二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論.

1、第三章第三章 二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論目的要求：1、掌握振動(dòng)方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式；質(zhì)量矩陣的求解；2、掌握無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的通解、固有頻率和主振型的求解。 很多生產(chǎn)實(shí)際中的問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。 舉例： 車床刀架系統(tǒng)(a)、車床兩頂尖間的工件系統(tǒng)（b）、磨床主軸及砂輪架系統(tǒng)（c），只要將這些系統(tǒng)中的主要結(jié)合面（或芯軸）視為彈簧（即只計(jì)彈性，忽略質(zhì)量），將系統(tǒng)中的小刀架、工件、砂輪及砂輪架等視為集中質(zhì)量，再忽略存在于系統(tǒng)中的阻尼，就可以把這些系統(tǒng)近似簡(jiǎn)化成圖（d）所示的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。3.1 二二自由度系統(tǒng)的基本概念自由度系統(tǒng)的基

2、本概念 二自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)。無(wú)論是模型的簡(jiǎn)化、振動(dòng)微分方程的建立和求解的一般方法、以及系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出來(lái)的振動(dòng)特性，兩自由度系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)并沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，因此研究二自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性的基礎(chǔ)。 二自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)不同數(shù)值的固有頻率（特殊情況下二者可能相等，或者其中之一為零）。 當(dāng)系統(tǒng)按其中任意一個(gè)固有頻率自由振動(dòng)時(shí)，稱為主振動(dòng)。主振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任何瞬時(shí)各點(diǎn)位移之間具有一定的相對(duì)比值，即整個(gè)系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)，稱為主振型。 主振型和固有頻率只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，與初始條件無(wú)關(guān)。主振型是一切多自由度系統(tǒng)以及連續(xù)系統(tǒng)的重要特性。

3、 二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的響應(yīng)是兩個(gè)主振動(dòng)的疊加，只有在特殊初始條件下，才按某一固有頻率作主振動(dòng)。 系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激振的響應(yīng)是頻率與激振頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振幅同樣與系統(tǒng)固有頻率和激振頻率的比值有關(guān)。當(dāng)激振頻率接近于系統(tǒng)的任一固有頻率時(shí)，就發(fā)生共振。共振時(shí)的振型是與固有頻率相對(duì)應(yīng)的主振型。 二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程一般包括兩個(gè)互相耦合的二階常微分方程組，二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)要由兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)確定。 建立振動(dòng)微分方程最常用的方法有：牛頓第二定律法、動(dòng)靜法、拉格朗日法等。3.2 3.2 二自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程二自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程 建立運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣, 但難度更大。3

4、.2.1 作用力方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式作用力方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式 在工程中有許多實(shí)際系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為如下圖所示的力學(xué)模型圖。標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c系統(tǒng)，質(zhì)體 和 用彈簧 聯(lián)系，而它們與基礎(chǔ)分別用彈簧 和 聯(lián)系。假定兩質(zhì)體只沿鉛垂方向做往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，兩質(zhì)體的任一瞬時(shí)位置只要用 和 兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)就可以確定。因此，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。1m2m2k1k3k1x2x坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置二自由度系統(tǒng)作用力方程的一般形式：一般矩陣形式：)()tFxKxCxM 由此可得：1 111 11 1( )m xF tk xc x212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212

5、212()()kxxc xx矩陣表達(dá)式矩陣表達(dá)式中：中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk21xxx)()()(21tFtFtFM稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K稱為剛度矩陣，C稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激力列陣。 對(duì)于其它形式的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣M、 K、 C的非對(duì)角線元素不為0，所以振動(dòng)微分方程是互相耦合的非獨(dú)立方程。)()tFxKxCxM 剛度矩陣K中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其 的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義位移，

6、系統(tǒng)平衡時(shí)需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。 具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的位移為1，其它各坐標(biāo)的位移均為0。 ijk 質(zhì)量矩陣M中的元素稱為慣性（質(zhì)量）影響系數(shù)，其 的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。 具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的加速度為1，其它各坐標(biāo)的加速度均為0。ijm質(zhì)量矩陣的求解質(zhì)量矩陣的求解 對(duì)如下圖所示的系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛性桿，由剛度為 的彈簧分別之于A點(diǎn)和D點(diǎn)。A點(diǎn)支座的約束只允許剛性桿在x-y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，而限制沿x軸方向的平動(dòng)。C點(diǎn)為剛性桿的質(zhì)心， 表示繞通過(guò)C點(diǎn)z軸（垂直于紙面，未標(biāo)出）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。B點(diǎn)是滿足 的特殊點(diǎn)，如果在B點(diǎn)作用有沿y軸方向

7、的力，系統(tǒng)產(chǎn)生平動(dòng)而無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)。如果在B點(diǎn)作用有力矩，系統(tǒng)只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)而無(wú)平動(dòng)。求出質(zhì)量矩陣 。ijM12kk 和CJ1 42 5k lk l圖3.2 無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)圖3.3 建立系統(tǒng)質(zhì)量矩陣示意圖 這里的 為質(zhì)量矩陣的第i行第j列元素，稱為慣性影響系數(shù)（質(zhì)量影響系數(shù)）。 解：將圖3.2中的A點(diǎn)當(dāng)做剛性桿運(yùn)動(dòng)的參考點(diǎn)，為了更直觀些，將加速度如同位移那樣畫(huà)出，A點(diǎn)處箭頭上的雙斜線表示單位加速度所需要的作用力。 如圖3.3a所示，當(dāng) 時(shí)，由動(dòng)力平衡條件得出慣性影響系數(shù) 。根據(jù)圖3.3b可求出，當(dāng) 時(shí) 于是可得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M為： ijM.10Ay而.10Ay而11211,Mm Mml2211221,

8、CMml MmlJ1211CmmlMmlmlJ3.2.2 位移方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式位移方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)m-k-c振動(dòng)系統(tǒng)）振動(dòng)系統(tǒng)） 以柔度矩陣表示的方程為位移方程。 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)m-k-c振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量 和 上的靜位移可以表示為 =RF，而系統(tǒng)的動(dòng)位移為11 11 121222232212() ()Fm xc xc xxxRFm xc xc xx)(xCxMFR 這就是系統(tǒng)振動(dòng)方程的位移形式。stx1m2m 柔度意為彈簧受單位作用力而產(chǎn)生的變形。 柔度影響系數(shù) 的力學(xué)意義是：在j坐標(biāo)處作用單位廣義力，引起i坐標(biāo)處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R

9、。 由材料力學(xué)的位移互等定理可知 ，即柔度矩陣是對(duì)稱的。 彈簧剛度與彈簧柔度具有互為倒數(shù)的關(guān)系。ijRijjiRR 因?yàn)镽為正定矩陣，于是位移方程又可寫(xiě)為1xCxMFxR 與力形式的方程比較可知 ， 即對(duì)于正定系統(tǒng)R和K互為逆矩陣。1 KR1 RK3.2.3 用拉格朗日方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方用拉格朗日方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程程 對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方法建立運(yùn)動(dòng)微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格朗日方程為：拉格朗日方程拉格朗日方程iiiidTTVQdtxxx1kikkkkkiirQFFrxx 其中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為勢(shì)能，

10、為非有勢(shì)力的廣義力， 為與非有勢(shì)廣義力 對(duì)應(yīng)的廣義虛位移。 實(shí)際計(jì)算廣義力 時(shí)，通常假設(shè)與 對(duì)應(yīng)的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。（i1，2）iQiQixkdrkF【例】用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度m-k-c系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置。 221 1221()2Tm xm x靜平衡位置：2222111121222223233112211()()221()2Vkxkxxkxm gxm gx2221 121232111()222Vk xkxxk x1 1122,km gk22233km gk則：1 11 11()dTdm xm xdtxdt22222()dTd

11、m xm xdtxdt10Tx20Tx1 1212121221()()Vk xkxxkkxk xx21232213222()()Vkxxk xk xkkxx 計(jì)算廣義力，設(shè)m1產(chǎn)生虛位移 ，而 0，則 111 11212111112122()()F xc xxcxxxQxFccxc x同樣設(shè) 產(chǎn)生虛位移 ，而 0，則 22322221222232221()()Fxc xxc xxxQxFcc xc x1dx2dx2m1dx2dx代入拉格朗日方程 1 1121221121220()()m xkkxk xFccxc x得得iiiidTTVQdtxxx22213222322210()()m xk x

12、kkxFccxc x整理寫(xiě)成矩陣形式即可。 3.3 3.3 彈性耦聯(lián)和慣性耦聯(lián)彈性耦聯(lián)和慣性耦聯(lián) 通過(guò)彈性項(xiàng)耦聯(lián)的方程組稱為彈性耦聯(lián)或靜力耦聯(lián)。 通過(guò)慣性項(xiàng)耦聯(lián)的方程組稱為慣性耦聯(lián)或動(dòng)力耦聯(lián)。 耦聯(lián)使方程組求解復(fù)雜化。 如圖3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)，以A點(diǎn)的平動(dòng) 和剛體繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 為系統(tǒng)的位移坐標(biāo)，如圖3.4所示 AyA圖3.4 圖3.4中給出在A點(diǎn)處作用的力 與力矩 ，以及A點(diǎn) 和D點(diǎn)的彈性力與C處的慣性力。 如果將慣性力加在剛性自由體上，可以認(rèn)為該自由體處于動(dòng)平衡狀態(tài)。于是運(yùn)用達(dá)倫培爾原理，得出兩個(gè)平衡方程并加以整理，則得：aFaM.1122()AAAAAm ymlkkyk lF.221

13、122()ACAAAAml ymlJk lyk lM.112222.1122AAACAAAyyFmmlkkkmlmlJk lk l其矩陣形式為： 在矩陣形式的方程式中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的非對(duì)角元素都不為零，既出現(xiàn)慣性耦聯(lián)又出現(xiàn)彈性耦聯(lián)，前者表明兩個(gè)加速度彼此并非獨(dú)立，就是說(shuō)系統(tǒng)在動(dòng)力上或質(zhì)量上是耦聯(lián)的。后者則說(shuō)明一個(gè)位移不僅引起對(duì)應(yīng)于自身的反力，而且引起對(duì)應(yīng)其他位移的力，系統(tǒng)在靜力上或剛度上是耦聯(lián)的。 方程組的耦聯(lián)取決于所選用的坐標(biāo)，而不是取決于系統(tǒng)本身的特性。由此推論，只要位移坐標(biāo)選取得適當(dāng)，總可以使系統(tǒng)既無(wú)慣性耦聯(lián)又無(wú)彈性耦聯(lián)，這樣使振動(dòng)方程彼此獨(dú)立，給求解多自由度系統(tǒng)振動(dòng)帶來(lái)很大的方便

14、。這樣的坐標(biāo)稱為固有坐標(biāo)或主坐標(biāo)。自由振動(dòng)微分方程組為：m xkkxk xm xk xk x111212222212200()m xk xkxxm xkxx111122122221()() 取兩物體為研究對(duì)象，物體離開(kāi)其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如圖示，由牛頓第二定律得 兩自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。兩物體均作直線平移，略去摩擦力及其它阻尼。5.1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程3.4 3.4 無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)mmxxkkkkkxx121212222120000 MxKx 0Mmmmm11122122質(zhì)量矩陣 Kkkkk11122122剛度矩陣mij質(zhì)

15、量影響系數(shù)kij剛度影響系數(shù) xxx12 xxx12加速度列陣 坐標(biāo)列陣5.1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)微分方程的理論，設(shè)方程的解為1122sin()sin()xAtxAt 1122sinsinxAtaxAxAta這組解可寫(xiě)成的矩陣形式：加速度矩陣為： 20KMA211111122221222200AkmkAkkm 代入微分方程后，化簡(jiǎn)可得代數(shù)齊次方程組 2()KM A05.1.2 頻率方程 112222sinsinxAtaxAxAta 211111122221222200AkmkAkkm 20KM211111221222220kmkkkm 要使系統(tǒng)的振幅A1和A2有非零解，其方程的系數(shù)行列式等于

16、零 。即這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也稱系統(tǒng)的特征方程。 5.1.2 頻率方程 22111122221221()()0kmkmk k42()0adadbc221,2()22adadadbc222adadbc則特征方程可改寫(xiě)為：這就是特征方程的兩組特征根。特征根2122正值2da 小于是兩個(gè)大于零的不相等的正實(shí)根5.1.2 頻率方程 引入記號(hào) akmbkmckmdkm1111121121222222,24221122112222 111122120m mm km kk kk令： w1、w2就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率，即固有頻率。較低的頻率w1稱為第一階固有頻率(或稱基頻)；較高的頻率w2稱為第二階

17、固有頻率。由式看出，固有頻率w1、w2與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，僅與振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的物理特性，即物體的質(zhì)量、彈性元件的剛度有關(guān)。 系統(tǒng)以某一固有頻率按其相應(yīng)的主振型做振動(dòng)，稱為系統(tǒng)的主振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中各點(diǎn)位移的相對(duì)比值都可由振幅比確定，也就是說(shuō)振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)，因此稱為主振型。5.1.2 頻率方程 111111112211sin()sin()xAtxAt第一主振動(dòng) 221122222222sin()sin()xAtxAt第二主振動(dòng) 將第一固有頻率w1代入1122sin()sin()xAtxAt5.1.3 主振型 40振幅比 222222221AacbdA第二主振型 1221121

18、11AacbdA第一主振型5.1.3 主振型 211111122221222200AkmkAkkm 由 (1)2211111211(1)211222122(2)2211211212(2)211222222AkmkAkkmAkmkAkkm系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任意瞬時(shí)的位移比和其振幅比相同，即2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx這表明，在振動(dòng)過(guò)程中，振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)位置。 將w1、w2之值代入，得022102212221bcdadabbcdadab這表明，在第一主振動(dòng)中，質(zhì)量m1與m2沿同一方向運(yùn)動(dòng)；在第二主振動(dòng)中m1、m2的運(yùn)動(dòng)方向則是相反的。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)同時(shí)經(jīng)過(guò)平衡位置

19、，同時(shí)到達(dá)最遠(yuǎn)位置，以與固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 5.1.3 主振型 根據(jù)微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的通解，是它的兩個(gè)主振動(dòng)的線性組合，即(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)222211222( )sin()sin()( )sin()sin()x txxAtAtx txxAtAt(1)(2)1111122(1)(2)222sin()sin()xAAttxAA(1)(2)11111(1)(2)22222sin()sin()xtAAxtAA 21)2(1) 1 (1,AA由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。寫(xiě)成矩陣形式5.1.3 主振型 435.1.4 無(wú)

20、阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng) 四、無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng) 系統(tǒng)在任意時(shí)刻所作的運(yùn)動(dòng)是第一階主振動(dòng)和第二階主振動(dòng)的疊加，是兩個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即：(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)222211222( )sin()sin()( )sin()sin()x txxAtAtx txxAtAt當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始條件為：)0(),0(),0(),0(220110220110 xxxxxxxx2)2(21)1 (22202)2(11)1 (1110sinsin)0(sinsin)0(AAxxAAxx)2(sinsin) 1 (sinsin)0(2)2(121)1

21、(11202)2(11)1 (1110AvAvxAAxx同理，可得系統(tǒng)的初始速度為：(1)(2)10111212(1)(2)20121222coscoscoscosxAAxAA(1)(2)10111212(1)(2)2011112212coscos(3)coscos(4)xAAxvAvA445.1.4 無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng) 對(duì)（1）式v2-(2)式，得：1)1(11220102sin)(Avvxxv對(duì)（3）式v2-(4)式，得：1)1(111220102cos)(Apvvxxv (1)222102021020121211()()v xxv xxAvvvv同理，可得：(2)22110201

22、1020112121()()v xxv xxAvvvv當(dāng)00)1(12010220102Axxvxxv時(shí)，即：0)1 (1210201020Avxxxx時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)做二階主振動(dòng)。即：0)1 (2110201020Avxxxx時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)做一階主振動(dòng)。例 題k3 x2 例 試求圖示兩個(gè)自由度系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和主振型。已知各彈簧的彈簧常量k1k2k3k，物體的質(zhì)量m1m，m22m。 分別以兩物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取兩物體離開(kāi)其平衡位置的距離x1、x2為廣義坐標(biāo)，兩物體沿x方向的受力如圖示，它們的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為022022122111kxkxxmkxkxxm 解：（1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程式例

23、 題00222002121xxkkkkxxmm mm200M質(zhì)量矩陣剛度矩陣222222022(2)(22)0kmkkkmkmkmk將M和K代入頻率方程，得kkkk22K（2）解頻率方程，求wi47例 題系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為：210.634km10.6340.796kkmm22.366 .1.538kkmm222.366km24222m630mkk222221,226364 2m34mmkm kk 例 題將 、 分別代入，得2122(1)2221111111(1)112210.732AkmkmAkk (2)2221121122(2)112212.732AkmkmAkk 732. 01) 1 (1) 1 (2) 1 (AAA（3）求主振型主振型為732. 21)2(1)2(2)2(AAA節(jié)點(diǎn)49例 題732. 01) 1 (1) 1 (2) 1 (AAA（4）振型圖主振型為732. 21)2(1)2(2)2(AAA節(jié)點(diǎn) 振型圖的物理意義： 1、橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點(diǎn)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點(diǎn)的 振幅比； 2、第二振