨(dú)立樣本t檢驗(yàn) Ex7.8 1）原始數(shù)據(jù)的格式不適合做t檢驗(yàn)，運(yùn)用菜單-數(shù)據(jù)-重組功能，改變數(shù)據(jù)形狀。處理好的文件見ex7_8b（索引為1代表屬于第一組，具體數(shù)據(jù)見第三列，id變量不重要） 2）菜單菜單-分析分析-比較均值比較均值-獨(dú)立樣本獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。（同時進(jìn)行方差相等和不等的檢驗(yàn)，指定分組變量后需定義如何分組需定義如何分組） 如果我們假定方差相等，并且這一假定是合理的，可以提高檢驗(yàn)效果 如果不合理，會導(dǎo)

14、致檢驗(yàn)出現(xiàn)偏差 課堂練習(xí)：7.20 Case1：假定兩總體方差相等 Case2：假定兩總體方差不相等匹配樣本匹配樣本動機(jī) 孿生姐妹，姐姐用方法A學(xué)習(xí)英語、妹妹用方法B學(xué)習(xí)英語 由于姐妹能力相當(dāng)，這類試驗(yàn)可以比較出A、B的差異，排除學(xué)生能力的影響 與獨(dú)立樣本相比，匹配樣本可以在樣本量很小的情況下達(dá)到很高精度 許多心理學(xué)、醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)都采取此方法 重點(diǎn)了解小樣本的操作方法重點(diǎn)了解小樣本的操作方法 2.兩個總體均值之差的估計(jì)：匹配樣本匹配樣本：一個樣本中的數(shù)據(jù)與另一個樣本中的數(shù)據(jù)相對應(yīng)，可以消除樣本指定的不公平 ex7.9，10名學(xué)生采用A、 B試卷考試，結(jié)果如data file所示。問題：建立兩套試卷

15、的平均分之差的95%置信區(qū)間（比較兩套試題的難度） Solution：由于樣本較小，在假定總體正態(tài)的前提下，用t統(tǒng)計(jì)量比較好 Spss實(shí)現(xiàn)：菜單-分析-比較均值-獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)課堂練習(xí) 7.24（匹配樣本） 7.3.2 兩個總體比例之差的區(qū)間估計(jì)（略）1. 假定條件兩個總體是獨(dú)立的兩個總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似2.兩個總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為 【例例】某飲料公司對其所做的報(bào)紙廣告在兩個城市的效果進(jìn)行了比較，它們從兩個城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個成年人，其中看過廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過廣告的比例之差的95%的置

16、信區(qū)間。P1- P2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知 p1=0.18， p2=0.14，1-=0.95， n1= n2=1000我們有95%的把握估計(jì)兩城市成年人中看過該廣告的比例之差在0.79% 7.21%之間 7.3.3兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)（略）【例例】用某一特定工序生產(chǎn)的一批化工產(chǎn)品中的雜質(zhì)含量的變異依賴于操作過程中處理的時間長度。某生產(chǎn)商擁有兩條生產(chǎn)線，為了降低產(chǎn)品中雜質(zhì)平均數(shù)量的同時降低雜質(zhì)的變異，對兩條生產(chǎn)線進(jìn)行了很小的調(diào)整，研究這種調(diào)整是否確能達(dá)到目的。為此從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的兩批產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了25個樣品，它們的均值和方差為 x1=3.2 ，S12 =1.04 x2=

17、3.0 ， S22 =0.51試確定兩總體方差比 12/ 12的90%的置信區(qū)間。解:已知 x1=3.2，S12 =1.04x2=3.0，S22 =1.04 F1-/2 (24, 24) =F0.95 =1.98 F/2 (24, 24) =F0.05=0.5112/22置信度為90%的置信區(qū)間為 樣本量的樣本量的確定確定 在設(shè)計(jì)抽樣調(diào)查之前，首先要做的一件事是做預(yù)算、確定抽樣調(diào)查的樣本數(shù)。7.4樣本量的確定樣本量的確定7.4樣本量的確定樣本量的確定 7.4.1 估計(jì)總體均值時樣本量的確定1.根據(jù)均值區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為2.樣本容量n與總體方差2、允許誤差允許誤差E、可靠性系數(shù)Z之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比其中： 【例】欲估計(jì)某大學(xué)