數(shù)理方法參考

1、數(shù)理方法課程內(nèi)容歸納河海大學(xué) 應(yīng)用物理專業(yè) 目錄一、復(fù)變函數(shù)論 1、復(fù)數(shù) 2、復(fù)變函數(shù)二、數(shù)學(xué)物理方程 1、波動方程 sp：三維情形 2、運輸方程 sp：三維情形 3、穩(wěn)定分布 1）平面坐標(biāo)系 2）球坐標(biāo)系 3）柱坐標(biāo)系三、附表C-R條件柯西定理留數(shù)定理傅里葉變換拉普拉斯變換球函數(shù)（連帶）勒讓德函數(shù)貝塞爾函數(shù)諾依曼函數(shù)漢克爾函數(shù)虛宗量貝塞爾函數(shù)亥姆霍茲方程沖量定理法（波動方程）（運輸方程）判定方程快速查找一、復(fù)變函數(shù)論復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。數(shù)式計

2、算較簡便。乘除、乘方和開方用指。取主值：)sin(cos1,.,2 , 1 , 0)2argsin()2argcos()sin(cos)(2arg,2arg0|,|,)2arg(nneznknknznknzennezZkkzzArgzzezninnnninknznnninni共有k個值*)(,|*Rezzzzeeee返回 Leonhard Euler （1707年4月15日1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾，1783年9月18日于俄國圣彼得堡去世。歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻，更把整個數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域。他是數(shù)

3、學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，無窮小分析引論、微分學(xué)原理、積分學(xué)原理等都成為數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作。歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此之廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。應(yīng)用歐拉公式知：iiieeieeiiiisinh2sincosh2cos返回發(fā)展史 復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)

4、，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。 復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。返回 為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。 后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯了。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進展，維爾斯

5、特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻。 復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應(yīng)有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。 復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。 復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。返回C-R條

6、件復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件Augustin Louis Cauchy（1789-1857），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的精華，也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻?？挛髟谄渌矫娴难芯砍晒埠茇S富。復(fù)變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學(xué)、彈性理論方面，也有突出貢獻。柯西的數(shù)學(xué)成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人?？挛魅?7卷，其論著有800多篇，在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家。他的光輝名字與許多定理、準(zhǔn)則一起銘記在當(dāng)今許多教材中。Georg Friedrich

7、Bernhard Riemann （18261866）德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻，其中一些為廣義相對論的發(fā)展鋪平了道路。vuvuvuvuxyyx11極坐標(biāo)系：返回為共軛調(diào)和函數(shù)。與。是相互正交的兩曲線族與),(),(0, 0, 021yxvyxuvvuuCvCuvuyyxxyyxx推導(dǎo)應(yīng)用：求解析函數(shù)）不定積分法（曲線積分法）湊全微分法（計算可能較方便不提倡. 3. 2. 1返回詳見課本。以上級數(shù)可在中間缺項本性極點：時為單極點。，階極點：5048)(1)(|0000PzzamzzamRzzkkkmkkk孤立奇點級數(shù)1.泰勒級數(shù)：圓內(nèi)解析的函數(shù)，一般用已知級數(shù)求解

8、。2.洛朗級數(shù)：環(huán)域上解析的函數(shù)，一般利用泰勒級數(shù)求解。_應(yīng)用：正則奇點鄰域上的級數(shù)方程解何謂正則奇點？在二階常微分方程的奇點的鄰域 0|z-z0|R上，方程的兩個線性獨立解全部都擁有有限個負(fù)冪項，則該奇點為正則奇點。 )()()ln()()()()()(,)()(0)()(212000121200210012010整數(shù)整數(shù)若sszzbzzAwsszzbwzzawzzqzqzzpzpwzqwzpwkskkkskkkskkkkkkkk判定方程s(s-1)+sp-1+q-2=0(s2s1)返回施圖姆劉維爾本征值問題)( , 0)()()()( )()(bxaxyxxyxqxyxk本征值1)(,1)

9、(,1)(, 1, 11)(, 0)(,1)(, 1, 12222xxmxqxxkbaxxqxxkba)(,)(,)(, 020mqkba施圖姆劉維爾型方程勒讓德方程連帶勒讓德方程返回貝塞爾方程重要性質(zhì))(0)()()(nmdxxxyxynbamym(x)與yn(x)為對應(yīng)不同本征值的函數(shù)?？挛鞫ɡ?如果函數(shù)在閉單連通區(qū)域 上解析，則沿 上任一分段光滑閉合曲線l（可以是它的邊界），有 如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則BBldzzf0)(0)()(llidzzfdzzf)2)ln()( 1)(0121) 1(0)(21izlldzzindzzilln一周，便增加為多值函數(shù)，每繞原因

10、：包圍不包圍應(yīng)用返回柯西公式應(yīng)用前式，可證明。任一點，則有內(nèi)的為的邊界線，為上解析，在單連通區(qū)域若解析函數(shù)可求導(dǎo)任意次,)()(2!)()(21)()(1)(dzzzfinfdzzzfifBBlBzflnnl具體內(nèi)容需參考課本P2830.返回留數(shù)定理kkkzzazfzzfl)()()(00數(shù)時，將其展開為洛朗級的奇點包圍回路).(sRe2)(011zfaiadzzfl因此被稱為留數(shù)，記為，. )(es2)(ilbfRidzzf：留數(shù)定理應(yīng)用第8頁下方的公式可知怎樣求留數(shù)？)()()(lim)(Res)()(lim:)()()!1(1lim)(Resconstant)()(lim(,000000

11、)1(00000000zQzPQPzzzfzfzzzspzfzzmzfzfzzmzzzzzmmzzmzz，為階極點為若應(yīng)用洛朗級數(shù)可知單奇點返回求定積分若有實軸上的奇點實軸上的奇點的奇點)(Res)(Res2)(-0jyizfizfixf類一類二理解出?？桑Y(jié)果需應(yīng)用留數(shù)定積分區(qū)間在一周期內(nèi)即dzizizzzzRdxxxRz1)2,2()sin,(cos1201|1類三奇點為奇函數(shù)，在實軸上無，奇點為偶函數(shù)，在實軸上無的奇點的奇點)()(Res)(21sin)()(,)(Res)(21cos)(0000 xGezGdxexGimxdxxGxFezFidxexFmxdxxFiiimziyimxi

12、mziyimx*具體約束條件參考課本！返回類三可運用拉普拉斯變換進行計算?。ㄒ詍為變元進行變換。）兩種變換1.傅里葉變換)0(2sin)(22cos)(2)(2)2sin2cos(2)(010kdTkfTbdTkfTadfTaTxkbTxkaaxfkkkkk一個周期一個周期一個周期),()0(),()0(), 0(lfflffl若若上定義的函數(shù)，對在可延拓為偶函數(shù)可延拓為奇函數(shù)返回復(fù)數(shù)形式 ),2(2lxikTxikelTe則為若基*22)(1,)(kkTxikkkTxikkccdxexfTcecxf一個周期傅里葉積分與變換000000sin)(2)(sin)()(cos)(2)(cos)()

13、(sin)(1)(,cos)(1)(sin)(cos)()(dfBxdBxfdfAxdAxfdfBdfAxdBxdAxf：正弦積分：余弦積分)()(21)()()()(像函數(shù)原函數(shù)dxexfFdeFxfxixi復(fù)數(shù)形式相關(guān)性質(zhì) 返回下一頁)()()(*)(21)()()()()(1)()()(212100)(00 xfxfxfxfFxfexfexxfxfidfxfixfFFFxiFFxiFFxFFF卷積定理位移定理延遲定理積分定理導(dǎo)數(shù)定理)(1)(*aFaaxfF相似性定理dxffxfxf)()()(*)(2121卷積：返回2.拉普拉斯變換原函數(shù)像函數(shù)iiipptipdpepfitfdtetf

14、pf)()(21)()()()(0經(jīng)典變換公式Pierre-Simon Laplace(17491827)是法國分析學(xué)家、概率論學(xué)家和物理學(xué)家，法國科學(xué)院院士。（積分）)(1)()0()0()()()0()()(:)0()0()0()0()()(cosh,sinhcos,sin)(!02)1()2(21)(222222221pfpdffpfpfptffpf ptfspfpffpfppfptfpptptpptptspnettLLLnnnnnnLLLLLnstnL )()()(*)()()()()(212100pfpftftfpfettfpftfeLptLtL卷積定理延遲定理位移定理定理*位移定理

15、)(1)(apfaatfL何為卷積？返回上一頁此時卷積的積分區(qū)間為（0，t）！二、數(shù)理方程),(| )(),(|),(|tMfHuutMfutMfunn三類邊界條件為環(huán)境溫度。),|(|axaxxuhku*牛頓冷卻定律預(yù)備)(), 0(), 0()(sinsin)(), 0(), 0(00210tFtxTutxTuTTtFtxutxuxxx力平衡處，弦振動中在折點舉例：連續(xù)變化銜接條件返回1.波動方程 波動方程抽象自聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)等領(lǐng)域。歷史上許多科學(xué)家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。弦振動方程是在18世紀(jì)

16、由達朗貝爾（dAlembert）等人首先系統(tǒng)研究的，它是一大類偏微分方程的典型代表。 fuatt2u返回均勻弦的微小橫振動（ ）無橫向外力時， 通解：u=f1(x+at)+f2(x-at)達朗貝爾公式（無邊界）(初始條件:u|t=0= (x), :ut|t=0= (x)注意：沒有邊界條件的限制，波雙向運動。端點反射u(x,t)為奇函數(shù)，則(x)與(x)都是奇函數(shù)。02xxttuauTa atxatxdaatxatxtx)(21)()(21),(uJean le Rond dAlembert，17171783，法國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。),(utx)()(21)()(21atxatx

17、axtdaatxatx)()(21)(-)(21atxxataxtdaxatatx返回處理齊次邊界條件有橫向外力時F（x,t)為單位長度所受外加橫向力傅里葉級數(shù)法（不管泛定方程是否齊次皆可用）代入泛定方程得代入X,利用傅里葉級數(shù)法求解Tn的通解，再代入初始條件求Tn。對于波動方程，需要兩個初始條件，而運輸方程只要一個。),(2txFuauxxtt0n)()()()(),(xXtTtTxXtxun222222)21(,)21(cos)()21(sin)(0,cos)(sin)(lnlxnCxXllxnCxXlnlxnCxXlxnCxX端固定端固定兩端自由兩端固定本征方程（應(yīng)用分離變數(shù)法解齊次方程

18、的結(jié)果）),()(02txfXTaXTnnn 返回Sp:沖量定理法 . 0|, 0|, 0|, 0|);,(),(),(0002tttlxxxxttvvvvtxvvtxfvav時的力密度。為寫為其中txfdxfvvvvvavdtttlxxxxtt),(,).,(|, 0|0|, 0|002ttdtxfdtxFtxF00)(),()(),(),(tdtxvtxu0);,(),(返回處理非齊次邊界條件（找特解）1.u|x=0=(t),u|x=l=(t)2.ux|x=0=(t), ux|x=l=(t)的邊界條件是齊次的。即令代入邊界條件得設(shè)wvuwwvutxltttxvtBxtAtxv,)()()(

19、),(),()(),(的邊界條件是齊次的。則令代入邊界條件得設(shè)wwvuxtxltxtxtxvxtBxtAtxv,)(2),(),(),()()(),(22對于波動方程，邊界條件齊次非常重要。返回*特殊情況特別的，若),()sin()sin()(1)(, 0)0(0)(),()(),()sin()cos()(|, 0|0txvalaxxXlXXXaXtxXtxvtDtCtxxiiiilxx，即得求出件可知代入泛定方程和邊界條則可設(shè) 返回 均勻桿的縱振動（ ）,),(2txFuauxxtt),(22tyxFuauttF(x,t)為桿在單位長度上單位面積所受縱向外力。Ea 均勻薄膜的微小橫振動（ ）

20、F(x,y,t)為單位面積上的橫向外力。Ta 返回三維波動)0(sincos)()(0kkatDkatCtTBAttTk02vkv時0kHermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz（18211894），德國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家、心理學(xué)家。亥姆霍茲方程的解R(r)滿足l階球貝塞爾方程與參考拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系下的解1.球坐標(biāo)系返回0)1(2222RllrkrRRrrrr2.柱坐標(biāo)系R的解滿足m階貝塞爾方程（ 時退化為極坐標(biāo)情形），Z 與的解形式上與m階虛宗量貝塞爾函數(shù)的對應(yīng)Z與相同 。00)(1222222kRmkRR，02.運輸方程DaFuaut22，可

21、借此推導(dǎo)得 擴散菲克定律菲克定律 早在1855年，菲克就提出了：在單位時間內(nèi)通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質(zhì)流量（稱為擴散通量（擴散通量（Diffusion flux）或擴散強度）與該截面處的濃度梯度濃度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是說，濃度梯度越大，擴散通量越大濃度梯度越大，擴散通量越大。這就是菲克第一定律，它的數(shù)學(xué)表達式如下：菲克第一定律只適應(yīng)于q和u不隨時間變化穩(wěn)態(tài)擴散穩(wěn)態(tài)擴散(Steady-state diffusion)的場合,菲克第二定律是在第一定律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。菲克第二定律指出，在非穩(wěn)態(tài)擴散過程（無擴散源）中，在距離x處，濃度隨時

22、間的變化率等于該處的擴散通量隨距離變化率的負(fù)值。為濃度梯度， uuDqF為單位時間內(nèi)單位體積（三維）中產(chǎn)生的粒子數(shù)（擴散源強度）。返回 熱傳導(dǎo)傅里葉定律傅里葉定律 在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。 應(yīng)用熱傳導(dǎo)定律和能量守恒定律可得為熱傳導(dǎo)系數(shù)，kukqckafuaut22，)(cFf F為單位時間內(nèi)在單位體積中產(chǎn)生的熱量（熱源強度）。Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768 1830），男爵，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)

23、學(xué)理論。返回運輸方程的定解問題1.分離變數(shù)法（齊次泛定方程）2.傅里葉級數(shù)法 參考振動方程中的情況，其中處理非齊次邊界條件),()(02txfXTaXTnnn 0|0|, 0|)(),(002tlxxxxxxtvvvtxfvav記為其中dxfvvvvavdtlxxxxxxt),(|0|, 0|0023.沖量定理法tdtxvtxu0);,(),(返回三維運輸taketT22)(返回亥姆霍茲方程02vkv方程的解參見第27頁PPT3.穩(wěn)定分布1）穩(wěn)定濃度分布2）穩(wěn)定溫度分布3）靜電場 對于穩(wěn)定分布，泛定方程的齊次性非常重要。（拉普拉斯方程）（珀松方程），則0, 0uFuDut（拉普拉斯方程）（珀松

24、方程），同理0,uFuk拉普拉斯方程）無電荷珀松方程），若該區(qū)域由以上兩式知(0(,00VVVEESimeon-Denis Poisson （17811840）法國數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家和物理學(xué)家。返回平面直角坐標(biāo)系分離變數(shù)法題第，例具體可參考求系數(shù)。最后代入其他邊界條件）（），得到特征值再求（邊界先求據(jù)齊次代入泛定方程求解，根令次化一組邊界條件，為簡化運算，至少齊121603152)()()()()()(),(0PPxXyYyYxXyYxXyxuuuyyxx返回極坐標(biāo)系4157154)sincos()sincos(ln),()0(ln)0()(sincos)()()(),()0(0111002例參

25、考則可解得分離變數(shù)法，令PmDmCmBmADCumDCmDCRmBmARuuuummmmmmmmm返回球坐標(biāo)系。階時為，當(dāng)階即則令分離變數(shù)法得勒讓德方程連帶勒讓德方程拉普拉斯方程lmlxmlldxdxdxdxxrDCrrRmBmAurururuurllrrr001) 1(2)1 (,cos1)(,sincos)(0sin11tan122222212222Adrien Marie Legendre （17521833），法國數(shù)學(xué)家。主要研究領(lǐng)域是分析學(xué)(尤其是橢圓積分理論)、數(shù)論、初等幾何與天體力學(xué)，取得了許多成果，導(dǎo)致了一系列重要理論的誕生。111212221011202)()!12()2()

26、4)(2)(1 ()32)(12()!2()12()3)(1)()(2()42)(22(kkkkkkkkxaxaxaaxyaklkllllklkaaklklllllklka勒讓德方程的級數(shù)解返回計算退化為多項式的級數(shù)解 l=2n+1時，y1(x)為（2n+1)項多項式，此時令a0=0;l=2n時，y0(x)為2n次多項式，此時令a1=0。自然邊界條件：l為自然數(shù)。本征值：l(l+1) 本征函數(shù)：l階勒讓德多項式022221)!2()!(2 !)!22() 1()()!2()!(2 !)!22() 1(,) !(2)!2(lnnllnllnnlllxnlnlnnlxPnlnlnnlalla則規(guī)定

27、：)157063(81)()33035(81)()35(21)() 13(21)()(1)(355244332210 xxxxPxxxPxxxPxxPxxPxP)()1 ()()(22xPxxPmlmlm返回(cos)偶函數(shù)l為偶時為P(cos)奇函數(shù)，l為奇時為Pll規(guī)律!)!2(!)!12() 1()0(, 0)0(212nnPPnnnlllllxdxdlxP) 1(!21)(2羅德里格斯公式lmlmllmlxdxdlxxPm) 1(!2)1 ()(222)()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmml返回勒讓德多項式的正交關(guān)系邊界條件與無關(guān)時，使用勒讓德多項式為基。)(cos)1(

28、),()()(212)()(122)()(0sin)(cos)(cos, 0)()(011101122011 -llllllllllllllklkPrBrArudxxPxflfxPfxfldxxPNlkdPPdxxPxP：，由此可得模平方應(yīng)用應(yīng)用返回)(12)(121)() 1(0)()() 12()() 1()(cos1)(cos1cos21(1111010122xPkkxPkkxxPkxkPxxPkxPkPrRPrRrRrRRkkkkkkllllllll常用形式：遞推公式：為球半徑）：母函數(shù)返回連帶勒讓德多項式的正交關(guān)系)(cos)sincos(1)sincos(),()()()!()!(

29、212)()()!()!(122)()()(0sin)(cos)(cos, 0)()(100111122011 -mlmlmllllmmlmllmllmlmllmlmlmlmkmlmkPmDmCrmBmArrudxxPxfmlmllfxPfxfmlmlldxxPNlkdPPdxxPxP：，由此可得模平方應(yīng)用應(yīng)用返回一般的球函數(shù)), 0 ,)(cos),()(cos)sincos(),(0Y1)(Ysin1Ytan1Y|2llmPeYPmBmAYllmlimmlmlml為：由歐拉公式知，原式可改寫1120|11200)()(0sinsincossin)()(sin),(),()(deedxxPx

30、PdnnmmdxxPxPddYYklnminimnkmlnkmlSnkml原式復(fù)數(shù)形式：或正交關(guān)系正交關(guān)系返回計算模平方124|)!|(|)!|(2122|)!|(|)!|()()()0( 1)0(2(122)!()!(cossin)(sin),()(11 -202|2202211222lmlmllmlmldeedxxPNmmlmlmldmmdxxPddYNimimmlmlmmmlSmlml復(fù)數(shù)形式的模：返回ddePfmlmllCePCfPddmPfmlmllBddmPfmlmllAPmBmAfimmlmllllmimmlmlmlmlmlmmlllmmlmlmlsin)(cos),(|)!|(

31、|)!|(412)(cos),(.252sinsin)(cos),()!()!(212sincos)(cos),()!()!(212)(cos)sincos(),(020|0|02002000 ，類似于以上系數(shù)的推導(dǎo)具體推導(dǎo)可見課本應(yīng)用返回Sp:正交歸一化的球函數(shù)具體內(nèi)容參考課本P257.).,(),()(cos|)!|(|)!|(412),(1),(0|lllmlmlmimmlmlmllmYCfePmlmllYNY返回柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程 )0()0(ln)(,)(00)(10sincos)(01100222mFEmFERDzCzZRmRRZZmBmAuuuummmmzz一、分離變數(shù)得這類似

32、于輸電線（極坐標(biāo)系）的情況。xRmxxRRxDeCezZxxxzz, 0)(,)(0222二、xRmxxRRxvzDzCzZxxx, 0)()(sincos)(0222三、貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程Bessel Friedrich Wilhelm，（17841846）德國天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測量學(xué)的奠基人之一。返回階貝塞爾函數(shù)（ 不為半整數(shù)）在得到級數(shù)解（詳見課本P198200）后令a0=，b0= 得) 1(21) 1(21-02-02)2() 1(!1) 1()()2() 1(!1) 1()(kkkkkkxkkxJxkkxJsin)(cos)()(xJxJxN第二類柱函數(shù)諾依曼函數(shù))()(

33、)()()()(2121xNCxJCxyxJCxJCxy或通解貝塞爾函數(shù)第一類柱函數(shù)返回第三類柱函數(shù)*半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)0221)( -022121212121)2() 1(!1) 1()()2() 1(!1) 1()(kklklkklklxklkxJxklkxJ過程參考課本P201203通解)()()()(2)(12121xJCxJCxyll返回整數(shù)m階貝塞爾函數(shù))() 1()()2()!( !1) 1()()2()!( !1) 1()(-02-02xJxJxkmkxJxkmkxJmmmkkmkmkkmkm注意：通解)()()(21xNCxJCxymm返回sp:漢克爾函數(shù)第三類柱函數(shù))()(

34、)()()()()2()1(xiNxJxHxiNxJxH第二種漢克爾函數(shù)：第一種漢克爾函數(shù)：貝塞爾函數(shù)的另一個通解)()()()2(2)1(1XHCXHCxyHermann Hankel(18391873),德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史專家。返回有用的性質(zhì)xxZxZxZxZxZxZxZxxJxxJxJxxJxxJxJ)(2)()()(2)()()()()()( )(),()(11 -11 -1110代表柱函數(shù)）遞推公式（)(,)()(, 0)(, 1)(000 xNxNxJxJxJx時，當(dāng)前兩個公式適用于簡化積分運算，注意第一個公式能用則用。)()()(*0)(0)(000100000 xxJHmHxxJxJxJmmmm三類齊次邊界條件返回解數(shù)理方程（柱內(nèi)） 若柱側(cè)有齊次邊界條件，則考慮0的情況。（為何？） 依據(jù)自然邊界條件，在=0出，解應(yīng)有限，基只需選擇非負(fù)（整數(shù)）階的貝塞爾