層流邊界層積分近似解

1、 報告人：慈超 學 號：2013110806背景1921年，馮卡門提出了邊界層動量積分方程。1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程所得的結果稱為邊界層問題的近似解。邊界層積分方程一般可由兩種方法獲得：一是將動量守恒定律和能量守恒定律應用于控制體：二是對邊界層微分方程直接進行積分。前一種方法物理意義清晰，有助于對流動和換熱機理的理解；后一種推倒方法比較簡捷。 1) 建立邊界層積分方程。2) 對邊界層內的速度和溫度分布做出假 設，常用的函數(shù)形式為多項式。3) 利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出4) 根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計算邊界上的tfx

2、cxNu能量積分方程：00()tydtu tt dyadxy對控制體應用質量，動量和能量守恒關系，導出動量積分方程和能量積分方程。動量積分方程：000)()(yyudyuudxdudyuuudxd 動量積分方程式推導中沒有附加紊流或層流的條件，故它不僅適用于層流也適用于紊流。但求解時，必須先給出邊界層速度分布函數(shù)以及粘滯應力的表達式。給出的這兩個函數(shù)是否精確將影響到積分結果，這是積分方程解的特點，因此其解是近似的。 作為實例，把 作為常數(shù)，此時動量積分方程左邊第二項為0，且 。同時為積分方程，補充的邊界層速度函數(shù)一般選用多項式較好，也可選用其他形式函數(shù)，選擇哪一種，主要看它能否更好表達邊界層內

3、的速度分布。uwwdudy邊界層動量積分方程解：230123uaa yayay000)()(yyudyuudxdudyuuudxd22uuuuvvxyy假定速度分布函數(shù)：0y0u：y uu0yu022yu200(1)yduuuudydxuuy平板層流邊界層微分方程組中的速度場方程230123uaa ya ya y代入動量積分方程后求解得：0y0u：y uu0yu022yu00a13/2ua02a332ua 331( )22uyyu0014013xddxu 1/22804.64Re13xxu x1/22804.64Re13xxu x31/21/231()2 4.64Re2 4.64Rexxuyy

4、uxx代入速度分布方程：xuyuxyw2/10Re64. 423xu3/20.3231/220.646Re12wxfxxcu由能量積分方程配合動量積分方程可分析求解邊界層溫度場、厚度、及壁面溫度梯度，從而求出表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。 為簡化方程推導，設定換熱條件是：1）壁溫為 ，主流溫度為 ，主流速度為 2）流體為常物性，且 3）流體無內熱源也不考慮耗散熱。根據(jù)熱邊界層的特點，x方向上導熱很小故不考慮，只考慮y方向的導熱。 wtwttu1rp 以外掠平板層流作為實例，為求解能量積分方程，必須先給出邊界層速度分布函數(shù)u和邊界層溫度分布函數(shù)t，速度分布函數(shù)u已確定了，尚須補充溫度分布函數(shù)，仍選用多項式函數(shù)。

5、邊界層能量積分方程解：230123bb yb yb y22yTayTvxTu假定速度分布函數(shù)：0y0：y0y022y引入過余溫度：=T-Tw00)1 (yyadyuudxdut平板層流邊界層微分方程組中的溫度場方程230123bb yb yb y令：0y0：ty0y022y00b3/21b02b1/23b331()22ttyy/t1代入能量積分方程：1230yytaudxd23)283203(4224略去高次項audxd232032adxdudxdu1022adxdudxdu1022adxdx10131401328022dxud131403xu130282Pr1413232dxdxPr1413432dxdxPr14133433dxdx令：Pr1563943xxdxd一階線性常微分方程Pr1563943xxdxdPQ)(cdxQeePdxPdx通解：通解：4/3Pr11413cx4/33Pr11413cx0,0tx00c 313 114 Pr3