第一章3線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型

1、下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型1第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.4 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立的過程，無論是從實(shí)際物系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立的過程，無論是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)，還是從系統(tǒng)理系統(tǒng)出發(fā)，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)，還是從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)，在狀態(tài)變量的選取微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)，在狀態(tài)變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性，因此會(huì)得出方面都帶有很大的人為的隨意性，因此會(huì)得出不同的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程。不同的系統(tǒng)

2、動(dòng)態(tài)方程。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型2第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 l 實(shí)際物理系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)不可能變化，但實(shí)際物理系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)不可能變化，但不同不同的狀態(tài)變量取法就產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量取法就產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程；l 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效變換，而變換，而等效變換過程就有很大程度上的隨意等效變換過程就有很大程度上的隨意性性，因此會(huì)產(chǎn)生一定程度上的結(jié)構(gòu)差異，這也，因此會(huì)產(chǎn)生一定程度上的結(jié)構(gòu)差異，這也會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)方程差異的產(chǎn)生；會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)方程

3、差異的產(chǎn)生；l 從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題，更是問題，更是會(huì)導(dǎo)致迥然不同的系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的會(huì)導(dǎo)致迥然不同的系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生產(chǎn)生，因而也肯定產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程。，因而也肯定產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程。l同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型3第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1）系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性）系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性為什么要進(jìn)行線性變換？為什么要進(jìn)行

4、線性變換？說明狀態(tài)變量不同，但實(shí)際可以通過線性變說明狀態(tài)變量不同，但實(shí)際可以通過線性變換互相轉(zhuǎn)換；換互相轉(zhuǎn)換； 選擇不同的狀態(tài)變量，會(huì)得到不同的狀態(tài)空選擇不同的狀態(tài)變量，會(huì)得到不同的狀態(tài)空間表達(dá)式。實(shí)質(zhì)上不同的狀態(tài)變量可以通過非間表達(dá)式。實(shí)質(zhì)上不同的狀態(tài)變量可以通過非奇異變換實(shí)現(xiàn)。奇異變換實(shí)現(xiàn)。 交換成標(biāo)準(zhǔn)形式可使后面的研究簡(jiǎn)化。交換成標(biāo)準(zhǔn)形式可使后面的研究簡(jiǎn)化。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型4第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣 ，將原狀，

5、將原狀態(tài)矢量態(tài)矢量 作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量 ，Txz0; (0)xAxBu xxyCxDu 設(shè)給定系統(tǒng)為設(shè)給定系統(tǒng)為: zxTz1T x設(shè)變換關(guān)系為設(shè)變換關(guān)系為: 即即 代入上式，得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式：代入上式，得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式： 0(0)(0)1111zT ATzT Bu;zT xT xyCTzDu下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型5第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式由于由于 為為任意非奇異矩陣任意非奇異矩陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式，故狀態(tài)空間表達(dá)式為為非唯一非唯一的。

6、通常稱的。通常稱 為變換矩陣。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)為變換矩陣。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換的目的在于使行線性變換的目的在于使 陣規(guī)范化，以陣規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。其理論依據(jù)是便于揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。其理論依據(jù)是非奇異變換不會(huì)改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)非奇異變換不會(huì)改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)。 TATT1T對(duì)于上式，系統(tǒng)特征值為對(duì)于上式，系統(tǒng)特征值為 的根，經(jīng)過的根，經(jīng)過線性變換后為，則特征值為線性變換后為，則特征值為 ，而，而 ATTI10AIATTTTATTTTATTI11111TAITTAIT11)(AIAITT1 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)

7、型6第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式故有等價(jià)變換之稱。待獲得所需結(jié)果以后，再故有等價(jià)變換之稱。待獲得所需結(jié)果以后，再引入反變換關(guān)系引入反變換關(guān)系 ，換算回到原來的狀態(tài)，換算回到原來的狀態(tài)空間中去，得出最終結(jié)果?？臻g中去，得出最終結(jié)果。 1zT x下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型7第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式例例1.4.1:1.4.1: 若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為: : 022130 xxu & 101x 03yx即即 解：若取變換矩陣解：若取變

8、換矩陣 16220T11011132T則變換后的狀態(tài)矢量將為則變換后的狀態(tài)矢量將為 11011132zTxx即即 1212zx2121322zxx 亦即新的狀態(tài)變量亦即新的狀態(tài)變量 是原始狀態(tài)變量是原始狀態(tài)變量 的線性的線性組合。組合。 1z2z1x2x下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型8第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式111010262011131320232ATAT111012011301262036020BTBCCT 1110111(0)(0)213121zTx 從而得交換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為從而得

9、交換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型9第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式11111010231zTAT zTBuzu &160TyC T zz 1110021zTx書本例書本例2 2）、）、3 3）舉了其他交換矩陣下（我們也可舉）舉了其他交換矩陣下（我們也可舉出任意的非奇異矩陣），可以得到不同的狀態(tài)空間出任意的非奇異矩陣），可以得到不同的狀態(tài)空間表達(dá)式。表達(dá)式。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型10第一章第一章 控制系

10、統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式01000010-6 -11 -66 100 xxuyx 例例1.4.2 1.4.2 試系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為若取變換陣若取變換陣P P為為941321111P下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型11第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式線性變換線性變換P P的逆矩陣為的逆矩陣為2/ 12/ 311432/ 12/ 531P因此因此, ,有有 111 36330002000111CPCBPBAPPA下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性

11、系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型12第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型13第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間表達(dá)式為故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間表達(dá)式為100302060033 111 xxuyx下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型14第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式原狀態(tài)空間表達(dá)式原狀態(tài)空間表達(dá)式-對(duì)角線型對(duì)角

12、線型下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型15的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值一非零向量一非零向量 ，使，使 設(shè)設(shè)第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2）系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)）系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)） AnnAAAA是一個(gè)是一個(gè)的矩陣，若在向量空間中存在的矩陣，若在向量空間中存在, ,則稱則稱為為的的特征值特征值，任何滿足，任何滿足的非零向量的非零向量稱為稱為的的特征向量特征向量。定義：定義：下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型16第一章第一

13、章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式將上述特征值的定義式寫為將上述特征值的定義式寫為 ( ( I I- -A A) )v v=0 =0 其中其中I I為為n nn n的單位矩陣。的單位矩陣。由代數(shù)方程論可知由代數(shù)方程論可知, ,上式有非零特征向量上式有非零特征向量v v的解的的解的充要條件為充要條件為| | I I- -A A|=0 |=0 并稱上式為矩陣并稱上式為矩陣A A的的特征方程特征方程, ,而而| | I I- -A A| |為為A A的的特特征多項(xiàng)式征多項(xiàng)式。（1）特征值的計(jì)算）特征值的計(jì)算下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式

14、的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型17第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式51166116110A解：解：5116611611)det(AI 0) 3)(2)(1(611623 112233解出特征值解出特征值， ， 例例1.4.3求下列矩陣的特征值。求下列矩陣的特征值。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型18第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（2）特征向量的計(jì)算）特征向量的計(jì)算A51166116110A【例】求下列矩陣【例】求下列矩陣的特征向量。的特征向量。 解：（解：（1 1）的特征值在上例中已

15、求出的特征值在上例中已求出A112233， ， 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型19第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式11（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值）計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量的特征向量1111A，有，有。 131211131211151166116110T1312111設(shè)設(shè)，即有，即有: : 計(jì)算整理后有：計(jì)算整理后有： 06116061060131211131211131211vvvvvvvvv下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型20第一章第一章

16、控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式111vT1011令：令：，則，則1311vv012v解出：解出：T4212T961321（3 3）同理可算出）同理可算出的特征向量：的特征向量：31的特征向量的特征向量: :下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型21線性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，線性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，特征特征值值不變不變特征多項(xiàng)式不變特征多項(xiàng)式不變特征方程不變特征方程不變傳遞函數(shù)不變傳遞函數(shù)不變 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型

17、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型22第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 動(dòng)態(tài)方程的可逆線性變換動(dòng)態(tài)方程的可逆線性變換DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩陣1 PAPA1 CPCBPB下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型23第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 特征多項(xiàng)式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多項(xiàng)式?jīng)]有改變。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)

18、空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型24第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒有改變傳遞函數(shù)陣沒有改變下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型25第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 【例】【例】0100001061161Ab 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。試求系統(tǒng)的特征方程

19、和特征值。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型26第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 解：解：3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為特征方程的根為-1-1、-2-2和和-3-3。矩陣。矩陣A A的特的特征值也為征值也為-1-1、-2-2和和-3-3。兩者是一樣的。兩者是一樣的。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型27第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表

20、達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 【例】【例】對(duì)前面例子之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，對(duì)前面例子之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為其變換關(guān)系為 試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。值。112233111123149xxxxxx下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型28第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 解：解： 根據(jù)題意求變換矩陣根據(jù)題意求變換矩陣11111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入代入下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀

21、態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型29第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 11223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132| (1)(2)(3)61160sIP APssssss 特征方程為特征方程為特征值為特征值為-1-1，-2-2，-3-3，與上例結(jié)果，與上例結(jié)果相同。相同?？傻每傻孟挛缦挛?時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型30即即則必存在非奇異矩陣則必存在非奇異矩陣T，經(jīng)過變換，狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)過變換，狀態(tài)

22、方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。型。第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式3）狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型）狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型xAxBuyCx&1zT x定理：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果其特征值定理：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果其特征值 是兩兩相異的，是兩兩相異的，12,n La) 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A具有任意形式具有任意形式1zJzT BuyCTz&下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型31第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式其中其中 如果特征值包含有如果特征值包含有q個(gè)重根

23、時(shí)，個(gè)重根時(shí)，則將狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型則將狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型12100nJTAT OO1111110100000qnJOOO下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型32第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式證明：先證特征值無重根證明：先證特征值無重根 設(shè)設(shè)是是 A 的的 n 個(gè)互異特征根個(gè)互異特征根 ， 是是 A 對(duì)應(yīng)于這些特征值的特征矢量。對(duì)應(yīng)于這些特征值的特征矢量。 由于特征值由于特征值 互異，故特征矢量互異，故特征矢量 線性無關(guān)。它們構(gòu)成的矩陣線性無關(guān)。它們構(gòu)成的矩陣 必為非奇異，必為非奇異，即即 存在。

24、存在。 由特征矢量的意義：由特征矢量的意義： 1,2,inLiP12,n L12,nP PPL12nTPPPL1T11 1APP1,2,inL下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型33第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式121211221122120000nnnnnnnATA PPPAPAPAPPPPPPPTLLLLOO兩端左乘兩端左乘1T12100nTAT從而，證得經(jīng)非奇異矩陣從而，證得經(jīng)非奇異矩陣T變換后，系統(tǒng)矩陣為對(duì)角矩陣變換后，系統(tǒng)矩陣為對(duì)角矩陣下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)

25、型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型34第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式100yx123111026149TPPP解：解：A 的特征值互異，則變換矩陣的特征值互異，則變換矩陣?yán)?試將下列方程變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型試將下列方程變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型011061160,61151xxu &下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型35第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式153223433112T則經(jīng)則經(jīng) 變換后各有關(guān)矩陣分別為變換后各有關(guān)矩陣分別為1zTx11230102003TAT 153

26、202234303311112TB 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型36第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1111000261 1 1149CT112233100202030031zzzzuzz&1231 1 1zyzz變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型37第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（b）A為陣為標(biāo)準(zhǔn)型，即為為陣為標(biāo)準(zhǔn)型，即為友矩陣友矩陣012101000

27、010nAaaaa下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型38第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 A的特征值無重根時(shí)，其變換矩陣是一個(gè)的特征值無重根時(shí)，其變換矩陣是一個(gè)范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）矩陣，如下所示：）矩陣，如下所示：122221211112111nnnnnnT下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型39第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 A的特征值有重根時(shí)，以有的特征值有重根時(shí)，以有 的三重根為例：的三

28、重根為例：11422211421111111142111001110212nnnnnnnnTdddd下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型40第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式12100nTAT得得下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型41第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式uxx0016116100010 xy011【例】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型?！纠吭噷⑾铝袆?dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀

29、態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型42第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型43第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式4）狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型）狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（1）約當(dāng)塊和約當(dāng)陣）約當(dāng)塊和約當(dāng)陣約當(dāng)塊：約當(dāng)塊：4014200120012、的矩陣，的矩陣，形如形如下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型44第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系

30、統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線矩陣稱為約當(dāng)由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線矩陣稱為約當(dāng)矩陣：矩陣：2000012000012000004000014 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型45第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如果如果A陣具有重實(shí)特征根，又可分為兩種情況：陣具有重實(shí)特征根，又可分為兩種情況： A陣雖有重特征值，但矩陣陣雖有重特征值，但矩陣A仍然有仍然有n個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立的特征向量。這種情況同特征值互異時(shí)一樣，仍的特征向量。這種情況同特征值互異時(shí)一樣，仍可以把可以把A化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型?；癁?/p>

31、對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。 另一種情況是矩陣另一種情況是矩陣A不但具有重特征值，而不但具有重特征值，而且其獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)也低于且其獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)也低于n。對(duì)于這種情。對(duì)于這種情況，況，A陣雖不能變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但可以變換陣雖不能變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但可以變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型46第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 : :0 0有有兩兩獨(dú)獨(dú)立立解解p p1 10 00 00 00 00 01 10 00 0即即0 0A A) )p pI I( (1 1; ;1 10 00

32、 00 00 00 01 10 00 0r ra an nk k2 21 10 00 00 01 11 10 01 10 01 11 1r ra an nk kA A) )I Ir ra an nk k( (2 21 10 02 2) )( (1 1) )( (2 20 00 00 01 10 01 10 01 1A AI I, ,2 20 00 00 01 10 01 10 01 1A A1 11 13 31 1, ,2 22 2: :形形則則仍仍能能化化為為對(duì)對(duì)角角線線標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)量量, ,但但仍仍有有n n個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立特特征征向向A A有有重重特特征征值值, ,; ;1 10 01 1p p

33、0 0, ,p pp pp p2 22 20 00 00 01 12 20 01 10 01 12 23 33 33 32 23 31 13 30 0即即A A) )p pI I( (3 33 3; ;0 01 10 0p p; ;0 00 01 1p p2 21 12 20 00 00 01 10 00 00 01 1J J ; ;1 10 00 00 01 10 01 10 01 1T T下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型47第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 兩個(gè)基本概念兩個(gè)基本概念:代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)

34、 由特征方程求得的特征值由特征方程求得的特征值 i的重?cái)?shù)稱為特征值的重?cái)?shù)稱為特征值 i的代的代數(shù)重?cái)?shù)。數(shù)重?cái)?shù)。幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù) 特征值特征值 i線性獨(dú)立的特征向量數(shù)稱為特征值線性獨(dú)立的特征向量數(shù)稱為特征值 i的幾何的幾何重?cái)?shù)。重?cái)?shù)。代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)是兩個(gè)不同的概念代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)是兩個(gè)不同的概念 幾何重?cái)?shù)具有幾何上空間表征的意義幾何重?cái)?shù)具有幾何上空間表征的意義,它代表在空間它代表在空間分解上不變的幾何子空間的數(shù)目。分解上不變的幾何子空間的數(shù)目。 而代數(shù)重?cái)?shù)僅具有代數(shù)意義而代數(shù)重?cái)?shù)僅具有代數(shù)意義,它代表特征值在特征方它代表特征值在特征方程的重?cái)?shù)。程的重?cái)?shù)。下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空

35、間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型48第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)當(dāng) A 的特征值包含的特征值包含 m個(gè)重根時(shí)個(gè)重根時(shí)重根對(duì)應(yīng)的重根對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量的數(shù)目為：獨(dú)立特征向量的數(shù)目為：n-rank( iI-A) 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型49第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)當(dāng) A 的特征值包含的特征值包含 m 個(gè)重根時(shí)個(gè)重根時(shí)-A為一般形式為一般形式不加證明地給出變換矩陣不加證明地給出變換矩陣 T ：其中，其中， 是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于 (n-

36、m) 個(gè)單根的特征矢量，求法同前，對(duì)應(yīng)于個(gè)單根的特征矢量，求法同前，對(duì)應(yīng)于 m個(gè)個(gè) 重根的各向量重根的各向量 的求得，應(yīng)根據(jù)下式計(jì)算的求得，應(yīng)根據(jù)下式計(jì)算顯然，顯然， 仍為仍為 對(duì)應(yīng)的特征矢量，其余對(duì)應(yīng)的特征矢量，其余 則稱之為廣義特征矢量。則稱之為廣義特征矢量。 1mPPL121mmnTPPPPPLL1mnPPL11 111221110mmmPAPPAPPPAPP L L L1P12mPPL下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型50第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式uxx100032100010 xy001【

37、例】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型?！纠吭噷⑾铝袆?dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。 下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型51第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型52第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型53第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型54第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型55第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型56第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式下午下午3時(shí)時(shí)18分分1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的線性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型57 設(shè)設(shè)A為為友矩陣友矩陣，具有，具有m m重實(shí)特征