第七章 立體幾何

1、第七章立 體 幾 何第一節(jié)簡(jiǎn)單幾何體及三視圖與直觀圖1簡(jiǎn)單幾何體(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到(2)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征：棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形；棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形2直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45&

2、#176;(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半3三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線(2)三視圖的畫法基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線1臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)2空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同3對(duì)于簡(jiǎn)單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是

3、它們的分界線，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫法試一試1沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析：選B給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項(xiàng)為B(而不是A)圖1圖22用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3 cm，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi) cm.解析：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為116，設(shè)半徑分別為r,4r.設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三

4、角形的性質(zhì)得，解得l9.所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9 cm.答案：91由三視圖還原幾何體的方法2斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”“三不變”3按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖4轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺(tái)、圓臺(tái)的有關(guān)問(wèn)題由棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，?！斑€臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想練一練1如圖是兩個(gè)全等的正三角形，給定下列三個(gè)命題：存在四棱錐，其主視圖、左視圖如圖；存在三棱錐，其主視圖、左視圖如圖；存在圓錐，其主視圖

5、、左視圖如圖其中真命題的個(gè)數(shù)是()A3B2C1 D0解析：選A對(duì)于，存在斜高與底邊長(zhǎng)相等的正四棱錐，其主視圖與左視圖是全等的正三角形對(duì)于，存在如圖所示的三棱錐S ­ABC，底面為等腰三角形，其底邊AB的中點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，側(cè)面SAB上的斜高為SD，且CBABSDSE，頂點(diǎn)S在底面上的射影為AC的中點(diǎn)，則此三棱錐的主視圖與左視圖是全等的正三角形對(duì)于，存在底面直徑與母線長(zhǎng)相等的圓錐，其主視圖與左視圖是全等的正三角形所以選A.2已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么ABC的直觀圖ABC的面積為_(kāi)解析：如圖，圖、圖所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖從圖可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin

6、45°×.所以SABCAB·CD×2×.答案：考點(diǎn)一簡(jiǎn)單的幾何體的結(jié)構(gòu)特征1用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A圓柱B圓錐C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體選C.2下列結(jié)論正確的是()A各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等，則該棱錐可能是六棱錐D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：選DA錯(cuò)誤，如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起

7、構(gòu)成的幾何體，它的各個(gè)面都是三角形，但它不是三棱錐；B錯(cuò)誤，如圖2，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐；C錯(cuò)誤，若該棱錐是六棱錐，由題設(shè)知，它是正六棱錐易證正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必大于底面邊長(zhǎng)，這與題設(shè)矛盾圖1圖23設(shè)有以下四個(gè)命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)其中真命題的序號(hào)是_解析：命題符合平行六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題是錯(cuò)誤的；命題由棱臺(tái)的

8、定義知是正確的答案：類題通法解決此類題目需準(zhǔn)確理解定義，把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并學(xué)會(huì)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出反例否定即可考點(diǎn)二幾何體的三視圖典例(2013·四川高考改編)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是()A棱柱B棱臺(tái)C圓柱 D圓臺(tái)解析由俯視圖可排除A，B，由主視圖可排除C，選D.答案D類題通法根據(jù)幾何體畫三視圖，要嚴(yán)格按以下幾點(diǎn)執(zhí)行(1)三視圖的安排位置，主視圖、左視圖分別放在左右兩邊，俯視圖在主視圖的下邊(2)注意實(shí)虛線的區(qū)別針對(duì)訓(xùn)練1(2014·山西模擬)如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱AA1平面A1B

9、1C1，主視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該三棱柱的左視圖的面積為()A4 B2C2 D.解析：選B依題意得，該幾何體的左視圖是邊長(zhǎng)分別為2和的矩形，因此其左視圖的面積為2，選B.2(2014·吉林質(zhì)檢)已知某組合體的主視圖與左視圖相同，如圖所示，其中ABAC，四邊形BCDE為矩形，則該組合體的俯視圖可以是_(把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上)解析：直觀圖如圖1的幾何體(上部是一個(gè)正四棱錐，下部是一個(gè)正四棱柱)的俯視圖為；直觀圖如圖2的幾何體(上部是一個(gè)正四棱錐，下部是一個(gè)圓柱)的俯視圖為；直觀圖如圖3的幾何體(上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱)的俯視圖為；直觀圖如圖4的幾何體(上部是一個(gè)圓錐，下

10、部是一個(gè)正四棱柱)的俯視圖為.答案：考點(diǎn)三幾何體的直觀圖典例如圖所示，ABC是ABC的直觀圖，且ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求ABC的面積解建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy，ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，邊AB在x軸上，把y軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC2OC，A，B點(diǎn)即為A，B點(diǎn)，長(zhǎng)度不變已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以O(shè)Caa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABC×a×aa2.本例若改為“已知ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖ABC的面積”應(yīng)如何求？解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，直觀圖ABC一底邊上的高為a××

11、aSABC×a×aa2.類題通法對(duì)于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測(cè)畫法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S之間的關(guān)系SS，能更快捷地進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算針對(duì)訓(xùn)練等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為_(kāi)解析：OE 1，OE，EF，直觀圖ABCD的面積為S×(13)×.答案：課堂練通考點(diǎn)1(2013·西城模擬)有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)()A棱臺(tái)B棱錐C棱柱 D都不對(duì)解析：選A從俯視圖來(lái)看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái)2(2013&

12、#183;長(zhǎng)春調(diào)研)一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖不可能為()A正方形 B圓C等腰三角形 D直角梯形解析：選D當(dāng)幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體，其中一個(gè)側(cè)面為正方形時(shí)，A可能；當(dāng)幾何體是橫放的一個(gè)圓柱時(shí)，B可能；當(dāng)幾何體是橫放的三棱柱時(shí)，C可能；只有D不可能，故選D.3長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形如圖所示給定下列四個(gè)命題：存在三棱柱，其主視圖、左視圖如圖；存在四棱柱，其俯視圖與其中一個(gè)視圖完全一樣；存在圓柱，其主視圖、左視圖如圖；若矩形的長(zhǎng)與寬分別是2和1，則該幾何體的最大體積為4.其中真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào))解析：對(duì)于，將三棱柱正放時(shí)(三角形面為底面)能滿足要求；不正確，

13、俯視圖應(yīng)該是正方形不是矩形；正確，將圓柱正放(圓面為底面)滿足要求；正確，當(dāng)該幾何體是長(zhǎng)方體時(shí)體積最大，最大體積為4.答案：4正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)均為，其主視圖和左視圖是全等的等腰三角形，則主視圖的周長(zhǎng)為_(kāi)解析：由題意知，主視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，則BF1，在RtPBF中，BF1，PB，于是PF，同理PE，故其主視圖的周長(zhǎng)為22.答案：225如圖所示的是一個(gè)零件的直觀圖，試畫出這個(gè)幾何體的三視圖解：由三視圖知該幾何體為課下提升考能第組：全員必做題1.(2014·青島模擬)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐后，得到的幾何體的直觀圖如右圖所示，則該幾

14、何體的俯視圖為()解析：選C長(zhǎng)方體的側(cè)面與底面垂直，所以俯視圖是C.2三視圖如圖所示的幾何體是()A三棱錐 B四棱錐C四棱臺(tái) D三棱臺(tái)解析：選B由三視圖知該幾何體為一四棱錐，其中有一側(cè)棱垂直于底面，底面為一直角梯形3(2013·鄭州模擬)一個(gè)錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是()解析：選C注意到在三視圖中，俯視圖的寬度應(yīng)與左視圖的寬度相等，而在選項(xiàng)C中，其寬度為，與題中所給的左視圖的寬度1不相等，因此選C.4給出下列四個(gè)命題：各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長(zhǎng)方體一定

15、是正四棱柱其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選A反例：直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；顯然錯(cuò)誤，故選A.5.用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為()A4 cm2 B4 cm2C8 cm2 D8 cm2解析：選C依題意可知BAD45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC、AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2.6(2014·江西九校聯(lián)考)如圖，三棱錐V ­

16、;ABC的底面為正三角形，側(cè)面VAC與底面垂直且VAVC，已知其主視圖的面積為，則其左視圖的面積為()A. B.C. D.解析：選B由題意知，該三棱錐的主視圖為VAC，作VOAC于O，連接OB，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，高VOh，則VAC的面積為×2a×hah.又三棱錐的左視圖為RtVOB，在正三角形ABC中，高OBa，所以左視圖的面積為OB·OV×a×hah×.7如圖所示，三棱錐P ­ABC的底面ABC是直角三角形，直角邊長(zhǎng)AB3，AC4，過(guò)直角頂點(diǎn)的側(cè)棱PA平面ABC，且PA5，則該三棱錐的主視圖是()解析：選D三棱錐的主視圖即

17、是光線從三棱錐模型的前面向后面投影所得到投影圖形結(jié)合題設(shè)條件給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知D正確8(2013·東莞調(diào)研)已知三棱錐的主視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三棱錐的左視圖可能為()解析：選B由三視圖間的關(guān)系，易知其左視圖是一個(gè)底邊為，高為2的直角三角形，故選B.9一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則左視圖的面積為_(kāi)解析：依題意得設(shè)幾何體的左視圖面積為22×2×4.答案：410給出下列命題：在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直

18、四棱柱其中正確命題的序號(hào)是_解析：正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD­A1B1C1D1中的四面體A ­CB1D1；錯(cuò)誤，反例如圖所示，底面ABC為等邊三角形，可令A(yù)BVBVCBCAC，則VBC為等邊三角形，VAB和VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面答案：11.一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則這個(gè)幾何體的俯視圖可能是下列圖形中的_(填入所有可能的圖形前的編號(hào))銳角三角形；直角三角形；四邊形；扇形；圓解析：如圖1所示，直三棱柱ABE ­A1B1E1符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖AB

19、E是銳角三角形；如圖2所示，直三棱柱ABC ­A1B1C1符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖ABC是直角三角形；如圖3所示，當(dāng)直四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)分別是正方體上、下各邊的中點(diǎn)時(shí)，所得直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖(四邊形ABCD)是正方形；若俯視圖是扇形或圓，體積中會(huì)含有，故排除.答案：12.(2013·合肥檢測(cè))已知正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2 cm的正方形，則這個(gè)正四面體的主視圖的面積為_(kāi)cm2.解析：構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正方體ABCD­A1B1C1D1，在此正方體中作出一個(gè)正

20、四面體AB1CD1，易得該正四面體的主視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm的等腰三角形，從而可得主視圖的面積為2 cm2.答案：2第組：重點(diǎn)選做題1已知：圖是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖是某幾何體的三視圖，試說(shuō)明該幾何體的構(gòu)成解：圖幾何體的三視圖為：圖所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體2已知正三棱錐V ­ABC的主視圖、左視圖和俯視圖如圖所示(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出左視圖的面積解：(1)直觀圖如圖所示(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC2，左視圖中VA 2，SVBC×2×26.第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公

21、理1空間圖形的基本關(guān)系(1)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外(2)點(diǎn)和平面的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外(3)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行直線、相交直線和異面直線(4)空間直線和平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)、直線和平面相交、直線與平面平行(5)空間兩平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面平行和兩平面相交2空間圖形的公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線公理4(平行公理)：平行于

22、同一條直線的兩條直線平行3定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4異面直線所成的角如圖所示，過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角，如果兩條異面直線所成的角是直角，我們稱這兩條直線互相垂直，記作：ab.1異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交2直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”試一試1下列說(shuō)法正確的是()A若a，b，則a與b是異面直線B若a與b異面，b與c異面，則

23、a與c異面C若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面D若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面解析：選D由異面直線的定義可知選D.2若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()AbBbCb或b Db與相交或b或b解析：選Db與相交或b或b都可以1求異面直線所成角的方法(1)平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問(wèn)題，這是求異面直線所成角的常用方法(2)補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角2證明共面問(wèn)題的兩種途徑(1)首先由條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證其他線(或點(diǎn))在此平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個(gè)平面重合3證明共線問(wèn)題的兩種途徑(

24、1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上4證明共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)練一練1如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()解析：選DA，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為_(kāi)解析：如圖連接BA1.BA1CD1，A1BE為所求在A1BE中，設(shè)AB1，則AA12，A1B，A1E1，BE.cosA1BE.答案：考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用1(2013

25、3;安徽高考)在下列命題中，不是公理的是()A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)， 那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線解析：選A選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來(lái)的，而公理是不需要證明的2下列命題：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選C對(duì)于，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線，故錯(cuò)誤；正確；對(duì)于，三條直線兩兩相交，如

26、空間直角坐標(biāo)系，能確定三個(gè)平面，故正確；對(duì)于，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)共線，則兩平面也可能相交，故錯(cuò)誤3(2013·南京模擬)如圖，已知：E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)，證明：EF，HG，DC三線共點(diǎn)證明：連接C1B，HE，GF，如圖所示由題意知HC1綊EB，四邊形HC1BE是平行四邊形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，故GF綊C1B，GFHE，且GFHE，HG與EF相交，設(shè)交點(diǎn)為K，則KHG.又HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD.平面D1C1CD平面ABCDDC，KDC，E

27、F，HG，DC三線共點(diǎn)類題通法1證明共點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是先確定點(diǎn)后，再證明此點(diǎn)在第三條直線上，這個(gè)第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線，可以利用公理3證明2證明過(guò)程中要注意符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)準(zhǔn)確，公理成立的條件要完善考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系典例(1)(2013·江西省七校聯(lián)考)已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A相交或平行B相交或異面C平行或異面 D相交、平行或異面解析依據(jù)題意，b，c分別為a在，內(nèi)的射影，可判斷b，c相交、平行或異面均可答案D(2)已知空間四邊形ABCD中，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD的

28、中點(diǎn)求證：BC與AD是異面直線；求證：EG與FH相交證明假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為，則B，C，A，D.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾所以BC與AD是異面直線如圖，連接AC，BD，則EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，則EFGH為平行四邊形又EG，F(xiàn)H是EFGH的對(duì)角線，所以EG與HF相交類題通法1異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到2客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線

29、，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線針對(duì)訓(xùn)練若直線l不平行于平面，且l，則()A內(nèi)的所有直線與l異面B內(nèi)不存在與l平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與l平行D內(nèi)的直線與l都相交解析：選B如圖，設(shè)lA，內(nèi)直線若經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，則與直線l相交；若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則與直線l異面考點(diǎn)三異面直線所成的角典例(2013·福州模擬)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，設(shè)AB1，則AA12，A1C1，A

30、1BBC1，故cosA1BC1.答案D在本例條件下，若點(diǎn)P在平面A1C1內(nèi)且不在對(duì)角線B1D1上，過(guò)點(diǎn)P在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成角，且.這樣的直線可作幾條？解：在平面A1C1內(nèi)作m，使m與B1D1相交成角BDB1D1，直線m與BD也成角即m為所求且m與BD是異面直線，當(dāng)時(shí)，m只有一條，當(dāng)時(shí)，這樣的直線有兩條類題通法用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角針對(duì)訓(xùn)練如

31、圖所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，ADBC2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF，則異面直線AD和BC所成的角為_(kāi)解析：如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EGBC且EGBC1，F(xiàn)GAD，且FGAD1.即EGF為所求，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90°.答案：90°課堂練通考點(diǎn)1對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面，使得()Aa，bBa，bCa，b Da，b解析：選B不相交的直線a，b的位置有兩種：平行或異面當(dāng)a，b異面時(shí)，不存在平面滿足A，C；又只有當(dāng)ab時(shí)，D才可能成立2如圖，ABCD ­A1B1C1D1是長(zhǎng)方

32、體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()AA，M，O三點(diǎn)共線 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：選A連接A1C1，AC，則A1C1AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C平面ACC1A1，因?yàn)镸A1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線故選A.3.如圖是某個(gè)正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，l1與l2()A.互相平行 B異面且互相垂直C異面且?jiàn)A角為

33、 D相交且?jiàn)A角為解析：選D將側(cè)面展開(kāi)圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點(diǎn)重合故l1與l2相交，連接AD，則ABD為正三角形，所以l1與l2的夾角為.故選D.4設(shè)a，b，c是空間的三條直線，下面給出四個(gè)命題：若ab，bc，則ac；若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面其中真命題的個(gè)數(shù)是_解析：ab，bc，a與c可以相交、平行、異面，故錯(cuò)a，b異面，b，c異面，則a，c可能異面、相交、平行，故錯(cuò)由a，b相交，b，c相交，則a，c可以異面、相交、平行，故錯(cuò)同理錯(cuò)，故真命題的個(gè)數(shù)為0.答案：05(2

34、013·銀川模擬)如圖所示，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小解析：(1)如圖，連接AC，AB1，由ABCD ­A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由AA1CC1，且AA1CC1可知A1ACC1是平行四邊形，所以ACA1C1.即AC與EF所成的角就是A1C1

35、與EF所成的角因?yàn)镋F是ABD的中位線，所以EFBD.又因?yàn)锳CBD，所以EFAC，即所求角為90°.課下提升考能第組：全員必做題1若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c()A一定平行 B一定相交C一定是異面直線 D一定垂直解析：選Dab，bc，ac.2(2014·聊城模擬)對(duì)于任意的直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l()A平行 B相交C垂直 D互為異面直線解析：選C不論l，l還是l與相交，內(nèi)都有直線m使得ml.3(2013·廣州模擬)若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的()A充分不必要條件 B必要不充分

36、條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若兩直線為異面直線，則兩直線無(wú)公共點(diǎn)，反之不一定成立4(2013·新鄉(xiāng)月考)已知異面直線a，b分別在平面，內(nèi)，且c，那么直線c一定()A與a，b都相交B只能與a，b中的一條相交C至少與a，b中的一條相交D與a，b都平行解析：選C若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，則ab，與a，b異面矛盾5若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則()A過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行B過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直C過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交D過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面解析：選B對(duì)于A，若正確，則lm，這與

37、已知矛盾，由此排除A；對(duì)于B，由于l和m有且只有一條公垂線a，而過(guò)P有且只有一條直線與直線a平行，故B正確；易知C、D不正確6.(2014·三亞模擬)如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為()A. BC. D解析：選A延長(zhǎng)CD至H.使DH1，連接HG、HF、則HFAD.HFDA，GF，HG.cos HFG.7.(2013·滄州模擬)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，

38、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()A45° B60°C90° D120°解析：選B連接AB1，易知AB1EF，連接B1C，B1C與BC1交于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則GHAB1EF.設(shè)ABBCAA1a，連接HB，在三角形GHB中，易知GHHBGBa，故所求的兩直線所成的角即為HGB60°.8(2013·臨沂模擬)過(guò)正方體ABCD ­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A1條 B2條C3條 D4條解析：選D如圖，連接體對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱

39、AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線，如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，過(guò)A點(diǎn)分別作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條9.如圖，平行六面體ABCD ­A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱有_條解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合

40、條件的有5條答案：510.如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DEMN.答案：11如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為_(kāi)對(duì)解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而

41、AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行故互為異面的直線有且只有3對(duì)答案：312如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，BCBCO，則AO與AC所成角的度數(shù)為_(kāi)解析：ACAC，AO與AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BBCC，OCAB.又ABBOB，OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30°.即AO與AC所成角的度數(shù)為30°.答案：30°第組：重點(diǎn)選做題1A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角解：(1)

42、證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.2(2013·許昌調(diào)研)如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1

43、)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)GGA，F(xiàn)HHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中點(diǎn)知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面第三節(jié)平行關(guān)系1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la，a，l，l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平

44、行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb2平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，a，b，ab1直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件2面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件3如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交試一試1下列說(shuō)法中正確的是()一條直線如果和一個(gè)平面平

45、行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行；一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無(wú)公共點(diǎn)；過(guò)直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行；如果直線l和平面平行，那么過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在內(nèi)ABC D解析：選D由線面平行的性質(zhì)定理知正確；由直線與平面平行的定義知正確；錯(cuò)誤，因?yàn)榻?jīng)過(guò)一點(diǎn)可作一直線與已知直線平行，而經(jīng)過(guò)這條直線可作無(wú)數(shù)個(gè)平面2設(shè)l，m，n表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若ml，且m，則l；若ml，且m，則l；若l，m，n，則lmn；若m，l，n，且n，則lm.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選B易知正確；錯(cuò)誤，l與的具體關(guān)系不能確

46、定；錯(cuò)誤，以墻角為例即可說(shuō)明；正確，可以以三棱柱為例說(shuō)明故選B.1轉(zhuǎn)化與化歸思想平行問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化關(guān)系2判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的，判定線面平行的兩種方法：(1)利用線面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面練一練1a、b、c為三條不重合的直線，、為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題 a a其中正確的命題是()A BC D解析：選C正確錯(cuò)在與可能相交錯(cuò)在a可能在內(nèi)2如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn)，N是

47、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件_時(shí)，有MN平面B1BDD1.解析：由平面HNF平面B1BDD1知，當(dāng)M點(diǎn)滿足在線段FH上有MN平面B1BDD1.答案：M線段FH考點(diǎn)一線面平行、面面平行的基本問(wèn)題1有互不相同的直線m，n，l和平面，給出下列四個(gè)命題：若m，lA，Am，則l與m不共面；若m，l是異面直線，l，m，且nl，nm，則n；若m，n是相交直線，m，m，n，n，則；若l，m，則lm.其中真命題有()A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè) D1個(gè)解析：選B由異面直線的判定定理，易知是真命題；由線面平行的性質(zhì)知，存在直線l，m，使得ll，mm，m，l是異面直線，l與m是相交直線，又nl，

48、nm，nl，nm，故n，是真命題；由線面平行的性質(zhì)和判定知是真命題；滿足條件l，m，的直線m，l或相交或平行或異面，故是假命題，于是選B.2(2013·濟(jì)寧模擬)過(guò)三棱柱ABC ­A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1 平行的直線共有_條解析：過(guò)三棱柱ABC ­A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條答案：6類題通法解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)判定定理與性質(zhì)定

49、理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)典例(2013·新課標(biāo))如圖，直三棱柱ABC ­A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB2，求三棱錐C ­A1DE的體積解(1)證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因?yàn)锳BC ­A1B1

50、C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點(diǎn)，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90°，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VC ­A1DE××××1.在本例條件下，線段BC1上是否存在一點(diǎn)M使得DM平面A1ACC1？解：存在當(dāng)M為BC1的中點(diǎn)時(shí)成立證明如下：連接DM，在ABC1中，D，M分別為AB，BC1的中點(diǎn)DM綊AC1，又DM平面A1ACC1AC1平面A1ACC1，DM平面A1ACC1.類題通法證明線面平行的關(guān)鍵點(diǎn)及探求線線平行的方法(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；(2)利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行；(3)注意說(shuō)明已知的直線不在平面內(nèi)，即三個(gè)條件缺一不可針對(duì)訓(xùn)練(2014·長(zhǎng)春三校調(diào)研)如圖，已知四棱錐P ­ABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB90°，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點(diǎn)(1)求證：AMCM；(2)若N是PC的中點(diǎn)，求證：DN平面AMC.證明：(1)在直角梯