流體第章動力學

1、第第3章章 流體動力學基礎流體動力學基礎自然界與工程實際中，流體大多處于自然界與工程實際中，流體大多處于流動狀態(tài)流動狀態(tài)。本章討論本章討論流體的運動規(guī)律流體的運動規(guī)律以及以及流體運動與力的關系流體運動與力的關系等基本問題。等基本問題。流體具有流體具有易流動性易流動性，極易在外力作用下產生變形而，極易在外力作用下產生變形而流動。由于流體具有流動。由于流體具有粘性粘性，因而在運動時會形成內，因而在運動時會形成內部阻力。部阻力。本章內容：本章內容：l討論理想流體的動力學規(guī)律；討論理想流體的動力學規(guī)律；l研究粘性流體的動力學規(guī)律；研究粘性流體的動力學規(guī)律；l介紹動量方程及其應用。介紹動量方程及其應用。

2、第第3 3章章 流體動力學基礎流體動力學基礎3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法3.2 研究流體運動時的一些基本概念研究流體運動時的一些基本概念 3.3 流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分 第第3章章 流體動力學基礎流體動力學基礎3.6 粘性流體運動的微分方程及伯努利方程粘性流體運動的微分方程及伯努利方程3.7 粘性流體總流的伯努利方程粘性流體總流的伯努利方程3.8 測量流速和流量的儀器測量流速和流量的儀器 3.9 定常流動總流的動量方程及其

3、應用定常流動總流的動量方程及其應用 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法流體的運動參數（或運動要素）流體的運動參數（或運動要素）：表征流體運動：表征流體運動的物理量，如流體質點的位移、速度、加速度、的物理量，如流體質點的位移、速度、加速度、密度、壓強、動能、動量等等。密度、壓強、動能、動量等等。 描述流體運動：描述流體運動：也就是要表達這些流動參數在各也就是要表達這些流動參數在各個不同空間位置上隨時間連續(xù)變化的規(guī)律。個不同空間位置上隨時間連續(xù)變化的規(guī)律。研究流體的運動的方法：研究流體的運動的方法：1.拉格朗日法拉格朗日法2.歐拉法歐拉法 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗

4、日法：拉格朗日法：著眼于流體中各質點的流動情況，考察每一著眼于流體中各質點的流動情況，考察每一質點的運動軌跡、速度、加速度等流動參數，將整個流體質點的運動軌跡、速度、加速度等流動參數，將整個流體運動當成許多流體質點運動的總和來進行考慮運動當成許多流體質點運動的總和來進行考慮 本質：本質：即一般力學研究中的質點系運動的方法，所以也稱即一般力學研究中的質點系運動的方法，所以也稱為為質點系法質點系法。 用拉格朗日法來研究流體運動時，首先要用拉格朗日法來研究流體運動時，首先要注意注意的是某一個的是某一個質點的運動和描述該質點運動的方法。質點的運動和描述該質點運動的方法。 ),(),(),(321tcb

5、afztcbafytcbafx例如，假定在運動開始例如，假定在運動開始時刻時刻t0，某一質點的坐標，某一質點的坐標為為(a，b，c)，則在其運，則在其運動以后任意時刻動以后任意時刻t的坐標的坐標位置可表示如下：位置可表示如下： （3.1） 式中式中a、b、c和和t稱為稱為拉格朗日變數拉格朗日變數。 對于某一給定質點，對于某一給定質點，a、b、c是不變的常數。是不變的常數。 如果如果t取定值取定值而而a、b、c取不同的值，上式便表示了在某一瞬時取不同的值，上式便表示了在某一瞬時所有流體質點在該空間區(qū)域的分布情況；所有流體質點在該空間區(qū)域的分布情況； 如果如果t取變值取變值，則上式便是該質點運動軌

6、跡的參數方程，由此可，則上式便是該質點運動軌跡的參數方程，由此可求得該質點的速度在各坐標軸的分量為：求得該質點的速度在各坐標軸的分量為： ttcbaftzuttcbaftyuttcbaftxuzyx),(),(),(321該質點的該質點的加速度分加速度分量為：量為： 232222222221222),(),(),(ttcbaftzattcbaftyattcbaftxazyx3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法流體的壓強、密度等量也可類似的表示為流體的壓強、密度等量也可類似的表示為a 、b、c和和t的函數的函數p=f4(a，b，c，t) 、 p=f5(a，b，c，t) 。 拉格朗日法優(yōu)缺點：拉格朗日

7、法優(yōu)缺點：J優(yōu)點優(yōu)點：在物理概念上清晰易懂；：在物理概念上清晰易懂；L缺點缺點：流體各個質點運動的經歷情況，除較簡單的：流體各個質點運動的經歷情況，除較簡單的射流運動、波浪運動等以外，一般講是非常復雜的，射流運動、波浪運動等以外，一般講是非常復雜的，而且用此方法分析流體的運動，數學上也會遇到很而且用此方法分析流體的運動，數學上也會遇到很多困難。多困難。因此，這個方法只限于研究流體運動的少數特殊情因此，這個方法只限于研究流體運動的少數特殊情況，而一般都采用下述較為簡便的歐拉法。況，而一般都采用下述較為簡便的歐拉法。3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法3.1.2 歐拉法歐拉法歐拉法歐拉法：著眼于流體經

8、過空間各固定點時的運動情況，：著眼于流體經過空間各固定點時的運動情況，將經過某一流動空間的流體運動，當成不同質點在不同將經過某一流動空間的流體運動，當成不同質點在不同時刻經過這些空間位置時的運動總和來考慮時刻經過這些空間位置時的運動總和來考慮要點：要點： 1）分析流動空間某固定位置處，流體的流動參數隨時間的）分析流動空間某固定位置處，流體的流動參數隨時間的變化規(guī)律。變化規(guī)律。 2）分析由某一空間位置轉移到另一空間位置時，流動參數）分析由某一空間位置轉移到另一空間位置時，流動參數隨位置變化的規(guī)律。隨位置變化的規(guī)律。 特點特點：用歐拉法研究流體運動時，并不關心個別流體質：用歐拉法研究流體運動時，并

9、不關心個別流體質點的運動，只需要仔細觀察經過空間每一個位置處的流點的運動，只需要仔細觀察經過空間每一個位置處的流體運動情況。正因為這樣，凡是表征流體運動特征的物體運動情況。正因為這樣，凡是表征流體運動特征的物理量都可以表示為理量都可以表示為時間時間t和坐標和坐標x、y、z的函數。的函數。n例如在任意時刻通過任意空間位置的流體質點速度在各軸例如在任意時刻通過任意空間位置的流體質點速度在各軸上的分量為上的分量為),(=),(=),(=321tzyxFutzyxFutzyxFuzyx（3.4） 式中x、y、z和t稱為歐拉變數歐拉變數。運動質點的加速度分量可表示為dttzyxdFdtduadttzyx

10、dFdtduadttzyxdFdtduazzyyxx),(),(),(321（3.5）3.1.2 歐拉法歐拉法n流體的壓強、密度也可以表示為：流體的壓強、密度也可以表示為： p = f4(a，b，c，t) 、 p = f5(a，b，c，t) n注意：注意：拉格朗日法和歐拉法在研究流體運動時，拉格朗日法和歐拉法在研究流體運動時，只是著眼點不同而已，并沒有本質上的差別，對只是著眼點不同而已，并沒有本質上的差別，對于同一個問題，用兩種方法描述的結果應該是一于同一個問題，用兩種方法描述的結果應該是一致的。致的。3.1.2 歐拉法歐拉法n由歐拉法可知，加速度場是流速場對時間由歐拉法可知，加速度場是流速場

11、對時間 t 的全導數。在的全導數。在進行求導運算時，速度表達式（進行求導運算時，速度表達式（3.4）中的自變量）中的自變量x、y、z應當視作流體質點的位置坐標而不是固定空間點的坐標，應當視作流體質點的位置坐標而不是固定空間點的坐標，即應當將即應當將 x、y、z 視作時間的函數。例如，視作時間的函數。例如，x 方向上的加方向上的加速度分量為速度分量為 3.1.3 質點導數質點導數dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxx是流體質點位置坐標（是流體質點位置坐標（x、y、z）的時間變化率，應當等于）的時間變化率，應當等于質點的運動速度，故質點的運動速度，故 n其中其中dtdxdt

12、dydtdz、 zuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx表示表示 ux 對時間對時間 t 的全導數，稱為質點導數，或者的全導數，稱為質點導數，或者隨體導數。隨體導數。 3.1.3 質點導數質點導數n加速度的矢量形式為加速度的矢量形式為 上面上面 dtduxn類似地，可以將類似地，可以將y、z方向上的加速度分量表示成對應的流方向上的加速度分量表示成對應的流速分量的質點導數，即速分量的質點導數，即zuuyuuxuutudtduayzyyyxyyy （3.8）zuuyuuxuutudtduazzzyzxzzz （3.9）uuuua)(dtdtd （3.10）例題例題3.1 已知流場中質點的

13、速度為已知流場中質點的速度為3.1.3 質點導數質點導數 試求流場中質點的加速度。試求流場中質點的加速度。0,zyxukyukxu解解 質點的速度為質點的速度為kryxkuuyx2222u質點加速度為質點加速度為xkxuudtduaxxxx2ykxuudtduayyyy20za222222xyaaakxyk r3.2 研究流體運動時的一些基本概念研究流體運動時的一些基本概念3.2.1 跡線和流線跡線和流線3.2.1.1 跡線跡線 定義：定義：指流體質點的運動軌跡，指流體質點的運動軌跡，它表示了流體質點在一段時間內它表示了流體質點在一段時間內的運動情況。的運動情況。 如圖如圖3.1所示，某一流體

14、質點在時所示，某一流體質點在時間內從間內從A運動到運動到B，曲線，曲線ACB即為即為該質點的跡線。如果在這一跡線該質點的跡線。如果在這一跡線上取微元長度上取微元長度dl表示該質點表示該質點M在在dt時間內的微小位移，則其速度為時間內的微小位移，則其速度為 u=dl/dt圖圖3.1 跡線跡線3.2.1.1 跡線跡線 n它在各坐標軸的分量為它在各坐標軸的分量為 ux=dx/dt， uy=dy/dt ， uz=dz/dt （3.6）n式中式中dx、dy、dz為微元位移為微元位移dl在各個坐標軸上的投在各個坐標軸上的投影，由式（影，由式（3.6）可得）可得 dtudzudyudxzyx（3.7）上式為

15、跡線的微分方程跡線的微分方程，表示質點M的軌跡。3.2.1.2 流線流線 定義：定義：流線是流體流速場內反流線是流體流速場內反映瞬時流速方向的曲線，在同映瞬時流速方向的曲線，在同一時刻，處在流線上所有各點一時刻，處在流線上所有各點的流體質點的流速方向與該點的流體質點的流速方向與該點的切線方向重合，如圖的切線方向重合，如圖3.2所示。所示。 注意：注意：流線表示了某一瞬時，流線表示了某一瞬時，許多處在這一流線上的流體質許多處在這一流線上的流體質點的運動情況。流線不表示流點的運動情況。流線不表示流體質點的運動軌跡，因此在流體質點的運動軌跡，因此在流線上取微元長度，它并不表示線上取微元長度，它并不表

16、示某個流體質點的位移，當然也某個流體質點的位移，當然也不能就此求出速度表達式。不能就此求出速度表達式。圖圖3.2 流線流線 重要特征：重要特征：同一時刻的不同流線，互相不可能相交。同一時刻的不同流線，互相不可能相交。 原因：原因：根據流線的性質，在交點處的流體質點的流速向量根據流線的性質，在交點處的流體質點的流速向量應同時相切于這兩條流線，即該質點在同一時刻有兩個速應同時相切于這兩條流線，即該質點在同一時刻有兩個速度向量，這是不可能的。度向量，這是不可能的。n設某一點上的質點瞬時速度為設某一點上的質點瞬時速度為u=uxi+uyj+uzk，流線上的微流線上的微元線段矢量為元線段矢量為ds=dxi

17、+dyj+dzk。根據定義，這兩個矢量方根據定義，這兩個矢量方向一致，矢量積為零，于是可得出流線的矢量表示法為向一致，矢量積為零，于是可得出流線的矢量表示法為 uds = 0 （3.8） 寫成投影形式，則寫成投影形式，則 dx/ux= dy/uy= dz/uz （3.9）n這就是最常用的這就是最常用的流線微分方程流線微分方程。3.2.1.2 流線流線例題例題3.1 設有一平面流場，其速度表達式是設有一平面流場，其速度表達式是ux=x+t，uy=-y+t，uz=0，求求t =0時，過（時，過（-1，-1）點的跡線和流線。）點的跡線和流線。解解（1）跡線應滿足的方程是）跡線應滿足的方程是 dx/d

18、t =x+t，dy/dt = -y+t這里這里t是自變量，以上兩方程的解分別是是自變量，以上兩方程的解分別是 x = c1et-t-1，y = c2e-t+t-1以以t =0 時，時， x=y=-1代入得代入得c1=c2=0，消去，消去t后得跡線方程后得跡線方程 x+y =-2（2）流線的微分方程是）流線的微分方程是 dx/(x+t) = dy/(-y+t)式中式中t是參數，積分得是參數，積分得 (x+t)(-y+t) = c以以t=0時，時， x = y = -1代入得代入得 c=-1 ，所以所求流線方程為，所以所求流線方程為xy =13.2.1.2 流線流線3.2.2 定常流動和非定常流動

19、定常流動和非定常流動 定常流動：定常流動：流體質點的運動要素流體質點的運動要素只是坐標的函數而與時間無關。只是坐標的函數而與時間無關。 其運動要素其運動要素),(),(),(321zyxfzyxfpzyxfu（3.10）l 如圖如圖 (a)所示，水頭穩(wěn)定的泄流是定常流動。在某一瞬間所示，水頭穩(wěn)定的泄流是定常流動。在某一瞬間通過某固定點作出的流線，是不隨時間而改變的。因此通過某固定點作出的流線，是不隨時間而改變的。因此在在定常流動中，流線與跡線重合。定常流動中，流線與跡線重合。用歐拉法以流線概念來描用歐拉法以流線概念來描述和分析定常流動是適合的。述和分析定常流動是適合的。 非定常流動：非定常流動

20、：如果流體質點的運動要素，既是坐標的函如果流體質點的運動要素，既是坐標的函數又是時間的函數數又是時間的函數 如圖如圖 (b)所示，變水頭的泄流是非定常流動。所示，變水頭的泄流是非定常流動。3.2.2 定常流動和非定常流動定常流動和非定常流動3.2.3 流面、流管、流束與總流流面、流管、流束與總流 流面：流面：通過不處于同一流線上的線段上的各點作出流線，通過不處于同一流線上的線段上的各點作出流線，則可形成由流線組成的一個面，稱為流面則可形成由流線組成的一個面，稱為流面 。 流面上的質點只能沿流面運動，兩側的流體質點不能穿過流面上的質點只能沿流面運動，兩側的流體質點不能穿過流面而運動。流面而運動。

21、 流管：流管：通過流場中不在同一流面上的某一封閉曲線上的各通過流場中不在同一流面上的某一封閉曲線上的各點作流線，則形成由流線所組成的管狀表面稱為流管。點作流線，則形成由流線所組成的管狀表面稱為流管。 如圖如圖3.4所示。管中的流體稱為所示。管中的流體稱為流束流束，其質點只能在管內流，其質點只能在管內流動，管內外的流體質點不能交流。動，管內外的流體質點不能交流。微元流束：微元流束：充滿于微小流管中的流體稱為微元流充滿于微小流管中的流體稱為微元流束。束。流線：流線：當微元流束的斷面積趨近于零時，則微元當微元流束的斷面積趨近于零時，則微元流束成為流線。流束成為流線?？偭鳎嚎偭鳎河蔁o限多微元流束所組成

22、的總的流束稱為由無限多微元流束所組成的總的流束稱為總流。通常見到的管流與河渠水流都是總流。總流。通常見到的管流與河渠水流都是總流。3.2.3 流面、流管、流束與總流流面、流管、流束與總流 3.2.4 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量 過流斷面：過流斷面：與微元流束（或總流）中各條流線相垂直的截與微元流束（或總流）中各條流線相垂直的截面稱為此微元流束（或總流）的過流斷面（或過水斷面），面稱為此微元流束（或總流）的過流斷面（或過水斷面），如圖如圖3.5所示。所示。 由過流斷面的定義知，當流線幾乎是平行的直線時，過流由過流斷面的定義知，當流線幾乎是平行的直線時，過流斷面是斷面是平面平面；否則

23、過流斷面是；否則過流斷面是不同形式的曲面不同形式的曲面。 圖圖3.5 過流斷面過流斷面由于研究對象的不同，流體的運動速度有兩個概念：由于研究對象的不同，流體的運動速度有兩個概念： 1）點速：）點速：是指流場中某一空間位置處的流體質點在單位是指流場中某一空間位置處的流體質點在單位時間內所經過的位移，稱為該流體質點經此處時的速時間內所經過的位移，稱為該流體質點經此處時的速度，簡稱為點速，用度，簡稱為點速，用u表示，單位為表示，單位為m/s（米（米/秒）。秒）。嚴格地說，同一過流斷面上各點的流速是不相等的。嚴格地說，同一過流斷面上各點的流速是不相等的。但微元流束的過流斷面很小，各點流速也相差很小，但

24、微元流束的過流斷面很小，各點流速也相差很小，可以用斷面中心處的流速作為各點速度的平均值?？梢杂脭嗝嬷行奶幍牧魉僮鳛楦鼽c速度的平均值。 2）均速：）均速：在同一過流斷面上，求出各點速度在同一過流斷面上，求出各點速度u對斷面對斷面A的的算術平均值，稱為該斷面的平均速度，簡稱均速，以算術平均值，稱為該斷面的平均速度，簡稱均速，以v表示，其單位與點速相同。表示，其單位與點速相同。 3.2.4 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量 流量：流量：單位時間內通過微元流束（或總流）過流斷單位時間內通過微元流束（或總流）過流斷面的體積流量，稱為通過該斷面的體積流量，簡稱面的體積流量，稱為通過該斷面的體積流量

25、，簡稱流量。其常用單位是米流量。其常用單位是米3/秒（秒（m3/s）或升）或升/秒秒(L/s)。 質量流量：質量流量：有時也用單位時間內通過過流斷面的流有時也用單位時間內通過過流斷面的流體質量來表示流量，稱為質量流量。體質量來表示流量，稱為質量流量。 微元流束的流量以微元流束的流量以dQ表示，總流的流量以表示，總流的流量以Q表示。表示。因為微元流束的過流斷面與速度方向垂直，所以其因為微元流束的過流斷面與速度方向垂直，所以其過流斷面面積與速度的乘積正是單位時間內通過此過流斷面面積與速度的乘積正是單位時間內通過此過流斷面的流體體積。故過流斷面的流體體積。故 dQ = udA （3.11）3.2.4

26、 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量l總流的流量，則為同一過流斷面上各個微元流束的流量之總流的流量，則為同一過流斷面上各個微元流束的流量之和，即和，即ddQAQQu A（3.12）l 現在可以看到：斷面平均流速就是體積流量被過流斷面面現在可以看到：斷面平均流速就是體積流量被過流斷面面積除得的商，即積除得的商，即dAu AQvAA（3.13）3.2.4 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量3.3 流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程T運動流體的連續(xù)性：運動流體的連續(xù)性：運動流體經常充滿它所占據運動流體經常充滿它所占據的空間（即流場），并不出現任何形式的空洞或的空間（即流場），并不出

27、現任何形式的空洞或裂隙，這一性質稱為運動流體的連續(xù)性。裂隙，這一性質稱為運動流體的連續(xù)性。T滿足這一連續(xù)性條件的等式則稱為滿足這一連續(xù)性條件的等式則稱為連續(xù)性方程連續(xù)性方程。T本節(jié)內容：本節(jié)內容： 1）先討論直角坐標系中的連續(xù)性方程（即空間運動）先討論直角坐標系中的連續(xù)性方程（即空間運動的的連續(xù)性方程的的連續(xù)性方程)； 2）再討論微元流速和總流的連續(xù)性方程。）再討論微元流速和總流的連續(xù)性方程。3.3.1 直角坐標系中的連續(xù)性方程直角坐標系中的連續(xù)性方程n在流場中任取一個以在流場中任取一個以M點點為中心的為中心的微元六面體微元六面體，如，如圖圖3.6所示。六面體的各邊所示。六面體的各邊分別與直角

28、坐標系各軸平分別與直角坐標系各軸平行，其邊長分別為行，其邊長分別為x，y，z 。M點的坐標假定為點的坐標假定為x，y，z，在某一時刻，在某一時刻t，M點點的流速為的流速為u，密度為，密度為。由。由于六面體取得非常微小，于六面體取得非常微小，六面體六面上各點六面體六面上各點t時刻的時刻的流速和密度可用泰勒級數流速和密度可用泰勒級數展開，并略去高階微量來展開，并略去高階微量來表達。表達。例如例如2點點(如圖如圖)的流速為的流速為2xxuuxx圖圖3.6 運動流體的微元六面體運動流體的微元六面體如此類推。如此類推。n 現在考慮在微小時間段現在考慮在微小時間段t 中流過平行表面中流過平行表面abcd與

29、與a b c d (如圖如圖)的流體質量。由于時段微小，可以認為流速沒的流體質量。由于時段微小，可以認為流速沒有變化，由于六面體微小，各個面上流速分布可以認為是有變化，由于六面體微小，各個面上流速分布可以認為是均勻的，所以，在時間段內，由均勻的，所以，在時間段內，由abcd面流入的流體質量為：面流入的流體質量為：tzyxxuuxx2)(由由a b c d (面流出的流體質量為：面流出的流體質量為：tzyxxuuxx2)(兩者之差，即凈流入量為：兩者之差，即凈流入量為：tzyxxux)(3.3.1 直角坐標系中的連續(xù)性方程直角坐標系中的連續(xù)性方程用同樣的方法，可得在用同樣的方法，可得在 y方向和

30、方向和 z方向上凈流入量分別為：方向上凈流入量分別為：tzxyyuy)(tyxzzuz)(和和 按照質量守恒定律，上述三個方向上凈流入量之代數和必按照質量守恒定律，上述三個方向上凈流入量之代數和必定與定與t時間段內微元六面體內流體質量的增加量時間段內微元六面體內流體質量的增加量( (或減少量或減少量) )相等，這個增加量相等，這個增加量( (或減少量或減少量) )顯然是由于六面體內連續(xù)介質顯然是由于六面體內連續(xù)介質密度加大或減小的結果，即密度加大或減小的結果，即zyxtt)(3.3.1 直角坐標系中的連續(xù)性方程直角坐標系中的連續(xù)性方程由此可得： zyxtttzyxzuyuxuzyx)()()(

31、兩邊除以xy z并移項，得：0)()()(zuyuxutzyx （3.14） 這就是可壓縮流體三維流動的歐拉連續(xù)性方程可壓縮流體三維流動的歐拉連續(xù)性方程。 3.3.1 直角坐標系中的連續(xù)性方程直角坐標系中的連續(xù)性方程可壓縮流體定常流動的連續(xù)性方程可壓縮流體定常流動的連續(xù)性方程為：0)()()(zuyuxuzyx （3.15） 不可壓縮流體不可壓縮流體（為常數）定常流或非定常流的連續(xù)性方程為常數）定常流或非定常流的連續(xù)性方程為： 0=+zuyuxuzyx（3.16） 上式表明上式表明：不可壓縮流體流動時，流速：不可壓縮流體流動時，流速u的空間變化是彼此的空間變化是彼此關聯、相互制約的，它必須受連

32、續(xù)性方程的約束，否則流體關聯、相互制約的，它必須受連續(xù)性方程的約束，否則流體運動的連續(xù)性將受到破壞，而不能維持正常流動。運動的連續(xù)性將受到破壞，而不能維持正常流動。3.3.1 直角坐標系中的連續(xù)性方程直角坐標系中的連續(xù)性方程3.3.2 微元流束與總流的連續(xù)性方程微元流束與總流的連續(xù)性方程 n設有微元流束如圖設有微元流束如圖3.7所示，所示，其過流斷面分別為其過流斷面分別為dA1及及dA2，相應的速度分別為相應的速度分別為u1及及u2 ，密度分別為密度分別為1及及2 。若以可。若以可壓縮流體的定常流動來考慮，壓縮流體的定常流動來考慮，則微元流束的形狀不隨時間則微元流束的形狀不隨時間改變，沒有流體

33、自流束表面改變，沒有流體自流束表面流入與流出。流入與流出。圖圖3.7 微元流束和總流微元流束和總流 在時間在時間dt內，經過內，經過dA1流入的流體質量為流入的流體質量為 dM1= 1u1dA1dt ， 經過流出的流體質量經過流出的流體質量為為 dM2=2u2dA2dt 3.3.2.1 微元流束的連續(xù)性方程微元流束的連續(xù)性方程3.3.2.1 微元流束的連續(xù)性方程微元流束的連續(xù)性方程n根據質量守恒定律，流入的質量必須等于流出的質量，根據質量守恒定律，流入的質量必須等于流出的質量，可得可得dM1 = dM2 即即 1u1dA1=2u2dA2 （3.17）n對不可壓縮流體，對不可壓縮流體， 1=2，

34、 故故u1dA1 = u2dA2，即，即 dQ1= dQ2 （3.18）n這就是這就是不可壓縮流體定常流動微元流束的連續(xù)性方程不可壓縮流體定常流動微元流束的連續(xù)性方程。它表明它表明：在同一時間內通過微元流束上任一過流斷面：在同一時間內通過微元流束上任一過流斷面的流量是相等的。的流量是相等的。3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程 將式（將式（3.17）對相應的過流斷面進行積分，得）對相應的過流斷面進行積分，得 A11u1dA1 = A2 2u2dA2 引用式（引用式（3.13），上式可寫成），上式可寫成 1mv1A1 = 2mv2A2 即即 1mQ1 = 2mQ2 （3.19） 式中

35、式中1m、 2m分別為斷面分別為斷面1、2上流體的平均密度。上流體的平均密度。n式（式（3.19）就是）就是總流的連續(xù)性方程?？偭鞯倪B續(xù)性方程。 對于對于不可壓縮流體不可壓縮流體，則為，則為 Q1 = Q2 或或 A1v1 = A2v2 （3.20）n上式表明：上式表明：在保證連續(xù)性的運動流體中，過流斷面面積是在保證連續(xù)性的運動流體中，過流斷面面積是與速度成反比的。與速度成反比的。這是流體運動中的一條很重要的規(guī)律。這是流體運動中的一條很重要的規(guī)律。 n救火用的水龍噴嘴，廢水處理中的沉淀池（圖救火用的水龍噴嘴，廢水處理中的沉淀池（圖3.8）都是）都是這一規(guī)律在工程中的實際應用。這一規(guī)律在工程中的

36、實際應用。 圖圖3.8 平流式沉淀池平流式沉淀池3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程 圖圖3.9 流量的匯入與流出流量的匯入與流出3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程 上述總流的連續(xù)性方程是在流量沿程不變的條件下導出的。上述總流的連續(xù)性方程是在流量沿程不變的條件下導出的。若沿途有流量流進或流出，總流的連續(xù)性方程仍然適用，若沿途有流量流進或流出，總流的連續(xù)性方程仍然適用，只是形式有所不同。只是形式有所不同。 對于圖對于圖3.9所示的情況，則所示的情況，則 Q3= Q1 + Q2， A3v3 = A1v1 +A2v2 （3.21） Q4+ Q5 = Q1 + Q2， A4v

37、4 + A5v5 = A1v1 + A2v2 （3.22） 例題例題3.23.2 在三元不可壓縮流動中，已知在三元不可壓縮流動中，已知ux= x2 + z2 + 5,uy = y2 + z2-3，求求uz的表達式。的表達式。 解解 由連續(xù)性方程式（由連續(xù)性方程式（3.163.16）可知）可知 )(2)(zuzyxyuxuyx積分得：積分得： zyxzd)(2dzuzCzyxuz)(2 上式中積分常數上式中積分常數C ，可以是某一數值常數，也可以是與，可以是某一數值常數，也可以是與z無關的某一函數無關的某一函數 f(x，y)，所以：，所以： uz= (x+y)z + f(x，y)3.3.2.2

38、總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程例題例題3.3 圖圖3.10為一旋風除塵器，為一旋風除塵器，入口處為矩形斷面，其面積為入口處為矩形斷面，其面積為A2=100mm20mm，進氣管為，進氣管為圓形斷面，其直徑為圓形斷面，其直徑為100 mm，問當入口流速為問當入口流速為v2 =12 m/s時，時，進氣管中的流速為多大？進氣管中的流速為多大？解解 根據連續(xù)性方程可知根據連續(xù)性方程可知A1v1 = A2v2 故故圖圖3.10 旋風除塵器旋風除塵器221210.10.02123.06m/s0.14A vvA3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微

39、分方程T本節(jié)內容本節(jié)內容：研究無粘性流體運動與力的關系，暫：研究無粘性流體運動與力的關系，暫不考慮流體的內摩擦力。不考慮流體的內摩擦力。T作用在流體表面上的力，只有垂直于受力面并指作用在流體表面上的力，只有垂直于受力面并指向內法線方向的向內法線方向的流體動壓力流體動壓力（由動壓強引起）。（由動壓強引起）。3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程圖圖3.11 無粘性流體運動和受力情況無粘性流體運動和受力情況 在無粘性流體中取出一微在無粘性流體中取出一微元六面體，如圖元六面體，如圖3.11所示。所示。六面體各邊分別與各坐標六面體各邊分別與各坐標軸平行，各邊長度分別為軸平行，各邊長度

40、分別為x，y，z。 設六面體形心設六面體形心M的坐標為的坐標為x,y,z，在所考慮的瞬間，在所考慮的瞬間，M點上的動壓強為點上的動壓強為p，流速，流速為為，其分量為，其分量為ux，uy，uz。又設流體密度為又設流體密度為，流體，流體所受的單位質量力為所受的單位質量力為J，它在各軸上的分力為它在各軸上的分力為X,Y,Z。 n由于流體的動壓強只是坐標和時間的函數，因此六面體內由于流體的動壓強只是坐標和時間的函數，因此六面體內的流體在的流體在x軸向上所受的軸向上所受的表面力表面力和和質量力質量力分別為分別為zyxxppzyxxpp)2()2(zyxX 根據牛頓第二定律，根據牛頓第二定律， x 軸向上

41、的表面力和質量力之和應等軸向上的表面力和質量力之和應等于六面體內流體的質量與于六面體內流體的質量與 x 軸向上的加速度的乘積，即軸向上的加速度的乘積，即 tuzyxzyxXzyxxppzyxxppxdd)2()2(3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程整理上式，即可得整理上式，即可得x方向上單位質量流體的運動方程式為方向上單位質量流體的運動方程式為tuzpZtuypYtuxpXzyxdd1dd1dd1同理可得同理可得 （3.23）若寫成矢量形式，則為若寫成矢量形式，則為tupJdd1 （3.24） 3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程若寫成矢量形式，則為若

42、寫成矢量形式，則為 tupJdd1（3.24） 式中符號式中符號為哈密頓算子為哈密頓算子 這就是這就是無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程，由歐拉，由歐拉1755年首次導年首次導出，又稱出，又稱歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程，它奠定了古典流體力學的基礎。，它奠定了古典流體力學的基礎。式（式（3.23）中，如）中，如ux= uy= uz =0，則歐拉運動微分方程就變?yōu)椋瑒t歐拉運動微分方程就變?yōu)闅W拉平衡微分方程式（歐拉平衡微分方程式（2.4）。所以）。所以歐拉平衡方程是歐拉運歐拉平衡方程是歐拉運動方程的特例動方程的特例。kzjyix3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分

43、方程 上式各方程等號右側的前三項表示流體質點由于位置移動上式各方程等號右側的前三項表示流體質點由于位置移動而形成的速度分量的變化率，稱為而形成的速度分量的變化率，稱為位變加速度位變加速度。 最后一項表示流體質點在經過時間的運動后而形成的速度最后一項表示流體質點在經過時間的運動后而形成的速度分量的變化率，稱為分量的變化率，稱為時變加速度時變加速度。tuuzuuyuuxuzpZtuuzuuyuuxuypYtuuzuuyuuxuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx111（3.25） 考慮到式（考慮到式（3.4），求），求ux，uy，uz的全微分，則式（的全微分，則式（3.23）可）可變?yōu)?/p>

44、變?yōu)?.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程 因此，運動流體質點的因此，運動流體質點的加速度加速度為為位變加速度與時變加速度位變加速度與時變加速度之和之和。 一般地說，歐拉運動微分方程中有一般地說，歐拉運動微分方程中有ux、uy、uz和和p等四個未等四個未知數，但只有三個分量方程，必須與連續(xù)性方程結合起來知數，但只有三個分量方程，必須與連續(xù)性方程結合起來成為封閉方程組，才能求解。成為封閉方程組，才能求解。 從理論上說，無粘性流體動力學問題是完全可以解決的。從理論上說，無粘性流體動力學問題是完全可以解決的。但是，對于一般情況的流體運動來說，由于數學上的困難，但是，對于一般情況的流

45、體運動來說，由于數學上的困難，目前還找不到這些方程的積分，因而還不能求得它們的通目前還找不到這些方程的積分，因而還不能求得它們的通解。所以只限于在具有某些特定條件的流體運動中，求它解。所以只限于在具有某些特定條件的流體運動中，求它們的積分和解。們的積分和解。 3.4 無粘性流體的運動微分方程無粘性流體的運動微分方程3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分T本節(jié)討論無粘性流體運動微分方程在特定條件下的積分，本節(jié)討論無粘性流體運動微分方程在特定條件下的積分，稱為稱為伯努利積分伯努利積分。T這一積分是在這一積分是在下述條件下述條件下進行的：下進行的：（1）質量力定

46、常而且有勢）質量力定常而且有勢，即，即 xWXyWYzWZ=所以，勢函數所以，勢函數W= f(x，y，z)的全微分是的全微分是 ZdzYdyXdxdzzWdyyWdxxWdW（2）流體是不可壓縮的）流體是不可壓縮的，即，即=常數常數 （3）流體運動是定常的）流體運動是定常的，即0tp0tututuzyx此時流線與跡線重合，即對流線來說，符合條件此時流線與跡線重合，即對流線來說，符合條件 dtudzdtudydtudxzyx 在滿足上述條件的情況下，如將式（在滿足上述條件的情況下，如將式（3.23）中的各個方程）中的各個方程對應的乘以對應的乘以dx、dy、dz，然后相加，可得，然后相加，可得 d

47、zdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpzdzYdyXdxzyx)(1)(3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分根據積分條件，可得根據積分條件，可得zzyyxxzzyyxxduuduuduudtudtdudtudtdudtudtdudpdW1)2()2(12222uduuuddpdWzyx因為因為為常數，上式可寫成為常數，上式可寫成0)2(2upWd沿流線將上式積分，得沿流線將上式積分，得常數22upW（3.26） 3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分上式即上式即無粘性流體運動微分方程的伯努利積分。

48、無粘性流體運動微分方程的伯努利積分。 無粘性流體運動微分方程的無粘性流體運動微分方程的伯努利積分伯努利積分表明：表明：在有勢質在有勢質量力的作用下，無粘性不可量力的作用下，無粘性不可壓縮流體作定常流動時，函壓縮流體作定常流動時，函數值數值W-p/-u2/2是沿流線不是沿流線不變的。即處于同一流線上的變的。即處于同一流線上的流體質點，其所具有的函數流體質點，其所具有的函數值值W-p/-u2/2是相同的，但是相同的，但對不同流線上的流體質點來對不同流線上的流體質點來說，其函數值說，其函數值W-p/-u2/2是是不同的。不同的。圖圖3.12 不同流線的伯努利積分不同流線的伯努利積分222222211

49、1upWupW 如圖如圖3.12所示，在同一流線所示，在同一流線上任取上任取1、2兩點，則有兩點，則有3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分n一般地說，運動流體將受到各種不同性質的質量力，如一般地說，運動流體將受到各種不同性質的質量力，如慣性力、質量力等。但在許多實際工程中，流體所受的慣性力、質量力等。但在許多實際工程中，流體所受的質量力常常只有重力。此時，重力在各坐標軸的分量為質量力常常只有重力。此時，重力在各坐標軸的分量為 X = 0 ，Y = 0， Z = -g 因此因此 dW =-gdz 積分得積分得 W = -gz+C (C為積分常數為積分常數)

50、 代入式（代入式（3.26），可得），可得常數22upgz3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分n式中各項是對單位質量流體而言的。如將上式兩端同除式中各項是對單位質量流體而言的。如將上式兩端同除以以g，并考慮到，并考慮到=g ，則有，則有 常數gupz22 (3.28) 若對同一流線上的任意兩點應用以上方程，則上式可寫為若對同一流線上的任意兩點應用以上方程，則上式可寫為gupzgupz2222222111 (3.29) 上式通常稱為上式通常稱為不可壓縮無粘性流體伯努利方程不可壓縮無粘性流體伯努利方程。由于微元。由于微元流束過流面積很小，同一斷面上各點的運動

51、要素流束過流面積很小，同一斷面上各點的運動要素 z、p、u可可以看成是相等的，因此式以看成是相等的，因此式(3.28)和和(3.29)均可推廣使用到均可推廣使用到微元微元流束中流束中去，稱為去，稱為不可壓縮無粘性流體微元流束的伯努利方程不可壓縮無粘性流體微元流束的伯努利方程。3.5 無粘性流體運動微分方程的伯努利積分無粘性流體運動微分方程的伯努利積分3.6 粘性流體運動的微分方程及伯努利方程粘性流體運動的微分方程及伯努利方程3.6.1 粘性流體運動的微分方程粘性流體運動的微分方程T 粘性流體運動的微分方程可以仿照歐拉運動微分方程去推粘性流體運動的微分方程可以仿照歐拉運動微分方程去推導。這里不加

52、推導直接給出不可壓縮粘性流體的運動微分導。這里不加推導直接給出不可壓縮粘性流體的運動微分方程式方程式(3.30)，稱為，稱為那維爾那維爾斯托克斯方程斯托克斯方程（簡稱（簡稱N-S方方程程）。）。zuuyuuxuutudtduuzpZzuuyuuxuutudtduuypYzuuyuuxuutudtduuxpXzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111（3.30） 3.6.1 粘性流體運動的微分方程粘性流體運動的微分方程n與理想流體的歐拉運動微分方程相比較，與理想流體的歐拉運動微分方程相比較，N-S方程增方程增加了粘性項加了粘性項v2u，因此是更為復雜的非線性偏微分，因此是

53、更為復雜的非線性偏微分方程。方程。n從理論上講，從理論上講，N-S方程加上連續(xù)性方程共四個方程，方程加上連續(xù)性方程共四個方程，完全可以求解四個未知量完全可以求解四個未知量ux, uy, uz 及及 p，但在實際流，但在實際流動中，大多邊界條件復雜，所以很難求解。動中，大多邊界條件復雜，所以很難求解。n隨著計算機和計算技術日新月異地發(fā)展，數值求解隨著計算機和計算技術日新月異地發(fā)展，數值求解N-S方程的方法具有了廣闊的道路。方程的方法具有了廣闊的道路。 3.6.2 粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程n本節(jié)只討論本節(jié)只討論在有勢質量力的作用下在有勢質量力的作用下粘性流體運動微分方程粘性

54、流體運動微分方程的積分。的積分。 式（式（3.303.30）可變化為：）可變化為：0)2(0)2(0)2(222222zyxuupWzuupWyuupWx（3.31） 如果流體運動是定常的，流體質點沿流線運動的微元長度如果流體運動是定常的，流體質點沿流線運動的微元長度dl在各軸上的投影分別為在各軸上的投影分別為dx，dy，dz。將式（。將式（3.31）中各方程）中各方程分別乘以分別乘以dx，dy，dz ，然后相加，得，然后相加，得0)()2(d2222dzudyudxuupWzyx（3.32） 3.6.2 粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程n上式中上式中v2ux， v2uy， v

55、2uz等項系單位質量粘性流等項系單位質量粘性流體所受體所受切向應力切向應力對相應軸的投影，因此上式中的第二項對相應軸的投影，因此上式中的第二項即為這些切向應力在流線微元長度即為這些切向應力在流線微元長度dl上所做的功。因為上所做的功。因為在粘性流體運動中，這些切向應力的合力的方向總是與在粘性流體運動中，這些切向應力的合力的方向總是與流體運動方向相反的，故流體運動方向相反的，故所做的功為負功所做的功為負功。由此可將上。由此可將上式中的第二項表示為：式中的第二項表示為： v(2uxdx + 2uydy +2uzdz )= dwR wR為阻力功。代入式（為阻力功。代入式（3.32），則有），則有 0

56、)2(d2RwupW將上式沿流線積分，可得將上式沿流線積分，可得RwupW22常數 （3.33）此即此即粘性流體運動微分方程的伯努利積分粘性流體運動微分方程的伯努利積分。它。它表明表明在有勢在有勢質量力的作用下，粘性不可壓縮流體作定常流動時，函數質量力的作用下，粘性不可壓縮流體作定常流動時，函數值值W- p/- u2/2 - wR是沿流線不變的。在同一流線上任取是沿流線不變的。在同一流線上任取1、2兩點，則有兩點，則有 222221211122RRwupWwupW (3.34) 3.6.2 粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程當作用于流體的質量力只有重力，且取垂直向上的坐標為當作用

57、于流體的質量力只有重力，且取垂直向上的坐標為z軸軸時，則有：時，則有：W1 = -gz1 ; W2 = -gz23.6.2 粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程代入式代入式(3.34)，經整理可得到，經整理可得到 (3.35) 式中式中wR2 wR1表示單位質量粘性流體自點表示單位質量粘性流體自點1運動到點運動到點2的過程的過程中內摩擦力所作功的增量。中內摩擦力所作功的增量。 令令hl = 1/g(wR2 wR1)，它表示單位重量粘性流體沿流線，它表示單位重量粘性流體沿流線從點從點1到點到點2的路程上所接受的摩阻功，則式的路程上所接受的摩阻功，則式(3.35)可寫成可寫成)(122

58、1222222111RRwwggupzgupz2222211122lhgupzgupz (3.36) 此即此即粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程。它。它表明表明單位重量單位重量粘性流體在沿流線運動時，其有關值（即與粘性流體在沿流線運動時，其有關值（即與z，p，u有有關的函數值）的總和是沿流向而逐漸減少的。上式也關的函數值）的總和是沿流向而逐漸減少的。上式也可推廣到微元流束，稱為粘性流體微元流束伯努利方可推廣到微元流束，稱為粘性流體微元流束伯努利方程。程。 3.6.2 粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程3.6.3 伯努利方程的能量意義和幾何意義伯努利方程的能量意義和幾

59、何意義T 伯努利方程中的每一項相應的能量意義伯努利方程中的每一項相應的能量意義 方程式中方程式中z表示單位重量流體流經某點時所具有的表示單位重量流體流經某點時所具有的位能位能(稱稱為比位能為比位能)； p/表示單位重量流體流經某點時所具有的表示單位重量流體流經某點時所具有的壓能壓能(稱為比壓稱為比壓能能)； u2/2g是單位重量流體流經給定點時的動能，稱為是單位重量流體流經給定點時的動能，稱為比動能；比動能； Hl 是單位重量流體在流動過程中所損耗的機械能，稱為是單位重量流體在流動過程中所損耗的機械能，稱為能能量損失量損失。T 無粘性流體運動的伯努利方程表明：無粘性流體運動的伯努利方程表明：單

60、位重量無粘性流體單位重量無粘性流體沿流線自位置沿流線自位置1流到位置流到位置2時，其位能、壓能、動能可能有時，其位能、壓能、動能可能有變化，或互相轉化，但它們的總和（稱為總比能）是不變變化，或互相轉化，但它們的總和（稱為總比能）是不變的。因此，的。因此，伯努利方程是能量守恒與轉換原理在流體力學伯努利方程是能量守恒與轉換原理在流體力學中的體現中的體現。T 粘性流體運動的伯努利方程粘性流體運動的伯努利方程表明：單位重量粘性流體沿流表明：單位重量粘性流體沿流線自位置線自位置1流到位置流到位置2時，不但各項能量可能有變化，或互時，不但各項能量可能有變化，或互相轉化，而且它的相轉化，而且它的總機械能也是