二自由度系統(tǒng)振動的理論.

1、第三章第三章 二自由度系統(tǒng)振動的理論二自由度系統(tǒng)振動的理論目的要求：1、掌握振動方程的一般形式及其矩陣表達式；質量矩陣的求解；2、掌握無阻尼二自由度系統(tǒng)自由振動的通解、固有頻率和主振型的求解。 很多生產實際中的問題都可以簡化為兩自由度的振動系統(tǒng)。 舉例： 車床刀架系統(tǒng)(a)、車床兩頂尖間的工件系統(tǒng)（b）、磨床主軸及砂輪架系統(tǒng)（c），只要將這些系統(tǒng)中的主要結合面（或芯軸）視為彈簧（即只計彈性，忽略質量），將系統(tǒng)中的小刀架、工件、砂輪及砂輪架等視為集中質量，再忽略存在于系統(tǒng)中的阻尼，就可以把這些系統(tǒng)近似簡化成圖（d）所示的兩自由度振動系統(tǒng)的動力學模型。3.1 二二自由度系統(tǒng)的基本概念自由度系統(tǒng)的基

2、本概念 二自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)。無論是模型的簡化、振動微分方程的建立和求解的一般方法、以及系統(tǒng)響應表現(xiàn)出來的振動特性，兩自由度系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)并沒有本質區(qū)別，因此研究二自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動特性的基礎。 二自由度系統(tǒng)具有兩個不同數(shù)值的固有頻率（特殊情況下二者可能相等，或者其中之一為零）。 當系統(tǒng)按其中任意一個固有頻率自由振動時，稱為主振動。主振動是簡諧振動。 系統(tǒng)作主振動時，任何瞬時各點位移之間具有一定的相對比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主振型。 主振型和固有頻率只取決于系統(tǒng)本身的物理性質，與初始條件無關。主振型是一切多自由度系統(tǒng)以及連續(xù)系統(tǒng)的重要特性。

3、 二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的響應是兩個主振動的疊加，只有在特殊初始條件下，才按某一固有頻率作主振動。 系統(tǒng)對于簡諧激振的響應是頻率與激振頻率相同的簡諧振動。振幅同樣與系統(tǒng)固有頻率和激振頻率的比值有關。當激振頻率接近于系統(tǒng)的任一固有頻率時，就發(fā)生共振。共振時的振型是與固有頻率相對應的主振型。 二自由度系統(tǒng)的振動微分方程一般包括兩個互相耦合的二階常微分方程組，二自由度系統(tǒng)的運動形態(tài)要由兩個獨立的坐標確定。 建立振動微分方程最常用的方法有：牛頓第二定律法、動靜法、拉格朗日法等。3.2 3.2 二自由度系統(tǒng)振動方程二自由度系統(tǒng)振動方程 建立運動微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣, 但難度更大。3

4、.2.1 作用力方程的一般形式及其矩陣表達式作用力方程的一般形式及其矩陣表達式 在工程中有許多實際系統(tǒng)都可以簡化為如下圖所示的力學模型圖。標準的m-k-c系統(tǒng)，質體 和 用彈簧 聯(lián)系，而它們與基礎分別用彈簧 和 聯(lián)系。假定兩質體只沿鉛垂方向做往復直線運動，兩質體的任一瞬時位置只要用 和 兩個獨立的坐標就可以確定。因此，系統(tǒng)具有兩個自由度。1m2m2k1k3k1x2x坐標原點仍取在靜平衡位置二自由度系統(tǒng)作用力方程的一般形式：一般矩陣形式：)()tFxKxCxM 由此可得：1 111 11 1( )m xF tk xc x212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212

5、212()()kxxc xx矩陣表達式矩陣表達式中：中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk21xxx)()()(21tFtFtFM稱為系統(tǒng)的質量矩陣，K稱為剛度矩陣，C稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激力列陣。 對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可得到相應的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣M、 K、 C的非對角線元素不為0，所以振動微分方程是互相耦合的非獨立方程。)()tFxKxCxM 剛度矩陣K中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其 的力學意義是：僅在j坐標處產生單位廣義位移，

6、系統(tǒng)平衡時需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設j坐標處的位移為1，其它各坐標的位移均為0。 ijk 質量矩陣M中的元素稱為慣性（質量）影響系數(shù)，其 的力學意義是：僅在j坐標處產生單位廣義加速度，需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設j坐標處的加速度為1，其它各坐標的加速度均為0。ijm質量矩陣的求解質量矩陣的求解 對如下圖所示的系統(tǒng)，質量為m的剛性桿，由剛度為 的彈簧分別之于A點和D點。A點支座的約束只允許剛性桿在x-y平面內運動，而限制沿x軸方向的平動。C點為剛性桿的質心， 表示繞通過C點z軸（垂直于紙面，未標出）的轉動慣量。B點是滿足 的特殊點，如果在B點作用有沿y軸方向

7、的力，系統(tǒng)產生平動而無轉動。如果在B點作用有力矩，系統(tǒng)只產生轉動而無平動。求出質量矩陣 。ijM12kk 和CJ1 42 5k lk l圖3.2 無阻尼二自由度系統(tǒng)圖3.3 建立系統(tǒng)質量矩陣示意圖 這里的 為質量矩陣的第i行第j列元素，稱為慣性影響系數(shù)（質量影響系數(shù)）。 解：將圖3.2中的A點當做剛性桿運動的參考點，為了更直觀些，將加速度如同位移那樣畫出，A點處箭頭上的雙斜線表示單位加速度所需要的作用力。 如圖3.3a所示，當 時，由動力平衡條件得出慣性影響系數(shù) 。根據圖3.3b可求出，當 時 于是可得系統(tǒng)的質量矩陣M為： ijM.10Ay而.10Ay而11211,Mm Mml2211221,

8、CMml MmlJ1211CmmlMmlmlJ3.2.2 位移方程的一般形式及其矩陣表達式位移方程的一般形式及其矩陣表達式（標準（標準m-k-c振動系統(tǒng)）振動系統(tǒng)） 以柔度矩陣表示的方程為位移方程。 對標準m-k-c振動系統(tǒng)，質量 和 上的靜位移可以表示為 =RF，而系統(tǒng)的動位移為11 11 121222232212() ()Fm xc xc xxxRFm xc xc xx)(xCxMFR 這就是系統(tǒng)振動方程的位移形式。stx1m2m 柔度意為彈簧受單位作用力而產生的變形。 柔度影響系數(shù) 的力學意義是：在j坐標處作用單位廣義力，引起i坐標處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R

9、。 由材料力學的位移互等定理可知 ，即柔度矩陣是對稱的。 彈簧剛度與彈簧柔度具有互為倒數(shù)的關系。ijRijjiRR 因為R為正定矩陣，于是位移方程又可寫為1xCxMFxR 與力形式的方程比較可知 ， 即對于正定系統(tǒng)R和K互為逆矩陣。1 KR1 RK3.2.3 用拉格朗日方程建立振動系統(tǒng)的運動微分方用拉格朗日方程建立振動系統(tǒng)的運動微分方程程 對于非標準的m-k-c多自由度振動系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動力學方法建立運動微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格朗日方程為：拉格朗日方程拉格朗日方程iiiidTTVQdtxxx1kikkkkkiirQFFrxx 其中：T為系統(tǒng)的動能，V為勢能，

10、為非有勢力的廣義力， 為與非有勢廣義力 對應的廣義虛位移。 實際計算廣義力 時，通常假設與 對應的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。（i1，2）iQiQixkdrkF【例】用拉格郎日方程推導兩自由度m-k-c系統(tǒng)微振動微分方程。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置。 221 1221()2Tm xm x靜平衡位置：2222111121222223233112211()()221()2Vkxkxxkxm gxm gx2221 121232111()222Vk xkxxk x1 1122,km gk22233km gk則：1 11 11()dTdm xm xdtxdt22222()dTd

11、m xm xdtxdt10Tx20Tx1 1212121221()()Vk xkxxkkxk xx21232213222()()Vkxxk xk xkkxx 計算廣義力，設m1產生虛位移 ，而 0，則 111 11212111112122()()F xc xxcxxxQxFccxc x同樣設 產生虛位移 ，而 0，則 22322221222232221()()Fxc xxc xxxQxFcc xc x1dx2dx2m1dx2dx代入拉格朗日方程 1 1121221121220()()m xkkxk xFccxc x得得iiiidTTVQdtxxx22213222322210()()m xk x

12、kkxFccxc x整理寫成矩陣形式即可。 3.3 3.3 彈性耦聯(lián)和慣性耦聯(lián)彈性耦聯(lián)和慣性耦聯(lián) 通過彈性項耦聯(lián)的方程組稱為彈性耦聯(lián)或靜力耦聯(lián)。 通過慣性項耦聯(lián)的方程組稱為慣性耦聯(lián)或動力耦聯(lián)。 耦聯(lián)使方程組求解復雜化。 如圖3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)，以A點的平動 和剛體繞A點的轉動 為系統(tǒng)的位移坐標，如圖3.4所示 AyA圖3.4 圖3.4中給出在A點處作用的力 與力矩 ，以及A點 和D點的彈性力與C處的慣性力。 如果將慣性力加在剛性自由體上，可以認為該自由體處于動平衡狀態(tài)。于是運用達倫培爾原理，得出兩個平衡方程并加以整理，則得：aFaM.1122()AAAAAm ymlkkyk lF.221

13、122()ACAAAAml ymlJk lyk lM.112222.1122AAACAAAyyFmmlkkkmlmlJk lk l其矩陣形式為： 在矩陣形式的方程式中，質量矩陣和剛度矩陣的非對角元素都不為零，既出現(xiàn)慣性耦聯(lián)又出現(xiàn)彈性耦聯(lián)，前者表明兩個加速度彼此并非獨立，就是說系統(tǒng)在動力上或質量上是耦聯(lián)的。后者則說明一個位移不僅引起對應于自身的反力，而且引起對應其他位移的力，系統(tǒng)在靜力上或剛度上是耦聯(lián)的。 方程組的耦聯(lián)取決于所選用的坐標，而不是取決于系統(tǒng)本身的特性。由此推論，只要位移坐標選取得適當，總可以使系統(tǒng)既無慣性耦聯(lián)又無彈性耦聯(lián)，這樣使振動方程彼此獨立，給求解多自由度系統(tǒng)振動帶來很大的方便

14、。這樣的坐標稱為固有坐標或主坐標。自由振動微分方程組為：m xkkxk xm xk xk x111212222212200()m xk xkxxm xkxx111122122221()() 取兩物體為研究對象，物體離開其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如圖示，由牛頓第二定律得 兩自由度的彈簧質量系統(tǒng)。兩物體均作直線平移，略去摩擦力及其它阻尼。5.1.1 運動微分方程3.4 3.4 無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動mmxxkkkkkxx121212222120000 MxKx 0Mmmmm11122122質量矩陣 Kkkkk11122122剛度矩陣mij質

15、量影響系數(shù)kij剛度影響系數(shù) xxx12 xxx12加速度列陣 坐標列陣5.1.1 運動微分方程根據微分方程的理論，設方程的解為1122sin()sin()xAtxAt 1122sinsinxAtaxAxAta這組解可寫成的矩陣形式：加速度矩陣為： 20KMA211111122221222200AkmkAkkm 代入微分方程后，化簡可得代數(shù)齊次方程組 2()KM A05.1.2 頻率方程 112222sinsinxAtaxAxAta 211111122221222200AkmkAkkm 20KM211111221222220kmkkkm 要使系統(tǒng)的振幅A1和A2有非零解，其方程的系數(shù)行列式等于

16、零 。即這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也稱系統(tǒng)的特征方程。 5.1.2 頻率方程 22111122221221()()0kmkmk k42()0adadbc221,2()22adadadbc222adadbc則特征方程可改寫為：這就是特征方程的兩組特征根。特征根2122正值2da 小于是兩個大于零的不相等的正實根5.1.2 頻率方程 引入記號 akmbkmckmdkm1111121121222222,24221122112222 111122120m mm km kk kk令： w1、w2就是系統(tǒng)的自由振動頻率，即固有頻率。較低的頻率w1稱為第一階固有頻率(或稱基頻)；較高的頻率w2稱為第二階

17、固有頻率。由式看出，固有頻率w1、w2與運動的初始條件無關，僅與振動系統(tǒng)固有頻率的物理特性，即物體的質量、彈性元件的剛度有關。 系統(tǒng)以某一固有頻率按其相應的主振型做振動，稱為系統(tǒng)的主振動。在振動過程中各點位移的相對比值都可由振幅比確定，也就是說振幅比決定了整個系統(tǒng)的振動形態(tài)，因此稱為主振型。5.1.2 頻率方程 111111112211sin()sin()xAtxAt第一主振動 221122222222sin()sin()xAtxAt第二主振動 將第一固有頻率w1代入1122sin()sin()xAtxAt5.1.3 主振型 40振幅比 222222221AacbdA第二主振型 1221121

18、11AacbdA第一主振型5.1.3 主振型 211111122221222200AkmkAkkm 由 (1)2211111211(1)211222122(2)2211211212(2)211222222AkmkAkkmAkmkAkkm系統(tǒng)作主振動時，任意瞬時的位移比和其振幅比相同，即2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx這表明，在振動過程中，振幅比決定了整個系統(tǒng)的相對位置。 將w1、w2之值代入，得022102212221bcdadabbcdadab這表明，在第一主振動中，質量m1與m2沿同一方向運動；在第二主振動中m1、m2的運動方向則是相反的。系統(tǒng)作主振動時，各點同時經過平衡位置

19、，同時到達最遠位置，以與固有頻率對應的主振型作簡諧振動。 5.1.3 主振型 根據微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程的通解，是它的兩個主振動的線性組合，即(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)222211222( )sin()sin()( )sin()sin()x txxAtAtx txxAtAt(1)(2)1111122(1)(2)222sin()sin()xAAttxAA(1)(2)11111(1)(2)22222sin()sin()xtAAxtAA 21)2(1) 1 (1,AA由運動的初始條件確定。寫成矩陣形式5.1.3 主振型 435.1.4 無

20、阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應 四、無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應 系統(tǒng)在任意時刻所作的運動是第一階主振動和第二階主振動的疊加，是兩個不同頻率簡諧振動的疊加，即：(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)222211222( )sin()sin()( )sin()sin()x txxAtAtx txxAtAt當t=0時，系統(tǒng)的初始條件為：)0(),0(),0(),0(220110220110 xxxxxxxx2)2(21)1 (22202)2(11)1 (1110sinsin)0(sinsin)0(AAxxAAxx)2(sinsin) 1 (sinsin)0(2)2(121)1

21、(11202)2(11)1 (1110AvAvxAAxx同理，可得系統(tǒng)的初始速度為：(1)(2)10111212(1)(2)20121222coscoscoscosxAAxAA(1)(2)10111212(1)(2)2011112212coscos(3)coscos(4)xAAxvAvA445.1.4 無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應 對（1）式v2-(2)式，得：1)1(11220102sin)(Avvxxv對（3）式v2-(4)式，得：1)1(111220102cos)(Apvvxxv (1)222102021020121211()()v xxv xxAvvvv同理，可得：(2)22110201

22、1020112121()()v xxv xxAvvvv當00)1(12010220102Axxvxxv時，即：0)1 (1210201020Avxxxx時，此時系統(tǒng)做二階主振動。即：0)1 (2110201020Avxxxx時，此時系統(tǒng)做一階主振動。例 題k3 x2 例 試求圖示兩個自由度系統(tǒng)振動的固有頻率和主振型。已知各彈簧的彈簧常量k1k2k3k，物體的質量m1m，m22m。 分別以兩物體的平衡位置為坐標原點，取兩物體離開其平衡位置的距離x1、x2為廣義坐標，兩物體沿x方向的受力如圖示，它們的運動微分方程分別為022022122111kxkxxmkxkxxm 解：（1）建立運動微分方程式例

23、 題00222002121xxkkkkxxmm mm200M質量矩陣剛度矩陣222222022(2)(22)0kmkkkmkmkmk將M和K代入頻率方程，得kkkk22K（2）解頻率方程，求wi47例 題系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為：210.634km10.6340.796kkmm22.366 .1.538kkmm222.366km24222m630mkk222221,226364 2m34mmkm kk 例 題將 、 分別代入，得2122(1)2221111111(1)112210.732AkmkmAkk (2)2221121122(2)112212.732AkmkmAkk 732. 01) 1 (1) 1 (2) 1 (AAA（3）求主振型主振型為732. 21)2(1)2(2)2(AAA節(jié)點49例 題732. 01) 1 (1) 1 (2) 1 (AAA（4）振型圖主振型為732. 21)2(1)2(2)2(AAA節(jié)點 振型圖的物理意義： 1、橫坐標表示系統(tǒng)各點的靜平衡位置，縱坐標表示各點的 振幅比； 2、第二振