理論力學(xué)-第三章剛體力學(xué)3

1、u 平動(dòng)的特點(diǎn)：平動(dòng)的特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同（位移、速度、加速度、軌跡等）（位移、速度、加速度、軌跡等）可以用一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)剛體可以用一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)剛體（一般取質(zhì)心）（一般取質(zhì)心）u 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： trrCCu 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：FrmC 注意：0M例如：討論平動(dòng)汽車在剎車時(shí)受到的地面支持力。例如：討論平動(dòng)汽車在剎車時(shí)受到的地面支持力。hllv假設(shè)剎車后前后輪都停止轉(zhuǎn)動(dòng)，受力如圖假設(shè)剎車后前后輪都停止轉(zhuǎn)動(dòng)，受力如圖f1f2N1N2GmgNNmaff21212211NfNf還缺少一個(gè)方程！還缺少一個(gè)方程！02121lNlNhff聯(lián)

2、立可解：聯(lián)立可解：ag12mg lhNl22mg lhNlu 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，其角量相同其角量相同 （角位移、角速度、角加速度等）（角位移、角速度、角加速度等）u 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： t角量和線量的關(guān)系角量和線量的關(guān)系22,dtddtddtdiirvriRiisiniiiivrR222iiiiiiiiniiiidRdvaRRdtdtRvaRvRRu 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程： 取轉(zhuǎn)動(dòng)軸為取轉(zhuǎn)動(dòng)軸為z軸軸MdtJdkzzMdtdJzzzMIdtdzzzMdtdIu 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：2222

3、2221212121zziiiiiiiiiIRmRmvmT平動(dòng)動(dòng)能：平動(dòng)動(dòng)能：222221212121CCiiiCiiiiMvvmvmvmTmgxyRxRy【例】一根質(zhì)量為【例】一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為 l的勻質(zhì)細(xì)桿，一端用鉸鏈固定在的勻質(zhì)細(xì)桿，一端用鉸鏈固定在桌角桌角O點(diǎn)。求此桿自點(diǎn)。求此桿自=30o處由靜止轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速處由靜止轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度、角加速度、質(zhì)心加速度及約束力。度、角加速度、質(zhì)心加速度及約束力。（1 1）由轉(zhuǎn)動(dòng)方程求運(yùn)動(dòng)規(guī)律）由轉(zhuǎn)動(dòng)方程求運(yùn)動(dòng)規(guī)律213zzImlzzzdIMdt213sinsin322lgmlmgl32singl32sindgddtldt32s

4、ingddl 23cosgddl 23cosgCl 2兩邊同乘兩邊同乘 : :0利用初始條件利用初始條件=30=30o o，3 32gCl可得：可得：233 3cos2ggll /2/2/23 33, 22ggll 332cos2gl即：即：所以當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平時(shí)所以當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平時(shí)233 3cos2ggll 2,iiiniaR aR3 /4CCaRg23 34CnCaRg160CnCtgaa（2）求質(zhì)心加速度：）求質(zhì)心加速度：對(duì)于水平時(shí)的質(zhì)心對(duì)于水平時(shí)的質(zhì)心2232CCnCaaag總加速度：總加速度：cacnaca（3）求未知約束力：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）求未知約束力：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理CnxCymaRmaRm

5、g3 344xyRmgRmg 221.32xyRRRmg111yxtgRR與與x x軸負(fù)向夾角軸負(fù)向夾角作業(yè)：作業(yè)：P174 （3.7） （3.8）（）（3.11）平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng) 剛體任一點(diǎn)始終在平行于某固定平面的平面剛體任一點(diǎn)始終在平行于某固定平面的平面 內(nèi)運(yùn)動(dòng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)一、平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)一、平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng) = = 隨基點(diǎn)平動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng) + + 繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 垂直于固定平面的直線上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同垂直于固定平面的直線上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同剛體剛體薄片（一般含質(zhì)心的薄片）薄片（一般含質(zhì)心的薄片） 基點(diǎn)的選取是任意的，選擇不同的基

6、點(diǎn)有不同的平動(dòng)位移，基點(diǎn)的選取是任意的，選擇不同的基點(diǎn)有不同的平動(dòng)位移，常取質(zhì)心為基點(diǎn)。常取質(zhì)心為基點(diǎn)?；c(diǎn)的選取對(duì)角量無(wú)影響。基點(diǎn)的選取對(duì)角量無(wú)影響。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 ttyytxxyx,剛體上任一點(diǎn)的速度、加速度剛體上任一點(diǎn)的速度、加速度 rrr0vvvArvvA即：0rrvvA或者：00 xAxyAyvvyyvvxxxAxyAyvvyvvx定系：定系：動(dòng)系：動(dòng)系：相對(duì)速度相對(duì)速度牽連速度牽連速度dtvdarvdtdAdtrdrdtddtvdAvrdtdaArrdtdaA2rrdtdaaA（利用（利用 ： ） 22rrrr絕對(duì)加速度絕對(duì)加速度牽連加速度牽連加速度相對(duì)切向相對(duì)切向加速度加

7、速度相對(duì)向心相對(duì)向心加速度加速度牽連牽連相對(duì)相對(duì) 1 1、定義：、定義：平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體在角速度不為零時(shí)，在任一時(shí)刻平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體在角速度不為零時(shí)，在任一時(shí)刻薄片上恒有一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零，該點(diǎn)稱為薄片上恒有一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零，該點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，記為，記為C二、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心二、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心Note：(1)瞬心是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)軸在薄片上的投影點(diǎn)瞬心是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)軸在薄片上的投影點(diǎn)C(2)瞬心的速度為零，加速度一般不為零瞬心的速度為零，加速度一般不為零 如果加速度為零，則剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如果加速度為零，則剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。(3)瞬心不一定在剛體上，但一定在薄片所在的平面上瞬心不一定在剛體上，但一定在薄片所

8、在的平面上(4)確定時(shí)刻有確定瞬心，不同時(shí)刻瞬心不同確定時(shí)刻有確定瞬心，不同時(shí)刻瞬心不同(5)若取瞬心為基點(diǎn)（瞬心法）剛體上任意一點(diǎn)速度為：若取瞬心為基點(diǎn)（瞬心法）剛體上任意一點(diǎn)速度為：rvvArv對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系0 xAxvvyy0yAyvvxx2 2、瞬心的確定、瞬心的確定（1）解析法：）解析法：rvvA根據(jù)：xyACAvr0rrvvAr0r設(shè)C ( x , y )0v瞬心：AxAyvyyvxx00 xAyAvyvx對(duì)固著剛體坐標(biāo)系對(duì)固著剛體坐標(biāo)系設(shè)C ( x , y )xAxyAyvvyvvx（2）幾何法：）幾何法：取瞬心為基點(diǎn)（瞬心法）剛體上任意一點(diǎn)速度為：取瞬心為基點(diǎn)（瞬

9、心法）剛體上任意一點(diǎn)速度為：rvCPrv已知薄片上任意兩點(diǎn)的速度方向，就可求瞬心已知薄片上任意兩點(diǎn)的速度方向，就可求瞬心vAvBCrvBCBACArvrvvAvBvAvBBCACBArrvvCCvAvB無(wú)瞬心，剛體平面平動(dòng)無(wú)瞬心，剛體平面平動(dòng)BAvv （3）觀察法：）觀察法：凡滾而不滑的剛體與另一物體的接觸點(diǎn)就是瞬心凡滾而不滑的剛體與另一物體的接觸點(diǎn)就是瞬心C3 3、瞬心的軌跡、瞬心的軌跡（1）空間極跡（空間瞬心跡）：）空間極跡（空間瞬心跡）： 瞬心在定系中（固定平面上）形成的軌跡瞬心在定系中（固定平面上）形成的軌跡（2）本體極跡（本體瞬心跡）：）本體極跡（本體瞬心跡）： 瞬心在固定在剛體的動(dòng)

10、系中（截面上瞬心在固定在剛體的動(dòng)系中（截面上/薄片上）形成的軌跡薄片上）形成的軌跡：如果本體極跡和空間極跡都是連續(xù)曲線，則剛體在如果本體極跡和空間極跡都是連續(xù)曲線，則剛體在平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，本體極跡將沿著空間極跡作無(wú)滑滾動(dòng)，兩軌跡平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，本體極跡將沿著空間極跡作無(wú)滑滾動(dòng)，兩軌跡的公共切點(diǎn)就是此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。的公共切點(diǎn)就是此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。ab【例】用瞬心法求橢圓規(guī)尺【例】用瞬心法求橢圓規(guī)尺M(jìn)點(diǎn)的速度、加速度，并求本體極跡和空間極跡點(diǎn)的速度、加速度，并求本體極跡和空間極跡方程。已知方程。已知B點(diǎn)速度為點(diǎn)速度為c，并設(shè)，并設(shè),MAa MBbOBA解：用瞬心法求解，即利用瞬心速度為零的特解：用瞬心法求解

11、，即利用瞬心速度為零的特點(diǎn)，取瞬心速度為基點(diǎn)來(lái)求任意點(diǎn)速度。如圖點(diǎn)，取瞬心速度為基點(diǎn)來(lái)求任意點(diǎn)速度。如圖所示，在空間建立一個(gè)定系所示，在空間建立一個(gè)定系O-xyz,和一個(gè)固定和一個(gè)固定在剛體上的動(dòng)系在剛體上的動(dòng)系A(chǔ)xyz，設(shè)，設(shè)k（1）找瞬心的位置：）找瞬心的位置： 取取C為基點(diǎn)，則有為基點(diǎn)，則有sincossinMcvCMkaibjab cossinsincbiajab（2）求）求M點(diǎn)速度點(diǎn)速度CBvBibaksinjbasinj csin bac（3）求空間極跡和本體極跡）求空間極跡和本體極跡u 設(shè)在定系中，設(shè)在定系中，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），滿足：），滿足： sincosxa

12、byab222xyab（空間極跡是以（空間極跡是以O(shè)為圓心，為圓心，ab為半徑的圓）為半徑的圓） abu 設(shè)在固定在剛體上動(dòng)系中，設(shè)在固定在剛體上動(dòng)系中，C C點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（x ，y）滿足：）滿足：cos sinsin22coscos1 cos22xababyabab 22222ababxy，半徑為，半徑為 的圓）的圓） 0,2ab2ab（本體極跡是圓心在（本體極跡是圓心在 （4 4）求）求M點(diǎn)的加速度：點(diǎn)的加速度： 2rrdtdaa基取取B點(diǎn)為基點(diǎn)（點(diǎn)為基點(diǎn)（B點(diǎn)勻速，加速度為零）點(diǎn)勻速，加速度為零） 2rrdtdaa基sincosBMbibj sinckab223sinbciab

13、222232cossincossincossinsinMccakbibjbibjabab 222232coscossinsincossinsinbcbcijijabab ab【例【例2】P176習(xí)題（習(xí)題（3.15）一輪的半徑為）一輪的半徑為r，以勻速，以勻速v0無(wú)滑動(dòng)的沿一直線滾動(dòng)。無(wú)滑動(dòng)的沿一直線滾動(dòng)。求輪緣上任一點(diǎn)的速度及加速度。又最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度各等于多少？哪求輪緣上任一點(diǎn)的速度及加速度。又最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度各等于多少？哪一點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心？一點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心？解：建立如圖固定地面上的坐標(biāo)系解：建立如圖固定地面上的坐標(biāo)系（1）用瞬心法求任意）用瞬心法求任意P點(diǎn)速度點(diǎn)速度。取瞬心。取瞬心A

14、為基點(diǎn)為基點(diǎn)yx0ovAOkrjriv i AO取輪緣上任意一點(diǎn)取輪緣上任意一點(diǎn)P，OP與與豎直方向夾角豎直方向夾角為為 Pk 設(shè)：設(shè)：rv002 cossincos222PvvAPkrijr 02coscossin222vij02topvv0bottomv（2）求輪上任意點(diǎn)的加速度）求輪上任意點(diǎn)的加速度 取質(zhì)心為基點(diǎn)取質(zhì)心為基點(diǎn) 三、平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)三、平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)u 取含質(zhì)心的薄片，并取質(zhì)心為基點(diǎn)取含質(zhì)心的薄片，并取質(zhì)心為基點(diǎn)u 剛體位置由剛體位置由 確定確定,CCyxO xMdtJdFrmC 剛體：u 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 CxCymxFmyF zzzIM,CCxy,xyF Fz

15、zIzM：質(zhì)心在定系中的加速度分量：質(zhì)心在定系中的加速度分量：主矢在定系：主矢在定系x，y方向的分量方向的分量：剛體繞過(guò)質(zhì)心垂直于薄片的：剛體繞過(guò)質(zhì)心垂直于薄片的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體對(duì)質(zhì)心主矩的：剛體對(duì)質(zhì)心主矩的z分量分量Note：(1) 各量的含義各量的含義u 動(dòng)能：動(dòng)能：u 動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒：動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒：222121iiCvmMvT柯尼希定理：柯尼希定理：221122CzzTmvI平面平行運(yùn)動(dòng)：平面平行運(yùn)動(dòng)：動(dòng)能定理：動(dòng)能定理： iieierdFdWdT)(機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：保守力作功保守力作功EUImvzzC222121(2) 平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)=質(zhì)

16、心二維平動(dòng)質(zhì)心二維平動(dòng)+繞質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(3) 做平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，必然受到約束力。做平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，必然受到約束力。 3個(gè)方程求個(gè)方程求3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，還需要補(bǔ)充約束條件個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，還需要補(bǔ)充約束條件【例題】【例題】P178習(xí)題（習(xí)題（3.26）棒的一端放置在光滑水平面上，另外一端靠在光滑）棒的一端放置在光滑水平面上，另外一端靠在光滑墻上，棒與地面的夾角為墻上，棒與地面的夾角為，如任其自此位置開(kāi)始下滑，則當(dāng)棒與地面的夾角，如任其自此位置開(kāi)始下滑，則當(dāng)棒與地面的夾角變?yōu)楹沃禃r(shí)棒與墻分離。變?yōu)楹沃禃r(shí)棒與墻分離。 解：建立圖示坐標(biāo)系，取棒含質(zhì)心薄片為研究對(duì)象。解：建立圖示坐

17、標(biāo)系，取棒含質(zhì)心薄片為研究對(duì)象。 設(shè)棒長(zhǎng)設(shè)棒長(zhǎng)2a，棒受力如圖。，棒受力如圖。 2211123CImlma21212 (1) (2)1cossin (3)3CCmxRmyRmgmaRaR a（5個(gè)未知量）cossinsincosCCCCxaxayaya 22cossinsincosCCxaayaa 代入（1）（2） 2122cossincossinRmaRmamg （4）(4) 代入(3)可得 2221cossincoscossinsin 3mamaamamg a 整理可得：整理可得： 3cos2ga （5） 積分并考慮初始條件積分并考慮初始條件 可得：可得： ,0 23sinsinga（6）

18、 (5)(6)代入代入(4) 2233coscossinsinsin9sin6sin22ggmgRmamgaa棒脫離強(qiáng)面的時(shí)候棒脫離強(qiáng)面的時(shí)候2cos9sin6sin02mgR129sin6cossinsin3cos0不可能不可能兩邊同乘兩邊同乘，然后積分：，然后積分：2dagdcos32四、滾動(dòng)摩擦四、滾動(dòng)摩擦1、純滾動(dòng)（無(wú)滑滾動(dòng)）、純滾動(dòng)（無(wú)滑滾動(dòng)）是指剛體與地面無(wú)滑動(dòng)，接地點(diǎn)與地面之間保持相對(duì)靜止的滾動(dòng)。是指剛體與地面無(wú)滑動(dòng)，接地點(diǎn)與地面之間保持相對(duì)靜止的滾動(dòng)。 特征：特征：Cvr 剛體與軌道接觸點(diǎn)速度為零剛體與軌道接觸點(diǎn)速度為零 摩擦力為靜摩擦力摩擦力為靜摩擦力 fNcvr f例例試分析右圖剛體的動(dòng)力學(xué)方程試分析右圖剛體的動(dòng)力學(xué)方程 21,2ccmvfmrfr vr NG剛體保持勻角速度，勻質(zhì)心速度運(yùn)動(dòng)下去，永不停息剛體保持勻角速度，勻質(zhì)心速