數(shù)學(xué)建模課件-物理模型

1、 量綱分析法建模量綱分析法建模 定義：表示一個物理量如何由基本量的組合所形定義：表示一個物理量如何由基本量的組合所形成的式子成的式子 . 量綱作用量綱作用1 1）可定出同一物理量不同單位間的換算關(guān)系可定出同一物理量不同單位間的換算關(guān)系 . .3 3）從量綱分析中定出方程中比例系數(shù)的量綱和單位從量綱分析中定出方程中比例系數(shù)的量綱和單位 . .2 2）量綱可檢驗公式的正誤量綱可檢驗公式的正誤 . .221rmmGF 212mmFrG 213TMLdimG量量 綱綱某一物理量某一物理量 的量綱的量綱sqpQTMLdimQ物理量大都帶有量綱，其中基本量綱通常是質(zhì)量（用物理量大都帶有量綱，其中基本量綱通

2、常是質(zhì)量（用M表表示）、長度（示）、長度（ 用用L表示）、時間（表示）、時間（ 用用T表示），有時還有溫表示），有時還有溫度（用度（用表示）。其他物理量的量綱可以用這些基本量綱來表示）。其他物理量的量綱可以用這些基本量綱來表示，如速度的量綱為表示，如速度的量綱為LT-1，加速度的量綱為加速度的量綱為 LT-2，力的量力的量綱為綱為 MLT-2，功的量綱為功的量綱為 ML2T-2等。等。 量綱分析法建模量綱分析法建模量綱分析的原理量綱分析的原理 是：當(dāng)度量量綱的基本單位改變時，公式是：當(dāng)度量量綱的基本單位改變時，公式本身并不改變，例如，無論長度取什么單位，矩形的面積總本身并不改變，例如，無論長度

3、取什么單位，矩形的面積總等于長乘寬，即公式等于長乘寬，即公式 S=ab并不改變。此外，在公式中只有并不改變。此外，在公式中只有量綱相同的量才能進行加減運算，例如面積與長度是不允許量綱相同的量才能進行加減運算，例如面積與長度是不允許作加減運算的，這些限制在一定程度上限定了公式的可取范作加減運算的，這些限制在一定程度上限定了公式的可取范圍，即一切公式都要求其所有的項具有相同的量綱，具有這圍，即一切公式都要求其所有的項具有相同的量綱，具有這種性質(zhì)的公式被稱為種性質(zhì)的公式被稱為 “量綱齊次量綱齊次”的。的。 例例1、 在萬有引力公式中，引力常數(shù)在萬有引力公式中，引力常數(shù)G是有量綱的，根據(jù)是有量綱的，根

4、據(jù)量綱齊次性，量綱齊次性，G的量綱為的量綱為M-1L3T-2，其實，在一量綱齊次的其實，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項，即可使其任何一項化為無量綱，公式中除以其任何一項，即可使其任何一項化為無量綱，因此任一公式均可改寫成其相關(guān)量的無量綱常數(shù)或無量綱因此任一公式均可改寫成其相關(guān)量的無量綱常數(shù)或無量綱變量的函數(shù)。例如，與萬有引力公式變量的函數(shù)。例如，與萬有引力公式 相關(guān)的物理量有：相關(guān)的物理量有：G、m1、m2、r和和F。 現(xiàn)考察這些量的無量綱乘積現(xiàn)考察這些量的無量綱乘積 的量綱為的量綱為由于由于 是無量綱的量，故應(yīng)有：是無量綱的量，故應(yīng)有： 2 22 21 1r rm mGmGmF F ed

5、cbaFrmmG21e)2(aeb3aaecbTLM000eaed3aaecb000eaed3aaecb此方程組中存在兩個自由變量，其解構(gòu)成一個二維線性空此方程組中存在兩個自由變量，其解構(gòu)成一個二維線性空間。?。ㄩg。?。╝,b）=（1,0）和（和（a,b）=（0,1），），得到方程組解得到方程組解空間的一組基空間的一組基 （1,0,2,-2,-1）和（）和（0,1,-1,0,0），所有由這些），所有由這些量組成的無量綱乘積均可用這兩個解的線性組合表示。兩量組成的無量綱乘積均可用這兩個解的線性組合表示。兩個基向量對應(yīng)的無量綱乘積分別為：個基向量對應(yīng)的無量綱乘積分別為：2122221mm ,FrG

6、m而萬有引力定律則可寫而萬有引力定律則可寫 成成f(1,2)=0，其對應(yīng)的顯函數(shù)為：其對應(yīng)的顯函數(shù)為：1=g(2)，即即 )(22221mmhrmF 萬有引萬有引力定律力定律 量綱齊次原則量綱齊次原則用數(shù)學(xué)公式表示一物理定律時，等號兩端必須保持量綱的一致用數(shù)學(xué)公式表示一物理定律時，等號兩端必須保持量綱的一致所謂量綱分析就是利用量綱齊次原則來尋求物理量之間的關(guān)系下面用一個簡單的例子來說明下面用一個簡單的例子來說明單擺運動：質(zhì)量為m的小球系在長度為l的線一端，作單擺運動求其周期t的表達式在這個問題中出現(xiàn)的物理量有t,m,l,g，設(shè)他們之間有關(guān)系1-4332132132122321MT1,TLLTg

7、LlMmTtglmtglmt代如得，將）的量綱表達式量綱的比例常數(shù)，?。ㄊ菬o是待定常數(shù)，其中按照量綱齊次原則應(yīng)有：12003321 1-5可得出其解為21,21, 0321 glt 得1-6八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分 成成86公斤公斤的重量級和的重量級和 73公斤的輕量級。公斤的輕量級。1971年，年，T.A.McMahon比較了比較了1964-1970年期間兩次年期間兩次奧運會和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn)奧運會和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級比公斤級比73公斤級的成績大約好公斤級的成績大約好5%，產(chǎn)生這一差異的，產(chǎn)生這一差異的原因何在呢？原因何在呢？ 我們將以我

8、們將以L表示輕量級、以表示輕量級、以H表示重表示重量級，用量級，用S表示賽艇的浸水面積，表示賽艇的浸水面積，v表示賽艇速度，表示賽艇速度，W表示選手體重，表示選手體重，P表示選手的輸出功率，表示選手的輸出功率，I表示賽程，表示賽程，T表示比賽成績（時間）。表示比賽成績（時間）。 考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個賽程考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個賽程大致可以分三個階段，大致可以分三個階段， 即初始時刻的加速階即初始時刻的加速階 段、中途的勻速段、中途的勻速階段和到達終點的沖刺階段階段和到達終點的沖刺階段 。由于賽程較長，可以略去前后。由于賽程較長，可以略去前后兩

9、段而只考慮中間一段兩段而只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設(shè)。，為此，提出以下建模假設(shè)。（1）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比正比 于于Sv2,（見流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計。見流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計。（2）同一量級的選手有相同的體重）同一量級的選手有相同的體重W，選手的輸出功選手的輸出功 率率P正比于正比于W，且效率大體相同。且效率大體相同。由假設(shè)由假設(shè)1，3svfvp，故，故31spv1 競賽成績競賽成績31spvIT記比例系數(shù)記比例系數(shù) 為為k，則有則有：31HHH31LLLPSkT ,PSkT31HL31L

10、HHLSSPPTT故故由假設(shè)由假設(shè)2， LHLHWWPP31HL31LHHLSSWWTT故故令令WH=86,WL=73,則有則有由于由于SL略小于略小于SH，故輕量級所化時間比重量級所化時間故輕量級所化時間比重量級所化時間約約 多多5%左右。左右。31HLHLSS TT1.056例例3 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算假定你能準(zhǔn)確地測定時

11、間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的計算器。表功能的計算器。方法一方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，來計算。例如， 設(shè)設(shè)t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，則可求得，則可求得h78.5米。米。221gth 我學(xué)過微積分，我可以做我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng) 屬屬空氣阻力空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知

12、識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的根據(jù)流體力學(xué)知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系速度，阻力系 數(shù)數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： kgcevkt令令k=K/m，解得解得 代入初始條件代入初始條件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再積分一次，得：再積分一次，得： cekgtkghkt2若設(shè)若設(shè)k=0.05并仍設(shè)并仍設(shè) t=4秒，則可求秒，則可求 得得h73.6米。米。 聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應(yīng)時間反應(yīng)時間 不妨設(shè)不妨設(shè)平均反應(yīng)時間平均反應(yīng)時間 為為0

13、.1秒秒 ，假如仍，假如仍 設(shè)設(shè)t=4秒，扣除反秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng)應(yīng)時間后應(yīng) 為為3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多測幾次，取平均多測幾次，取平均值值代入初始條代入初始條 件件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：，得到計算山崖高度的公式： 將將e-kt用泰勒公式展開并用泰勒公式展開并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。還應(yīng)考慮還應(yīng)考慮回聲回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落 的真正時間的真正時間 為為t1，聲音傳回來

14、的時間記，聲音傳回來的時間記 為為t2，還得解一個，還得解一個方程組：方程組： 933401212211.ttthkg)ekt (kghkt這一方程組是這一方程組是非線性非線性的，求的，求解不太容易，解不太容易，為了估算崖高為了估算崖高竟要去解一個竟要去解一個非線性主程組非線性主程組似乎不合情理似乎不合情理 相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石塊下落時間塊下落時間 t1t-t2將將t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如，

15、 若若h=69.9米，則米，則 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 實際解答實際解答 對現(xiàn)實對象的描述、分析、預(yù)報、對現(xiàn)實對象的描述、分析、預(yù)報、 決策、控制等結(jié)果決策、控制等結(jié)果始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界例例4 一場筆墨官司一場筆墨官司 美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海英尺的海里里. . 他們這種做法安全嗎？他們這種做法安全嗎？ 分析分析 可從

16、各個角度去分析造成危險的因素，可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能這里僅考慮圓桶泄露的可能. . 聯(lián)想聯(lián)想：安全：安全 、危險、危險問題的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵1）圓桶至多能承受多大的沖撞速度？圓桶至多能承受多大的沖撞速度？ ( (40英尺英尺/ /秒秒) )2） 圓桶和海底碰撞時的速度有多大？圓桶和海底碰撞時的速度有多大？問題轉(zhuǎn)為問題轉(zhuǎn)為求這種桶沉入求這種桶沉入300英尺的海底時英尺的海底時的末速度的末速度. .（原問題是什么（原問題是什么? ?）可利用的數(shù)據(jù)條件可利用的數(shù)據(jù)條件： 圓桶的總重量圓桶的總重量 W=527.327（磅）（磅） 圓桶受到的浮力圓桶受到的浮力 B =4

17、70.327（磅）（磅） 圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力 D=Cv，C = =0.08 思路思路 利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移位移y(t) 滿足的微分方程：滿足的微分方程： )1(22DBWdtydm vdtdyCvDgWm ,其其中中)2(. 0)0(),( VBWWgvWCgdtdv或或方程的解為方程的解為 計算觸底時的碰撞速度，需確定圓桶和計算觸底時的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間海底的碰撞時間 t0= =？分析分析 考慮圓桶的極限速度考慮圓桶的極限速度08. 0327.470436.527)(lim CBWtvt0),1()(

18、 teCBWtvvtWCg713.86（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） 實際極限速度實際極限速度與圓桶的與圓桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！ 結(jié)論結(jié)論 解決問題的方向是正確的解決問題的方向是正確的.解決思路解決思路 避開求避開求t0的難點的難點 令令 v(t)=v(y(t), 其中其中 y=y(t) 是圓桶下沉位移是圓桶下沉位移 dtdydydvdtdv. 將將代入代入(1)得得,.CvBWdtdydydvm . 0)0(, 0)0(,yvWgdydvCvBWv或或兩邊積分得函數(shù)方程：兩邊積分得函數(shù)方程： ,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函數(shù)若能求

19、出函數(shù)v = v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(試一試試一試)* 用數(shù)值方法求出用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為的近似值為 v(300)45.41（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） * * 分析分析 v =v (y) 是單調(diào)上升函數(shù)，而是單調(diào)上升函數(shù)，而v 增增大大, ,y 也增大也增大, ,可求出函數(shù)可求出函數(shù) y =y(v) 兩種解決思路：兩種解決思路：),ln(2BWCvBWCBWCWgWy 令令 v =40( (英尺英尺/ /秒秒) )，g=32.2( (英尺英尺/ /秒秒) )y = 238.4 ( (英尺英尺) )300（英

20、尺）（英尺）問題的問題的實際解答實際解答： 美國原子能委員會處理美國原子能委員會處理放射性廢物的做法是極其危險的，必須改變放射性廢物的做法是極其危險的，必須改變. 算出算出泊肅葉定律泊肅葉定律泊肅葉定律的實驗基礎(chǔ)泊肅葉定律的實驗基礎(chǔ)法國醫(yī)學(xué)家泊肅葉首先對細管中緩慢流法國醫(yī)學(xué)家泊肅葉首先對細管中緩慢流動的液體進行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，在長度為動的液體進行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，在長度為 ，半徑為，半徑為R的管中流動的液體，當(dāng)管的兩端的管中流動的液體，當(dāng)管的兩端的壓強差為的壓強差為P1-P2時，比值時，比值（ P1-P2）L （壓壓力梯度力梯度）與流量）與流量Q成線性關(guān)系，當(dāng)該比值一定成線性關(guān)系，當(dāng)該比值一

21、定時時,Q與與R4成正比，即：成正比，即：LPPRQ)(214其其比例系數(shù)由維德曼首先從理論推導(dǎo)得出為比例系數(shù)由維德曼首先從理論推導(dǎo)得出為，即：即：LPRLPPRQ88)(4214上式上式稱為稱為泊肅葉定律。泊肅葉定律。、泊肅葉泊肅葉定律定律的推導(dǎo)的推導(dǎo)(1) 、速度分布、速度分布2)(21rPPF研究對象，流體元兩端的壓強分別為研究對象，流體元兩端的壓強分別為P1、P2，并并設(shè)設(shè)P1P2。由于兩端壓強差而加速，此流體元由于兩端壓強差而加速，此流體元的作用力的方向與流動方向相同。其大小為的作用力的方向與流動方向相同。其大小為：設(shè)牛頓流體在半徑為設(shè)牛頓流體在半徑為R的管內(nèi)流動，今取半徑的管內(nèi)流動

22、，今取半徑為為r長度為長度為L與管同軸的圓柱體的流體元為與管同軸的圓柱體的流體元為 其它流層與該流層的作用面積其它流層與該流層的作用面積S=2 rL，由于由于牛頓粘性定律可知，作用于該圓柱形流體元上牛頓粘性定律可知，作用于該圓柱形流體元上的粘性阻力的粘性阻力 ，式中負號表，式中負號表示示隨隨r 的增大而減小。的增大而減小。drdrLF2當(dāng)當(dāng)流體做定常流動時，以上兩力大小必然相等，流體做定常流動時，以上兩力大小必然相等，即：即：drdLrrPP2)(221整理后得出整理后得出 LrPPdrd2)(21上式上式說明：從管軸（說明：從管軸（r=0)到管壁到管壁(r=R)，速度速度梯度，隨梯度，隨r

23、的的增大而增大增大而增大，在，在r=R,處處速度梯度速度梯度最大最大。上式上式分離變量并取定積分得：分離變量并取定積分得：RrLPPrdrd2)(021)(224)(21rRLPP上式上式表明了表明了牛頓流體在水平圓管中流動時，流牛頓流體在水平圓管中流動時，流速隨半徑的變化關(guān)系。速隨半徑的變化關(guān)系。在管軸（在管軸（r=0)處流速有處流速有最大值最大值 ，即速度的最大值與管的半徑即速度的最大值與管的半徑R的平方成正比，與壓力梯度（的平方成正比，與壓力梯度（P1-P2)/L成正成正比。比。24)(21RLPP隨隨r的關(guān)系曲線為的關(guān)系曲線為拋物線拋物線。（2）流量）流量rdrrRdQLPP2)(22

24、4)(21的體積為的體積為dQ=ds，在管中取一個與管在管中取一個與管共軸，半徑為共軸，半徑為r，厚厚度為度為dr 的薄壁圓筒的薄壁圓筒形流體元，單位時形流體元，單位時間內(nèi)通過該筒端面間內(nèi)通過該筒端面為半徑為半徑r處的流速，處的流速， ds=2rdr 為圓環(huán)面積，為圓環(huán)面積，則則:rdrrRQRLPP0224)()(21LPRLPPRQ88)(4214上式稱為上式稱為泊肅葉定律。泊肅葉定律。若設(shè)若設(shè)Rf=8L/R4，則上式可寫成則上式可寫成上式兩邊同時積分得：上式兩邊同時積分得：fRPQ上式表明粘性流體在等截面水平細圓管中穩(wěn)定流上式表明粘性流體在等截面水平細圓管中穩(wěn)定流動時，流量動時，流量Q與管子兩端的壓強差與管子兩端的壓強差P成正比，與成正比，與Rf成反比。成反比。Rf稱為