振動力學最終版-2008[1].5.15

1、現(xiàn)代設(shè)計及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)教育部重點實驗室現(xiàn)代設(shè)計及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)教育部重點實驗室機械振動概述機械振動概述教學內(nèi)容教學內(nèi)容l 1.1 機械振動的定義及研究內(nèi)容機械振動的定義及研究內(nèi)容l 1.2 機械振動的分類機械振動的分類l 1.3 機械振動的表達方法機械振動的表達方法機械振動概述機械振動概述l 1.1 機械振動的定義及研究內(nèi)容機械振動的定義及研究內(nèi)容u定義定義從廣義上講，如果表征某一種運動的物理量作時而增大時而從廣義上講，如果表征某一種運動的物理量作時而增大時而減小的反復(fù)變化，就可以稱這種運動為減小的反復(fù)變化，就可以稱這種運動為振動振動。機械振動機械振動是一種特殊形式的運動。在這種運動過程中，機械是一種特

2、殊形式的運動。在這種運動過程中，機械系統(tǒng)將圍繞平衡位置作往復(fù)運動。從運動學的觀點看，機械系統(tǒng)將圍繞平衡位置作往復(fù)運動。從運動學的觀點看，機械振動是指機械系統(tǒng)的某些物理量振動是指機械系統(tǒng)的某些物理量(位移、速度、加速度位移、速度、加速度)，在某一數(shù)值附近隨時間在某一數(shù)值附近隨時間t的變化關(guān)系。的變化關(guān)系。（油膜振動是機械振動嗎？）（油膜振動是機械振動嗎？）（汽輪發(fā)電機組、航空發(fā)動機、火箭等的振動）（汽輪發(fā)電機組、航空發(fā)動機、火箭等的振動）機械振動概述機械振動概述“振動力學是研究機械振動的運動學和動力學的一門課程振動力學是研究機械振動的運動學和動力學的一門課程” -這句話說明了本書的特色。這句話說

3、明了本書的特色。許多情況下振動是有害的。許多情況下振動是有害的。它常常是造成機械和結(jié)構(gòu)惡性破壞和失效的直接原因。它常常是造成機械和結(jié)構(gòu)惡性破壞和失效的直接原因。例如：例如：l 橋身扭轉(zhuǎn)振動和上下振動而坍塌。橋身扭轉(zhuǎn)振動和上下振動而坍塌。l 日本海南電廠日本海南電廠66千瓦的汽輪發(fā)電機組，因發(fā)生異常而全千瓦的汽輪發(fā)電機組，因發(fā)生異常而全 機毀壞（機毀壞（ 1972年）。美國西屋公司年）。美國西屋公司300MW機組等。機組等。l 我國秦嶺電廠我國秦嶺電廠200MW機組等、出口伊朗機組等、出口伊朗300MW機組機組 等事故。等事故。機械振動概述機械振動概述振動也有可利用的一面。振動也有可利用的一面。

4、例如：例如： 工業(yè)用的振動篩、振動沉樁、振動輸送等。工業(yè)用的振動篩、振動沉樁、振動輸送等。u機械振動研究內(nèi)容機械振動研究內(nèi)容 在工程技術(shù)問題中最普遍的振動問題屬于在工程技術(shù)問題中最普遍的振動問題屬于振動設(shè)計振動設(shè)計，即在己，即在己知輸入情況下，設(shè)計系統(tǒng)的振動特性，使得它的動態(tài)響應(yīng)能知輸入情況下，設(shè)計系統(tǒng)的振動特性，使得它的動態(tài)響應(yīng)能滿足一定的要求；此外，還有通過已知的輸入和輸出來研究滿足一定的要求；此外，還有通過已知的輸入和輸出來研究系統(tǒng)的特性，稱為系統(tǒng)的特性，稱為系統(tǒng)識別系統(tǒng)識別；已知系統(tǒng)的特性和輸出來研究；已知系統(tǒng)的特性和輸出來研究輸入，稱為輸入，稱為環(huán)境預(yù)測環(huán)境預(yù)測。系統(tǒng)：系統(tǒng)：系統(tǒng)是一

5、個寬泛的概念，通常我們研究的系統(tǒng)是一個寬泛的概念，通常我們研究的對象對象都可稱都可稱為系統(tǒng)。振動問題的對象則稱為為系統(tǒng)。振動問題的對象則稱為振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)或或機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)，它表，它表征系統(tǒng)征系統(tǒng)固有的振動特性固有的振動特性，可以是零部件、機器、工程結(jié)構(gòu)等。，可以是零部件、機器、工程結(jié)構(gòu)等。機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述機械振動概述l 1.2機械振動的分類機械振動的分類 按微分方程的形式可分為：按微分方程的形式可分為：線性振動線性振動-描述其運動的方程為線性微分方程，相應(yīng)的系描述其運動的方程為線性微分方程，相應(yīng)的

6、系 統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。（滿足線性疊加原理）統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。（滿足線性疊加原理）非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)-描述其運動的方程為非線性微分方程，相描述其運動的方程為非線性微分方程，相 應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。（不滿足疊加原理應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。（不滿足疊加原理）按激勵的有無和性質(zhì)可分為：按激勵的有無和性質(zhì)可分為：固有振動固有振動-無激勵時系統(tǒng)所有可能的運動的集合。不無激勵時系統(tǒng)所有可能的運動的集合。不 是現(xiàn)實的振動，它反映系統(tǒng)關(guān)于振動的是現(xiàn)實的振動，它反映系統(tǒng)關(guān)于振動的固有屬性固有屬性。機械振動概述機械振動概述 自由振動自由振動-激勵消失后系統(tǒng)所作的振動。激勵消失后系統(tǒng)所作的振動。 強迫振動強迫振動-

7、系統(tǒng)在外界激勵下所作的振動。系統(tǒng)在外界激勵下所作的振動。 隨機振動隨機振動-系統(tǒng)在非確定性的隨機激勵下所作的振動。系統(tǒng)在非確定性的隨機激勵下所作的振動。 （ 如行駛在公路上的汽車）如行駛在公路上的汽車）自激振動自激振動-系統(tǒng)受到其自身運動誘發(fā)出來的激勵作用而系統(tǒng)受到其自身運動誘發(fā)出來的激勵作用而 產(chǎn)生和維持的振動。產(chǎn)生和維持的振動。 （油膜振蕩、琴弦發(fā)出樂聲、機床顫振、機翼顫動）（油膜振蕩、琴弦發(fā)出樂聲、機床顫振、機翼顫動） 參數(shù)振動參數(shù)振動-激勵因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時間變化的形激勵因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時間變化的形 式出現(xiàn)的振動。（如秋千受到的激勵以擺長式出現(xiàn)的振動。（如秋千受到的激勵以擺

8、長 隨時間變化的形式出現(xiàn)）隨時間變化的形式出現(xiàn)）機械振動概述機械振動概述更詳細的解釋供參考：更詳細的解釋供參考： u1.2.1 按系統(tǒng)的輸入類型：按系統(tǒng)的輸入類型： 自由振動自由振動系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn) 生的振動生的振動 （錘擊法）（錘擊法） 強迫振動強迫振動系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)生的振動系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)生的振動 （電腦機箱風扇振動、轉(zhuǎn)子不平衡激勵）（電腦機箱風扇振動、轉(zhuǎn)子不平衡激勵） 自激振動自激振動系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有 能源補充而產(chǎn)生的振動。能源補充而產(chǎn)生的振動。 （油膜振

9、蕩、琴弦發(fā)出樂聲、機翼顫動）（油膜振蕩、琴弦發(fā)出樂聲、機翼顫動）u 1.2.2 按系統(tǒng)的輸出按系統(tǒng)的輸出(振動規(guī)律振動規(guī)律)： 簡諧振動簡諧振動振動量為時間的正弦或余弦函數(shù)振動量為時間的正弦或余弦函數(shù) 機械振動概述機械振動概述周期性振動周期性振動振動量為時間的周期函數(shù)，故可用振動量為時間的周期函數(shù)，故可用諧波分析諧波分析的的 方法展開為一系列簡諧振動的疊加方法展開為一系列簡諧振動的疊加 （諧波分析諧波分析-傅立葉級數(shù)展開，周期振動和簡諧振動關(guān)系，傅立葉級數(shù)展開，周期振動和簡諧振動關(guān)系，可參考教材可參考教材1.2節(jié)節(jié)） 瞬態(tài)振動瞬態(tài)振動為時間的非周期函數(shù)，通常只在一定的時間內(nèi)存為時間的非周期函數(shù)

10、，通常只在一定的時間內(nèi)存 在在 （爆炸爆炸） 隨機振動隨機振動振動量不是時間的確定性函數(shù)，只能用概率統(tǒng)計振動量不是時間的確定性函數(shù)，只能用概率統(tǒng)計方法來研究方法來研究 （車輛行駛、地震車輛行駛、地震）u 1.2.3 按系統(tǒng)的自由度可分為按系統(tǒng)的自由度可分為: 單自由度系統(tǒng)振動單自由度系統(tǒng)振動用一個獨立坐標就能確定的系統(tǒng)振動用一個獨立坐標就能確定的系統(tǒng)振動 （單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，（單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)， P36 圖圖2-1（b） 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動用多個獨立坐標才能確定的系統(tǒng)振動用多個獨立坐標才能確定的系統(tǒng)振動 （多質(zhì)量彈簧系統(tǒng)多質(zhì)量彈簧系統(tǒng) ， P162 圖圖4-1）機械振動概述機械振動概

11、述 彈性體振動彈性體振動須用無限多個獨立坐標須用無限多個獨立坐標(位移函數(shù)位移函數(shù))才能確定的系才能確定的系統(tǒng)振動，也稱為統(tǒng)振動，也稱為無限自由度系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng)振動，以區(qū)別振動，以區(qū)別于上述單自由度于上述單自由度 和多自由度系統(tǒng)振動和多自由度系統(tǒng)振動 (有限自有限自由度系統(tǒng)振動由度系統(tǒng)振動) （自由度如何理解）（自由度如何理解）自由度自由度完全描述系統(tǒng)一切部位在任何瞬時的位置所需要完全描述系統(tǒng)一切部位在任何瞬時的位置所需要的獨立坐標的數(shù)目。的獨立坐標的數(shù)目。1.2.4按描述系統(tǒng)的微分方程可分為按描述系統(tǒng)的微分方程可分為: 線性振動線性振動用常系數(shù)線性微分方程來描述，它的慣性力、用常系數(shù)線性

12、微分方程來描述，它的慣性力、 阻尼力及彈性力只分別與加速度、速度及位移阻尼力及彈性力只分別與加速度、速度及位移 成正比。（成正比。（重要特性重要特性線性疊加原理線性疊加原理） 非線性振動非線性振動要用非線性微分方程來描述，即微分方程中要用非線性微分方程來描述，即微分方程中 出現(xiàn)非線性項。（出現(xiàn)非線性項。（不滿足線性疊加不滿足線性疊加）機械振動按運動的表現(xiàn)形式可分為周期振動和非周期振動。機械振動按運動的表現(xiàn)形式可分為周期振動和非周期振動。本節(jié)重點介紹周期振動的表示方法。本節(jié)重點介紹周期振動的表示方法。1.3.1 簡諧振動的表示簡諧振動的表示u 簡諧振動是周期振動中最簡單的一種，可以用正弦函數(shù)簡諧

13、振動是周期振動中最簡單的一種，可以用正弦函數(shù) 表示為：表示為： A為振幅，為振幅， 為圓頻率（為圓頻率（以后簡稱頻率以后簡稱頻率），）， 為初相位。為初相位。 又稱角頻率，它與頻率、周期的關(guān)系：又稱角頻率，它與頻率、周期的關(guān)系：機械振動概述機械振動概述l 1.3機械振動的表示方法機械振動的表示方法sin()xAt2=2fT機械振動概述機械振動概述簡諧振動的速度和加速度只要對位移表達式求一階和兩階簡諧振動的速度和加速度只要對位移表達式求一階和兩階導(dǎo)數(shù)即得：導(dǎo)數(shù)即得：可見，只要位移是簡諧函數(shù)，速度和加速度也是簡諧函可見，只要位移是簡諧函數(shù)，速度和加速度也是簡諧函數(shù)，而且與位移具有相同的頻率。數(shù)，而

14、且與位移具有相同的頻率。但是，速度的相位比位移的相位超前但是，速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移超前位比位移超前/2cos()sin()2vxAtAt22sin()sin()axAtAt 因：因： 得：得：即加速度大小與位移成正比，但方向總與位移相反，始終即加速度大小與位移成正比，但方向總與位移相反，始終指向平衡位置。指向平衡位置。機械振動概述機械振動概述2xx 2sin()xAt u 簡諧振動可以用平面上的旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧振動可以用平面上的旋轉(zhuǎn)矢量表示 旋轉(zhuǎn)矢量的模就是簡諧振動的振幅，它的旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)矢量的模就是簡諧振動的振幅，它的旋轉(zhuǎn)角速度就是簡諧振動的圓頻率。

15、就是簡諧振動的圓頻率。圖圖 a 中中OM表示一個長度為表示一個長度為A，以，以 角開始以等角度速角開始以等角度速 逆時針繞原點旋轉(zhuǎn)的矢量。任一瞬時逆時針繞原點旋轉(zhuǎn)的矢量。任一瞬時OM在縱軸上的投影即在縱軸上的投影即簡諧振動：簡諧振動：機械振動概述機械振動概述sin()xAt機械振動概述機械振動概述圖圖 b 是簡諧振動的矢量的表示圖。是簡諧振動的矢量的表示圖。圖圖 c 描述了位移、速度、加速度之間的矢量關(guān)系。描述了位移、速度、加速度之間的矢量關(guān)系。式中式中 為為z的虛部。的虛部。機械振動概述機械振動概述u簡諧振動也可以用復(fù)數(shù)表示。簡諧振動也可以用復(fù)數(shù)表示。()cos()sin()itzAtiAt

16、Ae表示了表示了復(fù)平面復(fù)平面上模為上模為A，從，從 角開始以角速度角開始以角速度 逆時逆時針旋轉(zhuǎn)的一個矢量，它在虛軸上的投影表示了簡諧振動。針旋轉(zhuǎn)的一個矢量，它在虛軸上的投影表示了簡諧振動。位移位移x與它的復(fù)數(shù)表示與它的復(fù)數(shù)表示z的關(guān)系可寫為：的關(guān)系可寫為：Im( )xzIm( )z機械振動概述機械振動概述復(fù)數(shù)表示的速度及加速度為：復(fù)數(shù)表示的速度及加速度為：()()2ititzi AeAe 2()2()ititzAeAe 所以有：所以有：Im( )xzIm( )xz簡諧振動的復(fù)數(shù)表示方法便于分析，在以后解運動微分方簡諧振動的復(fù)數(shù)表示方法便于分析，在以后解運動微分方程時會常用到復(fù)數(shù)法。程時會常用

17、到復(fù)數(shù)法。機械振動概述機械振動概述以下討論幾個簡諧振動的合成情況。以下討論幾個簡諧振動的合成情況。（a) 兩個相同頻率的簡諧振動的合成仍然是簡諧振動，并兩個相同頻率的簡諧振動的合成仍然是簡諧振動，并 且保持原來的頻率。且保持原來的頻率。 可用復(fù)數(shù)方法證明：可用復(fù)數(shù)方法證明：111222sin()sin()xAtxAt1212()()1212)1211221122ImIm()(coscos)Im(sinsin)Im()sin()ititiiititiitxxxA eA eA eA eeAAi AAeAeet 機械振動概述機械振動概述當一個簡諧振動是由兩個當一個簡諧振動是由兩個同頻同頻 率率的的簡

18、諧振動簡諧振動所合成，則這個所合成，則這個簡諧振動可以用兩個代表原簡簡諧振動可以用兩個代表原簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量的合成矢量諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量的合成矢量來表示。來表示。22 1/211221122(coscos)(sinsin) AAAAA111221122sinsintancoscosAAAA其中其中（b）頻率不同的兩個簡諧振動的合成不再是簡諧振動。頻）頻率不同的兩個簡諧振動的合成不再是簡諧振動。頻率比為有理數(shù)時，合成為周期振動；頻率比為無理數(shù)時，合率比為有理數(shù)時，合成為周期振動；頻率比為無理數(shù)時，合成為非周期振動。成為非周期振動。設(shè)頻率比為有理數(shù)：設(shè)頻率比為有理數(shù)：式中式中m、n是互質(zhì)整數(shù)。上式

19、可寫為：是互質(zhì)整數(shù)。上式可寫為： 設(shè)設(shè) 記記機械振動概述機械振動概述12mn1222mn1222Tmn12xxx則：則：機械振動概述機械振動概述121222()()()x tTx tmx tn可見可見T就是合成的周期，兩者合成為周期振動。就是合成的周期，兩者合成為周期振動。（c）頻率很接近的兩個簡諧振動的合成會出現(xiàn)）頻率很接近的兩個簡諧振動的合成會出現(xiàn)拍拍現(xiàn)現(xiàn)象。象。 設(shè)設(shè)11112222sin()sin()xAtxAt12( )( )( )x tx tx t令令則則機械振動概述機械振動概述12212121122121122sin()sin()2sin()sin()2AAxxxttAAtt僅考

20、慮僅考慮A1與與A2相近的情況，上式右端第二項可略去：相近的情況，上式右端第二項可略去：上式表示一個頻率為上式表示一個頻率為 的變幅振動，振幅在的變幅振動，振幅在（A1+A2)與零之間緩慢的變化。包絡(luò)線由下式給出：與零之間緩慢的變化。包絡(luò)線由下式給出：1212121212()cos()sin()222xxxAAtt1212( )()cos()2A tAAt122機械振動概述機械振動概述12121212()cos()sin()222xAAtt上式表達了一種特殊的振動現(xiàn)象，稱為拍，拍的周期為上式表達了一種特殊的振動現(xiàn)象，稱為拍，拍的周期為機械振動概述機械振動概述1.3.2 周期振動的表示周期振動的

21、表示周期振動是工程中常見的振動形式之一。周期振動是工程中常見的振動形式之一。u可用時域上的波形表示：可用時域上的波形表示：如圖：如圖：toxT機械振動概述機械振動概述u 也可用頻域上的幅頻和相頻圖表示：也可用頻域上的幅頻和相頻圖表示： 設(shè)設(shè)x(t)信號，可以通過富里葉級數(shù)展開為：信號，可以通過富里葉級數(shù)展開為：0111( )(cossin)2nnnax tantbnt0112( )2( ) cos2( )sinTTnTnax t dtTax tntdtTbx tntdtT其中其中稱為基頻稱為基頻12T機械振動概述機械振動概述oCn11213on11213左上圖表示周期信號的左上圖表示周期信號的

22、振幅頻譜圖，左下圖表振幅頻譜圖，左下圖表示相位頻譜圖。示相位頻譜圖。14151415機械振動概述機械振動概述 課程安排課程安排機械振動概述機械振動概述 主要參考書主要參考書l 倪振華，振動力學，西安交通大學出版社，倪振華，振動力學，西安交通大學出版社，1988.l 鄭兆昌，機械振動（上冊），機械工業(yè)出版社，鄭兆昌，機械振動（上冊），機械工業(yè)出版社，1982.l方同、薛璞，振動理論及應(yīng)用，西北工業(yè)大學出版社，方同、薛璞，振動理論及應(yīng)用，西北工業(yè)大學出版社， 1998.l 吳成軍，現(xiàn)代振動控制技術(shù)概論，西安交大校內(nèi)講義，吳成軍，現(xiàn)代振動控制技術(shù)概論，西安交大校內(nèi)講義， 2004單自由度系統(tǒng)的振動單

23、自由度系統(tǒng)的振動l 2.1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動l 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動l 2.5 系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)l 2.6 振動的隔離振動的隔離l 2.7 簡諧強迫振動理論的應(yīng)用簡諧強迫振動理論的應(yīng)用l 2.8 等效粘性阻尼等效粘性阻尼l 2.9 系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)l 2.10系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動l 2.1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動一個系統(tǒng)只

24、在起始時受到外界干擾，例如用力將質(zhì)量塊偏離一個系統(tǒng)只在起始時受到外界干擾，例如用力將質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放，或者給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到靜平衡位置后突然釋放，或者給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到一個初始速度，然后就靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振一個初始速度，然后就靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振動，稱為自由振動。動，稱為自由振動。單自由度的自由振動是一種簡諧振動。單自由度的自由振動是一種簡諧振動。令令x為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標原點，位置為坐標原點， 為靜變形為靜變形當系統(tǒng)受到系統(tǒng)擾動時，由牛當系統(tǒng)受到系統(tǒng)擾動時，由牛頓第二定律，得：頓第二定律，得：()smx

25、mgkxs單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動在靜平衡位置：在靜平衡位置：smgk0mxkx令：令：nkm固有圓頻率，以后也稱為固有頻率固有圓頻率，以后也稱為固有頻率單位：弧度單位：弧度/秒秒則有：則有：20nxx通解：通解：12cos()sin()sin()nnnxctctAt微分方程：微分方程：C1,C2:由初始條件決定的常數(shù)由初始條件決定的常數(shù)振幅：振幅： 初相位：初相位：A 2212c +c112ctgc單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動sin()nxAt20nxx微分方程微分方程: 解：解：:n,:A系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與

26、系統(tǒng)的振動狀態(tài)無關(guān)系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)的振動狀態(tài)無關(guān)（與什么有關(guān)）（與什么有關(guān)）不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，它們與系統(tǒng)過去所受到不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，它們與系統(tǒng)過去所受到的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)。的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動12cos()sin()sin()nnnxctctAt設(shè)設(shè)t=時刻時刻：令：令：則有：則有：( ),( )xxxx112212cossinsinsnnnncbbcbb co 12( )cos()sin()nn

27、x tbtbt12nxbxb單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動時刻之后的自由振動解：時刻之后的自由振動解：( )cos()sin()nnnxx txtt零時刻的初始條件：零時刻的初始條件：00(0)(0)xxxx零初始條件下的自由振動：零初始條件下的自由振動：00( )cossinsin()nnnnxx txttAt2200()nxAx100nxtgx單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動例例2-1(P39)：提升機系統(tǒng)提升機系統(tǒng)重物重量重物重量 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度重物以重物以 的速度勻速下降的速度勻速下降求：繩的上端被

28、卡住時，求：繩的上端被卡住時，（1）重物的振動頻率，）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力）鋼絲繩中的最大張力51.47 10WN45.78 10kN cm15minVm單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動解：解： 振動頻率振動頻率 重物勻速下降時處于靜平衡重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置被卡住瞬時重物所在位置 則則 時，有：時，有： 振動解：振動解：19.6ngkrad sW0t 00 x 0 xv( )sin()1.28sin(19.6 )()nnvx tttcm單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的

29、振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動繩中的最大張力等于靜張力繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：與因振動引起的動張力之和：max5551.47100.74102.2110 ()sTTkAWkAN由于由于nvkAkv km為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當降低升降系統(tǒng)的剛度為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當降低升降系統(tǒng)的剛度單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼自由振動無阻尼自由振動預(yù)備知識預(yù)備知識: 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體的質(zhì)量有關(guān)，還與軸剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體的質(zhì)量有關(guān)，還與軸的位置有關(guān)。它是一個標量，單位是：的位置有關(guān)。它是一個標量，單位是：kg.

30、m2移軸定理：移軸定理：剛體對任一軸剛體對任一軸z的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于質(zhì)心并與該軸平行的軸質(zhì)心并與該軸平行的軸z的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量m與與這兩軸間距離這兩軸間距離d平方的乘積。平方的乘積。2zi iJmr剛體對轉(zhuǎn)軸剛體對轉(zhuǎn)軸Z的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體各質(zhì)點的質(zhì)量與質(zhì)點到的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體各質(zhì)點的質(zhì)量與質(zhì)點到該軸垂直距離平方的乘積之和，即：該軸垂直距離平方的乘積之和，即：2 zzJJmd單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法簡單均質(zhì)形體的轉(zhuǎn)動慣量簡單均質(zhì)形體的轉(zhuǎn)動慣量(理論力學教科書）理論力學教科書）單

31、自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法例例2-2(P42例例2-3)：復(fù)擺：復(fù)擺 剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量m 重心重心C 對懸點的轉(zhuǎn)動慣量對懸點的轉(zhuǎn)動慣量I0求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微 分方程和固有頻率分方程和固有頻率單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法解：解：由牛頓定律：由牛頓定律：因為剛體做微振動：因為剛體做微振動：所以振動微分方程可表達為：所以振動微分方程可表達為：固有頻率：固有頻率：0sin0Imgasin00Imga0/nmga I若已測得物體的固有頻率若已測

32、得物體的固有頻率 ，則可以求得轉(zhuǎn)動慣量，則可以求得轉(zhuǎn)動慣量 ，再由移軸定理，可得物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：再由移軸定理，可得物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：以上是實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一種方法以上是實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一種方法20cIIman0I單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動教學內(nèi)容教學內(nèi)容l 2.1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動l 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動l 2.5 系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率

33、的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法 在系統(tǒng)作自由振動時，不論受到什么樣的初始干擾，均將以在系統(tǒng)作自由振動時，不論受到什么樣的初始干擾，均將以一定的頻率作振動。這種頻率只決定于系統(tǒng)本身固有的物理一定的頻率作振動。這種頻率只決定于系統(tǒng)本身固有的物理性質(zhì)，稱為固有頻率。性質(zhì)，稱為固有頻率。固有頻率是振動問題中的一個重要參數(shù)。固有頻率是振動問題中的一個重要參數(shù)。 簡諧振動的圓頻率為簡諧振動的圓頻率為 ，稱為固有圓頻率：，稱為固有圓頻率： nKm122nKfm12mTfK固有頻率為固有頻率為f:周期為周期為T:n由以上各式可以看出：由以上各式可以看出：（

34、1）自由振動的固有頻率和周期僅決定于系統(tǒng)本身的自由振動的固有頻率和周期僅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，如系統(tǒng)剛度物理性質(zhì)，如系統(tǒng)剛度 K 和振動塊質(zhì)量和振動塊質(zhì)量 m。（2）剛度相同的兩個系統(tǒng)，質(zhì)量大的系統(tǒng)固有頻率低，剛度相同的兩個系統(tǒng)，質(zhì)量大的系統(tǒng)固有頻率低，質(zhì)量小的系統(tǒng)固有頻率高。質(zhì)量相同的兩個系統(tǒng)，則彈質(zhì)量小的系統(tǒng)固有頻率高。質(zhì)量相同的兩個系統(tǒng)，則彈簧剛度小的固有頻率低，彈簧剛度大的固有頻率高?；蓜偠刃〉墓逃蓄l率低，彈簧剛度大的固有頻率高。即固有頻率是和加速度的平方根成正比的，所以導(dǎo)致固即固有頻率是和加速度的平方根成正比的，所以導(dǎo)致固有頻率高。有頻率高。2sin()nnaxAt 系統(tǒng)加速度：

35、系統(tǒng)加速度：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.2.1 靜變形法靜變形法假如不知道系統(tǒng)的彈簧剛度假如不知道系統(tǒng)的彈簧剛度k，可以對上式進行變換。，可以對上式進行變換。將式：將式：12nsgf122nnKfm固有頻率為固有頻率為f: 利用上式只要知道彈簧在質(zhì)量塊作用下的利用上式只要知道彈簧在質(zhì)量塊作用下的靜變形靜變形 ， 就可以直接計算出系統(tǒng)的固有頻率。就可以直接計算出系統(tǒng)的固有頻率。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法ssWmgK代入上式得：代入上式得：固有頻率固有頻率f:s單自由度系統(tǒng)的振動單

36、自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法例例2-3（補充）：（補充）：設(shè)有一懸臂梁。設(shè)有一懸臂梁。長度為長度為 ，抗彎剛度為，抗彎剛度為 ，自由端有一集中，自由端有一集中質(zhì)量質(zhì)量m。梁本身重量可忽略不計。梁本身重量可忽略不計。lEJ求：求： 系統(tǒng)的固有頻率。系統(tǒng)的固有頻率。解：解：懸臂梁自由端由集中質(zhì)量懸臂梁自由端由集中質(zhì)量mgmg引起的靜撓度為：引起的靜撓度為： 利用靜變形法的公式可得系統(tǒng)固有頻率為：利用靜變形法的公式可得系統(tǒng)固有頻率為：如上述懸臂梁是變截面的，因而不易用計算方法得到靜撓如上述懸臂梁是變截面的，因而不易用計算方法得到靜撓度，可實測梁的靜撓度度，可實測梁的

37、靜撓度 。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法33smglEJ3132nEJfmls單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法例例2-4（P40）：）：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞，梁長重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞，梁長 ，抗彎剛度抗彎剛度求：梁的自由振動頻率和最大撓度求：梁的自由振動頻率和最大撓度lEJ單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法解：解： 以梁承受重物時的靜平衡位以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系置為坐標原點建立坐標系靜變形：靜變

38、形：s由材料力學：由材料力學：348sm glE J自由振動頻率為：自由振動頻率為：348nsgEJml單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法撞擊時刻為零時刻，則撞擊時刻為零時刻，則t=0時，有：時，有：0sx 02xgh則自由振動振幅為：則自由振動振幅為：222002ssnxAxh梁的最大撓度：梁的最大撓度：maxsAl 2.2.2 能量法能量法當彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作自由振動而忽略阻尼不計時，它就沒有當彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作自由振動而忽略阻尼不計時，它就沒有能量損失。根據(jù)機械能守恒定律，整個振動過程任一瞬時能量損失。根據(jù)機械能守恒定律，整個振動過程任一瞬時機械能

39、應(yīng)保持不變。機械能應(yīng)保持不變。 式中式中T T為系統(tǒng)中運動質(zhì)量所具有的動能，為系統(tǒng)中運動質(zhì)量所具有的動能，U U為系統(tǒng)由于彈性為系統(tǒng)由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢能。能。利用這個關(guān)系，適當選擇兩個瞬時位置，就可用來直接計利用這個關(guān)系，適當選擇兩個瞬時位置，就可用來直接計算系統(tǒng)的固有頻率。這對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)常常是一種計算系統(tǒng)的固有頻率。這對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)常常是一種計算系統(tǒng)固有頻率的簡便方法。算系統(tǒng)固有頻率的簡便方法。 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法即即: :+co

40、nstT U 簡諧振動：簡諧振動： 則速度：則速度：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)sin()xAtcos()xAt靜平衡位置：靜平衡位置：最大位移處：最大位移處：動能：動能：勢能為零勢能為零222maxmax1122TmxmA22maxmax1122UKxKA勢能：勢能：動能為零動能為零由能量守恒得：由能量守恒得：2221122mAKA所以：所以：12nKfm例例2-5（補充）：（補充）： 如圖所示為低頻振幅傳感器元件如圖所示為低頻振幅傳感器元件-無定向擺。搖桿一端為鉸鏈，另一端無定向擺。搖桿一端為鉸鏈，另一端為質(zhì)量塊

41、為質(zhì)量塊m。彈簧剛度為。彈簧剛度為K/2。系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法221.76 10.3.540.03/0.08564OIkg cmacmKkg cmWNlcm 求：系統(tǒng)固有頻率求：系統(tǒng)固有頻率解：解： 此搖桿做間歇擺動，以角位移此搖桿做間歇擺動，以角位移 為參數(shù)：為參數(shù)： 則則 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法sin()nAtcos()nAt在靜平衡位置，系統(tǒng)具有最大動能：在靜平衡位置，系統(tǒng)具有最大動能：222maxmax1122OOnTI

42、I A在最大角位移處，系統(tǒng)包在最大角位移處，系統(tǒng)包括彈性勢能和重力勢能：括彈性勢能和重力勢能：22221maxmax122UKaKa A2 maxmax22max(1cos)/ 2/ 2UmglmglmglA 由由 ： 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法maxmax1max2max=TUUU2222201122OI AKa AmglA代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)得：得得 ：202nKamglI22120.033.540.085640.77z21.7610nf例例2-6（補充）：（補充）： 鉛垂平面滑輪鉛垂平面滑輪-質(zhì)量質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng) 滑輪為均質(zhì)圓

43、柱，繩子不可伸滑輪為均質(zhì)圓柱，繩子不可伸 長，且與滑輪間無滑動，繩長，且與滑輪間無滑動，繩 右下端與地面固結(jié)。右下端與地面固結(jié)。 求：系統(tǒng)振動的固有頻率求：系統(tǒng)振動的固有頻率單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法解解:取廣義坐標為質(zhì)量塊的垂直位移取廣義坐標為質(zhì)量塊的垂直位移x則：則： 在靜平衡位置只有動能：在靜平衡位置只有動能：在最大位移處勢能最大：在最大位移處勢能最大： 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法222221111 1()()()2222 2213()28xTmxMxMRRmM x222212

44、111111()()22224Uk xkxkk x由由得：得：所以系統(tǒng)固有頻率：所以系統(tǒng)固有頻率： 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法maxmaxTU22max21max1311()()2824mM xkk x2211311()()2824nmMkkmaxmaxnxx218283nkkmMl 2.2.3 瑞利法瑞利法在以上兩種方法中，均忽略了彈簧的質(zhì)量對系統(tǒng)的影響。但在以上兩種方法中，均忽略了彈簧的質(zhì)量對系統(tǒng)的影響。但有些工程問題中，彈簧本身質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量一定比例，如有些工程問題中，彈簧本身質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量一定比例，如被忽略，會造成計被忽略，會

45、造成計 算出的固有頻率偏高。算出的固有頻率偏高。為此可以運用為此可以運用能量原理能量原理，把一個分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為一個單，把一個分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為一個單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響考自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響考慮進去，可得到了相當準確的慮進去，可得到了相當準確的 固有頻率值。固有頻率值。利用動能計算把分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，加在原來的慣性利用動能計算把分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，加在原來的慣性元件上，作為單自由度系統(tǒng)處理，這種方法稱為元件上，作為單自由度系統(tǒng)處理，這種方法稱為瑞利法瑞利法。 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計

46、算系統(tǒng)固有頻率的方法 由：由： 可得：可得： 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法例如：例如： 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動能：設(shè)彈簧的動能：212ttTm xtm為彈簧等效為彈簧等效質(zhì)量質(zhì)量系統(tǒng)最大動能：系統(tǒng)最大動能：222maxmaxmaxmax111222ttTmxm xmmx系統(tǒng)最大勢能：系統(tǒng)最大勢能：2maxmax12Vkxmaxmaxnxxtnkmm為彈簧單位長度的質(zhì)量為彈簧單位長度的質(zhì)量設(shè)質(zhì)量塊設(shè)質(zhì)量塊m的速度為：的速度為：則微段則微段 的速度為：的速度為：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有

47、頻率的方法x dxl整個彈簧的動能：整個彈簧的動能：22011()22 3lxlTdxl質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時：質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時：2maxmax1)23lTmx由由 ，得，得maxmaxTU22maxmax11)232lmxK x 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法對于簡諧振動：對于簡諧振動：22maxmax11)232lmxK x maxmaxsin()nnxAtxAxA代入得：代入得：222)3nmmAKAml3nKmm結(jié)論：結(jié)論： 只要把三分之一彈簧質(zhì)量當作一個集中質(zhì)量加只要把三分之一彈簧質(zhì)量當作一個集中質(zhì)量加 到質(zhì)量塊上去，就可以把

48、彈簧對系統(tǒng)的固有頻率到質(zhì)量塊上去，就可以把彈簧對系統(tǒng)的固有頻率 的影響考慮到。這種近似解法的精度比較高。的影響考慮到。這種近似解法的精度比較高。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動教學內(nèi)容教學內(nèi)容l 2.1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動l 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動l 2.5 系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.3 等效質(zhì)量與等效剛度等效質(zhì)量與等效剛度 瑞利法中將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)

49、量，從而瑞利法中將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，從而使一個較復(fù)雜的系統(tǒng)簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。工程中有許使一個較復(fù)雜的系統(tǒng)簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。工程中有許多復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)都可以簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。簡多復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)都可以簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。簡化的方法有兩種。一種是能量法，另一種是利用定義?；姆椒ㄓ袃煞N。一種是能量法，另一種是利用定義。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法一：能量法方法一：能量法選定廣義位移坐標選定廣義位移坐標x后，將系統(tǒng)的動能和勢能寫成如下形式：后，將系統(tǒng)的動能和勢能寫成如下形式：212eTM x當當 分別取最大值時，分別取最大

50、值時，T及及U取最大值：取最大值：可得簡化后的系統(tǒng)的固有頻率為：可得簡化后的系統(tǒng)的固有頻率為：212eUK xeneKM：簡化系統(tǒng)的：簡化系統(tǒng)的等效剛度等效剛度eK：簡化系統(tǒng)的：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量等效質(zhì)量eM這里等效的含義是指簡化前后系統(tǒng)的動能和勢能是分別這里等效的含義是指簡化前后系統(tǒng)的動能和勢能是分別相等的。相等的。x x 、maxmax,TU單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法二：定義法方法二：定義法等效剛度：等效剛度： 使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位位移而需要使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位位移而需要 在此坐標方向上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標在此坐標方向

51、上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標 系上的等效剛度。系上的等效剛度。等效質(zhì)量：等效質(zhì)量： 使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位加速度而需使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位加速度而需 要在此坐標系上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標要在此坐標系上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標 系上的等效質(zhì)量。系上的等效質(zhì)量。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度例例2-8：(P54例例2.9)如圖所示：兩個彈簧串聯(lián)起來，剛度分別為如圖所示：兩個彈簧串聯(lián)起來，剛度分別為K1，K2懸掛物體的質(zhì)量為懸掛物體的質(zhì)量為m，求系統(tǒng)的等效剛度。，求系統(tǒng)的等效剛度。（a）（b）單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效

52、剛度等效質(zhì)量和等效剛度解：解： 對質(zhì)量對質(zhì)量m施加力施加力P，對于（，對于（a）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。 彈簧的變形分別為：彈簧的變形分別為： 由于串聯(lián)，彈簧的總變形為：由于串聯(lián)，彈簧的總變形為： 根據(jù)定義，等效剛度為：根據(jù)定義，等效剛度為：12PPKK1211(PKK1212eK KPKKK對于（對于（b）系統(tǒng)，兩彈簧的變形相同都為）系統(tǒng)，兩彈簧的變形相同都為 ，受力分別為：受力分別為：1122PKPK由力的平衡：由力的平衡：根據(jù)定義，等效剛度為：根據(jù)定義，等效剛度為：1212PPPKK12ePKKK由以上計算可以得到如下結(jié)論：由以上計算可以得到如下結(jié)論：對于系統(tǒng)（對于系統(tǒng)（a），屬于串聯(lián)彈簧系統(tǒng)，）

53、，屬于串聯(lián)彈簧系統(tǒng)，等效剛度的倒數(shù)是每個彈簧剛度的倒數(shù)等效剛度的倒數(shù)是每個彈簧剛度的倒數(shù)之和。之和。對與系統(tǒng)（對與系統(tǒng)（b），屬于并聯(lián)彈簧系統(tǒng)，），屬于并聯(lián)彈簧系統(tǒng)，等效剛度為每個彈簧剛度的總和。等效剛度為每個彈簧剛度的總和。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度例例2-9：杠桿系統(tǒng)：杠桿系統(tǒng)(P54例例2.10）杠桿是不計質(zhì)量的剛體杠桿是不計質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對于求：系統(tǒng)對于 坐標的等效質(zhì)量和等效剛度坐標的等效質(zhì)量和等效剛度x單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等

54、效質(zhì)量和等效剛度解法解法1：能量法：能量法動能：動能：2221211122lTm xmxl22212211()2lmmxl等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：221221elMmml勢能：勢能：2222331212211111()222llVk xkxkkxll等效剛度：等效剛度：231221elKkkl固有頻率：固有頻率：eneKM設(shè)系統(tǒng)在設(shè)系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位位移需要施加方向產(chǎn)生單位位移需要施加力力P，則在，則在 處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支座取矩對支座取矩單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度解法解法2：定義法：定義法設(shè)系統(tǒng)在設(shè)系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速

55、度需要方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力施加力P，則在，則在 上產(chǎn)生慣性上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩力，對支座取矩12m m21112211lPlmlmll221221elMPmml3111231(1)()lPlklkll231221elKPkkl12k k 所以等效剛度：所以等效剛度：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動教學內(nèi)容教學內(nèi)容l 2.1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動l 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的方法計算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動l 2.5 系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)l 2.4 有阻尼的自由振動有

56、阻尼的自由振動 前述的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統(tǒng)前述的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統(tǒng)的機械能不可能守恒，因為存在各種各樣的阻力。的機械能不可能守恒，因為存在各種各樣的阻力。振動中將阻力稱為振動中將阻力稱為阻尼阻尼，例如摩擦阻尼、電磁阻尼等。實，例如摩擦阻尼、電磁阻尼等。實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)很難確定。最常用的一種阻尼力際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)很難確定。最常用的一種阻尼力學模型是學模型是粘性阻尼粘性阻尼，或稱為，或稱為粘滯阻尼粘滯阻尼，在流體中低速運動，在流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常認為受到了粘性阻尼?；蜓貪櫥砻婊瑒拥奈矬w，通常認為受到了粘性阻尼。

57、粘性阻尼與相對速度成正比，即：粘性阻尼與相對速度成正比，即：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動 Pd為粘性阻尼力，為粘性阻尼力，v為相對速度，為相對速度， c 稱為稱為粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)，單位為：，單位為：Ns/m。粘性阻尼由于它與速度成正比，又稱粘性阻尼由于它與速度成正比，又稱線性阻尼線性阻尼。線性阻尼在。線性阻尼在分析振動同題時使求解大為簡化，所以我們一開始以粘性阻分析振動同題時使求解大為簡化，所以我們一開始以粘性阻尼為基本模型來分析有阻尼的振動。如果遇到非粘性的阻尼為基本模型來分析有阻尼的振動。如果遇到非粘性的阻尼，我們將在后面的介紹中引進一個等

58、效粘性阻尼來作近似尼，我們將在后面的介紹中引進一個等效粘性阻尼來作近似計算。計算。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動dPcv以靜平衡位置為原點。設(shè)以靜平衡位置為原點。設(shè)x坐標向下坐標向下為正。受力分析后，利用牛頓運動定為正。受力分析后，利用牛頓運動定律得運動方程：律得運動方程：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動0mxcxkx220nxnxx2cnm2nkm令：令：(截塔截塔)上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋毫睿毫睿簄成為衰減系數(shù)，成為衰減系數(shù)， 為相應(yīng)的無阻尼時的固有頻率為相應(yīng)的無阻尼時的固有頻率n微分方程：微分方程：nn220nnx

59、xx單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動解二次方程：解二次方程：兩個特征根為：兩個特征根為：21,21nns 通解為：通解為：221112()nnntttxec ec e stxe220nnxxx令：令：得到特征方程：得到特征方程：2220nnss（1）當）當 時，稱為時，稱為過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)（2）當）當 時，稱為時，稱為欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)（3）當）當 時，稱為時，稱為臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動特征方程：特征方程：動力學方程：動力學方程：取不同值時，微分方程有不同性質(zhì)的解。取不同值時，微

60、分方程有不同性質(zhì)的解。220nnxxx2220nnss111l 2.4.1 欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài) 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動1欠阻尼欠阻尼振動解振動解令令12( )(cossin)ntddx tectct21dn設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：00(0)(0)xxxx其中：其中：( )sin()ntdx tAet22000()ndxxAx1000dnxtgxx則振動解為：則振動解為：單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動1 欠阻尼欠阻尼振動解：振動解：( )sin()ntdx tAetnT阻尼固有頻率：阻尼固有頻率：21dn阻