模糊數(shù)學(xué)3(水平截集、最大隸屬原則)

1、1.1 模糊子集的定義及運(yùn)算模糊子集的定義及運(yùn)算1.2 水平截集、分解定理、擴(kuò)張?jiān)瓌t水平截集、分解定理、擴(kuò)張?jiān)瓌t1.2.1 水平截集水平截集引例：引例：5 5位應(yīng)試者參加的選拔考試中，位應(yīng)試者參加的選拔考試中， 5 5位位應(yīng)試者及其成績(jī)?nèi)缦卤硭荆ò俜种疲簯?yīng)試者及其成績(jī)?nèi)缦卤硭荆ò俜种疲簯?yīng)試者應(yīng)試者成成 績(jī)績(jī)100905060801u2u3u4u5u如何按如何按“擇優(yōu)錄取擇優(yōu)錄取”的原則來(lái)挑選優(yōu)勝者的原則來(lái)挑選優(yōu)勝者設(shè)模糊子集設(shè)模糊子集 表示表示“優(yōu)勝者優(yōu)勝者”，以各人成，以各人成績(jī)與最高分的比值作為屬于績(jī)與最高分的比值作為屬于 的隸屬度。的隸屬度。AA1234510.90.50.60.

2、8Auuuuu“優(yōu)勝者優(yōu)勝者”的模糊子集的模糊子集A1234510.90.50.60.8Auuuuu“及格者及格者”1245,u u u u應(yīng)試者應(yīng)試者成成 績(jī)績(jī)100905060801u2u3u4u5u“優(yōu)良者優(yōu)良者”0.8125,Au u u“優(yōu)秀者優(yōu)秀者”0.912,Au u0.6A“滿(mǎn)分者滿(mǎn)分者” 11Au01( )Au實(shí)際問(wèn)題的某個(gè)時(shí)刻，需要判斷某個(gè)元素對(duì)實(shí)際問(wèn)題的某個(gè)時(shí)刻，需要判斷某個(gè)元素對(duì)模糊子集的明確歸屬，這就要求模糊子集與模糊子集的明確歸屬，這就要求模糊子集與普通集合可以依據(jù)某種法則相互轉(zhuǎn)化。普通集合可以依據(jù)某種法則相互轉(zhuǎn)化。需要一種溝通模糊子集和普通集合的辦法。需要一種溝通

3、模糊子集和普通集合的辦法。若對(duì)模糊子集給出一個(gè)確定的閾值若對(duì)模糊子集給出一個(gè)確定的閾值 ，則模，則模糊子集的元素可分成糊子集的元素可分成“非此即彼非此即彼”的兩種情的兩種情形：形： 。于是，誘導(dǎo)出在。于是，誘導(dǎo)出在 意義下的普通集合。意義下的普通集合。( )( )AAuu和定義定義 1.2.1 水平截集水平截集給定給定論域論域U，對(duì)對(duì) ，稱(chēng)普通集合，稱(chēng)普通集合( ),0,1AF U ,( )AAuuUu 為模糊子集為模糊子集 的的 水平截集。水平截集。A( )AuU10A1( )( )0( )AAAuCuu所謂取一個(gè)模糊子集的水平所謂取一個(gè)模糊子集的水平截集，就是將隸屬函數(shù)按下截集，就是將隸屬

4、函數(shù)按下式轉(zhuǎn)化為特征函數(shù)：式轉(zhuǎn)化為特征函數(shù)：“及格者及格者”0.61245,Au u u u“優(yōu)良者優(yōu)良者”所謂的所謂的“擇優(yōu)錄取擇優(yōu)錄取”，即為確定一個(gè)閾值，即為確定一個(gè)閾值 ，當(dāng)元素當(dāng)元素 （應(yīng)試者）的隸屬度（應(yīng)試者）的隸屬度 時(shí)，時(shí)，該應(yīng)試者屬于該應(yīng)試者屬于“優(yōu)勝者優(yōu)勝者”，否則不屬于，否則不屬于“優(yōu)勝優(yōu)勝者者”。0.8125,Au u uiu()Aiu水平截集的性質(zhì)：水平截集的性質(zhì)：( )AuU10A( )AuCU10A（1）(),()ABABABAB（2）12121201AA若 ，且水平截集的性質(zhì)：水平截集的性質(zhì)：（1）(),()ABABABAB（2）1212120 1AA若， 且(

5、)()m ax(),()()()ABABABuABuuuuuuAuBuAB或或性質(zhì)（性質(zhì)（2）說(shuō)明截集水平）說(shuō)明截集水平 越低，越低， 越大；越大；反之，截集水平反之，截集水平 越高，越高， 越小越小AA12( )AuU102A1A從圖中可見(jiàn)，當(dāng)從圖中可見(jiàn)，當(dāng) 的取值的取值從從1逐漸減小而到逐漸減小而到0時(shí)，相時(shí)，相應(yīng)的應(yīng)的 逐漸擴(kuò)展，從而逐漸擴(kuò)展，從而得到一系列普通集合。得到一系列普通集合。A定義定義1. 2.2 數(shù)乘數(shù)乘設(shè)設(shè) 是論域是論域U上的一個(gè)模糊子集上的一個(gè)模糊子集( )， 由由 構(gòu)成一個(gè)新的模糊子集，記為構(gòu)成一個(gè)新的模糊子集，記為 ，其隸屬函數(shù)為其隸屬函數(shù)為 稱(chēng)稱(chēng) 為數(shù)為數(shù) 與模糊

6、子集與模糊子集 的的數(shù)乘數(shù)乘。 0,1A( )AF U, AAAA( )( )AAuu特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 為普通集合時(shí)：為普通集合時(shí)：A( )( )AAuCu如果把如果把 視為模糊子集，其隸屬函數(shù)為：視為模糊子集，其隸屬函數(shù)為：1( )( )00AAuAuAuCuuAuAAA( )AF U分解定理：分解定理：對(duì)論域?qū)φ撚騏上的一個(gè)模糊子集上的一個(gè)模糊子集 ( )，有，有0,1AA( )AuU10A2u3u1u1U1( )Au01A22A33A分解定理：分解定理：0 ,1AA0,1任取任取 ，可將，可將 切割為切割為 ，而將所有，而將所有的的 拼湊起來(lái)組成拼湊起來(lái)組成 ，就得到，就得到 ，即任

7、何一個(gè)模糊子集可由一類(lèi)集合套來(lái)表示即任何一個(gè)模糊子集可由一類(lèi)集合套來(lái)表示 AAA0,1AA2u3u1u1U1( )Au01A22A33A當(dāng)當(dāng) 遍取遍取 中，對(duì)中，對(duì) 的值就是含有元素的值就是含有元素 的一切的一切 中的最大的中的最大的 值。值。0,1uU ( )AuuA121121212120,AAuuuuAA2u3u1u1U1( )Au01A22A33A1231113221231231231231112320,1123132123000,0 00AAAuuuuuuuuuAuuuAuuu 當(dāng)當(dāng) 遍取遍取0,1 中的實(shí)數(shù)時(shí)，按模中的實(shí)數(shù)時(shí)，按模糊子集求并運(yùn)算的規(guī)則，糊子集求并運(yùn)算的規(guī)則， 恰好取

8、各恰好取各 點(diǎn)隸屬函數(shù)的最大值，點(diǎn)隸屬函數(shù)的最大值，將這些點(diǎn)連成一條曲線(xiàn)，正是模將這些點(diǎn)連成一條曲線(xiàn)，正是模糊子集糊子集 的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)。0,1AA水平截集水平截集說(shuō)明了說(shuō)明了模糊子集向普通集合的轉(zhuǎn)化過(guò)程模糊子集向普通集合的轉(zhuǎn)化過(guò)程；分解定理分解定理則是相反過(guò)程，則是相反過(guò)程，利用利用一系列普通集合（一系列普通集合（集集合套合套）求并得到模糊子集求并得到模糊子集，從而，從而將模糊集合論中的將模糊集合論中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到普通集合論的問(wèn)題問(wèn)題轉(zhuǎn)化到普通集合論的問(wèn)題來(lái)解決。來(lái)解決。而而擴(kuò)張?jiān)瓌t擴(kuò)張?jiān)瓌t卻是卻是把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到模糊集合論模糊集合論。:f UV設(shè)

9、有映射設(shè)有映射如果在論域如果在論域U上給定一個(gè)普通集合上給定一個(gè)普通集合A，則可通過(guò)映，則可通過(guò)映射射 得到得到V 中的一個(gè)普通集合中的一個(gè)普通集合B，記為，記為 ，且且 。稱(chēng)。稱(chēng)B是由是由 產(chǎn)生的產(chǎn)生的A的象，的象，A是是B的原象的原象ff( )Bf ABV論域論域U上模糊子集上模糊子集 在在 下的象？下的象？Af1975年，年，zadeh，公理，公理( ),( )AF Uf AB 給定兩個(gè)論域給定兩個(gè)論域U、V，以及映射，以及映射:f UV則對(duì)則對(duì) 是論域是論域V上的一個(gè)模上的一個(gè)模糊子集，即糊子集，即其隸屬函數(shù)為其隸屬函數(shù)為如果沒(méi)有如果沒(méi)有 使得使得 ，則規(guī)定，則規(guī)定 。( )BF V(

10、 )( )(,)BAf uvuUvVvu ( )0Bvu( )f uvU1u2u3u1v2v3vV0.80.70.50.80.70.51v2v3vVU1u2u3u0.80.70.50.80.50l 映射后的隸屬度保持不變！映射后的隸屬度保持不變！l擴(kuò)張?jiān)瓌t把普通集合論的方法直接擴(kuò)展擴(kuò)張?jiān)瓌t把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到模糊集合論。到模糊集合論。模式識(shí)別：模式識(shí)別：對(duì)所研究的具體對(duì)象，根據(jù)它的某些特征對(duì)所研究的具體對(duì)象，根據(jù)它的某些特征進(jìn)行識(shí)別并分類(lèi)。進(jìn)行識(shí)別并分類(lèi)。這種分類(lèi)是在已知模式的前提下進(jìn)行的，也就是將這種分類(lèi)是在已知模式的前提下進(jìn)行的，也就是將整體劃分為若干整體劃分為若干類(lèi)型類(lèi)型，作為一

11、組標(biāo)準(zhǔn)模式。對(duì)于某個(gè)，作為一組標(biāo)準(zhǔn)模式。對(duì)于某個(gè)具體對(duì)象具體對(duì)象，判別它屬于那個(gè)模式，即屬于那一類(lèi)。，判別它屬于那個(gè)模式，即屬于那一類(lèi)。整體被劃分的整體被劃分的類(lèi)型類(lèi)型（模式模式）和被識(shí)別的）和被識(shí)別的對(duì)象對(duì)象，如果，如果是某個(gè)論域中的是某個(gè)論域中的模糊子集模糊子集，這種模式識(shí)別就稱(chēng)為，這種模式識(shí)別就稱(chēng)為模糊模糊模式識(shí)別模式識(shí)別。整體被劃分的整體被劃分的類(lèi)型類(lèi)型（模式模式）和被識(shí)別的）和被識(shí)別的對(duì)象對(duì)象，如果，如果是某個(gè)論域中的是某個(gè)論域中的模糊子集模糊子集，這種模式識(shí)別就稱(chēng)為，這種模式識(shí)別就稱(chēng)為模糊模糊模式識(shí)別模式識(shí)別。直接方法直接方法：對(duì)象對(duì)象為為單個(gè)確定的元素單個(gè)確定的元素，通過(guò)，通過(guò)直

12、接直接計(jì)算計(jì)算被識(shí)別對(duì)象的被識(shí)別對(duì)象的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)以判別其以判別其屬于屬于那個(gè)模糊子集，那個(gè)模糊子集，最大（極大）隸屬原則最大（極大）隸屬原則。間接方法間接方法：對(duì)象對(duì)象為為群體，模糊子集群體，模糊子集，判別與那一種，判別與那一種已知的模糊子集已知的模糊子集最最“貼近貼近”，擇近原則。，擇近原則。研究：研究：模式模式為論域?yàn)檎撚騏中的中的 個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集被識(shí)別的對(duì)象分為單個(gè)確定的元素或模糊子集被識(shí)別的對(duì)象分為單個(gè)確定的元素或模糊子集1.提取特征，首先需要從識(shí)別對(duì)象中提取與識(shí)別有關(guān)的特征，并度量這些特征，于是每個(gè)識(shí)別對(duì)象就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，建立訓(xùn)練樣本。2.建立標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型的隸屬函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型

13、通常是論域上的模糊子集。3.建立識(shí)別判決準(zhǔn)則，確定某些歸屬原則，以判定識(shí)別對(duì)象屬于哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型。 常用的判決準(zhǔn)則有常用的判決準(zhǔn)則有最大隸屬度原則最大隸屬度原則（直接法）（直接法）和和擇近原則擇近原則（間接法）兩種。（間接法）兩種。1.訓(xùn)練樣本集的建立：從蘋(píng)果的橫徑、色澤以及果形指數(shù)三個(gè)方面把蘋(píng)果分為四類(lèi)，精品果、二級(jí)果、三級(jí)果、四級(jí)果。2.樣本集訓(xùn)練步驟:原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化等，建立標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型（模式）聚類(lèi)分析。3.試驗(yàn)結(jié)果：對(duì)52個(gè)蘋(píng)果進(jìn)行訓(xùn)練，精品果、二級(jí)果、三級(jí)果、四級(jí)果各30個(gè)，正確率達(dá)到95 。 “模糊模式識(shí)別在計(jì)算機(jī)識(shí)別中的應(yīng)用研究模糊模式識(shí)別在計(jì)算機(jī)識(shí)別中的應(yīng)用研究”， 張娜等，微計(jì)算機(jī)

14、信息，張娜等，微計(jì)算機(jī)信息，2004，20（6）設(shè)設(shè) 是論域是論域U上上 n n 個(gè)模糊子集，個(gè)模糊子集， 12,nAAA0uU若有若有 ，使，使 1,2,ln120000()max(),(),()lAAAAnuuuu則認(rèn)為則認(rèn)為 相對(duì)隸屬于模糊子集相對(duì)隸屬于模糊子集 。0ulA例例1 1： ，論域，論域U 上有三個(gè)模糊子集上有三個(gè)模糊子集 （研究能力強(qiáng)），（研究能力強(qiáng)）， （一般），（一般）， （差）：（差）：U 甲，乙，丙1A2A3A123;AAA0.80.30.10.20.60.1乙乙甲丙甲丙00.10.8乙甲丙那么，甲、乙、丙應(yīng)歸于那一類(lèi)？那么，甲、乙、丙應(yīng)歸于那一類(lèi)？121max()

15、,(),()max 0.8,0.2,0()AAAA3甲甲甲甲例例2 2：三角形識(shí)別問(wèn)題：三角形識(shí)別問(wèn)題機(jī)器自動(dòng)識(shí)別染色體或白血球分類(lèi)，應(yīng)用幾何圖形識(shí)機(jī)器自動(dòng)識(shí)別染色體或白血球分類(lèi)，應(yīng)用幾何圖形識(shí)別別設(shè)三角形論域設(shè)三角形論域現(xiàn)給出各種類(lèi)型的三角形隸屬函數(shù)?，F(xiàn)給出各種類(lèi)型的三角形隸屬函數(shù)。0( , ,)180 ,0UA B C ABCABC 1. 近似等腰三角形近似等腰三角形 ，其隸屬函數(shù)為，其隸屬函數(shù)為I1( , ,)1min,60IA B CAB BC , ( , ,)ABBCu A B C與的差值愈大越不等腰A與與B（或（或 B與與C）愈接近，三角形）愈接近，三角形 愈接近等腰三角形，愈接近

16、等腰三角形，即隸屬度趨于即隸屬度趨于1。1min,IABCaB ( , ,)u A B C2. 近似直角三角形近似直角三角形 ，其隸屬函數(shù)為，其隸屬函數(shù)為R1( , ,)19090RA B CA 例例2 2：三角形識(shí)別問(wèn)題：三角形識(shí)別問(wèn)題0( , , )180 ,0UA B C A B CA B C 1. 近似等腰三角形近似等腰三角形 ，I1( , ,)1min,60IA B CAB BC 2. 近似直角三角形近似直角三角形 ，R1( , ,)19090RA B CA 3. 近似正三角形近似正三角形 ，E1( , ,)1180EA B CAC 4. 近似等腰直角三角形近似等腰直角三角形 ，IR( , ,)min( , ,),( , ,)11min 1min,1906090IRIRA B CA B CA B CAB BCA5. 非典型三角形非典型三角形 ，()CCCCIIREIREmin 1,1,1CCCIREIRET三角形內(nèi)角分別為：三角形內(nèi)角分別為： ，判別屬何類(lèi)？，判別屬何類(lèi)？00085 ,50 ,45ABC1(85,50,45) 1min 85 50,50 450.91660I 1(85,50,45) 185 900.9490R 1(85,50,45) 185 450.77180E (85,50,45)min 0.916