第五章：(201686例題好)測量誤差的基本知識

1、第五章 測量誤差的基本知識重點：測量誤差的來源、分類及處理方法學(xué)習(xí)誤差的目的和意義掌握偶然誤差的特性掌握評定測量精度的方法掌握觀測值得中誤差和誤差傳播定律的計算方法和應(yīng)用等精度觀測和非等精度觀測的精度評定方法第一節(jié) 測量誤差概述2、誤差的表達(dá)式：、誤差的表達(dá)式：lX 1、誤差的概念：觀測量之間的差值或觀測值與真值之間的差值，稱為測量誤差3、測量誤差的基本特性：測量誤差不可避免一、測量誤差的來源1測量儀器和工具2觀測者3外界條件的影響 由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。 由于觀測者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。 外界條件的變化所引起的誤差（溫度、風(fēng)力、日光、

2、大氣折光）。幾個概念：幾個概念：1、觀測條件：人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。2、等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；3、非等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。研究測量誤差的目的和意義 確定未知量的最可靠值及其精度 制定觀測方案、采取措施盡力減少測量誤差對測量結(jié)果的影響 二、測量誤差的分類粗差偶然誤差系統(tǒng)誤差1、粗差、粗差 粗差是測量中的錯誤。粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。幾個概念：幾個概念：測定未知量的最少觀測次數(shù)；如測定未知量的最少觀測次數(shù)；如測量三角形內(nèi)角必要觀測為測量三角形內(nèi)角必要觀測

3、為2必要觀測必要觀測多余觀測多余觀測多余必要掛側(cè)的觀測；如測量三多余必要掛側(cè)的觀測；如測量三角形內(nèi)角觀測角形內(nèi)角觀測3個角度，多余觀個角度，多余觀測為測為1多余觀測的作用多余觀測的作用1）、構(gòu)成檢核條件，發(fā)現(xiàn)粗差）、構(gòu)成檢核條件，發(fā)現(xiàn)粗差2）、評定測量精度（用多余觀）、評定測量精度（用多余觀測差值的大?。y差值的大?。?）發(fā)笑超限誤差）發(fā)笑超限誤差2 2系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差1）概念概念：在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 2）性質(zhì)：系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，

4、一般可采用下列方法消除或減弱其影響。3）系統(tǒng)誤差的處理辦法進(jìn)行計算改正選擇適當(dāng)?shù)挠^測方法 案例：鋼尺量距鋼尺量距，用沒有鑒定、名義長為30m、實際長為30.005m的鋼尺量距，每丈量一整尺段距離就量短了0.005m，產(chǎn)生-0.005m的量距誤差。各整尺段的量距誤差大小都是0.005m，符號都是負(fù)，不能抵消，具有累積性。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響具有一定的規(guī)律性，找到規(guī)律就可對觀測值施加改正以消除或削弱系統(tǒng)誤差的影響。 3偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。具有統(tǒng)計規(guī)律具有統(tǒng)計規(guī)律 三、偶然誤差的特性 偶

5、然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。 例如，對三角形的三個內(nèi)角進(jìn)行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180。用X表示真值，則l與X的差值稱為真誤差（即偶然誤差），即Xl 現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內(nèi)角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應(yīng)的誤差個數(shù)，列入表中。 偶然誤差的統(tǒng)計偶然誤差的統(tǒng)計誤差區(qū)間正誤差個數(shù)負(fù)誤差個數(shù)總計03302959362120416915183391214163012151210221518881618215

6、6112124224242710127以上以上000合計107110217*偶然誤差的誤差分布圖22221)(efy當(dāng)誤差數(shù)n ，誤差區(qū)間d0 ， （1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數(shù)多； （2）絕對值相等的正負(fù)誤差的個數(shù)大致相等； （3）最大誤差不超過27。* 0lim nn n 21偶然誤差的四個特性： （1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零； （2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大； （3）絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； （4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)n的無限增大而趨于零，

7、即式中 偶然誤差的代數(shù)和，*第二節(jié) 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 在測量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評定測量成果的精度。中誤差相對中誤差極限誤差*偶然誤差分布的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)偶然誤差分布的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一：一： 標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差對真值 X 進(jìn)行了n次等精度獨立觀測，觀測值l1， l2 ， ln 真誤差1，2 ，n (=L-X)nnlimnm觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差n有限時的標(biāo)準(zhǔn)差有限時的標(biāo)準(zhǔn)差m中誤差(mean square error)，用m表示。 22221n 式中式中 真誤差真誤差的平方和，的平方和， 例5-1 設(shè)有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為： 甲組：1,3,2,3,4

8、,0 ,2,4,2,3 乙組：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。解: 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 1013081127102222222222 乙乙m6 . 3 比較m甲和m乙可知，甲組的觀測精度比乙組高。 中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。m1210m221m1m2不同中誤不同中誤差的正態(tài)差的正態(tài)分布曲線分布曲線mDDmmK1 二、相對中誤差 相對中誤差是中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測結(jié)果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即 例 丈量兩段距離，D1=100m，m1=1cm和D2=30m，m2=1cm， 試計算兩段距離的相對中誤

9、差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解三、極限誤差 de21p222)(1、極限誤差的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：用某一事件發(fā)生的概率定義為任一正實數(shù)，事件發(fā)生的概念為 de21p22)(，令令0.9973)p(0.9542)p(0.6831)p( 真誤差絕對值大于真誤差絕對值大于1倍倍m的占的占1-0.683=31.7%真誤差絕對值大于真誤差絕對值大于1倍倍m的占的占1-0.954=4.6%真誤差絕對值大于真誤差絕對值大于1倍倍m的占的占1-0.997=0.3%小概率事件不會發(fā)生小概率事件不會發(fā)生結(jié)論結(jié)論m2P m3P 在一定觀測條件下，偶然誤差的絕

10、對值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差?；?如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測。 2、極限誤差的概及表達(dá)方式、極限誤差的概及表達(dá)方式3、超過極限誤差的處理方式、超過極限誤差的處理方式第三節(jié) 觀測值的算術(shù)平均值 nlnlllLn 21一、算術(shù)平均值1、定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行多次重復(fù)觀測，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術(shù)平均值作為最終觀測結(jié)果。2、表達(dá)形式：設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，觀測值分別為，l1,l2,ln，其算術(shù)平均值為：3、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：設(shè)觀測量的真值為X，觀測值為li，則觀測值的真誤差為： XlXlXlnn2

11、211將上式內(nèi)各式兩邊相加，并除以n，得 Xnln nXL nlL 根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增大時，則有 0lim nnXLn lim 結(jié)論：算術(shù)平均值較觀測值更接近于真值。將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或然值或最可靠值。二、觀測值改正數(shù) 1、定義：觀測量的算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用v表示。2、觀測知該正式的表達(dá)：當(dāng)觀測次數(shù)為n時，有 nnlLvlLvlLv2211將上式內(nèi)各式兩邊相加，得 lnLv 將 nlL 代入上式，得 0 v 3、結(jié)論：對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。 三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差 1 nvvmx)(Xv.x)(Xvx)(X

12、vnn2211 .nn2211lXlXlX .1、計算公式2、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-=nn21lxvlxvlxv .21 nX-xnxnX0vnxnXV x)(Xv.x)(Xvx)(Xvnn2211 . 2x)n(Xvv 將下式兩邊平方后取和 2n1n312122n2221222n.2n.nxX 0n.lim為偶然誤差jin1n3121nji 2n 22n2221222n.nxX 2x)n(Xvv 1nvvnnvv 1 nvvm )1( nnvvnmM 四、算術(shù)平均值的中誤差 例例5-2 某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平

13、均值的中誤差及相對誤差。平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。測測次次 觀測值觀測值/ m 觀測值觀測值改正數(shù)改正數(shù)v/ m m vv 計計 算算 123456平平均均148.643148.590148.610148.624148.654148.647 m628.148 nlL148.628 1 nvvm-15+38+18+4-26-19 0 v 1 nnvvM2251444324166763613046163046 mm7 .24 )16(63046 mm1 .10 DMK m628.148m0101. 0 147161 5.2誤差傳播定律 重點： 誤差傳播的概念與誤差傳播定律

14、一般函數(shù)的中誤差的計算方法 線性函數(shù)的中誤差的計算方法 誤差傳播定律的應(yīng)用1、定義：由獨立觀測值得中誤差求確定其函數(shù)得中誤差的過程 的的中中誤誤差差為為則則函函數(shù)數(shù)為為其其觀觀測測值值的的中中誤誤差差分分別別是是相相互互獨獨立立的的觀觀測測值值n21n21n21,.x,xxFz,.m,mm,.x,xx 22222221212nnzmfmfmfm、數(shù)學(xué)描述數(shù)數(shù)為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)其中，其中，if一：一般函數(shù)誤差傳播定律、數(shù)學(xué)推導(dǎo) 相相互互獨獨立立其其中中一一般般函函數(shù)數(shù)n21n21,.x,xx,.x,xxFz, z 產(chǎn)生微小誤差產(chǎn)生微小誤差必然引起函數(shù)必然引起函數(shù)產(chǎn)生微小誤差

15、產(chǎn)生微小誤差n21in21,.x,xxFzx,.x,xx,nndxxFdxxFdxxFdZ2211對函數(shù)進(jìn)行全微分代替，則代替，則很小，可以用誤差很小，可以用誤差由于由于iixdxnnxxFxxFxxFZ2211則則令令iifxF nnxfxfxfZ2211對未知量進(jìn)行次觀測，將會產(chǎn)生個函數(shù)誤差(k)nn(k)22(k)11(k)(2)nn(2)22(2)11(2)(1)nn(1)22(1)11(1)xfxfxfZ.xfxfxfZxfxfxfZ 將等號兩邊取平方，再相加 jinji1i,jji2n2n222221212xxffxf.xfxfz kxxffkxf.kxfkxfkzjinji1i,

16、jji2n2n222221212 兩端除以時）亦為偶然誤差時）亦為偶然誤差（當(dāng)（當(dāng)相互獨立，則相互獨立，則由于由于jixxxjii 根據(jù)偶然誤差的特性 0kxxlimjik )kxf.kxfkxflim(kzlim2n2n22222121k2k 2n21222221212zf.ff 則根據(jù)中誤差的定義為有限次觀測，則傷式，可以寫為22222221212nnzmfmfmfm二：線性函數(shù)的中誤差 一般線性函數(shù) k11k 22 k nn 誤差公式 2222222121nnzmkmkmkm 解解 A、B、C滿足如下關(guān)系 C=180AB 上式 dCdAdB 由式（5-9）可知，f11，f21，代入式（5

17、-11）得： 即 =25 c5 本例題由于是線性函數(shù)，也可直接套用（5-14）式求得結(jié)果。注意，線性函數(shù)中不管是“和”函數(shù)還是“差” 函數(shù)，函數(shù)中誤差都是求平方和之后再開方。 在某三角形ABC中，直接觀測A和B角，其中誤差分別是3，和4，試求中誤差。2222243 BAcmmm三：誤差傳播定律的應(yīng)用 為了求某圓柱體體積，今測得圓周長、高及其中誤差分別為：周長C2.1050.002米，高H1.8230.003米，試求圓柱體體積V及其中誤差。 解 圓柱體體積公式：HCV241HdHCdCVdV22222HmCmVmHcv將觀測數(shù)據(jù)代入上式得 V=0.643 m3 =0.0016m3 即 V=0.6

18、430.0016m3 為了求某圓柱體體積，今測得圓周長、高及其中誤差分別為：周長C2.1050.002米，高H1.8230.003米，試求圓柱體體積V及其中誤差。 解解 圓柱體體積公式： 將上式取對數(shù)微分得 則 將觀測數(shù)據(jù)代入上式得 V=0.643 m3 = 0.0016m3 即 V=0.6430.0016m3 HCV241HdHCdCVdV22H2c2vHmC2mVmvm5.4非等精度直接觀測值的最可靠值及其中誤差 權(quán)的概念權(quán)的概念 權(quán)與中誤差的關(guān)系 定權(quán)的方法定權(quán)的方法 加權(quán)平均值及其中誤差加權(quán)平均值及其中誤差 權(quán)的概念 未知量非等精度觀測 較可靠的觀測值，對最后測量結(jié)果產(chǎn)生較大的影響 較可靠的觀測值、或精度高的觀測值，應(yīng)對結(jié)果產(chǎn)生較大的影響，它所占的“權(quán)重”應(yīng)大一些 權(quán)與中誤差具有密切關(guān)系 權(quán)與中誤差的關(guān)系 權(quán)p與中誤差m關(guān)系權(quán)為單位權(quán) 中誤差稱為單位權(quán)中誤差 nimpii,2, 122定權(quán)的方法 未知量進(jìn)行了兩組非等精度觀測，但每組內(nèi)各觀測值精度相等 最后結(jié)果 實際值 2;421243211llLllllL6214321llllllL242421LLL 則觀測值L1，L2的中誤差分別為M1，M2，權(quán)為 ： 44222121mmMp22222222mmMp例：按等