高中數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)平面向量復(fù)習(xí)(1_10講全)

1、第1講：任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1. 角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形：分類：角按 旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零所有與角a終邊相同的角，連同角 a在，構(gòu)成的角的集合是 S= f3|3= k 360 °+ a, k Z.(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2. 弧度制1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 的弧度數(shù)是

2、零.(2)角度制和弧度制的互化:180 °= nrad,1180 rad,1 rad =180n(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：I = 生，扇形的面積公式：S= Ir =1 a| .3. 任意角的三角函數(shù)任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x, y)時(shí)，sin a= y, cos a= X, tan a= 丫三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表:X三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin aR+一一COS aR+一一+tan a a| aM k n+ n，m z+一+一4. 三角函數(shù)線如以下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PM丄X軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切

3、線與a的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.角 函 數(shù) 線(I)川有向線段MP為正弦線；有向線段 0M為余弦線；有向線段 AT為正切線題型一角的有關(guān)問題例1(1)寫出終邊在直線y=.3x上的角的集合；6甘假設(shè)角B的終邊與6 n角的終邊相同，求在0,2終邊與§角的終邊相同的角;a(3)角a是第一象限角，試確定2 a 所在的象限.角a= 45 ° °(1)在區(qū)間720 ° 0 °找出所有與角a有相同終邊的角3；k設(shè)集合 M = xx= 2X 180°+ 45° k Z ,kN= x|x= 4X 180。+ 45° k Z

4、，那么兩集合的關(guān)系是什么？題型二三角函數(shù)的定義 例2角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x, 2) (XM 0),且cos a=x,求sin a+亠 的值.耳6tan a角 a的終邊在直線 3x+ 4y= 0上，求sin a, cos a, tan a的值.題型三三角函數(shù)線、三角函數(shù)值的符號(hào)例3 (1)假設(shè)B是第二象限角，試判斷血COs °的符號(hào);cos sin 2 0cos a< 1，求角a的集合.(V)y ylsinx3的定義域?yàn)閟in 2 «0,且|cos q= cos 0,那么點(diǎn)P(tan 0, cos B)在第幾象限？題型四扇形的弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用例4一扇形的圓心角為a(

5、 o>0)，所在圓的半徑為 R.(1)假設(shè)a= 60 ° R= 10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；假設(shè)扇形的周長(zhǎng)是一定值 C (C>0)，當(dāng)a為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積?那么一個(gè)半徑為r的扇形，假設(shè)它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng),扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？(2) 扇形的周長(zhǎng)為20 cm ;當(dāng)扇形的圓心角 a等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？第2講：同角三角函數(shù)根本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系(1) 平方關(guān)系：(2) 商數(shù)關(guān)系： .2 .以下各角的終邊與角a的終邊的關(guān)系角2k nF a(k Z)n+ aa圖示與角a 終邊的關(guān)系角

6、n an2 aa2圖示與角a 終邊的關(guān)系X3六組誘導(dǎo)公式組數(shù)-一-二三四五六角2k n+ a(k Z)n+ aan an2 a7+ a2正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限題型一同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式的應(yīng)用1例1a是三角形的角，且 sin a+ COS a=5(1) 求tan a的值；1(2) 把廠 r用tan a表示出來，并求其值.COS2 a sin2 a(1) tan a= 2，求 sin2 a+sin acos a 2cos2 a；(2) sin a= 2sin 3, tan a= 3tan 3,求 cos a題型二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例 2(1) COS &

7、#165;+%= J，求 COS 77 a 的值；636a £ n的值.3 土(2) n<<2 n cos( a 7n 吉一5，求 sin(3 廿 o) tan求sin n x cos 2 n x tan x + nfx=ncos 2+ x3 n tan n+ a cos 2 n+a sin a-2(1)化簡(jiǎn)：cos a 3 n sin 3 n_ a31 n的值.題型三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明111例 3 求證：sin 01 + tan 9 + cos 0 1 += 汁 .tan 0 sin 0 cos 0證明以下恒等式:1 + 2sin 360 °+ x cos

8、 360 °+ x _ 1 + tan x cos2 360 °+ x sin2 360 °+ x 1 tan x；tan 2 n a sin 2 n a cos 6 n a 丄2= tan a.cos a nsin 5 n a第3講：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)1 “五點(diǎn)法作圖原理n3在確定正弦函數(shù) y= sin x在0,2 n 上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是 (0,0)、y, 1、( n, 0)、空n, 1、 (2 n, 0).余弦函數(shù)呢？2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y= sinxy = cos xy = tan x定義域RRn x| XM k n+,k Z

9、圖象值域1,11,1R對(duì)稱性n對(duì)稱軸：X = k n + (k Z);對(duì)稱中心:(k n, 0)( k Z)對(duì)稱軸：x= kn(k Z);對(duì)稱中、n心：(kn + , 0)(k Z),k n對(duì)稱中心：，02 (k Z)周期2 n2nn單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2 kn n丁，2k n +n71( k Z);單調(diào)減區(qū)間2 k n +單調(diào)增區(qū)間2 kn n, 2k n ( k Z):單調(diào)增區(qū)間(k n nn,k 冗+三)(k Z)單調(diào)減區(qū)間2 k n,2kn + n ( k Z)n3 n2，2kn + F(k Z)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)題型一三角函數(shù)的定義域、值域問題例1(1)求函數(shù)y= lg sin 2

10、 x +9- x2的定義域；2n :.:.(2)求函數(shù)y = cos x+ sin x | x| < 的最大值與最小值. 求函數(shù)y = ,sin x cos x的定義域;nnn、 .n n 函數(shù)f(x) = cos 2x 3 + 2sin x巨 sin x + ,求函數(shù)f(x)在區(qū)間 一乜，上的最大值與最小值.題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性例2寫出以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期:x|.n(1)y = sin 2x + ; (2) y= |tan3nn求函數(shù)y= sin + 4x + cos 4x6的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、36最小值.題型三 三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性例 3 (1) f (x)

11、= sin x + 3cos x(x R)，函數(shù) y= f (x + 0 )n| 0 | W 的圖象關(guān)于直線x = 0對(duì)稱，那么0的值為 如果函數(shù)y = 3cos(2 x + 0 )的圖象關(guān)于點(diǎn)4 n3,0中心對(duì)稱，那么| 0 |的最小值為(nA. ¥nB.4nC.3象的一條對(duì)稱軸方程是a(1)定義運(yùn)算cb=ad be,那么函數(shù) f(x)= d3' 3sin x的圖1 cos xA.x=T2nB. x=D.(2)假設(shè)函數(shù) f (x) = asincox + bcos cox (0< 3 <5,abz 0)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是nx= 43，函數(shù)f '(x

12、)的圖象的n一個(gè)對(duì)稱中心是y, o ,那么f(x)的最小正周期是 第4講：函數(shù)y = Asin( 3 x +© )的圖象及應(yīng)用1.用五點(diǎn)法畫y= Asin( ®x+0 ) 一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn). 如下表所示.X0 0wn=2 0n 0w3n"2" 02 n 0wwwwx + 00nn3n2ny=Asin( wx+ 0 )0A0A02. 函數(shù)y = sin x的圖象經(jīng)變換得到 y = Asin( ®x+0 )的圖象的步驟如下:3.圖象的對(duì)稱性函數(shù)y = Asin( wx+ 0 ) ( A>0, 3 >0)的圖象是軸對(duì)稱也是

13、中心對(duì)稱圖形，具體如下：n(1)函數(shù)y= Asin( wx + 0 )的圖象關(guān)于直線 x= xk(其中3Xk+ 0 = kn + , k Z)成軸對(duì)稱圖形. 函數(shù)y= Asin( wx + 0 )的圖象關(guān)于點(diǎn)(Xk,0)(其中wxk+ 0= k n, k Z)成中心對(duì)稱圖形.題型一一函數(shù)y= Asin(+© )的圖象及變換n例1 函數(shù)y = 2sin 2x + ,3(1) 求它的振幅、周期、初相；(2) 用“五點(diǎn)法作出它在一個(gè)周期的圖象；n(3) 說明y= 2sin 2x+§ 的圖象可由y = sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.函數(shù) f(x) = 3sin 1x-n ,

14、 x R.(1)畫出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖； 將函數(shù)y = sin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象?題型二 求函數(shù)y= Asin(+ 0 )的解析式例2 (1)(2021 )f (x) = Asin( ®x+0 ) ( A, co , 0為常數(shù)，A>0, co >0)的局部圖象如下圖，貝Uf (0)的值是nn(2021 )函數(shù)f(x)= Atan(cox+ 0 )( o>0,| 0|<) , y= f (x)的局部圖象如下圖，貝U仁以)等于A. 2 + ：3B. ；'3D. 2- ：3函數(shù)f(x) = Asin( 3n|

15、 0 |< , 3 >0)的圖象+ 0)(A>0,的一局部如下圖，那么該函數(shù)的解析式為題型三三角函數(shù)模型的應(yīng)用 例3如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為 4.8米，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8米，且每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中 OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 0角到OB設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為 h.(1) 求h與0間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒到達(dá)OB求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求該纜車首次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間.地夏天從814時(shí)用電量如下圖，某 變化曲線近 似滿足函數(shù) y= Asin( ®x+0) + b,(0 ,n ).(1)求這一天的最大

16、用電量及最小用電量；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.第5講：兩角和與差的正弦、余弦和正切1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(卩=cos(sin(sin(tan(tan(cosacos B + sina sinBcos. acos_ Bsin a sinBsin_ acos_ Bcos a sinBsin_ acos B + cosa sintanatanB(T a B)1 + tana tanBtana+ tanB(T a + B )1 tana tanB卩卩卩卩=卩=(S "+B )(C a +B )(C aB )(S a B )二倍角公式sin 2 a = 2sin_ a

17、 cos_ a ；2 2 2 2cos 2 a = cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin a ；tan 2 a2ta n a1 tan 2 a3.在準(zhǔn)確熟練地記住公式的根底上，要靈活運(yùn)用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等如Ta 士 B可變形為tantana ± tan B = tan( a 士 B )(1 ?tan_ a tan_ B ),tan B = 1 tantana + ta na + Btan a tan B tan a B4. 函數(shù) f ( a ) = acos a + bsin a ( a, b 為常數(shù))，可以化為 f ( a ) =

18、-；a2 + b2sin( a + 0 )或 f ( a ) = , a2+ b2cos( a 0 )，其中0可由a, b的值唯一確定.題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題例1化簡(jiǎn):ta ntana2a1 + tan a tan ;在厶ABC中，三個(gè)角 A, B, C成等差數(shù)列，那么tan £+ tan £+A cQ3tan 尹門g的值為題型二三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題nR1a2例 2 (1) 0< 卩 <"2<a <n,且 COS a - ? =- 9，sin 卩=?，求 cos( a + 卩)的值;(2)卩 (0 ,n )，且 tan

19、( a - 3 ) = 2,1tan 3= 7,求 2a 3 的值.COS a113 口n 亠7， COS( a 3 ) = 14，且 0< 3 < a ，求 3 .題型三三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用1例3 f(x) =1+tan二sin 2x 2sinnx+Gn sin x .4(1)假設(shè) tan a = 2，求 f (a )的值;n n右x 12，求f (x)的取值圍.函數(shù) f(x) = _ 3sin 2x_6 +2 n2sin x 12 ( x R).(1) 求函數(shù)f (x)的最小正周期；(2) 求使函數(shù)f (x)取得最大值時(shí)x的集合.第6講：平面向量的概念及線性運(yùn)算1. 向量的有關(guān)概

20、念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或稱模平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為± a ± |a|平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比擬大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02. 向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法那么或幾何意義運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a+ b =b+ a.(2)結(jié)合律：(a+ b) + c = a+(b+ c

21、).-減法求a與b的相反向量一b的和的運(yùn)算叫做a與b的差a b= a+ ( - b)三角形法那么數(shù)乘數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算(1) 1 入 a| = | 入 | a| ；(2) 當(dāng)入>0時(shí)，Xa的方向與a的方向相同；當(dāng)X <0時(shí)，X a的方向 與a的方向相反；當(dāng)X=0 時(shí)，X a= 0X 口 a=入口 a；X + 口 a = X a+ 口 a；X a+ b = X a+ X b3. 共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b= X a.題型一 平面向量的概念辨析例1給出以下命題：假設(shè)|a| = |b|，那么a = b;假設(shè)A B, C, D是不共線的四點(diǎn)

22、，貝U 辰 3(是四邊形ABC為平行四邊形的充要條件；假設(shè)a= b, b= c,那么a = c；a= b的充要條件是| a| = | b|且a II b.其中正確命題的序號(hào)是 .F列命題中正確的選項(xiàng)是( )A. a與b共線，b與c共線，那么a與c也共線B. 任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C. 向量a與b不共線，那么a與b都是非零向量D. 有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行題型二向量的線性運(yùn)算&0rd例2 如圖，以向量 Oa a, OB b為鄰邊作？OADBBM= 3BC CN=3用a, b表示0M 0N MN在厶ABC中, AB= c, AC= b,假設(shè)點(diǎn)D滿

23、足0D= 2DC那么AD等于2152A. 3b + 3cB.3C 3b2 1 1 2C. 3b3CD.3b+3c(1)右AB= a+ b,試確定實(shí)數(shù)k=2EA Al 2FB,A.反向平行C.互相垂直題型三共線向量定理及應(yīng)用例3設(shè)兩個(gè)非零向量 a與b不共線,BC= 2a+ 8b, CD= 3( a b)，求證：A B D三點(diǎn)共線;,使ka+ b和a+ kb共線.設(shè)DE、F分別是 ABC勺三邊BC CA AB上的點(diǎn)，且DC= 2BD CE那么 AD+ E3E+ &與 E3CB.同向平行D. 既不平行也不垂直第7講：平面向量根本定理及坐標(biāo)表示1. 平面向量根本定理如果ei, e2是同一平面的

24、兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2,使a= X iei+ 入 2e2.其中，不共線的向量 ei, e2叫做表示這一平面所有向量的一組基底.2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a= (xi, yi) , b= (X2, y2)，貝Ua + b= (xi + X2, yi + y2), a- b= (xi X2, yi y2),入 a=(入 xi, Xy i) , | a| = vxi + yi.(2) 向量坐標(biāo)的求法 假設(shè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). 設(shè) A(xi,yi) , 0X2,y2)，那么RB=

25、 (% xi,y2 yi), 1 AB =X2 xi2+y2 yi2.3. 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a= (xi, yi) , b= (X2, y?)，其中 bz0. a/ b? xy X2yi= o.題型一 平面向量根本定理的應(yīng)用點(diǎn)ABC勺重心，過 G作直線與AB AC兩邊分別交于i iM N兩點(diǎn)，且冠風(fēng)兀y屁求；+嚴(yán)直.題型二 向量坐標(biāo)的根本運(yùn)算例 2 A( 2,4) ,B(3, 1),C( 3, 4).設(shè) AB=a,BC= b,CA= c,且 CMI= 3c,CN= 2b,(1) 求 3ab3c；(2) 求滿足 a= mb nc 的實(shí)數(shù) m， n；(3) 求M N的坐標(biāo)及向量IN勺坐標(biāo)

26、.平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,2) ， B(5,7) ， C(3,4) ，那么題型二共線向量的坐標(biāo)表示例3平面給定三個(gè)向量a= (3,2) , b= ( 1,2) , c= (4,1)，請(qǐng)解答以下問題:(1) 求滿足a= nto+ nc的實(shí)數(shù)m n；(2) 假設(shè)(a+ kc) / (2 b a)，數(shù) k；(3) 假設(shè) d 滿足(d c) /(a+ b)，且|d c| = .5,求 d.(20 11 )向量a= ( 3, 1) , b= (0， 1) , c = (k, . 3) 假設(shè)(a 2b)與c共線，那么k=.第8講：平面向量的數(shù)量積1 平面向量的數(shù)量積兩個(gè)非零向量 a和b,它們的夾

27、角為0，那么數(shù)量|a| b|cos 0叫做a和b的數(shù)量積(或積)，記作a b= |a| b|cose.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0一.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是 ab= 0,兩個(gè)非零向量 a與b平行的充要條件是 ab = ± |a|b| .2 平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a -b等于a的長(zhǎng)度| a|與b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘積.3. 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1) e - a = a -e = | a|cos 0 ；(2) 非零向量a, b, a丄b?ab = 0；(3) 當(dāng) a 與 b 同向時(shí)，a -b = |a|b|;當(dāng) a 與 b 反向時(shí)，a

28、 -b = - |a|b|, a - a = a2, | a| = .aa；a -bcos 0=麗；(5)| a-b|_ <_|a|b|.4. 平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1) a -b = b -a(交換律);(2) (入 a) b= X (a -b) = a (入 b)(入為實(shí)數(shù))；(3) ( a+ b) c= a c + b c.5. 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量 a = (xi, yi) , b= (X2, y?)，貝U a b = X1X2+ yy，由此得到(1) 假設(shè) a= (x, y)，那么 | a| 2= x2+ y2或| a| = ；'x2 + y2.

29、(2) 設(shè)A(X1,yj ,B(X2,y，貝UA、B兩點(diǎn)間的距離| AB =| XB= ;X1 X22+屮一y2:(3) 設(shè)兩個(gè)非零向量 a, b, a= (X1, y" , b = (X2, y2)，貝U a丄b? X1X2 + 丫形2= 0.題型一 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例 1 (1)在 Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 4,U屁:等于()A16 B 8 C 8 D 16(2)假設(shè)向量 a= (1,1) , b= (2,5) , c = (3 , x)，滿足條件(8a b) c= 30,那么 x 等于()A6 B 5 C 4 D 3(2021 )正方形 ABC啲邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么De- CB勺值為； 6e- DC的最大值為.題型二 向量的夾角與向量的模例 2 |a| = 4, | b| = 3,