新湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊311平方根

1、平方根平方根(第1課時)湘教版數(shù)學(xué)八年級上冊湘教版數(shù)學(xué)八年級上冊本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.1動腦筋動腦筋 某家庭在裝修兒童房時需鋪地墊某家庭在裝修兒童房時需鋪地墊10.8m10.8m2 2，剛好用去正方形的地墊，剛好用去正方形的地墊3030塊塊. . 你能算出每塊地墊的邊長是多少嗎？你能算出每塊地墊的邊長是多少嗎？10.810.830=0.36(m30=0.36(m2 2).).即：邊長即：邊長邊長邊長=0.36.=0.36.由于由于 0.60.62 2=0.36=0.36， 因此面積為因此面積為0.36m0.36m2 2的正方形地墊的邊的正方形地墊的邊長是長是0.6m.0.6m.分析：分析：每塊正

2、方形地墊的面積是每塊正方形地墊的面積是: 在實(shí)際問題中，有時要找一個數(shù)，使它的在實(shí)際問題中，有時要找一個數(shù)，使它的平方等于給定的數(shù)平方等于給定的數(shù). .由此我們抽象出下述概念：由此我們抽象出下述概念： 如果有一個數(shù)如果有一個數(shù)r，使得，使得r2=a，那么我們把那么我們把r叫作叫作a的一個的一個平方根平方根，也叫作二次方根也叫作二次方根.結(jié)論結(jié)論平方根的定義平方根的定義若若 r2= a，則，則 r 是是 a 的一個平方根的一個平方根.結(jié)論結(jié)論 例如，由于例如，由于2 22 2=4=4，因此，因此2 2是是4 4的一個的一個平方根平方根. .符號表示為：若符號表示為：若 r2= a ；r= a探究

3、探究 4 4的平方根除了的平方根除了2 2以外，還有以外，還有其他的數(shù)嗎？其他的數(shù)嗎？-2也是也是4的一個平方根！的一個平方根！為什么說為什么說“- -2”也是也是4的平方根？的平方根？因?yàn)橐驗(yàn)? (- -2) )2= 4，因此因此- -2也是也是4的一個平方根的一個平方根. 除了除了2和和- -2以外，以外，4的平方根還有其他的平方根還有其他的數(shù)嗎？的數(shù)嗎？ 除了除了2和和- -2以外，以外，4的平方根還有的平方根還有其他的數(shù)嗎？其他的數(shù)嗎？ 因?yàn)檫呴L大于因?yàn)檫呴L大于2的正方形，它的面的正方形，它的面積一定大于積一定大于4，所以，比，所以，比2大的數(shù)都不是大的數(shù)都不是4的平方根的平方根.邊長

4、為邊長為2邊長為邊長為4 邊長小于邊長小于2的正方形，的正方形，它的面積一定小于它的面積一定小于4，因此，比因此，比2小的正數(shù)都不是小的正數(shù)都不是4的平方根的平方根.邊長為邊長為2類似地，類似地， 由于由于( (- -b b) )2 2= =b b2 2，因此，因此，-2-2以外的負(fù)數(shù)都以外的負(fù)數(shù)都不是不是4 4的平方根的平方根. . 顯然顯然0 0不是不是4 4的平方根的平方根. .所以，所以，4 4的平方根有且只有兩個：的平方根有且只有兩個：2 2與與-2.-2.結(jié)論結(jié)論 如果如果r是正數(shù)是正數(shù)a的一個平方根，那么的一個平方根，那么a的平的平方根有且只有兩個：方根有且只有兩個：r與與-r，

5、并且它們互為相，并且它們互為相反數(shù)。反數(shù)。 我們把我們把a(bǔ)的正平方根叫作的正平方根叫作a的的算術(shù)平算術(shù)平方根方根，記作，記作 ，讀作，讀作“根號根號a”；a 這樣，正數(shù)這樣，正數(shù)a的的平方根平方根可以用可以用“ ”來表示，讀作來表示，讀作“正負(fù)根號正負(fù)根號a. a 把把a(bǔ)的的負(fù)平方根負(fù)平方根記作記作 ，讀作，讀作“負(fù)根號負(fù)根號a”.”.- a例如，例如，4的平方根是的平方根是2與與- -2，即，即4 =2.例如，例如，4的算術(shù)平方根是的算術(shù)平方根是2，即：，即：. 24 例如，例如，4的負(fù)平方根是的負(fù)平方根是- -2，即：，即：. 24零的平方根是多少零的平方根是多少？說一說說一說 由于由于0

6、2=0，而非零數(shù)的平方不等，而非零數(shù)的平方不等于于0，因此，因此零的平方根就是零的平方根就是0本身本身.我我們把們把0的平方根也叫作的平方根也叫作0的算術(shù)平方的算術(shù)平方根，記作根，記作 ，即即 .00=0 即即0 0的平方根無正負(fù)之分，的平方根無正負(fù)之分，0 0的的平方根與算術(shù)平方根都是平方根與算術(shù)平方根都是0 0本身。本身。 由于同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，且由于同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，且0 02 2=0=0，即在迄今為止我們所認(rèn)識的數(shù)中，任何一即在迄今為止我們所認(rèn)識的數(shù)中，任何一個數(shù)的平方都不會是負(fù)數(shù)，因此個數(shù)的平方都不會是負(fù)數(shù)，因此負(fù)數(shù)沒有負(fù)數(shù)沒有平方根平方根. . 求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)求一個非

7、負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作算，叫作開平方開平方. .負(fù)數(shù)有平方根嗎負(fù)數(shù)有平方根嗎？兩個兩個 正數(shù)的平方根有什么特點(diǎn)？正數(shù)的平方根有什么特點(diǎn)？ 0 0的平方根是多少？的平方根是多少？ 負(fù)數(shù)有平方根嗎？負(fù)數(shù)有平方根嗎？互為相反數(shù)互為相反數(shù)0沒有平方根沒有平方根正數(shù)有正數(shù)有 平方根，它們是平方根，它們是.0的平方根是的平方根是 ; 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù).結(jié)論結(jié)論aa（a a的算術(shù)平方的算術(shù)平方根）根）互為相反數(shù)互為相反數(shù))0a ( （a的負(fù)平方根）的負(fù)平方根）平方根的性質(zhì)平方根的性質(zhì)(1)一個正數(shù)有一個正數(shù)有2個個平方根，它們平方根，它們互為相反數(shù)互為相反數(shù)；(2)0的平方根與算術(shù)平方根都是的平方根與算術(shù)平方根都

8、是0；(3)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)沒有平方根沒有平方根。a-aa代數(shù)式的意義代數(shù)式的意義 代數(shù)式的表達(dá)代數(shù)式的表達(dá)a a的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根a a的負(fù)平方根的負(fù)平方根（或（或a a的算術(shù)平方根的相反數(shù)）的算術(shù)平方根的相反數(shù)）a a的平方根的平方根討論討論平方根的表示方法平方根的表示方法:（a0）平方根與算術(shù)平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系平方根與算術(shù)平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別區(qū)別 定義定義 個個數(shù)數(shù)符符號號表示法表示法等于本身的數(shù)等于本身的數(shù) 平方根 算術(shù)平方根 aaax 2xa如果 那么 叫做 的平方根。ax 2)0(xxa如果 那么 叫做 的算術(shù)平方根1 12 2+00、1二者有著包含關(guān)系：平方根中包含算術(shù)平

9、方根，算術(shù)二者有著包含關(guān)系：平方根中包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的非負(fù)的那一個；平方根是平方根中的非負(fù)的那一個；存在條件相同，非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根；存在條件相同，非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根；0的平方根和的平方根和0的算術(shù)平方根都是的算術(shù)平方根都是0。 表示什么表示什么?這里被開方數(shù)這里被開方數(shù)a 可以取可以取什么樣的數(shù)什么樣的數(shù)? a探究探究);0(0aa且即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)。即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)。; 0|a. 02a即一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)。即一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)。即一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)。即一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)。非非負(fù)負(fù)性性 開平方與平方互為逆運(yùn)

10、算開平方與平方互為逆運(yùn)算，根，根據(jù)這種關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方據(jù)這種關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根根.+1- -1+2- -2+3- -3149開平方開平方平方平方舉舉例例例例1 分別求下列各數(shù)的平方根：分別求下列各數(shù)的平方根： 36， ，1.21，7259解解 由于由于62=36， 因此因此36的平方根是的平方根是6與與- -6.36是正數(shù)是正數(shù)（1）36 有兩個平方根有兩個平方根 即即36=6 .解解（2） 259 由于由于 2= ，25953有兩個平方根有兩個平方根 因此因此 的平方根是的平方根是 與與 .5325953- -255= .93即即解解 由于由于1.12=1.21，有兩個平方根

11、有兩個平方根（3）1.21 因此因此1.21的平方根是的平方根是1.1與與- -1.1.即即1.21=1.1 .（4）7. 77的平方根為解：舉舉例例例例2 分別求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：分別求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： 100， ， 0.49 ，151625解解 由于由于102=100，（1）100 算術(shù)平方根就是正平方根算術(shù)平方根就是正平方根 因此因此 ；10010 2516)2(，解：由于2516542.542516因此49. 0)3(，）解：由于（49. 07 . 02. 7 . 049. 0因此（4）15.1515的算術(shù)平方根為解：結(jié)論結(jié)論平方根及算術(shù)平方根的求法：平方根及算術(shù)平方根的求法

12、：若開方能直接開盡，則開出來；若開方能直接開盡，則開出來；若開不盡，則保留根號形式。若開不盡，則保留根號形式。 分別求下列各數(shù)的平方根：分別求下列各數(shù)的平方根： 9， 13. 399的平方根為解：.1313的平方根為解：已知已知a、b滿足等式滿足等式 +2b+5=0, 求求a2-12b的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根.2a補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)0|5|2 , 02ba解：分析得：解：分析得：05, 02ba. 5, 2ba即：)5(1221222ba. 864 我們已學(xué)習(xí)了我們已學(xué)習(xí)了3種非負(fù)數(shù)，即絕對值、偶數(shù)次種非負(fù)數(shù)，即絕對值、偶數(shù)次方、算術(shù)平方根。幾個非負(fù)數(shù)的和為零，它們就方、算術(shù)平方根。幾個非負(fù)數(shù)的

13、和為零，它們就同時為零，然后轉(zhuǎn)化為方程（或方程組）來解。同時為零，然后轉(zhuǎn)化為方程（或方程組）來解。練習(xí)練習(xí)1. 分別求分別求 64， ， 6.25 的的平方根平方根.49812. 分別求分別求 81， ， 0.16 的的算術(shù)平方根算術(shù)平方根.25643. 判斷下列說法是否正確判斷下列說法是否正確.正確正確.（4）( (- -4) )2的平方根是的平方根是- -4.（1） 是是 的一個平方根的一個平方根；572549（2） 是是6的算術(shù)平方根；的算術(shù)平方根；6（3） 的值是的值是4； 16正確正確.不正確不正確.不正確，是不正確，是4.4.下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平下列各數(shù)有平方根嗎

14、？如果有，求出它的平 方方根根; 如果沒有，請說明理由。如果沒有，請說明理由。-64， 0， （-4）2， 54) 的平方根是的平方根是 4 ( )161) 1.21 的平方根是的平方根是 1.1 ( )2) 9 的平方根是的平方根是 3 ( )3) -5 是是 25 的一個平的一個平方根方根 ( )5) 平方根是本身的數(shù)有平方根是本身的數(shù)有0 ,1 ( )提高練習(xí)提高練習(xí)填填空：空：（1）（）（-5）2的平方根是的平方根是 ，算術(shù)平方根，算術(shù)平方根 是是 ；55（2） 的平方根是的平方根是 ，算術(shù)平方，算術(shù)平方 根是根是 。1622（3）若）若x2=3，則，則 x= ，若，若 =3，則，則

15、x= ；2x（4）若（）若（x-1）2=4，則則x= ，33或或1（5）若一個數(shù)的一個平方根為）若一個數(shù)的一個平方根為-7，則另一個，則另一個平方根為平方根為 ，這個數(shù)是，這個數(shù)是 。749（6）若一個正數(shù)的兩個平方根為）若一個正數(shù)的兩個平方根為2a-6、3a+1，則則a= ，這個正數(shù)為，這個正數(shù)為 ；11631、下列各數(shù)中，不一定有平方根的是、下列各數(shù)中，不一定有平方根的是（ ）（A）x2+1 （B）|x|+2 （C） （D）|a|-11a D2 2、已知、已知 有意義有意義, ,則則x一定是一定是( ) ( ) A. A.正數(shù)正數(shù) B. B. 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) C. C. 非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù) D. D. 非正數(shù)非正數(shù)Dx選擇題：求下列各式的值：求下列各式的值： 1） 2） 3） 4） 5）14481. 0-（ ）256(-7)21961211.已知：求： 平方根。aba032|73|21yxyx02569)1(2x2.根據(jù)平方根的定義解下列方程：根據(jù)平方根的定義解