選修4-4橢圓的參數(shù)方程

1、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連為大圓上的任意一點(diǎn)，連接接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程軌跡的參數(shù)方程. OAMxyNB分析：設(shè)分析：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)點(diǎn)點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)與M點(diǎn)的橫坐點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同標(biāo)相同,點(diǎn)點(diǎn)B 的縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同相同. 而而A、B的

2、坐標(biāo)可以通過的坐標(biāo)可以通過引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系.OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由此由此:即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M軌跡的軌跡的參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax( 為 參 數(shù))消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M軌跡的軌跡的普通普通方程方程. . 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連為大圓上的任意一點(diǎn)，連接接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作ANox，垂

3、足為，垂足為N，過點(diǎn)過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓是橢圓 的參數(shù)方程的參數(shù)方程.cosxasinyb2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢分別是橢圓的長半軸長和短半軸長圓的長半軸長和短半軸長. ab 另外另外 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 的取值的取值范圍是范圍是0, 2)cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸cos ,sin .x bYya焦點(diǎn)在 軸( 為 參 數(shù))y ya aa ab b22221 （ .0)xbOAMxyNB歸納

4、比較歸納比較橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :12222byax橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :)(sinbycosa為為參參數(shù)數(shù) xxyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2)(sinycos為為參參數(shù)數(shù) rrx的幾何意義是的幾何意義是AOP=，是旋轉(zhuǎn)角，是旋轉(zhuǎn)角PA橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.稱離心角稱離心角【練習(xí)【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(

5、4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx練習(xí)練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是參數(shù)是參數(shù)) ，則此橢圓的長軸長為（，則此橢圓的長軸長為（ ），），短軸長為（短軸長為（ ），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ），），離心率是（離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使使M到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1平移直線平移直線 l 至首次

6、與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.22204936xymxy000,M(,)消元，利用，求出進(jìn)而求得切點(diǎn) mxyM M設(shè) (3 cos,2 sin)是橢圓上任一點(diǎn).|3cos4sin -10|5d則小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決.例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.分析分析23cos()2sinxy橢圓參數(shù)方程為：為參數(shù)34|

7、5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中滿足05d當(dāng)=0時(shí), 取最小值，0098coscos,2sin2sin55此時(shí)339 8M( , )210055 5Mxy時(shí)，點(diǎn)與直線的距離取最小值。例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內(nèi)接矩形求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值面積的最大值.22221(0)xyabab解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形當(dāng)時(shí)，最大。所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab.2sin 2ab2ab例

8、例3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:解 由橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P(3cos ,2sin )PAB即求點(diǎn) 到直線的距離的最大值。,ABCABPS面積一定需求 S最大即可132xy直線AB的方程為：22| cossin6|23d6662 sin()1413,d當(dāng) =時(shí)有最大值 面積最大.43 22P這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)2360 xy練習(xí)練習(xí)1、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值

9、和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線直線 D. 線段線段B設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sin設(shè) xy236cos6sinxy6 2sin()4(3cos ,2sin ). (2,3). (3,0). (1,3). (0,)23、當(dāng)參數(shù) 變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所確定的曲線必過點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn)PABCD它的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5練習(xí)練習(xí)317cos()_,8sin2_.4.橢圓為參數(shù) 的中心坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為xy(3, 2)289315x 小結(jié)小結(jié)（