第4章_線性系統(tǒng)的根軌跡法(《自動控制原理》課件)

1、 第四章第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 先通過一個簡單的例子先通過一個簡單的例子, 了解一下根軌跡的本質是什么了解一下根軌跡的本質是什么.設有二階代數(shù)方程設有二階代數(shù)方程0232Kss, 由韋達定理由韋達定理, 可求出其二個根可求出其二個根為為:Ks25. 05 . 12, 1, 由于代數(shù)方程是二階的由于代數(shù)方程是二階的, 求其根很方便求其根很方便即便如此即便如此, 當可變參數(shù)當可變參數(shù)K從從0連續(xù)變化到正無窮大時連續(xù)變化到正無窮大時, 計算這兩個計算這兩個根的所有值是相當麻煩的根的所有值是相當麻煩的. 那么能否在根平面即那么能否在根

2、平面即S平面上畫出這平面上畫出這兩個根隨兩個根隨K從從0連續(xù)變化到正無窮大時的變化軌跡呢連續(xù)變化到正無窮大時的變化軌跡呢? 下面從兩下面從兩個根的表達式著手來畫個根的表達式著手來畫. (1)K=0, 則則 2, 121ss, 在在S平面上的位置如下圖所示平面上的位置如下圖所示:0-1 -2j (2) 當當0K=0.25時時, 一個根的絕對值隨一個根的絕對值隨K的增大而增大的增大而增大, 另另一個根的絕對值隨一個根的絕對值隨K的增大而減小的增大而減小, 兩根的變化軌跡如下圖所示兩根的變化軌跡如下圖所示:0-1 -2j -1.5當當K=0.25時時, 兩根相等兩根相等, 均為均為-1.5 (3)

3、0.25K m時時,有有n-m條根軌跡的終點隱藏于條根軌跡的終點隱藏于S平面上的無平面上的無窮遠處窮遠處;當當nn時時, 有有m-n條根軌跡從條根軌跡從無窮遠處的極點沿無窮遠處的極點沿1, 2 , 1 , 0) 12(1nmknmknmpzanjjmiia一組漸近線進入有限零點一組漸近線進入有限零點, 這一組漸近線的這一組漸近線的由下式計算由下式計算: :a和和a 法則法則5 根軌跡的分離點根軌跡的分離點:兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在S平面平面上相遇又分開的點稱為上相遇又分開的點稱為分離點分離點. 一般常見的分離點多位于實一般常見的分離點多位于實軸上軸上, 但有時也

4、產(chǎn)生于共軛復數(shù)對中但有時也產(chǎn)生于共軛復數(shù)對中(即在復平面上即在復平面上).分離點必為分離點必為重根點重根點, 分離點分離點d的值可由下式計算的值可由下式計算:miinjjzdpd1111由上式算得的由上式算得的分離點分離點d值必須使值必須使K0, 或者講必須在根軌跡上或者講必須在根軌跡上. 當開環(huán)傳遞函數(shù)沒有一個零點時當開環(huán)傳遞函數(shù)沒有一個零點時, 分離點分離點d的值由下式計算的值由下式計算: 011njjpd現(xiàn)計算例子中的現(xiàn)計算例子中的分離點分離點d值值, 由于由于:271271101113413415 . 015 . 0181611jdjdddjdjdjdjdddd對上式整理得對上式整理得

5、:用手工解十次代數(shù)方程相當麻煩用手工解十次代數(shù)方程相當麻煩. 但在實軸上的分離點有以下兩但在實軸上的分離點有以下兩個特點個特點: (1) 實軸上兩個相鄰的極點或兩個相鄰的零點之間的區(qū)段如實軸上兩個相鄰的極點或兩個相鄰的零點之間的區(qū)段如是根軌跡是根軌跡, 則其上必有一個分離點則其上必有一個分離點. 這兩個相鄰的極點或兩個相這兩個相鄰的極點或兩個相鄰的零點中有一個可以是無限極點或零點鄰的零點中有一個可以是無限極點或零點. (2) 實軸上某區(qū)段是根軌跡的話實軸上某區(qū)段是根軌跡的話, 如這區(qū)段的兩個端點一個是如這區(qū)段的兩個端點一個是極點極點, 而另一個是零點而另一個是零點, 則此區(qū)段上要么沒有分離點則

6、此區(qū)段上要么沒有分離點, 如有如有, 則不則不止一個止一個. 利用以上兩個特點可初步判斷實軸上那些區(qū)段上有分離點利用以上兩個特點可初步判斷實軸上那些區(qū)段上有分離點,然后用試探法求近似的分離點值然后用試探法求近似的分離點值, 求出一個后求出一個后, 對整理后的方程對整理后的方程可降一階可降一階.040677525.6709175.640674625.58474375.499357233825.572799375.543075.6215 .382345678910dddddddddd 法則法則6 起始角與終止角起始角與終止角:根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與正實軸的夾

7、角與正實軸的夾角,叫起始角叫起始角,以以ip標識標識; 根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角點處的切線與正實軸的夾角,叫叫終止終止角角,以以iz標識標識, 且且:)()(1)(1)(11njzpmijjzzznijjppmjpzpijijiijiji上兩式中上兩式中 ip表示下標序號為表示下標序號為i的開環(huán)復數(shù)極點的開環(huán)復數(shù)極點的起始角的起始角.ipijpz表示以下標序號為表示以下標序號為j的開環(huán)零點的開環(huán)零點jz為始點指向為始點指向ip的矢量與正實軸方向的夾角的矢量與正實軸方向的夾角.表示以下標序號為表示以下標序號為j的開環(huán)極點的開環(huán)極點表示下標序號為表示下標序號

8、為i的開環(huán)復數(shù)零點的開環(huán)復數(shù)零點ijppjp為始點指向為始點指向ip的矢量的矢量與正實軸方向的夾角與正實軸方向的夾角.iziz的的終止終止角角.ijzz表示以下標序號為表示以下標序號為j的開環(huán)零點的開環(huán)零點jz為始點指向為始點指向iz的矢量與的矢量與正實軸方向的夾角正實軸方向的夾角.ijzp表示以下標序號為表示以下標序號為j的開環(huán)極點的開環(huán)極點jp為始點指向為始點指向iz的矢量的矢量與正實軸方向的夾角與正實軸方向的夾角. 現(xiàn)以所舉例子中序號為現(xiàn)以所舉例子中序號為4即即i=4的開環(huán)復數(shù)極點為例的開環(huán)復數(shù)極點為例, 說明它說明它的起始角的計算過程的起始角的計算過程. 由計算起始角的公式可得由計算起

9、始角的公式可得:417)4(1)(444jjjpppzpjj43pz上式中上式中:(弧度弧度)7718.74324.01526.021049.01071.15 .635 .6125 .915 .01111141444342414ggggpzpzpzpzjpzttttj0p1123-1z1p4p5p6-6p2-8p3-10z2p7z3z4jj41pz44pz42pz46pp同理可得同理可得:(弧度弧度)5283.108520. 05191. 0221326. 01799. 01071. 15 . 345 . 32225 . 715 . 515 . 01111117)4(1474645434241

10、4gggggppppppppppppjjpptttttj0p1123-6p2-8p3-10z2-1z1p4p5p6p7z3z4jj41pp47pp45pp42pp43pp從而從而:由于根軌跡的對稱性由于根軌跡的對稱性, 則則:9783.213834.05283.107718.74p9783.215p 其它開環(huán)復數(shù)極點的起始角和開環(huán)復數(shù)零點的其它開環(huán)復數(shù)極點的起始角和開環(huán)復數(shù)零點的終止終止角同理角同理計算計算. 法則法則7 根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點:若根軌跡與虛軸有交點若根軌跡與虛軸有交點, 則則交點處的臨界根軌跡放大倍數(shù)交點處的臨界根軌跡放大倍數(shù)KC值和值和值可令值可令s=j代入閉

11、環(huán)特代入閉環(huán)特征方程征方程 1+G1+G0 0( (s)=0, 再令其實部和虛部分別等于零而求得再令其實部和虛部分別等于零而求得; 也可由也可由勞斯判據(jù)求得勞斯判據(jù)求得. 下面舉例說明繪制概略根軌跡七條法則的應用下面舉例說明繪制概略根軌跡七條法則的應用. 例例: 設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:)23)(23)(5 . 3)(1()(0jSjSSSSKsG要求畫概略根軌跡圖要求畫概略根軌跡圖.解解: (1)0523, 23, 5 . 3, 1, 054321mnjpjpppp有五條根軌跡分支有五條根軌跡分支.(2) 實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡: 見下圖見下圖 (3)

12、 漸近線漸近線: P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-359,57,53,54, 3 ,2, 1 ,05)12(1 .2523235 .3104321051aaaaaajjakkjjmnp漸近線見下圖漸近線見下圖: (4)出射角出射角:P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-3-2.12734.2676648.423258.14588.025 .02)22()32(1115)4ggppppppppjjppptttj出射角相當于出射角相當于92.7266度度, 由于對稱性由于對稱性, (5) 分離點分離點:7266.925

13、p0136625 . 311112312315 . 311111251ddddddjdjddddpdjj上式手工求解較為麻煩上式手工求解較為麻煩, 采用試探法采用試探法. 由于實軸上由于實軸上0與與-1之間必有之間必有分離點分離點, 若使若使d=-0.4, 則上式左邊約為則上式左邊約為-0.027, 接近接近0. (6) 根軌跡與虛軸交點根軌跡與虛軸交點: 由由G0(s)可得閉環(huán)特征方程為可得閉環(huán)特征方程為: 05 .455 .795 .435 .10)(2345KssssssD則則:05 .455 .4305 .795 .103524K令上式實部和虛部分別為零令上式實部和虛部分別為零, 得得

14、:05 .455 .795 .435 .10)(2345KjjjjD解上面聯(lián)立方程解上面聯(lián)立方程:28.153845 . 6002314.73036. 1cccKKK后兩組舍去后兩組舍去. 現(xiàn)現(xiàn)用勞斯判據(jù)求用勞斯判據(jù)求根軌跡與虛軸交點根軌跡與虛軸交點, 由閉環(huán)特征方程列出由閉環(huán)特征方程列出勞斯行列表表頭并計算各行各列的值勞斯行列表表頭并計算各行各列的值, 得如下勞斯行列表得如下勞斯行列表:02123455 .10249755 .1136362875.1545425.3775 .10249755 .1075.4775 .1025.3775 .795 .105 .455 .431KsKKKsKKs

15、KsKss由令由令1s行第一列為零得行第一列為零得:05 .1136362875.154542KK, 解得解得:0562.15528,1812.73ccKK(舍去舍去), 將將1812.73cK代入代入2s行得輔助方程行得輔助方程:01812.7324.682s, 解此輔助方程得解此輔助方程得:036. 1 js完整的概略根軌跡如下圖完整的概略根軌跡如下圖:課外習題課外習題: P.166 第第4-3題題,第第4-4題題(1) (3),第第4-5題題(1) 第第4-6題題(2),第第4-10題題(2) (3)P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-3-2.1 4-3 廣義根

16、軌跡廣義根軌跡 1. 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 繪制根軌跡常以系統(tǒng)開環(huán)增益繪制根軌跡常以系統(tǒng)開環(huán)增益K或開環(huán)根跡增益或開環(huán)根跡增益K作為參變作為參變量量. 但當?shù)擪或或K固定固定, 而系統(tǒng)其它某一個參數(shù)變化時而系統(tǒng)其它某一個參數(shù)變化時,也可利用繪也可利用繪制根軌跡的法則制根軌跡的法則, 以非以非K或非或非K為參變量繪制概略根軌跡為參變量繪制概略根軌跡, 這時這時繪制的根軌跡叫以非繪制的根軌跡叫以非K或非或非K為參變量的根軌跡為參變量的根軌跡, 簡稱參數(shù)根軌簡稱參數(shù)根軌跡跡. 設閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: )()()(0sPsQsG則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方

17、程為:0)()()()()(1)(10sPsQsPsPsQsG令令:)()()(sQsPsD, D(s)叫特征多項式叫特征多項式, D(s)=0叫特征方程叫特征方程,可可見閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程等于開環(huán)傳遞函數(shù)的分母加分子見閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程等于開環(huán)傳遞函數(shù)的分母加分子.例例: 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:)2(1)(0ssassG, K固定固定, a 可在可在0和和+ 間連續(xù)變化間連續(xù)變化, 則有上面的敘述則有上面的敘述,01) 2()(assssD由上式經(jīng)整理由上式經(jīng)整理, 將含有參變量將含有參變量a的項歸并在一起的項歸并在一起, 即即:稱作等效開環(huán)傳遞函數(shù)稱作等效開環(huán)傳遞函

18、數(shù), 由由012)(2assssD將上面特征方程兩邊同時除以不含將上面特征方程兩邊同時除以不含a的的s多項式多項式, 得得:)(1012102sGssas)(0sG)(0sG, 即可用繪制根軌跡的法即可用繪制根軌跡的法 則則, 繪制以繪制以a為為參變數(shù)的參變數(shù)的概略根軌跡概略根軌跡. 課外習題課外習題: P.168第第4-13題題(2),第第4-14題題(2) 2. 附加附加開環(huán)零開環(huán)零極點的作用極點的作用 若閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能不理想若閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能不理想, 可通過附加開環(huán)零可通過附加開環(huán)零極點改極點改變閉變閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能環(huán)系統(tǒng)的控制性能, 其實質是其實質是改變了改變了根軌跡的形狀根軌

19、跡的形狀. (1) 增加開環(huán)增加開環(huán)極點極點 設設閉環(huán)系統(tǒng)的原開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的原開環(huán)傳遞函數(shù)為)2)(1()(0ssKsG其根軌跡見下圖其根軌跡見下圖:0-1 -2j -1.5由圖可分析得由圖可分析得: 無論無論K多大多大, 閉環(huán)始終穩(wěn)定閉環(huán)始終穩(wěn)定, 但是個有差系統(tǒng)但是個有差系統(tǒng). 如如給給G0(s)附加一個附加一個s=0的極點的極點, 即串接一個積分環(huán)節(jié)即串接一個積分環(huán)節(jié), 則則:)2)(1()(0sssKsG其根軌跡圖如下其根軌跡圖如下:附加一個開環(huán)附加一個開環(huán)極點后極點后, ,根軌跡向右彎曲根軌跡向右彎曲, 當當K增至一定值后增至一定值后, 系統(tǒng)系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定, 動態(tài)性能變壞動態(tài)性能變壞; 但系統(tǒng)在階躍信號作用下由但系統(tǒng)在階躍信號作用下由有差系統(tǒng)變?yōu)闊o差系統(tǒng)有差系統(tǒng)變?yōu)闊o差系統(tǒng). 0-1 -2j (2) 增加開環(huán)增加開環(huán)零點零點設原開環(huán)傳遞函數(shù)增加一個設原開環(huán)