平面向量的數(shù)量積及菘應(yīng)用(二)

1、4.24.2平面向量的數(shù)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用量積及其應(yīng)用（二）（二）1.1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用（1 1）常解決的平面幾何問題：平面向量在平）常解決的平面幾何問題：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長(zhǎng)度、數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長(zhǎng)度、夾角等問題夾角等問題. .（2 2）解決常見平面幾何問題用到的向量知識(shí)）解決常見平面幾何問題用到的向量知識(shí)問題類型問題類型所用知識(shí)所用知識(shí)公式表示公式表示線平行、線平行、點(diǎn)共線問點(diǎn)共線問題題共線向量共線向量定理定理ab_其中其中a=(x=(

2、x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )垂直問題垂直問題數(shù)量積的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)ab_a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )夾角問題夾角問題數(shù)量積數(shù)量積的定義的定義coscos = = （為向量為向量a, ,b的夾角）的夾角）a=b( (b0) )x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0ab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0| | |aba b_（3 3）用向量方法解決平面幾何問題的）用向量方法解決平面幾何問題的“三步法三步法”平面幾何問題平面幾何問題 向量問題

3、向量問題 解決向量問題解決向量問題 解決幾何問題解決幾何問題設(shè)向量設(shè)向量運(yùn)算運(yùn)算還原還原2.2.平面向量在物理中的應(yīng)用平面向量在物理中的應(yīng)用（1 1）由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們）由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的的分解與合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的知識(shí)來解決知識(shí)來解決. .(2)(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移與位移s的數(shù)量積的數(shù)量積, ,即即W=W=Fs=|=|F|s|cos (|cos (為為F與與s的夾角）的夾角）. . 考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在

4、平面幾何中的應(yīng)用例例1 1（1 1）平面上）平面上O,A,BO,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)三點(diǎn)不共線，設(shè) 則則OABOAB的面積等于的面積等于( )( )（2 2）若等邊）若等邊ABCABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 平面內(nèi)一平面內(nèi)一點(diǎn)點(diǎn)M M滿足滿足OA,OB ，ab 222222222222A B11C D22a baba baba baba bab12CMCBCAMAMB _.63 ，則2 3 ，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選C.C.設(shè)設(shè)a，b的夾角為的夾角為，由條件得，由條件得22222OAB22222222cos ,sin 1 cos1 ()1,| | |11Ssin 122| |1| |

5、|2| |1.2aba bababa ba baba ba ba baba ba ba ba bab（2 2）以）以BCBC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BCBC所在直線為所在直線為x x軸建立如圖所示的平軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可知面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可知A(0A(0，3)3)， B3,0 ,C3,0 .設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )，則，則 由由 得得, ,x=0 x=0，y=2,y=2,點(diǎn)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,2).(0,2).答案：答案：-2-2CMx3,y，CB2 3,0 CA3,3 . ，12CMCBCA63 12x3,y2 3,0(3,3)3,2

6、,63 MA01 MB32MAMB2. ， ， 【拓展提升【拓展提升】平面幾何問題的向量解法平面幾何問題的向量解法（1 1）坐標(biāo)法）坐標(biāo)法. .把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了相關(guān)點(diǎn)與向量具體把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了相關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決題得到解決. .(2)(2)基向量法基向量法. .適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解. .【提醒【提醒】

7、 用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕子没蛄拷忸}時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕? .練習(xí)練習(xí)(1)(1)如圖，如圖，O O，A A，B B是平面上的三點(diǎn)，是平面上的三點(diǎn)，向量向量 C C為線段為線段ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，設(shè)設(shè)P P為線段為線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線CPCP上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，向量向量 若若 =( )=( )(A)8 (B)6 (A)8 (B)6 (C)4 (C)4 (D)0(D)0OA=OB= ，abOP ，p42 ，則abp a b【解析【解析】選選B.B.由由 知知| |p- -b|

8、=|=|p- -a| |，| |p- -b| |2 2=|=|p- -a| |2 2，p2 2-2-2pb+ +b2 2= =p2 2-2-2pa+ +a2 2，得得2 2pa-2-2pb= =a2 2- -b2 2=16-4=12=16-4=12，p( (a- -b)=6.)=6.BPAP ，(3)(3)已知已知ABCABC的三邊長(zhǎng)的三邊長(zhǎng)AC=3AC=3，BC=4BC=4，AB=5AB=5，P P為為ABAB邊邊上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則 的最大值為的最大值為_._.【解析【解析】方法一：方法一：( (坐標(biāo)法坐標(biāo)法) )以以C C為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，

9、設(shè)如圖，設(shè)P P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y(x,y) )且且0y3,0 x4,0y3,0 x4,則則 當(dāng)當(dāng)y=3y=3時(shí)，取得最大值時(shí)，取得最大值9.9.CP (BABC)uur uuu ruurgCP CA(x,y) (0,3)3y，uur uuu rggCP (BABC)uur uuu ruurg方法二：方法二：( (基向量法基向量法) ) cosBACcosBAC為正且為定值，為正且為定值，當(dāng)當(dāng) 最小即最小即 =0=0時(shí)，時(shí)， 取到最大值取到最大值9.9.答案：答案：9 9CPCAAPBABCCA，uuruuu ruuruuu ruuruuu rQ2CP (BABC)(CAAP) CACA

10、AP CA9AP AC9 |AP| |AC| cos BAC93|AP| cos BAC, uur uuu ruuruuu ruur uuu rgguuu ruur uuu ruur uuu rgguuruuu rgguurg|AP|uur|AP|uurCP (BABC)uur uuu ruurg考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 向量與三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用向量與三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用例例2 2(1)(1)已知向量已知向量a=(m,n=(m,n) )，b=(cos,sin=(cos,sin ) )，其中，其中m,n,Rm,n,R. .若若| |a|=4|=4|b| |，則當(dāng)，則當(dāng)ab2 2恒成立時(shí)實(shí)數(shù)恒成立時(shí)

11、實(shí)數(shù)的取值范圍是的取值范圍是( )( ) A22 B22C22 D22 或 或 (2)(2)已知已知A(1,1),B(1,1),C( cosA(1,1),B(1,1),C( cos , sin ) , sin )(R(R) )，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). .若若 = = ，求，求sin 2sin 2的值；的值；若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)m,nm,n滿足滿足求求(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2的最大值的最大值. .|BC BA| mOA nOB OC ，222【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由已知得由已知得| |b|=1|=1，所以，所以| |a|= =4,|= =4,因此因此ab=m

12、cos +nsin=mcos +nsin = sin(+= sin(+)=4sin(+)=4sin(+)4,)4,由于由于ab2 2恒成立，故恒成立，故2 24 4，解得，解得2 2或或-2.-2.22mn22mn(2)(2) =( cos=( cos -1) -1)2 2+( sin -1)+( sin -1)2 2= (sin +cos= (sin +cos )+4, )+4, (sin +cos (sin +cos )+4=2, )+4=2,即即sin +cossin +cos = =兩邊平方得兩邊平方得1+sin 2= 1+sin 2= ，sin 2=sin 2=由由 得得(m+n,m

13、-n)=( cos(m+n,m-n)=( cos , sin ), , sin ),22|BC BA| |AC| 222 22 22,2121.2mOA nOB OC 22m n2cos ,m n2sin , (m-3)(m-3)2 2+n+n2 2=m=m2 2+n+n2 2-6m+9-6m+9= (sin +cos )+10= (sin +cos )+10=-6sin(+ )+10,=-6sin(+ )+10, 當(dāng)當(dāng)sin(sin(+ )=-1+ )=-1時(shí)，時(shí)，(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2有最大值有最大值16.16.2mcos sin ,22ncos sin ,2解得3 24

14、4【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在本例題（在本例題（2 2）的第）的第小題中，若將條件小題中，若將條件“ ”“ ”改為改為“ ”“ ”，則如何解答？，則如何解答？【解析【解析】由條件知由條件知由由 得得tan =-1.tan =-1.BC BA2 BC OA BC2cos 1, 2sin 1 OA1,1 （），BCOA 2cos 12sin 1 0 ，2222sin cos 2tan sin 22sin cos 1.sincostan1(2)(2)設(shè)設(shè)ABCABC三個(gè)角三個(gè)角A A，B B，C C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a,b,ca,b,c，向量，向量p=(a,2b),=(a,2b),q=(sinA,

15、1),=(sinA,1),且且pq. .(1)(1)求角求角B B的大??；的大??；(2)(2)若若ABCABC是銳角三角形，是銳角三角形，m=(cosA,cosB=(cosA,cosB),),n=(1,sinA-cosAtanB),=(1,sinA-cosAtanB),求求mn的取值范圍的取值范圍. .【解析【解析】(1)(1)p=(a,2b),=(a,2b),q=(sinA,1),=(sinA,1),且且pq, ,a-2bsinA=0,a-2bsinA=0,由正弦定理得由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.sinA-2sinBsinA=0.00A,B,CA,B,C, , 得得 或或1

16、sinB,2B65B.6(2)(2)ABCABC是銳角三角形，是銳角三角形，于是于是由由A+C=-B= A+C=-B= 及及0 0C C , ,得得結(jié)合結(jié)合 得得B,633(cosA,),(1,sinAcosA),23mn33cosA(sinAcosA)23m n13cosAsinAsin(A).22656255AC(,).6360A,A,232 2A,26333sin(A) 1,1.262即m n考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 向量與解析幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用向量與解析幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用例例3 3（1 1）已知兩點(diǎn)）已知兩點(diǎn)M(M(3 3，0)0)，N(3N(3，0)0)，點(diǎn)，點(diǎn)P P為坐標(biāo)平面為坐標(biāo)平面內(nèi)一

17、動(dòng)點(diǎn)，且內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且 則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)P(xP(x，y)y)到點(diǎn)到點(diǎn)M(M(3 3，0)0)的距離的距離d d的最小值為的最小值為( )( )(A)2 (B)3 (A)2 (B)3 (C)4 (C)4 (D)6(D)6（2 2）在平行四邊形）在平行四邊形ABCDABCD中，中，A(1A(1，1)1)， =(6,0)=(6,0)，點(diǎn)，點(diǎn)M M是是線段線段ABAB的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，線段CMCM與與BDBD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.P.若若 =(3,5)=(3,5)，求點(diǎn)，求點(diǎn)C C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P P的軌跡的軌跡MN MPMN NP 0 ，AB AD AB |AD| 【規(guī)范解答【規(guī)范解

18、答】（1 1）選）選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)镸(-3M(-3，0)0)，N(3N(3，0)0)，所以，所以由由 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得y y2 2=-12x=-12x，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)M M是拋物線是拋物線y y2 2=-12x=-12x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)M M的的距離的最小值就是原點(diǎn)到距離的最小值就是原點(diǎn)到M(-3M(-3，0)0)的距離，所以的距離，所以d dminmin=3.=3.MN6,0 MN6,MPx 3,y ,NPx 3,y . ，22|MN| MPMN NP 0 6x 3y6 x 30 ，得（2 2）設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x0 0，y y0 0) )，又又即即

19、(x(x0 01 1，y y0 01)1)(9(9，5)5)，x x0 01010，y y0 06 6，即點(diǎn)，即點(diǎn)C(10,6).C(10,6).設(shè)設(shè)P(x,yP(x,y) )，則則=(x-7,y-1)=(x-7,y-1)， AC AD AB356095 ， ， ，BP AP ABx 1,y 1(6,0) 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD為菱形為菱形 (x (x7 7，y y1)1)(3x(3x9 9，3y3y3)3)0 0，即即(x(x7)(3x7)(3x9)9)(y(y1)(3y1)(3y3)3)0.0.xx2 2y y2 210 x10 x2y2y22220 0即即(x-5)(x-5

20、)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4. 1AC AM MCAB 3MP211AB 3(APAB) 3AP AB223 x 1 3 y 1603x 93y 3 ， ， ABAD ，BPAC ，又當(dāng)又當(dāng)y=1y=1時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P P在在ABAB上，與題意不符上，與題意不符, ,故點(diǎn)故點(diǎn)P P的軌跡是以的軌跡是以(5(5，1)1)為圓心，為圓心，2 2為半徑的圓且去掉與直線為半徑的圓且去掉與直線y=1y=1的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)【拓展提升【拓展提升】向量在解析幾何中的向量在解析幾何中的“兩個(gè)兩個(gè)”作用作用（1 1）載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于）載體作用：向量在解析幾何問題中出

21、現(xiàn)，多用于“包包裝裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向向量外衣量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用abab=0,=0,aba=b（b0）, ,可可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.

22、.練習(xí)練習(xí)(1)(1)已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(-1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡C C滿足滿足AMB=2AMB=2， 并寫出軌跡并寫出軌跡C C的方程的方程. .2AM BMcos3AMBM ，求的值，【解析【解析】設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )，在，在MABMAB中，中，|AB|=2|AB|=2，AMB=2AMB=2，根據(jù)余弦定理得根據(jù)余弦定理得22222AMBM2AM BMcos 24,AM |BM|2AM BM 1 cos 24,AM |BM|4AM BMcos4. 22AM BMcos3AMBM4 3 4,AMBM4. ，而又又因此點(diǎn)因此點(diǎn)M M的

23、軌跡是以的軌跡是以A,BA,B為焦點(diǎn)的橢圓為焦點(diǎn)的橢圓( (去掉去掉x x軸上的兩點(diǎn)軸上的兩點(diǎn)),a=2),a=2，c=1.c=1.所以軌跡所以軌跡C C的方程為的方程為AM |BM| 4 2AB ，22xy1 y 0 .43(2)(2)已知已知O O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A A（-1-1，1 1）, ,若點(diǎn)若點(diǎn)M M（x x，y y）為）為平面區(qū)域平面區(qū)域 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范的取值范圍是圍是( )( )(A)(A)-1,0-1,0 (B)(B)0,10,1(C)(C)0,20,2 (D)(D)-1,2-1,2x y 2,x 1,y 2 OAOM 【解析【解析】選

24、選C.C.由題意，不等式組由題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算易得：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算易得：令令-x+y=z,-x+y=z,即即y=x+z,y=x+z,易知目標(biāo)函數(shù)易知目標(biāo)函數(shù)y=x+zy=x+z過點(diǎn)過點(diǎn)B B（1 1，1 1）時(shí)，）時(shí)，z zminmin=0,=0,目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)y=x+zy=x+z過點(diǎn)過點(diǎn)C(0,2)C(0,2)時(shí)，時(shí)，z zmaxmax=2,=2,故故 的取值范圍是的取值范圍是0,20,2. .x y 2,x 1,y 2 OAOMx y ，OAOM 練習(xí)練習(xí): :已知向量已知向量m=(2x-2,2-

25、y)=(2x-2,2- y)，n=( y+2,x+1),=( y+2,x+1),且且mn, =(x,y)(O, =(x,y)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)).).(1)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)M M的軌跡的軌跡C C的方程；的方程；(2)(2)是否存在過點(diǎn)是否存在過點(diǎn)F(1F(1，0)0)的直線的直線l與曲線與曲線C C相交于相交于A A、B B兩兩點(diǎn)，并且曲線點(diǎn)，并且曲線C C上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)P P，使四邊形，使四邊形OAPBOAPB為平行四邊形？為平行四邊形？若存在，求出若存在，求出平行四邊形平行四邊形OAPBOAPB的面積；若不存在，說明理由的面積；若不存在，說明理由. .33OM 【解析【解析】(1)(1)m=(2x-2,2- y),=(2x-2,2- y),n=( y+2,x+1),=( y+2,x+1),且且mn, ,(2x-2)(x+1)-(2- y)( y+2)=0,(2x-2)(x+1)-(2- y)( y+2)=0,整理，得整理，得(2)(2)設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2 2,y,y2 2),),由題意知由題意知l的斜率一定不為的斜率一定不為0 0，故不妨設(shè)，故不妨設(shè)l:x:x=my+1.=my+1.代入橢圓的方程中整理得代入橢圓的方程中整理