D5_4(1)平面曲線的弧長(zhǎng)

1、四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)二、已知平行截面面積函數(shù)的二、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積三、三、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAb

2、ad)()(21xxxd例例1. 計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ab

3、xoyx例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxdoyxababoyx一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí), 按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積21d)()(tttttA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)例例4. 求由擺線)cos1 (

4、, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyoa22. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng) 從 0 變例例

5、5. 計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 到 2 所圍圖形面積 . ttadcos82042例例6. 計(jì)算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對(duì)稱(chēng)性)2t令28a43212223a心形線 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxya心形線心形線(外擺線的一種)2222yxaxayx即)cos1 ( ar點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 尖點(diǎn)

6、:)0,0( 面積:223a 弧長(zhǎng):a8參數(shù)的幾何意義2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 a2sin2a例例8. 求雙紐線所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2

7、Adsin2026ad2cos21462a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yox44答案答案:二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xabxxxd)(xA上連續(xù),xyoabxyoab)(xfy 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段與直線與直線)()(bxaxfy 2)(xf旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為：軸軸軸所圍平面圖形繞軸所圍平面圖形繞xx

8、bxax, xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段與直線與直線)()(dycyx 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為:2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 軸軸軸軸所所圍圍平平面面圖圖形形繞繞 yydycy, ayxb例例13. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的橢球體的體積所成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性)3222312xxaab0a234aboaV0

9、2xy d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyoa2例例14. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利

10、用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )2(tu 令xyoa2a繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(1yxx

11、分部積分對(duì)稱(chēng)關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱殼體積柱殼體積薄殼法薄殼法: xxxdy也可按薄殼法求出也可按薄殼法求出yVyx2柱面面積柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)

12、sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成與底面交成 角角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算該平面截圓

13、柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oRxyxoRxy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ? 此時(shí)截面面此時(shí)截面面 積函數(shù)是什么積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 abzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例16. 計(jì)算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxA因此橢球體體積為x

14、bcaxd)1 (22bc20abca34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x233axx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的體積.ox1 2yBC3A例例17. 求曲線132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxd)4(322122三、平面曲線的弧長(zhǎng)三、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧

15、AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即并稱(chēng)此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)ni 10lims機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則稱(chēng)sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素(弧

16、微分) :因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(自己驗(yàn)證)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )

17、(chx2shxxeex )(sh xxshxch機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 cxbboy下垂懸鏈線方程為例例10. 求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11. 計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

18、返回 結(jié)束 xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小結(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

19、xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因?yàn)榈木€性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意:側(cè)面積為xRyo例例19. 計(jì)算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .解解: 對(duì)曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí), 得球的表面積公式24RS機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

20、返回 結(jié)束 1x2xozyx例例20. 求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對(duì)稱(chēng)性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 星形線 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 taytax33sin,cos星形線星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種.t點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方

21、程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定

22、積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:方法方法1 利用對(duì)稱(chēng)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .方法方法2 用柱殼法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222說(shuō)明說(shuō)明: 上式可變形為2RVb2d2bR 20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示). dd2bRV求側(cè)面積求側(cè)面積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對(duì)稱(chēng)性RS2b2S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上式也可寫(xiě)