第三部分 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、基本知識(shí)點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)3 固有振型的正交性固有振型的正交性2 多自由度系統(tǒng)特征值問題（固有頻率及固有振型）多自由度系統(tǒng)特征值問題（固有頻率及固有振型）1 多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程5例題例題1 多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程牛頓力學(xué)方法：牛頓力學(xué)方法：分析力學(xué)方法：分析力學(xué)方法： 這種方法必須考慮約束反力并畫出物體系統(tǒng)的受力這種方法必須考慮約束反力并畫出物體系統(tǒng)的受力圖，對于一些簡單問題，采用這種方法比較直觀簡便。圖，對于一些簡單問題，采用這種方法比較直觀簡便。 這種方法首先應(yīng)該合理選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，然

2、后這種方法首先應(yīng)該合理選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，然后根據(jù)拉格朗日方程等分析力學(xué)方法，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方根據(jù)拉格朗日方程等分析力學(xué)方法，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，由于這種方法僅涉及動(dòng)能、勢能和功等標(biāo)量形式的程，由于這種方法僅涉及動(dòng)能、勢能和功等標(biāo)量形式的物理量，對于復(fù)雜的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)建立運(yùn)動(dòng)微分方物理量，對于復(fù)雜的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)建立運(yùn)動(dòng)微分方程較為方便。程較為方便。MqCqKqQ)(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 , 1(nj2 多自由度系統(tǒng)特征值問題（固有頻率及固有振型）多自由度系統(tǒng)特征值問題（固有頻率及固有振型）按無阻尼自由振動(dòng)方程進(jìn)行求解按無阻尼自由振動(dòng)方程進(jìn)行求解固有頻率求解：固有頻率求

3、解：MqKq022()det()0KM021)2(22)1(212nnnnnaaaa 將求得的固有頻率將求得的固有頻率r (r=1,2,n)分別代入下面的方分別代入下面的方程，得程，得2( )()(1,2, )rrrnKM u0固有振型求解：固有振型求解：正則振型正則振型 振型向量可以排列成為振型向量可以排列成為n階方陣，稱為階方陣，稱為模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣( (或或振型矩陣振型矩陣) )，即，即(1)(2)( )nuuuu 一個(gè)很簡便的正則化方法就是令一個(gè)很簡便的正則化方法就是令( )T( )1(1,2, )rruurnM 有有( )T( )2(1,2, )rrruurnK3 固有振型的正交性（

4、主振型）固有振型的正交性（主振型）( )T( )0()srrsuMu( )T( )rrrMuMu( )T( )0()srrsuKu( )T( )rrrKuKuT12nMMMru MuMT12nKKKru KuK3 固有振型的正交性（正則振型）固有振型的正交性（正則振型）( )T( )0()srrsuMu( )T( )1rruMu( )T( )0()srrsuKu( )T( )2rrruKuT111rMu MuIT21222nrKu Ku4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的類型：求解的類型：u無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)u無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對任意

5、激勵(lì)的響應(yīng)無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對任意激勵(lì)的響應(yīng)u有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對各種激勵(lì)的響應(yīng)有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對各種激勵(lì)的響應(yīng)（簡諧激勵(lì)、周期激勵(lì)、任意激勵(lì)）（簡諧激勵(lì)、周期激勵(lì)、任意激勵(lì)）4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的基本步驟：求解的基本步驟：(1)(1)列出振動(dòng)微分方程列出振動(dòng)微分方程無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)有阻尼各種激勵(lì)振有阻尼各種激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)系統(tǒng)MqKq0無阻尼任意激振無阻尼任意激振振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng) Mq tKq tF t Mq tCq tKq tF t( )( )1rrruu( )( )TrrruMu4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的基本步驟

6、：求解的基本步驟：(2)(2)求系統(tǒng)的特征值和特征向量（固有頻率及主振型）求系統(tǒng)的特征值和特征向量（固有頻率及主振型）22()det()0KM2( )()(1,2, )rrrnKM u0(3)(3)將固有振型轉(zhuǎn)換成正則振型將固有振型轉(zhuǎn)換成正則振型正則振型正則振型主振型主振型正則化因子正則化因子組成正則振型矩陣組成正則振型矩陣(1)(2)( )nuuuu4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的基本步驟：求解的基本步驟：(4)(4)用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換（方程組解耦）用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換（方程組解耦）令令 q tu tn代入無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)，并用代入無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

7、，并用uT左乘方程左乘方程 TTTu Mu tu Ku tu F tN(t) tNttrrrr2 ), 2 , 1(nrn代入無阻尼任意激振振動(dòng)系統(tǒng)，并用代入無阻尼任意激振振動(dòng)系統(tǒng)，并用uT左乘方程左乘方程 TTu Mu tu ku t0 02ttrrr ), 2 , 1(nr4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的基本步驟：求解的基本步驟：n代入有阻尼各種激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)，并用代入有阻尼各種激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)，并用uT左乘方程左乘方程（阻尼應(yīng)為比例阻尼、振型阻尼）（阻尼應(yīng)為比例阻尼、振型阻尼） 202sin()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 T0rrN0uF TTTTu

8、 Mu tu Cu tu Ku tu F tN(t)1 1）簡諧激勵(lì)，）簡諧激勵(lì)， sint0F tF4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的基本步驟：求解的基本步驟： 2012cossin2rrrrrrrjjjtttaNtaj tbj t nr, 2 , 1 2 2）周期激勵(lì)，）周期激勵(lì)， ()ttjTFF4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)求解的基本步驟：求解的基本步驟： 3 3）任意激勵(lì)，）任意激勵(lì)， 22( )rrrrrrrtttN t nr, 2 , 1(5)(5)按單自由度相關(guān)方法求各正則坐標(biāo)下的響應(yīng)按單自由度相關(guān)方法求各正則坐標(biāo)下的響應(yīng)n各正則坐

9、標(biāo)下單自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)，對初始條件的各正則坐標(biāo)下單自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)，對初始條件的響應(yīng)響應(yīng) 1 1）原坐標(biāo)下的初始條件變換為正則坐標(biāo)下的初始條件）原坐標(biāo)下的初始條件變換為正則坐標(biāo)下的初始條件100u q100u qTT,0000u Mqu Mq4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng) 2 2）初始條件響應(yīng)求解公式）初始條件響應(yīng)求解公式 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nrn各正則坐標(biāo)下單自由度無阻尼任意激振振動(dòng)系統(tǒng)的響各正則坐標(biāo)下單自由度無阻尼任意激振振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)應(yīng) 1 1）原坐標(biāo)下的初始條件變換為正則坐標(biāo)下的初始條件）原坐標(biāo)下的初始條件變換為正則坐標(biāo)下的初

10、始條件 2 2）任意激振響應(yīng)求解公式）任意激振響應(yīng)求解公式(5.6-14) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)n各正則坐標(biāo)下單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對各種激振的各正則坐標(biāo)下單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對各種激振的響應(yīng)響應(yīng) 1 1）簡諧激勵(lì)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）簡諧激勵(lì)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 02222sin12rrrrrrrNtt 122tg1rrrr rr T0rrN0uF4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng) 2 2）周期激勵(lì)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）周期激勵(lì)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat式

11、中式中 2222112rjrrrHjjj1222tg1rrrjrjjrr4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng) 3 3）任意激勵(lì)）任意激勵(lì) 000 0ecossin1esindrrrrtrrrrrrdrdrdrttrdrdrtttNt 21drrr TT00,rrrr00uMquMq經(jīng)過上述步驟可求得正則坐標(biāo)下的響應(yīng)經(jīng)過上述步驟可求得正則坐標(biāo)下的響應(yīng) 12( )( )( )Tnttt(t)4 對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)對多自由度系統(tǒng)振動(dòng)求響應(yīng)(5)(5)變換為原坐標(biāo)下的響應(yīng)變換為原坐標(biāo)下的響應(yīng) 111121212221212( )( )( )nrrrnnnnnnntuuuuuutt

12、tuuuq tu(t)u123000000mmmM5 例題例題 求解振動(dòng)方程求解振動(dòng)方程圖示三自由度有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)。已知：圖示三自由度有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)。已知： 試建立該系統(tǒng)的振試建立該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并寫出系統(tǒng)的特征矩陣。動(dòng)微分方程，并寫出系統(tǒng)的特征矩陣。 kkk41kk5 . 123,2kk123,mmmm1k2k3k4k1r2r3r4r1m2m3m1Q2Q3Q1x2x3x解：解： 122223333400kkkkkkkkkkK122223333400rrrrrrrrrrC123QQQQ123xxxX5 例題例題 求解振動(dòng)方程求解振動(dòng)方程123xxxX123xxxXMXCXKXQ則

13、系統(tǒng)的微分方程為則系統(tǒng)的微分方程為 系統(tǒng)的特征矩陣為系統(tǒng)的特征矩陣為 22222.51.501.53.52023kmkkkmkkkmHKM5 例題例題 響應(yīng)求解響應(yīng)求解某振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：某振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： MqKqF(t)其中，其中， mmm0005 . 10002M520230kkkkkkk K20sin0QtF(t)已知該振動(dòng)系統(tǒng)的二階振型為，已知該振動(dòng)系統(tǒng)的二階振型為， (2)0.6790.60661.000 u試用模態(tài)分析法求對應(yīng)于二階振型的強(qiáng)迫振動(dòng)解。試用模態(tài)分析法求對應(yīng)于二階振型的強(qiáng)迫振動(dòng)解。 (2)(2)22000.6790.6790.6066101.500.

14、60662.474001TpmMmmm uMu(2)(2)25200.6790.6790.60661230.60663.974801TpkkKKkkkkkk uu22.474m5 例題例題 響應(yīng)求解響應(yīng)求解對應(yīng)第二階主質(zhì)量和主剛度分別為對應(yīng)第二階主質(zhì)量和主剛度分別為 求正則化因子求正則化因子 將陣型正則化，有將陣型正則化，有 (2)(2)20.6790.43171110.60660.38572.4741.0000.6358mmuu2000.4317110.43170.38570.635801.500.38571000.6358mmmmm5200.4317110.43170.38570.6358230.38571.606600.6358kkkkkkmmmkk2200.385710.4317