第五章中心極限定理(2).

1、1上節(jié)主要內(nèi)容回顧上節(jié)主要內(nèi)容回顧1.大數(shù)定律的含義。大數(shù)定律的含義。2.引理引理3.定理定理 5.2.14.定理5.2.25.定理5.2.36.定理應用25.3 中心極限定理中心極限定理 自從德國數(shù)學家Gauss指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常正態(tài)分布在自然界中極為常見。見。例如炮彈的彈著點服從正態(tài)分布，人的許多生理特征諸如身高、體重等也服從正態(tài)分布。 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機大量相互獨立的隨機因素綜合作用的結(jié)果因素綜合作用的結(jié)果，而每一個隨機因素在總的一個隨機因素在總的結(jié)果中所起的作用又非常微小結(jié)果中所起的作用又非常微小。 則這個量通常都服

2、從或近似服從正態(tài)分布。由此由此產(chǎn)生了有關(guān)中心極限定理的研究。產(chǎn)生了有關(guān)中心極限定理的研究。3定理定理 設XN(,2),XY則YN(0,1).所以，若所以，若XN(,2), 則則 P(Xa)= P(aX0, 那么當n充分大時,),(21nnNXnii近似服從所以 ) 1 , 0(1NnnXnii近似服從注注意意)(lim1xxnnXniin(1)一般地,只要n比較大,就可應用以上定理;(2)應用該定理時,需要找出獨立同分布的隨機變量序列以及它們的期望期望和方差方差,再應用正態(tài)分布的有關(guān)計算方法正態(tài)分布的有關(guān)計算方法.9例題101112題解續(xù) 歷史上，誤差分析是概率論的重要生長點之一。19世紀初，

3、德國數(shù)學家Gauss正是在研究測量誤差時引進了正態(tài)分布并發(fā)展了具有廣泛應用的最小二乘法，至今這仍是概率論與生產(chǎn)實際具有廣泛聯(lián)系的領(lǐng)域之一。13例例.用機器包裝味精,每袋味精凈重為隨機變量,期望值為100克,標準差為10克,一箱內(nèi)裝200袋味精,求一箱味精凈重大于20500克的概率?解解:設一箱味精凈重為X,箱中第i袋味精凈重為Xi,(i=1,2,200)則 X1,X2,X200獨立同分布獨立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且 2001iiXX由獨立同分布的中心極限定理得:X近似服從正態(tài)分布,且EX=EXi=200EXi=20000, DX=200DXi=20000,所求為P

4、(X20500)= 1-P(X20500)200002000020500(1)54. 3(1=0.0002 故 一箱味精凈重大于20500的概率為0.0002.14定理定理5.3.21516定理含義分析 從理論上揭示了正態(tài)分布的形成機制：如果某一如果某一個量的變化是由大量微小的、相互獨立的隨機因個量的變化是由大量微小的、相互獨立的隨機因素綜合作用的結(jié)果，而且這些隨機因素中沒有任素綜合作用的結(jié)果，而且這些隨機因素中沒有任何一個是起主導作用的，那么，這個量就是一個何一個是起主導作用的，那么，這個量就是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，至少它近似地服從正服從正態(tài)分布的隨機變量，至少它近似地服從正態(tài)分布。態(tài)

5、分布。這種機制在經(jīng)濟問題中是常見的，當我們對一些經(jīng)濟問題進行定量分析時，往往假定在主要因素的影響之外，其它各種因素的影響可以用一個服從正態(tài)分布的隨機變量來表示，其根據(jù)即在于此。17 進一步的研究表明：Liapunov中心極限定理還不是這類問題的最一般結(jié)果。歷史上，人們在長達兩個世紀的時間里，曾專注于所謂“獨立獨立和的分布函數(shù)向正態(tài)分布收斂的最普遍條件和的分布函數(shù)向正態(tài)分布收斂的最普遍條件”，以至于有關(guān)這部分問題的研究成了那個時期概率論研究的中心課題，中心極限定理便是因此而得名。 現(xiàn)在，這個問題可以說從某種意義上講已經(jīng)得到了最后的解決。1922年，Lindeberg提出了一個充分條件（Linde

6、berg條件）；1935年，F(xiàn)eller進一步指出，在某種情形下，這個條件也是必要的，這樣就明確了向正態(tài)分布收斂的充要條件。但本書中我們不展開相關(guān)問題的具體討論。18定理定理5.3.319202122例例設每顆炮彈命中目標的概率為0.01,求500發(fā)炮彈中 命中 5發(fā)的概率。解解: 設X表示命中的炮彈數(shù), 則 XB(500,0.01)4955550099. 001. 0)5X(P)1(C0.17635(2)np=5,應用Possion逼近:55e!55)5X(P=0.17547(3)應用正態(tài)逼近: XN(5,4.95)P(X=5)=P(4.5X5.5)95. 455 . 4()95. 455

7、. 5(=0.1742顯然顯然,本例中本例中Possion 逼近較正態(tài)逼近更精確逼近較正態(tài)逼近更精確.23例題 例例5.3.3 在一家保險公司里有10000人參加人壽保險，每人每年交保費12元，假定一年內(nèi)一個人意外死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險公司索賠1000元，問： （1）保險公司虧本的概率有多大？ （2）保險公司一年的利潤不低于40000元的概率有多大？24例題詳解2526例例某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明,在索賠戶中被盜索賠 戶占20%,隨機抽查100戶,利用棣莫佛-拉普拉斯積分定理 求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的近似值.解解:設X表示100戶中被盜索賠戶數(shù),則XB

8、(100,0.2)由棣莫佛-拉普拉斯積分定理得 X近似服從正態(tài)分布, EX=np=20, DX=npq=16,所以 XN(20,16)所求 P(14X30)43014()42030()5 . 1()5 . 2()5 . 1(1)5 . 2(=0.92727例題 例例5.3.4 某車間有同型號機床200臺，每臺開動的概率為0.7，假定各機床開動與否是相互獨立的，開動時每臺機床耗電15個單位，問：最少要供應這個車間多少電能，才能以不低于95%的概率保證不致因電力不足而影響生產(chǎn)。282930例例 某人一次射擊,命中環(huán)數(shù)X的分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP10 9

9、8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解解:設X表示100次中命中的總環(huán)數(shù),Xi表示第I次命中的環(huán)數(shù)(i=1,100),則 X1,X2,X100 相互獨立同分布相互獨立同分布, EXi=9.62, DXi=0.82,且1001iiXXEX=962, DX=82,P(900X930)=故 XN(962,82)82962900()82962930()85. 6()53. 3(=1-0.9997931本次課主要內(nèi)容回顧 1.中心極限定理的概念 2. Lindeberg-Levy中心極限定理（5.3.1） 3.李雅普諾夫中心極限定理.（5.3.2） 4.德莫佛德莫佛拉普拉斯中心極限定理（拉普拉斯中心極限定理（5.3.3） 5.幾個重要例子幾個重要例子32課堂練習 1.兩個影院為了1000個顧客而競爭，假設每個顧客去某一個電影院完全是無所謂的，并且不依賴于其他顧客的選擇，為了使任何一個顧客由于缺少座位而離去的概率小于1%，每一個電影院應該有多少個座位？ 2.一個大型系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件組成，