高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式解題方法大全與配套練習(xí)

1、高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式解題方法大全及配套練習(xí)一、定義法:根據(jù)函數(shù)的定義求解析式用定義法?！纠?1】設(shè)|f(x 1) X2 3x 2|，求|T(Xrf(x 1) X2 3x 2(x 1) 123(x 1) 12(x 1)2 5(x 1) 62f(x) x 5x 6x 1【例2】設(shè)f f(x)，求f(X)x 2解:ff (x)x 1 x 11x 2 x 11 d 11 1 xf(x)【例3】求 fg(x)設(shè) f(x 丄)x2 4r, g(x 丄)x3 4xxxx1211 22解： f (x -) x (x -)2f (x) x 2xxx又 g(x 】)x32(x 丄)33(x -1)g(x) x33

2、xxxxx故 f g(x) (x33x)22 x6 6x4 9x22【例 4】設(shè) f (cosx) cos17x,求f (sin x)解:f (sin x)f cosqx)cos17右x)cos(8 17x) cos(17x)si n17x待定系數(shù)法：(主要用于二次函數(shù))函數(shù)解析式的類型，可設(shè)其解析式的形式，根據(jù)條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程， 從而求出函數(shù)解析式。它適用于所求函數(shù)類型(如一次函數(shù)，二次函數(shù)，正、反例函數(shù)等)及函數(shù)的某些 特征求其解析式的題目。 其方法：所求函數(shù)類型，可預(yù)先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)?！纠?】 設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且ff(x) 4x 3，求

3、f(x)【解析】設(shè)f (x) ax b(a 0)，那么2f f (x) af (x) b a(ax b) b a x ab ba24ab b 3a 2 亠a 2或b 1b 3解：顯然，f(x)是一個(gè)一元二次函數(shù)。設(shè)ax2 (b 4a)x (4a 2b c)a 2b12f (x) 2x x 3c3f (x) 2x 1 或 f (x) 2x 3【例2】二次函數(shù)f (x)滿足f (0) =0, f (x+1) = f (x) +2x+8，求f (x )的解析式解：設(shè)二次函數(shù) f (x) = ax2+bx+c,那么 f (0) = c= 0f (x+1) = a(x1)2+b (x+1) = ax2+

4、 (2a+b) x+a+b由 f (x+1)=f ( x )+2x+8與、得2a b b 2a 1,解得故 f (x) = x2+7x.a b 8b 7.【例3】f (x 2) 2x2 9x 13，求f (x)2f (x) ax bx c (a 0)三、換元(或代換)法:復(fù)合函數(shù)lfg(x)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求If(X)的解析式用來處理不知 道所求函數(shù)的類型，且函數(shù)的變量易于用另一個(gè)變量表示的問題。使用換元法時(shí)要注意新元定義域的變化，最后結(jié)果要注明所求函數(shù)的定義域。女口：復(fù)合函數(shù)f g(x)的解析式，求原函數(shù)f(x)的解析式，把g(x )看成一個(gè)整體t,進(jìn)行換元，從而求出 f (x)的

5、方法。實(shí)施換元后，應(yīng)注意新變量的取值圍，即為函數(shù) 的定義域.【例2】f (1 x) x211/ 2x x一，求 f(X).x 那么 f(t) f(解:1 Xx21111)一2 - 1 2x x x x x1 1(t11)21221 (t 1)2(t 1) t2 t 11t 1f (x)x2 x 12【例 3】設(shè) f (cosx 1) COS x，求 f(x)解：令 t cosx 1, cosx t 1 又1 cosx 1,2 cosx 10 即 2 t 022f(t) (t 1) , ( 2 t 0)即 f(x) (x 1) , x 2,0x 1【例4】假設(shè)f (x)f ()1 xx(1)在(

6、1)式中以f()xf(x心)x2x 1即代替(1)式中的X得:1f( x 1)f(x)(1) (3)得:2f(x)12x 1xx21x(x 1)f (x)x212x(x 1)1 【例5】設(shè)f (x)滿足af(x) bf(-) cx (其中a,b,c均不為0,且a b)，求f(x)x解：af (x) bf (丄)cxx1(1 )用丄來代替x，x 一得 af (丄)bf (x) c1xx(2 )由a (1) b (2)得：(a2 b2)f (x)acx2 bcxf(x)acx2 bc(a2 b2)x【例6】f (ax 1) x2 2，求f(x)解:設(shè) |t ax 1，那么 x 1 log at即

7、x log a t 1代入等式中，得：f (t) (lOg a t 1)2 2 lOg at 2 log a t 32f (x) log a x 2 log a x 3四、代入法:求函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對(duì)稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法.2,frf【例1】：函數(shù)y x x與y g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱，求g(x)的解析式.解：設(shè)M (x, y)為y g(x)上任一點(diǎn)，且M (x , y)為M (x, y)關(guān)于點(diǎn)(2,3)的對(duì)稱點(diǎn).2,解得：x x，點(diǎn) M (x ,y)在 y g(x)上2y y 32y x2 x .代入得:6 y ( x 4)2( x 4).整理得yx2 7x 62g (

8、x) x 7x 6(五)配湊法復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式，求If(X)的解析式,|fg(x)|的表達(dá)式容易配成g(x)的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法.但要注意所求函數(shù)f(X)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域,而是|g(x)的值域.【例1】：f (仮1) x 2jx,求I f (x)的解析式。當(dāng)然，上例也可直接使用換元法由此可知，求函數(shù)解析式時(shí)，可以用配湊法來解決的，有些也可直接用換元法來求解。1 2 1 【例2】：f(X ) X ,求f(X).XX 分析：此題直接用換元法比擬繁鎖，而且不易求出來，但用配湊法比擬方便。即: |f(x) X22(x R)實(shí)質(zhì)上，配湊法也缊含換元的思想，只是不是首先換元，而

9、是先把函數(shù)表達(dá)式配湊成用 此復(fù)合函數(shù)的函數(shù)來表示出來，在通過整體換元。和換元法一樣，最后結(jié)果要注明定義域。(六)構(gòu)造方程組法(消去法)。假設(shè)的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡(jiǎn)約，那么可以對(duì)變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方 程組求得函數(shù)解析式.構(gòu)造方程組法適用的圍是：題高條件中，有假設(shè)干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)| f(X)|混合運(yùn)算,那么要充分利用變量代換，然后聯(lián)立方程組消去其余局部?！纠?】：設(shè)f (x)滿足f (x) 2f()X,求f(x)的解析式。X分析：要求| f (x) |可消去，為此，可根據(jù)題中的條件再找一個(gè)關(guān)于I f(x)|與f (丄)的等式，通過解方程組到達(dá)消元的目的。解析：Q f(x) 2f

10、(1) x0,將兇換成x顯然,f () 2 f (x).xx小結(jié)：函數(shù)方程組法適用于自變量的對(duì)稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如f(x)的解析式。數(shù)，如f(x)、f(-x)，通過對(duì)稱代換構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組，解方程組即得【例4】f(ax1) x22 ,求I f (x)解:設(shè) t ax 10，貝y x 1 log a t即 x loga t 1代入等式中，得：f (t) (log a t 1)22 log at 2loga t 32互為相反數(shù)，如f(x)的解析式。f (x) log a x 2log a x 3小結(jié)：消元法適用于自變量的對(duì)稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如f(x)、f(-x)，通過對(duì)稱代換構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組，

11、解方程組即得 1 【例5】設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f(x) g(x) ,試求f (x)和g(x)的 x 1 |解析式【解析】I f (x)為偶函數(shù)，|g(x)為奇函數(shù)，f( x) f(x),g( x) g(x)f(x) g(x)用匚勺替換得:f( x) g( x)即f(x) g(x) 丄x 1解聯(lián)立的方程組，得f(x)1x21g(x)七、特殊值法：(賦值類求抽象函數(shù))當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意等條件時(shí)，往往可以對(duì)具有“任意性的變量進(jìn) 行賦值，使問題具體化、簡(jiǎn)單化，從而求得解析式.【例1】：設(shè)I f (x) I是定義在N上的函數(shù)，滿足f (1)1，對(duì)于任意正整數(shù)xTyl，均

12、有f (x) f(y) f(x y) xy，求 f(x)解：由 f (1)1 , f (x) f (y) f (x y) xy設(shè) y 1 得：f (x)1 f (x 1) x即：f(x 1) f (x) x 1在上式中，兇分別用1,2,3, ,t 1代替，然后各式相加可得：f(t) (t2)(t 1) 1 丄t2 丄上2 2 2f (x)1 x21 x (x N )2 2【例2】設(shè)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f (0) =1，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù) x, y,有f (x y) = f ( x) y (2x- y+1 ),求 f ( x)函數(shù)解析式分析：要f (0) =1 , x, y是任意的實(shí)數(shù)及

13、f (x y) = f (x) - y (2x y+1),得到 f (x)函數(shù)解析式，只有令 x = y.解：令 x = y，由 f (x y) = f (x) y (2x y+1)得f (0) = f (x) x (2x x+1)，整理得 f (x) = x2+x+1.八. 利用給定的特性求解析式【例1】.設(shè)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí),f (x) e x2ex，求當(dāng) x V 0 時(shí)，| f (x)的表達(dá)式.f(x)滿足f(x) f(x 1)，且當(dāng) x 1 , 0時(shí)，f (x) x2 2x練習(xí).對(duì)x R,求當(dāng)x 9 , 10時(shí)f(X)的表達(dá)式.九、累加法:累加法核心思想與求數(shù)列的通項(xiàng)公式相似

14、?！纠?】：假設(shè)f (1) lg-，且當(dāng)ax 2 時(shí)，滿足 f (x 1) f (x) lgax1,(a0, x N )，求 f(x)x 1解： f (x) f (x 1) lg a (a 0, x N )遞推得：f (x 1) f (x 2) lg ax 2f (x 2) f (x 3) lg ax 32f(3)f(2) lgaf f (1) lg a以上(X 1)個(gè)等式兩邊分別相加，得:f (x) f (1) Iga Iga2lg ax 2 Ig ax 1f (1) Ig a1 2(x2)(x1)1x(x 1)x(x 1) 11ooIg Ig aIgaax(x21) 1Iga十、歸納法:1

15、 【例 1 】： f(x 1)2 ?f(x), (x N )且 f(1) a，求fX解： f(1) a, f (2)2 -1 f (1)2 1a 4 2 1a1111f (3)2- f (2)2-(2-a)420 a222221111f(4)2 -f(3)2 -(3 -a) 4 21 市 a22421 111 1f 2 丁 2 2(32 8a) 4 2 2 產(chǎn)，依此類推，得f(x) 4 23 x 21 再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。x 1 【例 2 】：設(shè) f(X)，記fn(x) fff(x)，求亙i卜一、遞推法:假設(shè)題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，那么可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代

16、等運(yùn)算求得函數(shù)解析式?！纠?】設(shè)fx是定義在可上的函數(shù)，滿足|f1|，對(duì)任意的自然數(shù)a,b都有f (a) f (b) f (a b) ab，求 f (x)【解析】f (a) f (b)f (a b) ab, a,b N ,不妨令 a x,b 1，得：f(x) f(1) f (x 1) x,又 f(1)1,故f (x 1) f(x) x 1y=f f x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.1，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)一 1, 1,因此當(dāng) x 0,xv 0.十二、對(duì)稱性法即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對(duì)稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求另一區(qū)間上的解析式【例1】 是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x0時(shí)，f f x =2x- x2,求f

17、 f x函數(shù)解 析式.解： y=f fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)，f fx =2x - x2 的頂點(diǎn) f 1,評(píng)注：對(duì)于一些函數(shù)圖象對(duì)稱性問題，如果能結(jié)合圖形來解，就會(huì)使問題簡(jiǎn)單化十三、函數(shù)性質(zhì)法利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法。【例1】.函數(shù)疋是R上的奇函數(shù)，當(dāng)晡=于一 I,求fX|的解析式。解析：因?yàn)槭酪荝上的奇函數(shù), 所以|f-刃 -fx月卩-期f(z) -= -(3-K -1) = -31 + 1f(30 =? -1.X&.0+ 12 f(x)=x 1 (x 1)2、配湊法例 2、 f (x 1) x2 2x，求 f (x).解:f (x 1)

18、(x 1)2 2x 1 2x(x 1)2 4x 1(x 1)2 4(x 1)3f (x)x2 4x 3 .3、換元法例3、 fx21，求f ( x)的解析式x 1解：設(shè)=txx=2x1(t 1 t f (t) = t Lt 1故 f ( x) =x2 x+11 = 1+ (t1)2 +1t 1(X豐 1 ).(t 1) = t21+1評(píng)注：實(shí)施換元后，應(yīng)注意新變量的取值圍，即為函數(shù)的定義域4、待定系數(shù)法例4、二次函數(shù)f (x)滿足f (0) =0, f (x+1) = f (x) +2x+8，求f ( x)的解析式解：設(shè)二次函數(shù) f (x) = ax2+bx+c,那么 f (0) = c= 0

19、f (x+1) = a (x 1) +b (x+1) = ax2+ (2a+b) x+a+b 由 f (x+1 ) = f (x) +2x+8 與、得2a b b 2a 1,解得故 f (x) = x2+7xa b 8b 7.評(píng)注：函數(shù)類型，常用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式5、直接圖像法例解:6、方程組法1例6、設(shè)函數(shù)f (x)滿足f (x) +2 f ()x =11，假設(shè)用 去代替中x，便可得到另x 0時(shí)，f (x) =2x x2,求f (x)函數(shù)解析式. f解 y=f (x)是定義在R上的奇函數(shù)， y=f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因此當(dāng)x =J?+x + l,求f (龍)的解析式.膵析：本極己知

20、M時(shí)./件卄匕求/的解析式只需要求出 x = OJbr 啲牌桁或進(jìn)打轉(zhuǎn)化可求得工 0,用7替陽(x)二卡十兀+ 1中的脅得f (iJt) = (.)耳 + (A*) +1 X X +1.又/ /(X)圧命函數(shù)，那么f-X)=-f(X)二 一X* -兀 + 1 = -/(x),Up/ (x) = r5 +x -1二肖xcOllt, /(x) - x3 + x-1 .f (jc)Ji奇瞬數(shù)，故f(0) = 0.J + t + 1. A (XA = 0.2，X 4- X 1, A 0時(shí)，f(x) e x e ,求當(dāng)x o時(shí)，f (x)的表達(dá)式.12.對(duì) x R, f(x) 滿足fx)f(x 1) ,且當(dāng) x 1,0時(shí),f (x) x2 2x 求當(dāng) x 9,10時(shí)f (x)的表達(dá)式.例6、函數(shù)f (x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)lx, y|都有f (x y) f (y) (x 2y 1)x成立，且f (1)0(1)求f (0)的值；(2)求f (x)的解析式求函數(shù)的解析式例1f (x)= |x2 2x|，求f(|x 1)的解析式.(代入法/拼湊法)變式1f (x)= |2x 1 ,求f (回 的解析式.I 2 Z 7變式2f (x+1) =