流體第章動(dòng)力學(xué)

1、第第3章章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)自然界與工程實(shí)際中，流體大多處于自然界與工程實(shí)際中，流體大多處于流動(dòng)狀態(tài)流動(dòng)狀態(tài)。本章討論本章討論流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及以及流體運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系流體運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系等基本問題。等基本問題。流體具有流體具有易流動(dòng)性易流動(dòng)性，極易在外力作用下產(chǎn)生變形而，極易在外力作用下產(chǎn)生變形而流動(dòng)。由于流體具有流動(dòng)。由于流體具有粘性粘性，因而在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)形成內(nèi)，因而在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)形成內(nèi)部阻力。部阻力。本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：l討論理想流體的動(dòng)力學(xué)規(guī)律；討論理想流體的動(dòng)力學(xué)規(guī)律；l研究粘性流體的動(dòng)力學(xué)規(guī)律；研究粘性流體的動(dòng)力學(xué)規(guī)律；l介紹動(dòng)量方程及其應(yīng)用。介紹動(dòng)量方程及其應(yīng)用。

2、第第3 3章章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)3.1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法3.2 研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一些基本概念研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一些基本概念 3.3 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分 第第3章章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)3.6 粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程及伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程及伯努利方程3.7 粘性流體總流的伯努利方程粘性流體總流的伯努利方程3.8 測(cè)量流速和流量的儀器測(cè)量流速和流量的儀器 3.9 定常流動(dòng)總流的動(dòng)量方程及其

3、應(yīng)用定常流動(dòng)總流的動(dòng)量方程及其應(yīng)用 3.1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（或運(yùn)動(dòng)要素）流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（或運(yùn)動(dòng)要素）：表征流體運(yùn)動(dòng)：表征流體運(yùn)動(dòng)的物理量，如流體質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度、的物理量，如流體質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度、密度、壓強(qiáng)、動(dòng)能、動(dòng)量等等。密度、壓強(qiáng)、動(dòng)能、動(dòng)量等等。 描述流體運(yùn)動(dòng)：描述流體運(yùn)動(dòng)：也就是要表達(dá)這些流動(dòng)參數(shù)在各也就是要表達(dá)這些流動(dòng)參數(shù)在各個(gè)不同空間位置上隨時(shí)間連續(xù)變化的規(guī)律。個(gè)不同空間位置上隨時(shí)間連續(xù)變化的規(guī)律。研究流體的運(yùn)動(dòng)的方法：研究流體的運(yùn)動(dòng)的方法：1.拉格朗日法拉格朗日法2.歐拉法歐拉法 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗

4、日法：拉格朗日法：著眼于流體中各質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)情況，考察每一著眼于流體中各質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)情況，考察每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度等流動(dòng)參數(shù)，將整個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度等流動(dòng)參數(shù)，將整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)當(dāng)成許多流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總和來(lái)進(jìn)行考慮運(yùn)動(dòng)當(dāng)成許多流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總和來(lái)進(jìn)行考慮 本質(zhì)：本質(zhì)：即一般力學(xué)研究中的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的方法，所以也稱即一般力學(xué)研究中的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的方法，所以也稱為為質(zhì)點(diǎn)系法質(zhì)點(diǎn)系法。 用拉格朗日法來(lái)研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要用拉格朗日法來(lái)研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要注意注意的是某一個(gè)的是某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和描述該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和描述該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法。 ),(),(),(321tcb

5、afztcbafytcbafx例如，假定在運(yùn)動(dòng)開始例如，假定在運(yùn)動(dòng)開始時(shí)刻時(shí)刻t0，某一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，某一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為為(a，b，c)，則在其運(yùn)，則在其運(yùn)動(dòng)以后任意時(shí)刻動(dòng)以后任意時(shí)刻t的坐標(biāo)的坐標(biāo)位置可表示如下：位置可表示如下： （3.1） 式中式中a、b、c和和t稱為稱為拉格朗日變數(shù)拉格朗日變數(shù)。 對(duì)于某一給定質(zhì)點(diǎn)，對(duì)于某一給定質(zhì)點(diǎn)，a、b、c是不變的常數(shù)。是不變的常數(shù)。 如果如果t取定值取定值而而a、b、c取不同的值，上式便表示了在某一瞬時(shí)取不同的值，上式便表示了在某一瞬時(shí)所有流體質(zhì)點(diǎn)在該空間區(qū)域的分布情況；所有流體質(zhì)點(diǎn)在該空間區(qū)域的分布情況； 如果如果t取變值取變值，則上式便是該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌

6、跡的參數(shù)方程，由此可，則上式便是該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，由此可求得該質(zhì)點(diǎn)的速度在各坐標(biāo)軸的分量為：求得該質(zhì)點(diǎn)的速度在各坐標(biāo)軸的分量為： ttcbaftzuttcbaftyuttcbaftxuzyx),(),(),(321該質(zhì)點(diǎn)的該質(zhì)點(diǎn)的加速度分加速度分量為：量為： 232222222221222),(),(),(ttcbaftzattcbaftyattcbaftxazyx3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法流體的壓強(qiáng)、密度等量也可類似的表示為流體的壓強(qiáng)、密度等量也可類似的表示為a 、b、c和和t的函數(shù)的函數(shù)p=f4(a，b，c，t) 、 p=f5(a，b，c，t) 。 拉格朗日法優(yōu)缺點(diǎn)：拉格朗日

7、法優(yōu)缺點(diǎn)：J優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在物理概念上清晰易懂；：在物理概念上清晰易懂；L缺點(diǎn)缺點(diǎn)：流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的經(jīng)歷情況，除較簡(jiǎn)單的：流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的經(jīng)歷情況，除較簡(jiǎn)單的射流運(yùn)動(dòng)、波浪運(yùn)動(dòng)等以外，一般講是非常復(fù)雜的，射流運(yùn)動(dòng)、波浪運(yùn)動(dòng)等以外，一般講是非常復(fù)雜的，而且用此方法分析流體的運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)上也會(huì)遇到很而且用此方法分析流體的運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)上也會(huì)遇到很多困難。多困難。因此，這個(gè)方法只限于研究流體運(yùn)動(dòng)的少數(shù)特殊情因此，這個(gè)方法只限于研究流體運(yùn)動(dòng)的少數(shù)特殊情況，而一般都采用下述較為簡(jiǎn)便的歐拉法。況，而一般都采用下述較為簡(jiǎn)便的歐拉法。3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法3.1.2 歐拉法歐拉法歐拉法歐拉法：著眼于流體經(jīng)

8、過空間各固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，：著眼于流體經(jīng)過空間各固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，將經(jīng)過某一流動(dòng)空間的流體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)成不同質(zhì)點(diǎn)在不同將經(jīng)過某一流動(dòng)空間的流體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)成不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)過這些空間位置時(shí)的運(yùn)動(dòng)總和來(lái)考慮時(shí)刻經(jīng)過這些空間位置時(shí)的運(yùn)動(dòng)總和來(lái)考慮要點(diǎn)：要點(diǎn)： 1）分析流動(dòng)空間某固定位置處，流體的流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的）分析流動(dòng)空間某固定位置處，流體的流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。變化規(guī)律。 2）分析由某一空間位置轉(zhuǎn)移到另一空間位置時(shí)，流動(dòng)參數(shù)）分析由某一空間位置轉(zhuǎn)移到另一空間位置時(shí)，流動(dòng)參數(shù)隨位置變化的規(guī)律。隨位置變化的規(guī)律。 特點(diǎn)特點(diǎn)：用歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，并不關(guān)心個(gè)別流體質(zhì)：用歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，并

9、不關(guān)心個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只需要仔細(xì)觀察經(jīng)過空間每一個(gè)位置處的流點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只需要仔細(xì)觀察經(jīng)過空間每一個(gè)位置處的流體運(yùn)動(dòng)情況。正因?yàn)檫@樣，凡是表征流體運(yùn)動(dòng)特征的物體運(yùn)動(dòng)情況。正因?yàn)檫@樣，凡是表征流體運(yùn)動(dòng)特征的物理量都可以表示為理量都可以表示為時(shí)間時(shí)間t和坐標(biāo)和坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。的函數(shù)。n例如在任意時(shí)刻通過任意空間位置的流體質(zhì)點(diǎn)速度在各軸例如在任意時(shí)刻通過任意空間位置的流體質(zhì)點(diǎn)速度在各軸上的分量為上的分量為),(=),(=),(=321tzyxFutzyxFutzyxFuzyx（3.4） 式中x、y、z和t稱為歐拉變數(shù)歐拉變數(shù)。運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的加速度分量可表示為dttzyxdFdtduadttzyx

10、dFdtduadttzyxdFdtduazzyyxx),(),(),(321（3.5）3.1.2 歐拉法歐拉法n流體的壓強(qiáng)、密度也可以表示為：流體的壓強(qiáng)、密度也可以表示為： p = f4(a，b，c，t) 、 p = f5(a，b，c，t) n注意：注意：拉格朗日法和歐拉法在研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉格朗日法和歐拉法在研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，只是著眼點(diǎn)不同而已，并沒有本質(zhì)上的差別，對(duì)只是著眼點(diǎn)不同而已，并沒有本質(zhì)上的差別，對(duì)于同一個(gè)問題，用兩種方法描述的結(jié)果應(yīng)該是一于同一個(gè)問題，用兩種方法描述的結(jié)果應(yīng)該是一致的。致的。3.1.2 歐拉法歐拉法n由歐拉法可知，加速度場(chǎng)是流速場(chǎng)對(duì)時(shí)間由歐拉法可知，加速度場(chǎng)是流速場(chǎng)

11、對(duì)時(shí)間 t 的全導(dǎo)數(shù)。在的全導(dǎo)數(shù)。在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)，速度表達(dá)式（進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)，速度表達(dá)式（3.4）中的自變量）中的自變量x、y、z應(yīng)當(dāng)視作流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)而不是固定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)當(dāng)視作流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)而不是固定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，即應(yīng)當(dāng)將即應(yīng)當(dāng)將 x、y、z 視作時(shí)間的函數(shù)。例如，視作時(shí)間的函數(shù)。例如，x 方向上的加方向上的加速度分量為速度分量為 3.1.3 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxx是流體質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)（是流體質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)（x、y、z）的時(shí)間變化率，應(yīng)當(dāng)?shù)扔冢┑臅r(shí)間變化率，應(yīng)當(dāng)?shù)扔谫|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，故 n其中其中dtdxdt

12、dydtdz、 zuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx表示表示 ux 對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間 t 的全導(dǎo)數(shù)，稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，或者的全導(dǎo)數(shù)，稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，或者隨體導(dǎo)數(shù)。隨體導(dǎo)數(shù)。 3.1.3 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)n加速度的矢量形式為加速度的矢量形式為 上面上面 dtduxn類似地，可以將類似地，可以將y、z方向上的加速度分量表示成對(duì)應(yīng)的流方向上的加速度分量表示成對(duì)應(yīng)的流速分量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，即速分量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，即zuuyuuxuutudtduayzyyyxyyy （3.8）zuuyuuxuutudtduazzzyzxzzz （3.9）uuuua)(dtdtd （3.10）例題例題3.1 已知流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的

13、速度為已知流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的速度為3.1.3 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 試求流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的加速度。試求流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的加速度。0,zyxukyukxu解解 質(zhì)點(diǎn)的速度為質(zhì)點(diǎn)的速度為kryxkuuyx2222u質(zhì)點(diǎn)加速度為質(zhì)點(diǎn)加速度為xkxuudtduaxxxx2ykxuudtduayyyy20za222222xyaaakxyk r3.2 研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一些基本概念研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一些基本概念3.2.1 跡線和流線跡線和流線3.2.1.1 跡線跡線 定義：定義：指流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，指流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它表示了流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)它表示了流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況。的運(yùn)動(dòng)情況。 如圖如圖3.1所示，某一流體

14、質(zhì)點(diǎn)在時(shí)所示，某一流體質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)從間內(nèi)從A運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到B，曲線，曲線ACB即為即為該質(zhì)點(diǎn)的跡線。如果在這一跡線該質(zhì)點(diǎn)的跡線。如果在這一跡線上取微元長(zhǎng)度上取微元長(zhǎng)度dl表示該質(zhì)點(diǎn)表示該質(zhì)點(diǎn)M在在dt時(shí)間內(nèi)的微小位移，則其速度為時(shí)間內(nèi)的微小位移，則其速度為 u=dl/dt圖圖3.1 跡線跡線3.2.1.1 跡線跡線 n它在各坐標(biāo)軸的分量為它在各坐標(biāo)軸的分量為 ux=dx/dt， uy=dy/dt ， uz=dz/dt （3.6）n式中式中dx、dy、dz為微元位移為微元位移dl在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，由式（影，由式（3.6）可得）可得 dtudzudyudxzyx（3.7）上式為

15、跡線的微分方程跡線的微分方程，表示質(zhì)點(diǎn)M的軌跡。3.2.1.2 流線流線 定義：定義：流線是流體流速場(chǎng)內(nèi)反流線是流體流速場(chǎng)內(nèi)反映瞬時(shí)流速方向的曲線，在同映瞬時(shí)流速方向的曲線，在同一時(shí)刻，處在流線上所有各點(diǎn)一時(shí)刻，處在流線上所有各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流速方向與該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流速方向與該點(diǎn)的切線方向重合，如圖的切線方向重合，如圖3.2所示。所示。 注意：注意：流線表示了某一瞬時(shí)，流線表示了某一瞬時(shí)，許多處在這一流線上的流體質(zhì)許多處在這一流線上的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。流線不表示流點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。流線不表示流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，因此在流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，因此在流線上取微元長(zhǎng)度，它并不表示線上取微元長(zhǎng)度，它并不表

16、示某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的位移，當(dāng)然也某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的位移，當(dāng)然也不能就此求出速度表達(dá)式。不能就此求出速度表達(dá)式。圖圖3.2 流線流線 重要特征：重要特征：同一時(shí)刻的不同流線，互相不可能相交。同一時(shí)刻的不同流線，互相不可能相交。 原因：原因：根據(jù)流線的性質(zhì)，在交點(diǎn)處的流體質(zhì)點(diǎn)的流速向量根據(jù)流線的性質(zhì)，在交點(diǎn)處的流體質(zhì)點(diǎn)的流速向量應(yīng)同時(shí)相切于這兩條流線，即該質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻有兩個(gè)速應(yīng)同時(shí)相切于這兩條流線，即該質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻有兩個(gè)速度向量，這是不可能的。度向量，這是不可能的。n設(shè)某一點(diǎn)上的質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)速度為設(shè)某一點(diǎn)上的質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)速度為u=uxi+uyj+uzk，流線上的微流線上的微元線段矢量為元線段矢量為ds=dxi

17、+dyj+dzk。根據(jù)定義，這兩個(gè)矢量方根據(jù)定義，這兩個(gè)矢量方向一致，矢量積為零，于是可得出流線的矢量表示法為向一致，矢量積為零，于是可得出流線的矢量表示法為 uds = 0 （3.8） 寫成投影形式，則寫成投影形式，則 dx/ux= dy/uy= dz/uz （3.9）n這就是最常用的這就是最常用的流線微分方程流線微分方程。3.2.1.2 流線流線例題例題3.1 設(shè)有一平面流場(chǎng)，其速度表達(dá)式是設(shè)有一平面流場(chǎng)，其速度表達(dá)式是ux=x+t，uy=-y+t，uz=0，求求t =0時(shí)，過（時(shí)，過（-1，-1）點(diǎn)的跡線和流線。）點(diǎn)的跡線和流線。解解（1）跡線應(yīng)滿足的方程是）跡線應(yīng)滿足的方程是 dx/d

18、t =x+t，dy/dt = -y+t這里這里t是自變量，以上兩方程的解分別是是自變量，以上兩方程的解分別是 x = c1et-t-1，y = c2e-t+t-1以以t =0 時(shí)，時(shí)， x=y=-1代入得代入得c1=c2=0，消去，消去t后得跡線方程后得跡線方程 x+y =-2（2）流線的微分方程是）流線的微分方程是 dx/(x+t) = dy/(-y+t)式中式中t是參數(shù)，積分得是參數(shù)，積分得 (x+t)(-y+t) = c以以t=0時(shí)，時(shí)， x = y = -1代入得代入得 c=-1 ，所以所求流線方程為，所以所求流線方程為xy =13.2.1.2 流線流線3.2.2 定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)

19、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng) 定常流動(dòng)：定常流動(dòng)：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素只是坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無(wú)關(guān)。只是坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無(wú)關(guān)。 其運(yùn)動(dòng)要素其運(yùn)動(dòng)要素),(),(),(321zyxfzyxfpzyxfu（3.10）l 如圖如圖 (a)所示，水頭穩(wěn)定的泄流是定常流動(dòng)。在某一瞬間所示，水頭穩(wěn)定的泄流是定常流動(dòng)。在某一瞬間通過某固定點(diǎn)作出的流線，是不隨時(shí)間而改變的。因此通過某固定點(diǎn)作出的流線，是不隨時(shí)間而改變的。因此在在定常流動(dòng)中，流線與跡線重合。定常流動(dòng)中，流線與跡線重合。用歐拉法以流線概念來(lái)描用歐拉法以流線概念來(lái)描述和分析定常流動(dòng)是適合的。述和分析定常流動(dòng)是適合的。 非定常流動(dòng)：非定常流動(dòng)

20、：如果流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素，既是坐標(biāo)的函如果流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素，既是坐標(biāo)的函數(shù)又是時(shí)間的函數(shù)數(shù)又是時(shí)間的函數(shù) 如圖如圖 (b)所示，變水頭的泄流是非定常流動(dòng)。所示，變水頭的泄流是非定常流動(dòng)。3.2.2 定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)3.2.3 流面、流管、流束與總流流面、流管、流束與總流 流面：流面：通過不處于同一流線上的線段上的各點(diǎn)作出流線，通過不處于同一流線上的線段上的各點(diǎn)作出流線，則可形成由流線組成的一個(gè)面，稱為流面則可形成由流線組成的一個(gè)面，稱為流面 。 流面上的質(zhì)點(diǎn)只能沿流面運(yùn)動(dòng)，兩側(cè)的流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流面上的質(zhì)點(diǎn)只能沿流面運(yùn)動(dòng)，兩側(cè)的流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流面而運(yùn)動(dòng)。流面而運(yùn)動(dòng)。

21、 流管：流管：通過流場(chǎng)中不在同一流面上的某一封閉曲線上的各通過流場(chǎng)中不在同一流面上的某一封閉曲線上的各點(diǎn)作流線，則形成由流線所組成的管狀表面稱為流管。點(diǎn)作流線，則形成由流線所組成的管狀表面稱為流管。 如圖如圖3.4所示。管中的流體稱為所示。管中的流體稱為流束流束，其質(zhì)點(diǎn)只能在管內(nèi)流，其質(zhì)點(diǎn)只能在管內(nèi)流動(dòng)，管內(nèi)外的流體質(zhì)點(diǎn)不能交流。動(dòng)，管內(nèi)外的流體質(zhì)點(diǎn)不能交流。微元流束：微元流束：充滿于微小流管中的流體稱為微元流充滿于微小流管中的流體稱為微元流束。束。流線：流線：當(dāng)微元流束的斷面積趨近于零時(shí)，則微元當(dāng)微元流束的斷面積趨近于零時(shí)，則微元流束成為流線。流束成為流線。總流：總流：由無(wú)限多微元流束所組成

22、的總的流束稱為由無(wú)限多微元流束所組成的總的流束稱為總流。通常見到的管流與河渠水流都是總流。總流。通常見到的管流與河渠水流都是總流。3.2.3 流面、流管、流束與總流流面、流管、流束與總流 3.2.4 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量 過流斷面：過流斷面：與微元流束（或總流）中各條流線相垂直的截與微元流束（或總流）中各條流線相垂直的截面稱為此微元流束（或總流）的過流斷面（或過水?dāng)嗝妫?，面稱為此微元流束（或總流）的過流斷面（或過水?dāng)嗝妫?，如圖如圖3.5所示。所示。 由過流斷面的定義知，當(dāng)流線幾乎是平行的直線時(shí)，過流由過流斷面的定義知，當(dāng)流線幾乎是平行的直線時(shí)，過流斷面是斷面是平面平面；否則

23、過流斷面是；否則過流斷面是不同形式的曲面不同形式的曲面。 圖圖3.5 過流斷面過流斷面由于研究對(duì)象的不同，流體的運(yùn)動(dòng)速度有兩個(gè)概念：由于研究對(duì)象的不同，流體的運(yùn)動(dòng)速度有兩個(gè)概念： 1）點(diǎn)速：）點(diǎn)速：是指流場(chǎng)中某一空間位置處的流體質(zhì)點(diǎn)在單位是指流場(chǎng)中某一空間位置處的流體質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的位移，稱為該流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)此處時(shí)的速時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的位移，稱為該流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)此處時(shí)的速度，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)速，用度，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)速，用u表示，單位為表示，單位為m/s（米（米/秒）。秒）。嚴(yán)格地說，同一過流斷面上各點(diǎn)的流速是不相等的。嚴(yán)格地說，同一過流斷面上各點(diǎn)的流速是不相等的。但微元流束的過流斷面很小，各點(diǎn)流速也相差很小，但

24、微元流束的過流斷面很小，各點(diǎn)流速也相差很小，可以用斷面中心處的流速作為各點(diǎn)速度的平均值?？梢杂脭嗝嬷行奶幍牧魉僮鳛楦鼽c(diǎn)速度的平均值。 2）均速：）均速：在同一過流斷面上，求出各點(diǎn)速度在同一過流斷面上，求出各點(diǎn)速度u對(duì)斷面對(duì)斷面A的的算術(shù)平均值，稱為該斷面的平均速度，簡(jiǎn)稱均速，以算術(shù)平均值，稱為該斷面的平均速度，簡(jiǎn)稱均速，以v表示，其單位與點(diǎn)速相同。表示，其單位與點(diǎn)速相同。 3.2.4 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量 流量：流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過微元流束（或總流）過流斷單位時(shí)間內(nèi)通過微元流束（或總流）過流斷面的體積流量，稱為通過該斷面的體積流量，簡(jiǎn)稱面的體積流量，稱為通過該斷面的體積流量

25、，簡(jiǎn)稱流量。其常用單位是米流量。其常用單位是米3/秒（秒（m3/s）或升）或升/秒秒(L/s)。 質(zhì)量流量：質(zhì)量流量：有時(shí)也用單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流有時(shí)也用單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流體質(zhì)量來(lái)表示流量，稱為質(zhì)量流量。體質(zhì)量來(lái)表示流量，稱為質(zhì)量流量。 微元流束的流量以微元流束的流量以dQ表示，總流的流量以表示，總流的流量以Q表示。表示。因?yàn)槲⒃魇倪^流斷面與速度方向垂直，所以其因?yàn)槲⒃魇倪^流斷面與速度方向垂直，所以其過流斷面面積與速度的乘積正是單位時(shí)間內(nèi)通過此過流斷面面積與速度的乘積正是單位時(shí)間內(nèi)通過此過流斷面的流體體積。故過流斷面的流體體積。故 dQ = udA （3.11）3.2.4

26、 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量l總流的流量，則為同一過流斷面上各個(gè)微元流束的流量之總流的流量，則為同一過流斷面上各個(gè)微元流束的流量之和，即和，即ddQAQQu A（3.12）l 現(xiàn)在可以看到：斷面平均流速就是體積流量被過流斷面面現(xiàn)在可以看到：斷面平均流速就是體積流量被過流斷面面積除得的商，即積除得的商，即dAu AQvAA（3.13）3.2.4 過流斷面、流速、流量過流斷面、流速、流量3.3 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程T運(yùn)動(dòng)流體的連續(xù)性：運(yùn)動(dòng)流體的連續(xù)性：運(yùn)動(dòng)流體經(jīng)常充滿它所占據(jù)運(yùn)動(dòng)流體經(jīng)常充滿它所占據(jù)的空間（即流場(chǎng)），并不出現(xiàn)任何形式的空洞或的空間（即流場(chǎng)），并不出

27、現(xiàn)任何形式的空洞或裂隙，這一性質(zhì)稱為運(yùn)動(dòng)流體的連續(xù)性。裂隙，這一性質(zhì)稱為運(yùn)動(dòng)流體的連續(xù)性。T滿足這一連續(xù)性條件的等式則稱為滿足這一連續(xù)性條件的等式則稱為連續(xù)性方程連續(xù)性方程。T本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容： 1）先討論直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程（即空間運(yùn)動(dòng)）先討論直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程（即空間運(yùn)動(dòng)的的連續(xù)性方程的的連續(xù)性方程)； 2）再討論微元流速和總流的連續(xù)性方程。）再討論微元流速和總流的連續(xù)性方程。3.3.1 直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程n在流場(chǎng)中任取一個(gè)以在流場(chǎng)中任取一個(gè)以M點(diǎn)點(diǎn)為中心的為中心的微元六面體微元六面體，如，如圖圖3.6所示。六面體的各邊所示。六面體的各邊分別與直角

28、坐標(biāo)系各軸平分別與直角坐標(biāo)系各軸平行，其邊長(zhǎng)分別為行，其邊長(zhǎng)分別為x，y，z 。M點(diǎn)的坐標(biāo)假定為點(diǎn)的坐標(biāo)假定為x，y，z，在某一時(shí)刻，在某一時(shí)刻t，M點(diǎn)點(diǎn)的流速為的流速為u，密度為，密度為。由。由于六面體取得非常微小，于六面體取得非常微小，六面體六面上各點(diǎn)六面體六面上各點(diǎn)t時(shí)刻的時(shí)刻的流速和密度可用泰勒級(jí)數(shù)流速和密度可用泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去高階微量來(lái)展開，并略去高階微量來(lái)表達(dá)。表達(dá)。例如例如2點(diǎn)點(diǎn)(如圖如圖)的流速為的流速為2xxuuxx圖圖3.6 運(yùn)動(dòng)流體的微元六面體運(yùn)動(dòng)流體的微元六面體如此類推。如此類推。n 現(xiàn)在考慮在微小時(shí)間段現(xiàn)在考慮在微小時(shí)間段t 中流過平行表面中流過平行表面abcd與

29、與a b c d (如圖如圖)的流體質(zhì)量。由于時(shí)段微小，可以認(rèn)為流速?zèng)]的流體質(zhì)量。由于時(shí)段微小，可以認(rèn)為流速?zèng)]有變化，由于六面體微小，各個(gè)面上流速分布可以認(rèn)為是有變化，由于六面體微小，各個(gè)面上流速分布可以認(rèn)為是均勻的，所以，在時(shí)間段內(nèi)，由均勻的，所以，在時(shí)間段內(nèi)，由abcd面流入的流體質(zhì)量為：面流入的流體質(zhì)量為：tzyxxuuxx2)(由由a b c d (面流出的流體質(zhì)量為：面流出的流體質(zhì)量為：tzyxxuuxx2)(兩者之差，即凈流入量為：兩者之差，即凈流入量為：tzyxxux)(3.3.1 直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程用同樣的方法，可得在用同樣的方法，可得在 y方向和

30、方向和 z方向上凈流入量分別為：方向上凈流入量分別為：tzxyyuy)(tyxzzuz)(和和 按照質(zhì)量守恒定律，上述三個(gè)方向上凈流入量之代數(shù)和必按照質(zhì)量守恒定律，上述三個(gè)方向上凈流入量之代數(shù)和必定與定與t時(shí)間段內(nèi)微元六面體內(nèi)流體質(zhì)量的增加量時(shí)間段內(nèi)微元六面體內(nèi)流體質(zhì)量的增加量( (或減少量或減少量) )相等，這個(gè)增加量相等，這個(gè)增加量( (或減少量或減少量) )顯然是由于六面體內(nèi)連續(xù)介質(zhì)顯然是由于六面體內(nèi)連續(xù)介質(zhì)密度加大或減小的結(jié)果，即密度加大或減小的結(jié)果，即zyxtt)(3.3.1 直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程由此可得： zyxtttzyxzuyuxuzyx)()()(

31、兩邊除以xy z并移項(xiàng)，得：0)()()(zuyuxutzyx （3.14） 這就是可壓縮流體三維流動(dòng)的歐拉連續(xù)性方程可壓縮流體三維流動(dòng)的歐拉連續(xù)性方程。 3.3.1 直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程可壓縮流體定常流動(dòng)的連續(xù)性方程可壓縮流體定常流動(dòng)的連續(xù)性方程為：0)()()(zuyuxuzyx （3.15） 不可壓縮流體不可壓縮流體（為常數(shù)）定常流或非定常流的連續(xù)性方程為常數(shù)）定常流或非定常流的連續(xù)性方程為： 0=+zuyuxuzyx（3.16） 上式表明上式表明：不可壓縮流體流動(dòng)時(shí)，流速：不可壓縮流體流動(dòng)時(shí)，流速u的空間變化是彼此的空間變化是彼此關(guān)聯(lián)、相互制約的，它必須受連

32、續(xù)性方程的約束，否則流體關(guān)聯(lián)、相互制約的，它必須受連續(xù)性方程的約束，否則流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性將受到破壞，而不能維持正常流動(dòng)。運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性將受到破壞，而不能維持正常流動(dòng)。3.3.1 直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程3.3.2 微元流束與總流的連續(xù)性方程微元流束與總流的連續(xù)性方程 n設(shè)有微元流束如圖設(shè)有微元流束如圖3.7所示，所示，其過流斷面分別為其過流斷面分別為dA1及及dA2，相應(yīng)的速度分別為相應(yīng)的速度分別為u1及及u2 ，密度分別為密度分別為1及及2 。若以可。若以可壓縮流體的定常流動(dòng)來(lái)考慮，壓縮流體的定常流動(dòng)來(lái)考慮，則微元流束的形狀不隨時(shí)間則微元流束的形狀不隨時(shí)間改變，沒有流體

33、自流束表面改變，沒有流體自流束表面流入與流出。流入與流出。圖圖3.7 微元流束和總流微元流束和總流 在時(shí)間在時(shí)間dt內(nèi)，經(jīng)過內(nèi)，經(jīng)過dA1流入的流體質(zhì)量為流入的流體質(zhì)量為 dM1= 1u1dA1dt ， 經(jīng)過流出的流體質(zhì)量經(jīng)過流出的流體質(zhì)量為為 dM2=2u2dA2dt 3.3.2.1 微元流束的連續(xù)性方程微元流束的連續(xù)性方程3.3.2.1 微元流束的連續(xù)性方程微元流束的連續(xù)性方程n根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流入的質(zhì)量必須等于流出的質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流入的質(zhì)量必須等于流出的質(zhì)量，可得可得dM1 = dM2 即即 1u1dA1=2u2dA2 （3.17）n對(duì)不可壓縮流體，對(duì)不可壓縮流體， 1=2，

34、 故故u1dA1 = u2dA2，即，即 dQ1= dQ2 （3.18）n這就是這就是不可壓縮流體定常流動(dòng)微元流束的連續(xù)性方程不可壓縮流體定常流動(dòng)微元流束的連續(xù)性方程。它表明它表明：在同一時(shí)間內(nèi)通過微元流束上任一過流斷面：在同一時(shí)間內(nèi)通過微元流束上任一過流斷面的流量是相等的。的流量是相等的。3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程 將式（將式（3.17）對(duì)相應(yīng)的過流斷面進(jìn)行積分，得）對(duì)相應(yīng)的過流斷面進(jìn)行積分，得 A11u1dA1 = A2 2u2dA2 引用式（引用式（3.13），上式可寫成），上式可寫成 1mv1A1 = 2mv2A2 即即 1mQ1 = 2mQ2 （3.19） 式中

35、式中1m、 2m分別為斷面分別為斷面1、2上流體的平均密度。上流體的平均密度。n式（式（3.19）就是）就是總流的連續(xù)性方程?？偭鞯倪B續(xù)性方程。 對(duì)于對(duì)于不可壓縮流體不可壓縮流體，則為，則為 Q1 = Q2 或或 A1v1 = A2v2 （3.20）n上式表明：上式表明：在保證連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)流體中，過流斷面面積是在保證連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)流體中，過流斷面面積是與速度成反比的。與速度成反比的。這是流體運(yùn)動(dòng)中的一條很重要的規(guī)律。這是流體運(yùn)動(dòng)中的一條很重要的規(guī)律。 n救火用的水龍噴嘴，廢水處理中的沉淀池（圖救火用的水龍噴嘴，廢水處理中的沉淀池（圖3.8）都是）都是這一規(guī)律在工程中的實(shí)際應(yīng)用。這一規(guī)律在工程中的

36、實(shí)際應(yīng)用。 圖圖3.8 平流式沉淀池平流式沉淀池3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程 圖圖3.9 流量的匯入與流出流量的匯入與流出3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程 上述總流的連續(xù)性方程是在流量沿程不變的條件下導(dǎo)出的。上述總流的連續(xù)性方程是在流量沿程不變的條件下導(dǎo)出的。若沿途有流量流進(jìn)或流出，總流的連續(xù)性方程仍然適用，若沿途有流量流進(jìn)或流出，總流的連續(xù)性方程仍然適用，只是形式有所不同。只是形式有所不同。 對(duì)于圖對(duì)于圖3.9所示的情況，則所示的情況，則 Q3= Q1 + Q2， A3v3 = A1v1 +A2v2 （3.21） Q4+ Q5 = Q1 + Q2， A4v

37、4 + A5v5 = A1v1 + A2v2 （3.22） 例題例題3.23.2 在三元不可壓縮流動(dòng)中，已知在三元不可壓縮流動(dòng)中，已知ux= x2 + z2 + 5,uy = y2 + z2-3，求求uz的表達(dá)式。的表達(dá)式。 解解 由連續(xù)性方程式（由連續(xù)性方程式（3.163.16）可知）可知 )(2)(zuzyxyuxuyx積分得：積分得： zyxzd)(2dzuzCzyxuz)(2 上式中積分常數(shù)上式中積分常數(shù)C ，可以是某一數(shù)值常數(shù)，也可以是與，可以是某一數(shù)值常數(shù)，也可以是與z無(wú)關(guān)的某一函數(shù)無(wú)關(guān)的某一函數(shù) f(x，y)，所以：，所以： uz= (x+y)z + f(x，y)3.3.2.2

38、總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程例題例題3.3 圖圖3.10為一旋風(fēng)除塵器，為一旋風(fēng)除塵器，入口處為矩形斷面，其面積為入口處為矩形斷面，其面積為A2=100mm20mm，進(jìn)氣管為，進(jìn)氣管為圓形斷面，其直徑為圓形斷面，其直徑為100 mm，問當(dāng)入口流速為問當(dāng)入口流速為v2 =12 m/s時(shí)，時(shí)，進(jìn)氣管中的流速為多大？進(jìn)氣管中的流速為多大？解解 根據(jù)連續(xù)性方程可知根據(jù)連續(xù)性方程可知A1v1 = A2v2 故故圖圖3.10 旋風(fēng)除塵器旋風(fēng)除塵器221210.10.02123.06m/s0.14A vvA3.3.2.2 總流的連續(xù)性方程總流的連續(xù)性方程3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微

39、分方程T本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容：研究無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系，暫：研究無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系，暫不考慮流體的內(nèi)摩擦力。不考慮流體的內(nèi)摩擦力。T作用在流體表面上的力，只有垂直于受力面并指作用在流體表面上的力，只有垂直于受力面并指向內(nèi)法線方向的向內(nèi)法線方向的流體動(dòng)壓力流體動(dòng)壓力（由動(dòng)壓強(qiáng)引起）。（由動(dòng)壓強(qiáng)引起）。3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程圖圖3.11 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)和受力情況無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)和受力情況 在無(wú)粘性流體中取出一微在無(wú)粘性流體中取出一微元六面體，如圖元六面體，如圖3.11所示。所示。六面體各邊分別與各坐標(biāo)六面體各邊分別與各坐標(biāo)軸平行，各邊長(zhǎng)度分別為軸平行，各邊長(zhǎng)度

40、分別為x，y，z。 設(shè)六面體形心設(shè)六面體形心M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為x,y,z，在所考慮的瞬間，在所考慮的瞬間，M點(diǎn)上的動(dòng)壓強(qiáng)為點(diǎn)上的動(dòng)壓強(qiáng)為p，流速，流速為為，其分量為，其分量為ux，uy，uz。又設(shè)流體密度為又設(shè)流體密度為，流體，流體所受的單位質(zhì)量力為所受的單位質(zhì)量力為J，它在各軸上的分力為它在各軸上的分力為X,Y,Z。 n由于流體的動(dòng)壓強(qiáng)只是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此六面體內(nèi)由于流體的動(dòng)壓強(qiáng)只是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此六面體內(nèi)的流體在的流體在x軸向上所受的軸向上所受的表面力表面力和和質(zhì)量力質(zhì)量力分別為分別為zyxxppzyxxpp)2()2(zyxX 根據(jù)牛頓第二定律，根據(jù)牛頓第二定律， x 軸向上

41、的表面力和質(zhì)量力之和應(yīng)等軸向上的表面力和質(zhì)量力之和應(yīng)等于六面體內(nèi)流體的質(zhì)量與于六面體內(nèi)流體的質(zhì)量與 x 軸向上的加速度的乘積，即軸向上的加速度的乘積，即 tuzyxzyxXzyxxppzyxxppxdd)2()2(3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程整理上式，即可得整理上式，即可得x方向上單位質(zhì)量流體的運(yùn)動(dòng)方程式為方向上單位質(zhì)量流體的運(yùn)動(dòng)方程式為tuzpZtuypYtuxpXzyxdd1dd1dd1同理可得同理可得 （3.23）若寫成矢量形式，則為若寫成矢量形式，則為tupJdd1 （3.24） 3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程若寫成矢量形式，則為若

42、寫成矢量形式，則為 tupJdd1（3.24） 式中符號(hào)式中符號(hào)為哈密頓算子為哈密頓算子 這就是這就是無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，由歐拉，由歐拉1755年首次導(dǎo)年首次導(dǎo)出，又稱出，又稱歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，它奠定了古典流體力學(xué)的基礎(chǔ)。，它奠定了古典流體力學(xué)的基礎(chǔ)。式（式（3.23）中，如）中，如ux= uy= uz =0，則歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程就變?yōu)?，則歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程就變?yōu)闅W拉平衡微分方程式（歐拉平衡微分方程式（2.4）。所以）。所以歐拉平衡方程是歐拉運(yùn)歐拉平衡方程是歐拉運(yùn)動(dòng)方程的特例動(dòng)方程的特例。kzjyix3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分

43、方程 上式各方程等號(hào)右側(cè)的前三項(xiàng)表示流體質(zhì)點(diǎn)由于位置移動(dòng)上式各方程等號(hào)右側(cè)的前三項(xiàng)表示流體質(zhì)點(diǎn)由于位置移動(dòng)而形成的速度分量的變化率，稱為而形成的速度分量的變化率，稱為位變加速度位變加速度。 最后一項(xiàng)表示流體質(zhì)點(diǎn)在經(jīng)過時(shí)間的運(yùn)動(dòng)后而形成的速度最后一項(xiàng)表示流體質(zhì)點(diǎn)在經(jīng)過時(shí)間的運(yùn)動(dòng)后而形成的速度分量的變化率，稱為分量的變化率，稱為時(shí)變加速度時(shí)變加速度。tuuzuuyuuxuzpZtuuzuuyuuxuypYtuuzuuyuuxuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx111（3.25） 考慮到式（考慮到式（3.4），求），求ux，uy，uz的全微分，則式（的全微分，則式（3.23）可）可變?yōu)?/p>

44、變?yōu)?.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 因此，運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的因此，運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的加速度加速度為為位變加速度與時(shí)變加速度位變加速度與時(shí)變加速度之和之和。 一般地說，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程中有一般地說，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程中有ux、uy、uz和和p等四個(gè)未等四個(gè)未知數(shù)，但只有三個(gè)分量方程，必須與連續(xù)性方程結(jié)合起來(lái)知數(shù)，但只有三個(gè)分量方程，必須與連續(xù)性方程結(jié)合起來(lái)成為封閉方程組，才能求解。成為封閉方程組，才能求解。 從理論上說，無(wú)粘性流體動(dòng)力學(xué)問題是完全可以解決的。從理論上說，無(wú)粘性流體動(dòng)力學(xué)問題是完全可以解決的。但是，對(duì)于一般情況的流體運(yùn)動(dòng)來(lái)說，由于數(shù)學(xué)上的困難，但是，對(duì)于一般情況的流

45、體運(yùn)動(dòng)來(lái)說，由于數(shù)學(xué)上的困難，目前還找不到這些方程的積分，因而還不能求得它們的通目前還找不到這些方程的積分，因而還不能求得它們的通解。所以只限于在具有某些特定條件的流體運(yùn)動(dòng)中，求它解。所以只限于在具有某些特定條件的流體運(yùn)動(dòng)中，求它們的積分和解。們的積分和解。 3.4 無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分T本節(jié)討論無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程在特定條件下的積分，本節(jié)討論無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程在特定條件下的積分，稱為稱為伯努利積分伯努利積分。T這一積分是在這一積分是在下述條件下述條件下進(jìn)行的：下進(jìn)行的：（1）質(zhì)量力定

46、常而且有勢(shì)）質(zhì)量力定常而且有勢(shì)，即，即 xWXyWYzWZ=所以，勢(shì)函數(shù)所以，勢(shì)函數(shù)W= f(x，y，z)的全微分是的全微分是 ZdzYdyXdxdzzWdyyWdxxWdW（2）流體是不可壓縮的）流體是不可壓縮的，即，即=常數(shù)常數(shù) （3）流體運(yùn)動(dòng)是定常的）流體運(yùn)動(dòng)是定常的，即0tp0tututuzyx此時(shí)流線與跡線重合，即對(duì)流線來(lái)說，符合條件此時(shí)流線與跡線重合，即對(duì)流線來(lái)說，符合條件 dtudzdtudydtudxzyx 在滿足上述條件的情況下，如將式（在滿足上述條件的情況下，如將式（3.23）中的各個(gè)方程）中的各個(gè)方程對(duì)應(yīng)的乘以對(duì)應(yīng)的乘以dx、dy、dz，然后相加，可得，然后相加，可得 d

47、zdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpzdzYdyXdxzyx)(1)(3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分根據(jù)積分條件，可得根據(jù)積分條件，可得zzyyxxzzyyxxduuduuduudtudtdudtudtdudtudtdudpdW1)2()2(12222uduuuddpdWzyx因?yàn)橐驗(yàn)闉槌?shù)，上式可寫成為常數(shù)，上式可寫成0)2(2upWd沿流線將上式積分，得沿流線將上式積分，得常數(shù)22upW（3.26） 3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分上式即上式即無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分。

48、無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分。 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分伯努利積分表明：表明：在有勢(shì)質(zhì)在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下，無(wú)粘性不可量力的作用下，無(wú)粘性不可壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)，函壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)，函數(shù)值數(shù)值W-p/-u2/2是沿流線不是沿流線不變的。即處于同一流線上的變的。即處于同一流線上的流體質(zhì)點(diǎn)，其所具有的函數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)，其所具有的函數(shù)值值W-p/-u2/2是相同的，但是相同的，但對(duì)不同流線上的流體質(zhì)點(diǎn)來(lái)對(duì)不同流線上的流體質(zhì)點(diǎn)來(lái)說，其函數(shù)值說，其函數(shù)值W-p/-u2/2是是不同的。不同的。圖圖3.12 不同流線的伯努利積分不同流線的伯努利積分222222211

49、1upWupW 如圖如圖3.12所示，在同一流線所示，在同一流線上任取上任取1、2兩點(diǎn)，則有兩點(diǎn)，則有3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分n一般地說，運(yùn)動(dòng)流體將受到各種不同性質(zhì)的質(zhì)量力，如一般地說，運(yùn)動(dòng)流體將受到各種不同性質(zhì)的質(zhì)量力，如慣性力、質(zhì)量力等。但在許多實(shí)際工程中，流體所受的慣性力、質(zhì)量力等。但在許多實(shí)際工程中，流體所受的質(zhì)量力常常只有重力。此時(shí)，重力在各坐標(biāo)軸的分量為質(zhì)量力常常只有重力。此時(shí)，重力在各坐標(biāo)軸的分量為 X = 0 ，Y = 0， Z = -g 因此因此 dW =-gdz 積分得積分得 W = -gz+C (C為積分常數(shù)為積分常數(shù))

50、 代入式（代入式（3.26），可得），可得常數(shù)22upgz3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分n式中各項(xiàng)是對(duì)單位質(zhì)量流體而言的。如將上式兩端同除式中各項(xiàng)是對(duì)單位質(zhì)量流體而言的。如將上式兩端同除以以g，并考慮到，并考慮到=g ，則有，則有 常數(shù)gupz22 (3.28) 若對(duì)同一流線上的任意兩點(diǎn)應(yīng)用以上方程，則上式可寫為若對(duì)同一流線上的任意兩點(diǎn)應(yīng)用以上方程，則上式可寫為gupzgupz2222222111 (3.29) 上式通常稱為上式通常稱為不可壓縮無(wú)粘性流體伯努利方程不可壓縮無(wú)粘性流體伯努利方程。由于微元。由于微元流束過流面積很小，同一斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

51、要素流束過流面積很小，同一斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素 z、p、u可可以看成是相等的，因此式以看成是相等的，因此式(3.28)和和(3.29)均可推廣使用到均可推廣使用到微元微元流束中流束中去，稱為去，稱為不可壓縮無(wú)粘性流體微元流束的伯努利方程不可壓縮無(wú)粘性流體微元流束的伯努利方程。3.5 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分3.6 粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程及伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程及伯努利方程3.6.1 粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程T 粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程可以仿照歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程去推粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程可以仿照歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程去推導(dǎo)。這里不加

52、推導(dǎo)直接給出不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分導(dǎo)。這里不加推導(dǎo)直接給出不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式方程式(3.30)，稱為，稱為那維爾那維爾斯托克斯方程斯托克斯方程（簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱N-S方方程程）。）。zuuyuuxuutudtduuzpZzuuyuuxuutudtduuypYzuuyuuxuutudtduuxpXzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111（3.30） 3.6.1 粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程n與理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程相比較，與理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程相比較，N-S方程增方程增加了粘性項(xiàng)加了粘性項(xiàng)v2u，因此是更為復(fù)雜的非線性偏微分，因此是

53、更為復(fù)雜的非線性偏微分方程。方程。n從理論上講，從理論上講，N-S方程加上連續(xù)性方程共四個(gè)方程，方程加上連續(xù)性方程共四個(gè)方程，完全可以求解四個(gè)未知量完全可以求解四個(gè)未知量ux, uy, uz 及及 p，但在實(shí)際流，但在實(shí)際流動(dòng)中，大多邊界條件復(fù)雜，所以很難求解。動(dòng)中，大多邊界條件復(fù)雜，所以很難求解。n隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)日新月異地發(fā)展，數(shù)值求解隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)日新月異地發(fā)展，數(shù)值求解N-S方程的方法具有了廣闊的道路。方程的方法具有了廣闊的道路。 3.6.2 粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程n本節(jié)只討論本節(jié)只討論在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程粘性

54、流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分。的積分。 式（式（3.303.30）可變化為：）可變化為：0)2(0)2(0)2(222222zyxuupWzuupWyuupWx（3.31） 如果流體運(yùn)動(dòng)是定常的，流體質(zhì)點(diǎn)沿流線運(yùn)動(dòng)的微元長(zhǎng)度如果流體運(yùn)動(dòng)是定常的，流體質(zhì)點(diǎn)沿流線運(yùn)動(dòng)的微元長(zhǎng)度dl在各軸上的投影分別為在各軸上的投影分別為dx，dy，dz。將式（。將式（3.31）中各方程）中各方程分別乘以分別乘以dx，dy，dz ，然后相加，得，然后相加，得0)()2(d2222dzudyudxuupWzyx（3.32） 3.6.2 粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程n上式中上式中v2ux， v2uy， v

55、2uz等項(xiàng)系單位質(zhì)量粘性流等項(xiàng)系單位質(zhì)量粘性流體所受體所受切向應(yīng)力切向應(yīng)力對(duì)相應(yīng)軸的投影，因此上式中的第二項(xiàng)對(duì)相應(yīng)軸的投影，因此上式中的第二項(xiàng)即為這些切向應(yīng)力在流線微元長(zhǎng)度即為這些切向應(yīng)力在流線微元長(zhǎng)度dl上所做的功。因?yàn)樯纤龅墓?。因?yàn)樵谡承粤黧w運(yùn)動(dòng)中，這些切向應(yīng)力的合力的方向總是與在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，這些切向應(yīng)力的合力的方向總是與流體運(yùn)動(dòng)方向相反的，故流體運(yùn)動(dòng)方向相反的，故所做的功為負(fù)功所做的功為負(fù)功。由此可將上。由此可將上式中的第二項(xiàng)表示為：式中的第二項(xiàng)表示為： v(2uxdx + 2uydy +2uzdz )= dwR wR為阻力功。代入式（為阻力功。代入式（3.32），則有），則有 0

56、)2(d2RwupW將上式沿流線積分，可得將上式沿流線積分，可得RwupW22常數(shù) （3.33）此即此即粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分。它。它表明表明在有勢(shì)在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下，粘性不可壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)，函數(shù)質(zhì)量力的作用下，粘性不可壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)，函數(shù)值值W- p/- u2/2 - wR是沿流線不變的。在同一流線上任取是沿流線不變的。在同一流線上任取1、2兩點(diǎn)，則有兩點(diǎn)，則有 222221211122RRwupWwupW (3.34) 3.6.2 粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程當(dāng)作用于流體的質(zhì)量力只有重力，且取垂直向上的坐標(biāo)為當(dāng)作用

57、于流體的質(zhì)量力只有重力，且取垂直向上的坐標(biāo)為z軸軸時(shí)，則有：時(shí)，則有：W1 = -gz1 ; W2 = -gz23.6.2 粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程代入式代入式(3.34)，經(jīng)整理可得到，經(jīng)整理可得到 (3.35) 式中式中wR2 wR1表示單位質(zhì)量粘性流體自點(diǎn)表示單位質(zhì)量粘性流體自點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2的過程的過程中內(nèi)摩擦力所作功的增量。中內(nèi)摩擦力所作功的增量。 令令hl = 1/g(wR2 wR1)，它表示單位重量粘性流體沿流線，它表示單位重量粘性流體沿流線從點(diǎn)從點(diǎn)1到點(diǎn)到點(diǎn)2的路程上所接受的摩阻功，則式的路程上所接受的摩阻功，則式(3.35)可寫成可寫成)(122

58、1222222111RRwwggupzgupz2222211122lhgupzgupz (3.36) 此即此即粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程。它。它表明表明單位重量單位重量粘性流體在沿流線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其有關(guān)值（即與粘性流體在沿流線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其有關(guān)值（即與z，p，u有有關(guān)的函數(shù)值）的總和是沿流向而逐漸減少的。上式也關(guān)的函數(shù)值）的總和是沿流向而逐漸減少的。上式也可推廣到微元流束，稱為粘性流體微元流束伯努利方可推廣到微元流束，稱為粘性流體微元流束伯努利方程。程。 3.6.2 粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程3.6.3 伯努利方程的能量意義和幾何意義伯努利方程的能量意義和幾

59、何意義T 伯努利方程中的每一項(xiàng)相應(yīng)的能量意義伯努利方程中的每一項(xiàng)相應(yīng)的能量意義 方程式中方程式中z表示單位重量流體流經(jīng)某點(diǎn)時(shí)所具有的表示單位重量流體流經(jīng)某點(diǎn)時(shí)所具有的位能位能(稱稱為比位能為比位能)； p/表示單位重量流體流經(jīng)某點(diǎn)時(shí)所具有的表示單位重量流體流經(jīng)某點(diǎn)時(shí)所具有的壓能壓能(稱為比壓稱為比壓能能)； u2/2g是單位重量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，稱為是單位重量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，稱為比動(dòng)能；比動(dòng)能； Hl 是單位重量流體在流動(dòng)過程中所損耗的機(jī)械能，稱為是單位重量流體在流動(dòng)過程中所損耗的機(jī)械能，稱為能能量損失量損失。T 無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程表明：無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程表明：?jiǎn)?/p>

60、位重量無(wú)粘性流體單位重量無(wú)粘性流體沿流線自位置沿流線自位置1流到位置流到位置2時(shí)，其位能、壓能、動(dòng)能可能有時(shí)，其位能、壓能、動(dòng)能可能有變化，或互相轉(zhuǎn)化，但它們的總和（稱為總比能）是不變變化，或互相轉(zhuǎn)化，但它們的總和（稱為總比能）是不變的。因此，的。因此，伯努利方程是能量守恒與轉(zhuǎn)換原理在流體力學(xué)伯努利方程是能量守恒與轉(zhuǎn)換原理在流體力學(xué)中的體現(xiàn)中的體現(xiàn)。T 粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程粘性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程表明：?jiǎn)挝恢亓空承粤黧w沿流表明：?jiǎn)挝恢亓空承粤黧w沿流線自位置線自位置1流到位置流到位置2時(shí)，不但各項(xiàng)能量可能有變化，或互時(shí)，不但各項(xiàng)能量可能有變化，或互相轉(zhuǎn)化，而且它的相轉(zhuǎn)化，而且它的總機(jī)械能也是