實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

1、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析與振動(dòng)測(cè)試技術(shù)一、引言一、引言 隨著社會(huì)科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代工業(yè)對(duì)各種機(jī)器的要求越來(lái)越高，故現(xiàn)代機(jī)器的設(shè)計(jì)已不是原來(lái)古典意義上的設(shè)計(jì)了。古典意義上的機(jī)械設(shè)計(jì)一般稱之為“靜態(tài)設(shè)計(jì)靜態(tài)設(shè)計(jì)”，也就是說(shuō)在滿足零部件或結(jié)構(gòu)的功能設(shè)計(jì)后，主要進(jìn)行機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度的設(shè)計(jì)校核。而現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)則不但要滿足靜態(tài)設(shè)計(jì)的要求，而且對(duì)機(jī)構(gòu)提出了動(dòng)態(tài)特殊要求。即所謂的“動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)”。 目前，工程中的橋梁、汽車(chē)、飛機(jī)等，從強(qiáng)度、剛度這角度來(lái)說(shuō)，他們基本是安全的。然而還經(jīng)常發(fā)生破壞現(xiàn)象，其主要原因是機(jī)構(gòu)不符合動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)要求。舉個(gè)例子說(shuō)，一列火車(chē)或汽車(chē)在橋梁上行駛，會(huì)使橋梁產(chǎn)生振動(dòng)，如果火車(chē)或汽車(chē)對(duì)橋梁的

2、激勵(lì)頻率與橋梁結(jié)構(gòu)本身的某一階固有頻率相等或非常接近。那么橋梁就會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。這對(duì)橋梁的破壞是很大的，橋梁的部件容易產(chǎn)生疲勞屈服，這大大縮短了橋梁的壽命，嚴(yán)重的會(huì)直接發(fā)生橋梁倒塌事故。狹義地說(shuō)，現(xiàn)代機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)主要是考慮這方面問(wèn)題。以上說(shuō)明了試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析這門(mén)課在科學(xué)技術(shù)中所處地位。而現(xiàn)代結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)有兩部分，即：振動(dòng)分析振動(dòng)分析、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析二、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)的發(fā)展二、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)的發(fā)展 早期研究實(shí)驗(yàn)觀察振動(dòng)試驗(yàn)主要目的是：（1）確定振動(dòng)響應(yīng)量的大小和范圍；現(xiàn)代則更注重另外一個(gè)目的是，（2）理論模型的驗(yàn)證預(yù)測(cè)；或總稱動(dòng)力學(xué)建模。雖然，“試驗(yàn)?zāi)B(tài)”

3、這個(gè)名稱現(xiàn)已流行，其原理上世紀(jì)中就已提出，但早期不叫試驗(yàn)?zāi)B(tài)。它們已經(jīng)經(jīng)歷了不同的階段，例如，曾使用過(guò)“共振實(shí)驗(yàn)共振實(shí)驗(yàn)”和“機(jī)械阻抗法機(jī)械阻抗法”等名稱來(lái)描述這類(lèi)試驗(yàn)技術(shù)。這一課題的重要里程碑之一是1947年肯尼迪（kennedy）和潘庫(kù)（Pancu）的論文Use of vectors in vibration measurement and analysis。文中的敘述方法用來(lái)精確地確定航空結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼值，這種方法沿用了許多年，直至六十年代測(cè)量和測(cè)量和信號(hào)分析技術(shù)信號(hào)分析技術(shù)迅速地發(fā)展起來(lái)。它為更精密的測(cè)量和更有效而廣泛的應(yīng)用鋪平了道路。 1963年畢曉普（Bishop）和格拉德威

4、爾（Glodwell）的論文Steady stale vibration描述了共振實(shí)驗(yàn)原理的現(xiàn)狀，當(dāng)時(shí)，理論大大領(lǐng)先于實(shí)驗(yàn)的水平。在同一時(shí)期的另一項(xiàng)工作，是在塞爾特（Salter）所著的書(shū)中從完全不同的觀點(diǎn)提出的，即用非解方法來(lái)處理測(cè)量數(shù)據(jù)。該方法較之現(xiàn)在借助于計(jì)算機(jī)自動(dòng)地完成同樣的工作相比，要占用較多的人力。塞爾特方法成功地在該項(xiàng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的研究中引入了重要的物理概念。到1970年主要是，傳感器、電子學(xué)和數(shù)字分析儀以及計(jì)算機(jī)技術(shù)等方面都有了重要的發(fā)展，從而又建立了目前的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)。而現(xiàn)在所謂“試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析”這一名稱的意義，通常指“對(duì)系統(tǒng)或部分的一個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，其目的是獲對(duì)系統(tǒng)或

5、部分的一個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，其目的是獲得其動(dòng)態(tài)或振動(dòng)特性的數(shù)學(xué)描述得其動(dòng)態(tài)或振動(dòng)特性的數(shù)學(xué)描述”。對(duì)于不同的應(yīng)用，其數(shù)學(xué)描述或模型也是不同的，在一種情況下可以是對(duì)固有頻率和阻尼系數(shù)的估計(jì)，而在另一種情況下又可以是質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的模型建立。三、現(xiàn)代模態(tài)分析的定義：三、現(xiàn)代模態(tài)分析的定義： 對(duì)于 個(gè)自由度的線性定常有阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：N )()()(tftxKxCtxM 式中： M C K上式是用系統(tǒng)的物理坐標(biāo) 描述的運(yùn)動(dòng)方程組。在其每一個(gè)方程中均包含系統(tǒng)各點(diǎn)的物理坐標(biāo)，因此是一組耦合方程。當(dāng)系統(tǒng)自由度數(shù)目很大時(shí)，求解十分困難。( )x t( )f t( )x t( )x t)(tx 為系

6、統(tǒng)的質(zhì)量剛度阻尼矩陣阻尼矩陣為系統(tǒng)的自由度及外界對(duì)系統(tǒng)的激勵(lì)能否將上述耦合的方程組變換成非耦合的，獨(dú)立的微分方程組，這就是模態(tài)分析要解決的根本任務(wù)。故所以，所謂模態(tài)分析方法就是：以無(wú)阻尼系統(tǒng)的各階主振型所對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)來(lái)代替物理坐標(biāo)，使坐標(biāo)耦合的微分方程組解耦為各個(gè)坐標(biāo)獨(dú)立的微分方程組，即iiiiigqkqcqm Ni, 2 , 1從而求出系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)，即從而求出系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)，即 、 、以及以及 。 這就是模態(tài)分析的經(jīng)典定義。這就是模態(tài)分析的經(jīng)典定義。imicik i目前線性系統(tǒng)的理論與技術(shù)趨于成熟。四、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的基本內(nèi)容四、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的基本內(nèi)容 試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)的基本內(nèi)容是

7、以下三部分的全面綜合：振動(dòng)分析理論基礎(chǔ)；振動(dòng)分析理論基礎(chǔ)；振動(dòng)測(cè)試技術(shù)；振動(dòng)測(cè)試技術(shù)；動(dòng)態(tài)（信號(hào)）數(shù)據(jù)分析技術(shù)；動(dòng)態(tài)（信號(hào)）數(shù)據(jù)分析技術(shù)；過(guò)去認(rèn)為這三部分是由每一方面的專(zhuān)家從事的不同的專(zhuān)題范疇，而現(xiàn)在我們探索的這一課題要求在這三方面都要深入的理解和應(yīng)用能力，才能將試驗(yàn)?zāi)B(tài)這門(mén)技術(shù)學(xué)好并掌握。五、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的工程應(yīng)用五、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的工程應(yīng)用試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)是一項(xiàng)綜合性技術(shù)可以應(yīng)用于各個(gè)工程部門(mén)及各種工程結(jié)構(gòu)。這一技術(shù)在航空、航天、造船、機(jī)械、建筑、核工程、交通運(yùn)輸、兵器等工程部門(mén)中得到廣泛應(yīng)用。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)和有限元分析一起成為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的兩大支柱。模態(tài)分析技術(shù)的應(yīng)用可以歸結(jié)為下列幾個(gè)方面

8、：1 1、評(píng)價(jià)實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、評(píng)價(jià)實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性在處理結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)其動(dòng)態(tài)特性有全面的了解。結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性通常用各階模態(tài)參數(shù)（模態(tài)頻率，模態(tài)振型及模態(tài)阻尼）來(lái)描述。通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析可以求得上述動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，從而評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)得動(dòng)態(tài)特性是否符合要求，并校驗(yàn)理論計(jì)算結(jié)果的正確性。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是建立在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上的因此所得到的動(dòng)態(tài)特征參數(shù)比較準(zhǔn)確（尤其是低階模態(tài)），特別是可以識(shí)別系統(tǒng)的阻尼，而在有限元分析中阻尼是人為假設(shè)的。2、在新產(chǎn)品設(shè)計(jì)中進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的預(yù)估及、在新產(chǎn)品設(shè)計(jì)中進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的預(yù)估及優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)在新產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，通常采用有限元分析計(jì)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性

9、，但是正是如上面所指出的，由于在建立有限元模型時(shí)，在邊界條件的處理以及力學(xué)模型的簡(jiǎn)化上，往往與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異較大，這便導(dǎo)致動(dòng)力分析結(jié)果失去實(shí)用價(jià)值，特別是對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，這種差距更大。用模態(tài)分析所得到的模態(tài)參數(shù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修改，使其更符合實(shí)際從而提高有限元分析的精度。其次，用模態(tài)分析的結(jié)果進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改，使動(dòng)力特性達(dá)到預(yù)定的要求，并使其優(yōu)化，這也是模態(tài)分析的目的之一。模態(tài)分析進(jìn)入產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段，并與有限元分析、CAD、CAT、CAE相結(jié)合構(gòu)成所謂“理想設(shè)計(jì)過(guò)程”（Ideal Design Process）是模態(tài)分析技術(shù)發(fā)展的一個(gè)方向。3、診斷及預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障、診斷及預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故

10、障近年來(lái)，結(jié)構(gòu)故障技術(shù)發(fā)展迅速，而模態(tài)分析技術(shù)已經(jīng)成為故障診斷的一個(gè)重要的方法。利用結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變來(lái)診斷故障是一種有效的方法。例如根據(jù)模態(tài)頻率的變化可以判斷裂紋的出現(xiàn)；根據(jù)振型的分析可以確定斷裂的位置。；根據(jù)轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)阻尼的改變，可以診斷與預(yù)報(bào)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)等等。4、控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲、控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲結(jié)構(gòu)輻射噪聲是由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)所引起的。結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，各階模態(tài)對(duì)噪聲的貢獻(xiàn)并不相同，對(duì)噪聲貢獻(xiàn)較大的幾階模態(tài)稱為“優(yōu)勢(shì)模態(tài)”。抑制或調(diào)整優(yōu)勢(shì)模態(tài)，便可以降低噪聲。而優(yōu)勢(shì)模態(tài)的確定，必須建立在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上。5、識(shí)別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷、識(shí)別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷 某些結(jié)構(gòu)在工作時(shí)所承受的載荷很難測(cè)量，這時(shí)

11、，可以通過(guò)實(shí)測(cè)響應(yīng)和模態(tài)分析所得到的模態(tài)參數(shù)倆加以識(shí)別。此方法在橫態(tài)航空及核工程中應(yīng)用較廣。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析與測(cè)試技術(shù)第一章單自由度模態(tài)分析理論11 引言引言模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)是在機(jī)械阻抗與導(dǎo)納的概念上發(fā)展起來(lái)的。雖然機(jī)械阻抗的概念早在20世紀(jì)30年代就已經(jīng)形成，但發(fā)展成為今天這樣較為完整的理論與方法，卻經(jīng)歷了較長(zhǎng)的歲月。近二十多年來(lái)，模態(tài)分析理論吸取了振動(dòng)理論、信號(hào)分析、數(shù)據(jù)處理數(shù)理統(tǒng)計(jì)以及自動(dòng)控制理論中的有關(guān)“營(yíng)養(yǎng)”，結(jié)合自身內(nèi)容的發(fā)展，形成了一套獨(dú)特的理論，為模態(tài)分析及參數(shù)識(shí)別技術(shù)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。12單自由度頻響函數(shù)分析單自由度頻響函數(shù)分析 單自由度系統(tǒng)是最基本的振動(dòng)系統(tǒng)。雖然實(shí)際結(jié)構(gòu)

12、均為多自由度系統(tǒng)，但單自由度系統(tǒng)的分析能揭示振動(dòng)系統(tǒng)很多基本的特性。由于他簡(jiǎn)單，因此常常作為振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。從單自由度系統(tǒng)的分析出發(fā)分析系統(tǒng)的頻響函數(shù)，將使我們便于分析和深刻理解他的基本特性。對(duì)于線性的多自由度系統(tǒng)常常可以看成為許多單自由度系統(tǒng)特性的線性疊加。 下面我們分別對(duì)粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)理論進(jìn)行討論，并推導(dǎo)他們的表達(dá)式。一、粘性阻尼系統(tǒng)一、粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)粘性阻尼系統(tǒng)，假設(shè)其阻尼力與振動(dòng)速度成正比，方向與速度相反，即 dfcx fmx, ck（11） 式中： 及 均為時(shí)間 的函數(shù)。xft對(duì)于自由振動(dòng)（ ），上式可以寫(xiě)為：0f 0mxcxkx其解的形式為: stxXesX式中：

13、 為復(fù)數(shù)； 為不依賴時(shí)間的量。（13） mxcxkxf系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖所示。其振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為： （12） （14） 對(duì)（12）式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始值為0，可得2() ( )( )mscsk x sf ss( )x s( )x t( )f s( )f t式中： 為拉氏變換因子； 為 的拉氏變換， 而 則為 的拉氏變換。對(duì)自由振動(dòng)而言，可得20mscsk由上式可解得 的兩個(gè)根，s221,204122cckmsjmm 20km式中： ，系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率； 為阻尼比。00(2)(2)c cckmcm 為無(wú)量綱因子。一般鋼結(jié)構(gòu)屬于小阻尼， 0.01 0.1對(duì) 的阻尼稱為欠阻尼。 1（

14、15） （16） （17） （18） 則模態(tài)解的形式為：20001( )ittitatx tXeeee 這是帶復(fù)固有頻率的振動(dòng)單模態(tài)，可分為兩部分：X0t衰減振蕩周期指數(shù)衰減( )x t2021T tXe0虛部(或振動(dòng)部分)，頻率為：2001 實(shí)部(或衰減部分)，阻尼比為：0a前面的 ， 為共軛復(fù)數(shù)，他們的實(shí)部為衰減因子，反映系統(tǒng)的阻尼；其虛部表現(xiàn)有阻尼系統(tǒng)的固有頻率。模態(tài)模型兩部分 的物理意義表示在典型自由響應(yīng)圖中，（如圖）1s2s)(H（15）式中的 具有剛度特性，故稱為系統(tǒng)的動(dòng)剛度動(dòng)剛度。在一定的激勵(lì)作用下，其數(shù)值與系統(tǒng)的響應(yīng) 成反比。他具有阻止系統(tǒng)振動(dòng)的性質(zhì)。因此稱為系統(tǒng)的機(jī)械阻抗機(jī)械

15、阻抗，簡(jiǎn)稱阻抗（與電學(xué)中的阻抗有類(lèi)似之處），現(xiàn)令 2()mscsk( )x s2( )Z smscsk其倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納，簡(jiǎn)稱導(dǎo)納，又稱傳遞函數(shù)機(jī)械導(dǎo)納，簡(jiǎn)稱導(dǎo)納，又稱傳遞函數(shù)，21( )H smscsk（19） （110） 若對(duì)（12）式在付氏域進(jìn)行變換，即 ，則阻抗與導(dǎo)納公式可寫(xiě)為：sj2( )Zkmcj21( )Hkmcj式中 又稱為頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻響函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻響函數(shù)。( )H 位移導(dǎo)納，傳遞函數(shù)及頻響函數(shù)都具有柔度的性質(zhì)，故又稱為動(dòng)柔度動(dòng)柔度。在實(shí)際應(yīng)用上（對(duì)穩(wěn)定線性彈簧質(zhì)量系統(tǒng)而言）這三個(gè)名稱并不嚴(yán)格加以區(qū)別。（111） （112） 由（110）式及（112）式可見(jiàn)

16、，傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)均為復(fù)數(shù)。（112）式還可以表示為222( )()()()()kmcHjkmckmc2222112(1)(2)(1)(2)jkc式中， 稱為稱為頻率比頻率比。0 （113） 由（111）式可見(jiàn)，系統(tǒng)的位移阻抗由三部分組成，即質(zhì)量阻抗、阻尼阻抗及剛度阻抗。他們分別為質(zhì)量阻抗 ;阻尼阻抗 ;剛度阻抗 2mj kk他們的位移導(dǎo)納分別為各自的倒數(shù)，即質(zhì)量導(dǎo)納 剛度導(dǎo)納 剛度導(dǎo)納 21m1j k1k上述阻抗與導(dǎo)納公式均為位移阻抗與位移導(dǎo)納。若系統(tǒng)的輸出若系統(tǒng)的輸出為速度或加速度，則同樣可得速度阻抗于加速度導(dǎo)納。為速度或加速度，則同樣可得速度阻抗于加速度導(dǎo)納。對(duì)于不同的阻尼器，其阻抗與

17、導(dǎo)納的表達(dá)式亦不同。表1給出了單自由度系統(tǒng)各元件的各種阻抗與導(dǎo)納的表1達(dá)式。表一 單自由度系統(tǒng)元件的阻抗與導(dǎo)納系統(tǒng)元件位移速度加速度線性彈簧粘性阻尼剛體質(zhì)量結(jié)構(gòu)阻尼器dZdHvZvHaZaHkmcjkg1jkgkgkg2kgj2jkg1mm1j mj m21m2mjccj1cc1j cj c2k2kjkkj1kk大家可以發(fā)現(xiàn)表1的規(guī)律，若由左邊項(xiàng)求右邊項(xiàng)時(shí)，對(duì)阻抗則除 。對(duì)導(dǎo)納則乘 ；若由右邊項(xiàng)求左邊項(xiàng)時(shí)，則對(duì)阻抗則乘 ，對(duì)導(dǎo)納則除 。jjjj2( )Zkm21( )Hkm 對(duì)無(wú)阻尼系統(tǒng)，可由（111）及（112）式很方便地求出其阻抗與導(dǎo)納的表達(dá)式：（13b）；（13c）二、結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼

18、）系統(tǒng)二、結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼）系統(tǒng)對(duì)于實(shí)際金屬結(jié)構(gòu)，常常不能用粘性阻尼來(lái)描述他們的衰減特性。實(shí)際結(jié)構(gòu)的阻尼主要來(lái)源于金屬本身材料的內(nèi)部摩擦（內(nèi)耗）內(nèi)部摩擦（內(nèi)耗）及各部件連接界面（如螺部件連接界面（如螺釘、鉚釘、忖墊等）釘、鉚釘、忖墊等）之間的相對(duì)滑移相對(duì)滑移。因此結(jié)構(gòu)阻尼主要由材料內(nèi)部阻尼與滑移阻尼兩部分組成。結(jié)構(gòu)阻尼的阻尼力 與振動(dòng)位移成正比，相對(duì)比位移超前900，即與速度方向相反，即df式中 為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，他與剛度 成正比，kdfjx（114）gk （115）g式中 為結(jié)構(gòu)損耗因子，或稱結(jié)構(gòu)阻尼比，是無(wú)量綱因子。對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)而言，運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成mxkxj xf由（115）式，上式可改

19、寫(xiě)為(1)mxjg kxf（116）對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得2(1) ( )( )msjg k x sf s(117）因此傳遞函數(shù)及頻響函數(shù)分別為221( )(1)1( )(1)H smsjg kHjg km （118）將上式寫(xiě)為實(shí)部與虛部，222222211( )(1)(1)gHjkgg （119）（116）式中的 稱為復(fù)剛度稱為復(fù)剛度。(1)jg k由（113）式與（119）式比較可見(jiàn)，對(duì)粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼，頻響函數(shù)表達(dá)式具有相似的形式，只要將只要將 與與 相相互置換互置換，便可得到各自的頻響函數(shù)表達(dá)式。2g其中： 為加速度頻響函數(shù)； 為速度頻響函數(shù)； 為位移頻響函數(shù). 以上所述的頻響

20、函數(shù)是位移位移 為對(duì)象推導(dǎo)而得。頻響函數(shù)還可以用速度與加速度來(lái)表示。x22( )( )()( )( )avddHj HjHH （120）( )aH( )vH( )dH 在實(shí)際應(yīng)用中，由于測(cè)量加速度比較方便（主要是傳感器的原因），故加速度導(dǎo)納應(yīng)用比較普遍。與上述三種導(dǎo)納相對(duì)應(yīng)的有三種阻抗，即位移阻抗（又稱動(dòng)柔度）、速度阻抗（又稱機(jī)械阻抗）、加速度阻抗（又稱視在質(zhì)量）。他們是相應(yīng)導(dǎo)納的倒數(shù)。1.3 單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)曲線單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)曲線表現(xiàn)方式、特性及描述表現(xiàn)方式、特性及描述 有了單自由度系統(tǒng)基本位移導(dǎo)納頻率函數(shù)表達(dá)式之后，我們轉(zhuǎn)而注意這些數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的各種顯示或表達(dá)方法。首先討論頻

21、響函數(shù)基本形式的變化，然后探索用圖形表示其特性的不同方法，最后，探討所形成的圖形中某些有用的幾何性質(zhì)。1.3.1頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的圖形表示頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的圖形表示 頻響函數(shù)數(shù)據(jù)繪圖的復(fù)雜性在于導(dǎo)出的頻響函數(shù)是復(fù)函數(shù)，他們有三個(gè)量，即頻率頻率、復(fù)函數(shù)的實(shí)部實(shí)部、虛部虛部。而這些量不能全部展示在一張標(biāo)準(zhǔn)的xy圖上。因?yàn)槠矫媲€只能表示兩個(gè)變量，從而描述頻響函數(shù)就有各種不同的組合。下面我們討論三種最常見(jiàn)的表達(dá)形式： （1）、頻響函數(shù)的模（幅值）作為頻率的函數(shù)（簡(jiǎn)稱幅頻圖）圖；相位作為頻率的函數(shù)圖（簡(jiǎn)稱相頻圖）（又稱波德圖B0de）。 （2）、頻響函數(shù)的實(shí)部作為頻率的函數(shù)圖（簡(jiǎn)稱實(shí)頻圖）；虛部作為頻率的函數(shù)

22、圖（簡(jiǎn)稱虛頻圖）。 （3）、實(shí)部作為虛部的函數(shù)圖（尼奎斯特圖Nyquist）,（一個(gè)不含頻率信息的圖）。相位3601800位移導(dǎo)納141050頻率Hz(a)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的 導(dǎo)納圖0 20 40 60 80 100 我們下面來(lái)討論一下這些曲線的用途并說(shuō)明每種圖的特殊優(yōu)點(diǎn)或功能：典型的無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)位移導(dǎo)納的經(jīng)典波德圖（如圖(a)所示）。該系統(tǒng)響應(yīng)的速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納分別見(jiàn)如圖(b),(c)。（見(jiàn)所發(fā)的圖）相位3601800速度導(dǎo)納1510500 20 40 60 80 100頻率Hz(b)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的 導(dǎo)納圖相位3601800加速度導(dǎo)納210頻率Hz(c)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的

23、 導(dǎo)納圖0 20 40 60 80 100 由于振動(dòng)數(shù)據(jù)很多，表示頻響函數(shù)特性的可能問(wèn)題之一，是數(shù)據(jù)分布在較寬的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，無(wú)論使用上述頻響特性圖的何種形式，總有一些數(shù)據(jù)不能包括在內(nèi)。采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)可解決這個(gè)問(wèn)題。(a)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) 導(dǎo)納圖10kg100kg1000kg位移導(dǎo)納（0Db=1m/N）-100-120-140-1601 10 100頻率105N/m106N/m107N/m10000kg我們下面來(lái)討論一下這些曲線的用途并說(shuō)明每種圖的特殊優(yōu)點(diǎn)或功能：現(xiàn)將上面列出的三個(gè)頻響函數(shù)圖的頻率軸和幅值軸都采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并重新畫(huà)出曲線圖（如圖）。10kg100kg1000kg速度導(dǎo)納

24、（0DB=1m/N）-60-80-100-1201 10 100頻率(b)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) 導(dǎo)納圖107N/m106N/m105N/m10kg100kg1000kg105N/m106N/m107N/m加速度導(dǎo)納（0DB=1m/N）-20-40-60-80-1001 10 100頻率(c)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) 導(dǎo)納圖坐標(biāo)變換的結(jié)果可把每張圖分成三部分：1、低頻直線圖；2、高頻直線圖；3、帶有陡崤的幅值和相位變化的共振區(qū)。用對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)坐標(biāo)對(duì)數(shù)坐標(biāo)的另一好處是，他把有關(guān)的頻響函數(shù)特性分離成單個(gè)的質(zhì)量元件和彈簧元件。從圖中可以看出這些質(zhì)量和剛度特性在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中呈直線。質(zhì)量和剛度元

25、件的頻率響應(yīng)頻響函數(shù) 質(zhì) 量剛 度位移導(dǎo)納： 速度導(dǎo)納： 加速度導(dǎo)納： ( )H)(logH( )vH)(logVH( )aHlog( )aHm21)log(2)log(mk1)log(kmi1ki)log()log(m)log()log(km1k2)log(m)log()log(2k（2）、小粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的一對(duì)實(shí)頻和虛頻圖實(shí)頻和虛頻圖見(jiàn)如圖。我們已給出了所有三種類(lèi)型的頻響函數(shù)圖，從這些圖中可以看出共振區(qū)相位的變化情況其特點(diǎn)在于，一個(gè)圖上曲線的零點(diǎn)總是另一圖上的曲線峰值（最大或最?。┨幇l(fā)生。這里必須注意，在用實(shí)頻和虛頻表示頻響函數(shù)特性時(shí)，不能用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，因?yàn)閷?duì)數(shù)坐標(biāo)不能兼容正值和負(fù)值。

26、30-3位移導(dǎo)納（實(shí)部）0 20 40頻 率30-5-10位移導(dǎo)納（虛部）0 20 40頻 率位移導(dǎo)納圖0.50-0.5速度導(dǎo)納（虛部）0 20 40頻 率(Hz)速度導(dǎo)納（實(shí)部）10.50-30 20 40頻 率(Hz)速度導(dǎo)納圖加速度導(dǎo)納圖加速度導(dǎo)納圖500-50加速度導(dǎo)納（實(shí)部）0 20 40頻 率(Hz)100500-50加速度導(dǎo)納（虛部）0 20 40頻 率（Hz）（3）、尼奎斯特圖尼奎斯特圖即矢量端圖，是被工程廣泛使用并能有效地顯示共振區(qū)細(xì)部的方法。如圖所示。ReImReImReIma 位移導(dǎo)納 b 速度導(dǎo)納c 加速度導(dǎo)納具有結(jié)構(gòu)阻尼單自由度系統(tǒng)的尼奎斯特圖從圖中可以看出各個(gè)圖形很

27、象一個(gè)圓。事實(shí)上，除粘性阻尼的速度導(dǎo)納以及結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼的位移導(dǎo)納為一個(gè)精確圓，其他則只是一個(gè)近似圓。其阻尼愈小，則圖形愈圓。（如圖）圖中表示了單自由度粘性阻尼系統(tǒng)的尼奎斯特形式的頻響函數(shù)圖。這種圖的特點(diǎn)是將離開(kāi)共振區(qū)的點(diǎn)彼此靠的很近，這樣就突出了共振區(qū)，故尼奎斯特圖對(duì)試驗(yàn)?zāi)B(tài)具有很大的吸引力。1.5.2單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的特性（圖形的數(shù)學(xué)形式不講）下面討論一下單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的兩種典型情況的一些基本幾何特性。（1）、粘性阻尼系統(tǒng)尼奎斯特速度導(dǎo)納圖當(dāng)頻率從零掃描到無(wú)窮大的時(shí)，兩個(gè)軌跡都是精確的圓。現(xiàn)討論粘性阻尼情況從（17）式和（113）式得速度導(dǎo)納為：222

28、222)()()()()(cmKmKicciKiHiHV(224)2222)()()Re(cmKcHV2222)()()()Im(cmKmKHV)21)(Re(cHUV)(Im(VHV 22222222222221)()(4)()(ccmKccmKVU故；令和于是 （125）因此，在 )Re(VH)Im(VH對(duì) 的曲線圖上，當(dāng) 0c21變化時(shí)，將畫(huà)出半徑為 ，圓心在 1(Re,Im0)2c處的圓，如圖(b)所示。 c21（2）、結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)尼奎斯特位移導(dǎo)納圖對(duì)于遲滯（結(jié)構(gòu)）阻尼的情況，可從方程（19）得到略有差別的頻響函數(shù)表達(dá)式：222221)h()mK(ih)mK(ih)K()(H（126）

29、22222)()()()Re(hmKmKH222)()()Im(hmKhH故 也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其位移導(dǎo)納尼奎斯特圖將是一個(gè)半徑為 12()h，圓心在 12(0,)h見(jiàn)圖(a) 的圓。（見(jiàn)發(fā)的圖表）（見(jiàn)發(fā)的圖表）雖然沒(méi)有得到象上述粘性阻尼那樣的表達(dá)式，但可以看出：222)21()21(Im(Re)hh （127）1.6 各種不同激勵(lì)下頻響函數(shù)的表達(dá)式各種不同激勵(lì)下頻響函數(shù)的表達(dá)式 頻響函數(shù)（或傳遞函數(shù)）反映系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系，并表示系統(tǒng)的固有特性。它與激勵(lì)力的形式與大?。ㄏ抻诰€性范圍以內(nèi)）無(wú)關(guān)。但是在不同類(lèi)型激勵(lì)力的作用下，它的表達(dá)形式常不同。下面我們對(duì)正弦

30、、周期、瞬態(tài)及隨機(jī)等幾種激勵(lì)類(lèi)型，確定頻響函數(shù)的表達(dá)式。一、簡(jiǎn)諧激勵(lì)一、簡(jiǎn)諧激勵(lì) 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并且頻率與力頻率相同。)()(tjFetf)()(tjXetx激勵(lì)力為：位移響應(yīng)為：式中， 及 分別為激勵(lì)與響應(yīng)的相位角； ， 為激勵(lì)力與響應(yīng)的復(fù)數(shù)幅值。 因此，位移頻響函數(shù)（位移導(dǎo)納）為：)(jdeFXfxH（128）FX在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)分析與測(cè)量時(shí)，應(yīng)變常常是十分重要而且易于測(cè)量的一個(gè)量。應(yīng)變片作為一種傳感器亦經(jīng)常被采用，因?yàn)樗捏w積小、質(zhì)量輕，對(duì)試件的約束小，而且可通過(guò)它測(cè)量應(yīng)變，從而計(jì)算應(yīng)力。此時(shí)，系統(tǒng)的輸入為力，輸出為應(yīng)變，因此應(yīng)變阻抗及導(dǎo)納可

31、分別表示為： 另外目前工程中還有應(yīng)變導(dǎo)納的概念，這對(duì)實(shí)際測(cè)量很有好處。FZ FH應(yīng)變阻抗: ； 應(yīng)變導(dǎo)納: 式中是對(duì)應(yīng)物理量的傅立葉變換。二、周期激勵(lì)二、周期激勵(lì) 周期激勵(lì)力具有周期性，但不一定是正弦力，例如方波、鋸齒波激勵(lì)力等屬于此類(lèi)周期激勵(lì)力。此時(shí)系統(tǒng)的頻響函數(shù)不再具有如（214）式所示的簡(jiǎn)單形式。但是，眾所周知，任何周期函數(shù)，總可以用傅立葉分析方法展開(kāi)成一系列具有頻率、幅值與相位的正弦級(jí)數(shù)。設(shè)激勵(lì)力為 ，)(tf則可寫(xiě)成1)()(ntjnneftfTnn2，這樣，便可得到力函數(shù)的各個(gè)頻率分量。同理，對(duì)響應(yīng)亦可寫(xiě)成 1)()(ntjnnextx對(duì)周期函數(shù)而言，頻響函數(shù)定義為各頻率點(diǎn)上響應(yīng)與

32、激勵(lì)力之復(fù)數(shù)幅值比，)()()(tftxHn（129）響應(yīng) 與 激勵(lì)的級(jí)數(shù)具有相同的離散頻率，他們都等于 的整數(shù)倍。)(tx)(tfT/2式中 、 均包含幅值與相位兩個(gè)成分。)(tx)(tf三、瞬態(tài)激勵(lì)三、瞬態(tài)激勵(lì)對(duì)瞬態(tài)振動(dòng)而言，激勵(lì)與響應(yīng)均非周期函數(shù)。但是他們常常是絕對(duì)可積的力函數(shù)（如脈沖力、階躍力等），他們滿足狄利克雷（D）條件，因此其傅立葉變換可由下式計(jì)算：dtetfftj)()(同理，對(duì)響應(yīng)亦有dtetxxtj)()(此時(shí)，系統(tǒng)的頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）與輸入（激勵(lì)）之傅立葉變換之比，)()()(fxH（130） 我們亦可以在拉氏域中定義頻率響應(yīng)函數(shù)，此時(shí)頻率響應(yīng)函數(shù)又稱為傳遞

33、函數(shù)。它定義為系統(tǒng)的輸出與輸入的拉氏變換之比。)()()(sfsxsH（131）傅氏域及拉氏域的頻響函數(shù)和傳遞函數(shù)的描述如圖所示。( )H( )H sj傳遞函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)圖O 曲面曲線( )H s( )H由上式可知:( )( ) ( )xHf對(duì)上式進(jìn)行傅立葉逆變換，得：defHtxtj)()(21)(令激勵(lì)為脈沖激勵(lì)令激勵(lì)為脈沖激勵(lì)，即 0)(tf1)()()(dtetdtetfftjtj此處表示在 時(shí)作用得單位函數(shù)，又稱為D函數(shù)。此時(shí)得系統(tǒng)響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)，以 表示。已知 0t )(th故 deHthtxtj)(21)()(（132a）dtethHtj)()(（132b）他們互為傅立葉變